人教A版(理)数学一轮复习导练测：第二章 函数与基本初等函数I 学案6

知识点一指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质一般地，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示：R注意(1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用到分类讨论思想.(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0<a<1时，a值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.知识点二对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质定义域是(0，＋∞)知识点三对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图)知识点四幂函数y＝xα的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.题型一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.例1 (1)化简：4133223384-+a a b b a÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 325. 解 (1)原式＝1111333311111122333333(8)(2)2()2-⨯⨯++-a a b aa b b a b a a b＝11113333(8)8-⨯⨯=-a a b a a b a b(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 35＝log 3(4×932×8)－52log 35＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1 (1681)34-＋log 354＋log 345＝________.答案278解析 (1681)34-＋log 354＋log 345＝(23)－3＋log 31＝278＋0＝278.题型二 函数的图象函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.例2 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )答案 A解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象.跟踪训练2 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析 当x >0时，y ＝xa x |x |＝a x .又0<a <1，可排除A 、C ；当x <0时，y ＝xa x|x |＝－a x .又0<a <1，可排除B. 题型三 比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 例3 设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c答案 A解析 a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c . 跟踪训练3 设a ＝log 2π，b ＝log 21π，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 因为π>2，所以a ＝log 2π>1，所以b ＝log 21π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b .题型四 换元法的应用换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题.本章中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u 的取值范围. 例4 求函数y ＝f (x )＝－(12)2x －4(12)x ＋5的值域.解 函数的定义域是R .设u ＝(12)x ，由于x ∈R ，则u ∈(0，＋∞).则有y ＝－u 2－4u ＋5＝－(u ＋2)2＋9. ∵u ∈(0，＋∞)，∴y ∈(－∞，5)， 故函数y ＝f (x )的值域是(－∞，5).跟踪训练4 已知实数x 满足－3≤log 21x ≤－12，求函数y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)的值域.解 y ＝(log 2x 2)·(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.∵－3≤log 21x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.令t ＝log 2x ，则t ∈[12，3]，y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14，∴t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.故函数的值域为[－14，2].分类讨论思想应用指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论.例5 函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值. 解 y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2.令a x ＝t ，则y ＝(t ＋1)2－2，对称轴方程为t ＝－1. ①当a >1时，因为－1≤x ≤1，所以1a ≤a x ≤a ，即1a ≤t ≤a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的， 所以当t ＝a 时有最大值，所以(a ＋1)2－2＝14， 所以a ＝3.②当0<a <1时，因为－1≤x ≤1，所以a ≤a x ≤1a ，即a ≤t ≤1a ，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，所以当t ＝1a 时有最大值，所以(1a ＋1)2－2＝14，所以a ＝13.所以a 的值为3或13.跟踪训练5 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集.解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞.。

2.8 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系3.对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( √ )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( × )1．(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 2．(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x .由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1， 令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2014·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3} 答案 D解析 令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．4．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N ＋)，则k 的值为________． 答案 3解析 由题意知，当x >1时，f (x )单调递减，因为f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.题型一 函数零点的判断和求解例1 (1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．答案 (1)C (2)3解析 (1)设f (x )＝ln x ＋x －4， ∵f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0， ∴x 0∈(2,3)．(2)当x >0时：作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，x >0时，f (x )有两个零点； 当x <0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有三个零点． 思维升华 函数零点的求法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个D ．2个答案 (1)B (2)B解析 (1)∵f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数． 而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 题型二 二次函数的零点问题例2 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]， 所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2， 解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，g (2)>0，1<－a4<2，a 2－24>0，即错误!解得－5<a <－2错误!.所以实数a 的取值范围是(－5，－26)．思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0， 由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 方法二 函数图象大致如图， 则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0， 故－2<a <1.题型三 函数零点和参数的范围例3 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2>0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，12)解析 作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(1)方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)(2)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.思维点拨 (1)利用零点存在性定理；(2)利用临界情况时f (x )的图象观察零点的大小． 解析 (1)设f (x )＝log 3x ＋x －3， 则f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， ∴f (x )＝0在(2,3)有零点，又f (x )为增函数，∴f (x )＝0的零点在(2,3)内．(2)在直角坐标系下分别作出y ＝log 2x ，y ＝log 3x 及y ＝3－x ，y ＝4－x 的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，故n ＝2.答案 (1)C (2)2温馨提醒 (1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.方法与技巧1．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． 失误与防范1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0，故选D.2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.4．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 C解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b答案 B解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为R 上的递增函数． 故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)．∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x ＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x 作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图)．由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 答案 {x |－32<x <1}解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6， ∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0， 解集为{x |－32<x <1}．7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 答案 2解析 由于ln2<lne ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f (3)>0，所以增函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)． 9．判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．解 因为f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝133>0，所以f (x )在区间[－1,1]上有零点．又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2(x －12)2，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤92，所以f (x )在[－1,1]上单调递增．所以f (x )在[－1,1]上有且只有一个零点．10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．方法二 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为 1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0,2]的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示， 其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.12．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.13．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________． 答案 (512，34]解析 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2,3)的直线，因为点A (－2,0)，则k P A ＝3－02－(－2)＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34.14．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．15．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

基础知识整合１．函数与映射的概念２．函数的三要素函数由定义域、错误!对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f（x），x∈A，其中（１）定义域：错误!自变量x的取值构成的集合；（２）值域：函数值的集合错误!{f（x）|x∈A}．３．函数的表示法表示函数的常用方法有：错误!解析法、错误!列表法、错误!图象法．４．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因错误!对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．１．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有１个交点．２．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．３．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．１．集合A＝{x|0≤x≤４}，B＝{y|0≤y≤２}，下列不表示从A到B的函数的是（）Ａ．f：x→y＝错误!x Ｂ．f：x→y＝错误!xＣ．f：x→y＝错误!x Ｄ．f：x→y＝错误!答案C解析依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合．２．（２0１9·怀柔月考）已知函数f（x）＝５|x|，g（x）＝ax２—x（a∈R）．若f[g（１）]＝１，则a ＝（）Ａ．１Ｂ．２C．３Ｄ．—１答案A解析因为g（x）＝ax２—x，所以g（１）＝a—１．因为f（x）＝５|x|，所以f[g（１）]＝f（a—１）＝５|a—１|＝１，所以|a—１|＝0，所以a＝１．故选Ａ．３．已知f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!的值等于（）Ａ．—２Ｂ．４C．２Ｄ．—４答案B解析由题意得f错误!＝２×错误!＝错误!.f错误!＝f错误!＝f错误!＝２×错误!＝错误!.所以f错误!＋f错误!＝４．４．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．答案[２，＋∞）解析由log２x—１≥0得x≥２，所以函数的定义域为[２，＋∞）．５．（２0１9·南京模拟）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x）≥—１的解集是________．答案{x|—４≤x≤２}解析当x≤0时，由题意得错误!＋１≥—１，解得—４≤x≤0．当x>0时，由题意得—（x—１）２≥—１，解得0<x≤２．综上，f（x）≥—１的解集为{x|—４≤x≤２}．6．已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．答案[—１,２]解析∵y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，∴x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，∴y＝f（x）的定义域为[—１,２]．核心考向突破考向一函数的定义域角度１求具体函数的定义域例１（１）函数f（x）＝（x—２）0＋错误!的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，＋∞）Ｄ．错误!∪（２，＋∞）答案D解析要使函数f（x）有意义，只需错误!所以x>—错误!且x≠２，所以函数f（x）的定义域是错误!∪（２，＋∞），故选Ｄ．（２）（２0１9·广东深圳模拟）函数y＝错误!的定义域为（）Ａ．（—２,１）Ｂ．[—２,１] Ｃ．（0,１）Ｄ．（0,１]答案C解析由题意得错误!解得0<x<１，故选Ｃ．触类旁通已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式组，得出不等式组的解集即可.即时训练１．（２0１9·厦门模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意得错误!解得x>—错误!且x≠１．故选Ｄ．２．（２0１9·郑州调研）函数f（x）＝ln 错误!＋x错误!的定义域为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（0,１）Ｄ．（0,１）∪（１，＋∞）答案B解析要使函数f（x）有意义，应满足错误!解得x>１，故函数f（x）＝ln 错误!＋x错误!的定义域为（１，＋∞）．故选Ｂ．角度２求抽象函数的定义域例２（１）（２0１9·福州模拟）已知函数f（x）的定义域为（—１,１），则函数g（x）＝f错误!＋f（x—１）的定义域为（）Ａ．（—２,0）Ｂ．（—２,２）Ｃ．（0,２）Ｄ．错误!答案C解析由题意得错误!∴错误!∴0<x<２，∴函数g（x）＝f错误!＋f（x—１）的定义域为（0,２），故选Ｃ．（２）若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．答案{x|0≤x≤２0１8，且x≠１}解析因为y＝f（x）的定义域为[１,２0１9]，所以要使g（x）有意义，应满足错误!所以0≤x≤２0１8，且x≠１．因此g（x）的定义域为{x|0≤x≤２0１8，且x≠１}．触类旁通对于抽象函数定义域的求解（１）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出．２若已知函数f[g x]的定义域为[a，b]，则f x的定义域为g x在x∈[a，b]上的值域.即时训练３．已知函数y＝f（x＋１）的定义域是[—２,３]，则y＝f（２x—１）的定义域为（）Ａ．[—３,7] Ｂ．[—１,４] Ｃ．[—５,５] Ｄ．错误!答案D解析因为y＝f（x＋１）的定义域为[—２,３]，所以—１≤x＋１≤４．由—１≤２x—１≤４，得0≤x≤错误!，即y＝f（２x—１）的定义域为错误!.４．（２0１9·重庆模拟）已知函数f（x）＝ln （—x—x２），则函数f（２x＋１）的定义域为________．答案错误!解析由题意知，—x—x２>0，∴—１<x<0，即f（x）的定义域为（—１,0）．∴—１<２x＋１<0，则—１<x<—错误!.角度３已知定义域求参数范围例３（１）（２0１9·银川模拟）若函数y＝错误!的定义域为R，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析要使函数的定义域为R，则ax２—４ax＋２>0恒成立．１当a＝0时，不等式为２>0，恒成立；２当a≠0时，要使不等式恒成立，则错误!即错误!解得0<a<错误!.由１２得0≤a<错误!.故选Ｄ．（２）（２0１8·石家庄模拟）设函数f（x）＝ax２—２x＋２，对于满足１＜x＜４的一切x值都有f（x）＞0，则实数a的取值范围为________．答案错误!解析由f（x）＞0，即ax２—２x＋２＞0，x∈（１,４），得a＞—错误!＋错误!在x∈（１,４）上恒成立．令g（x）＝—错误!＋错误!＝—２错误!２＋错误!，错误!∈错误!，所以g（x）max＝g（２）＝错误!，所以要使f（x）＞0在（１,４）上恒成立，只要a＞错误!即可．触类旁通已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．即时训练５．若函数y＝错误!x２—２x＋４的定义域、值域都是[２,２b]（b>１），则（）Ａ．b＝２Ｂ．b≥２Ｃ．b∈（１,２）Ｄ．b∈（２，＋∞）解析∵函数y＝错误!x２—２x＋４＝错误!（x—２）２＋２，其图象的对称轴为直线x＝２，∴在定义域[２,２b]上，y为增函数．当x＝２时，y＝２；当x＝２b时，y＝２Ｂ．故２b＝错误!×（２b）２—２×２b＋４，即b２—３b＋２＝0，得b１＝２，b２＝１．又∵b>１，∴b＝２．6．若函数f（x）＝错误!的定义域为R，则a的取值范围为________．答案[—１,0]解析因为函数f（x）的定义域为R，所以２x２＋２ax—a—１≥0对x∈R恒成立，则x２＋２ax—a≥0恒成立．因此有Δ＝（２a）２＋４a≤0，解得—１≤a≤0．考向二求函数的解析式例４（１）已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，则f（x）＝________.答案x２—１（x≥１）解析（换元法）令错误!＋１＝t，则x＝（t—１）２（t≥１），代入原式得f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—１，所以f（x）＝x２—１（x≥１）．（２）已知f（x）是一次函数，且满足３f（x＋１）—２f（x—１）＝２x＋１7，则f（x）＝________.答案２x＋7解析（待定系数法）设f（x）＝ax＋b（a≠0），则３f（x＋１）—２f（x—１）＝ax＋５a＋b，所以ax＋５a＋b＝２x＋１7对任意实数x都成立，所以错误!解得错误!所以f（x）＝２x＋7．（３）已知f错误!＝x２＋错误!，则f（x）＝________.答案x２—２（x≥２或x≤—２）解析（配凑法）f错误!＝x２＋错误!＝错误!—２＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２（x≥２或x≤—２）．（４）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝２f错误!·错误!—１，则f（x）＝________.答案错误!错误!＋错误!解析（消去法）在f（x）＝２f错误!·错误!—１中，将x换成错误!，则错误!换成x，得f错误!＝２f（x）·错误!—１，由错误!解得f（x）＝错误!错误!＋错误!.触类旁通函数解析式的求法（１）待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法．２换元法：已知复合函数f[g x]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.３消去法：已知关于f x与f错误![或f—x]的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f x.４配凑法：由已知条件f[g x]＝F x，可将F x改写成关于g x的解析式，然后以x替代g x，便得f x的解析式.即时训练7．已知f（x）＋３f（—x）＝２x＋１，则f（x）＝________.答案—x＋错误!解析由已知得f（—x）＋３f（x）＝—２x＋１，解方程组错误!得f（x）＝—x＋错误!.8．已知f错误!＝lg x，则f（x）的解析式为________．答案f（x）＝lg 错误!（x>１）解析令错误!＋１＝t，由于x>0，所以t>１且x＝错误!，所以f（t）＝lg 错误!，即f（x）＝lg 错误!（x>１）．9．若f（x）为二次函数且f（0）＝３，f（x＋２）—f（x）＝４x＋２，则f（x）的解析式为________．答案f（x）＝x２—x＋３解析设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝３．所以f（x）＝ax２＋bx＋３，所以f（x＋２）—f（x）＝a（x＋２）２＋b（x＋２）＋３—（ax２＋bx＋３）＝４ax＋４a＋２b＝４x ＋２．所以错误!所以错误!所以所求函数的解析式为f（x）＝x２—x＋３．考向三分段函数例５（１）（２0１7·山东高考）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）Ａ．２Ｂ．４C．6 Ｄ．8答案C解析若0<a<１，由f（a）＝f（a＋１）得错误!＝２（a＋１—１），∴a＝错误!，∴f错误!＝f（４）＝２×（４—１）＝6．若a≥１，由f（a）＝f（a＋１）得２（a—１）＝２（a＋１—１），无解．综上，f错误!＝6．故选Ｃ．（２）（２0１8·浙江高考）已知λ∈R，函数f（x）＝错误!当λ＝２时，不等式f（x）<0的解集是________，若函数f（x）恰有２个零点，则λ的取值范围是________．答案（１,４）（１,３]∪（４，＋∞）解析若λ ＝２，则当x≥２时，令x—４<0，得２≤x<４；当x<２时，令x２—４x＋３<0，得１<x<２．综上可知１<x<４，所以不等式f（x）<0的解集为（１，４）．令x—４＝0，解得x＝４；令x２—４x＋３＝0，解得x＝１或x＝３．因为函数f（x）恰有２个零点，结合函数的图象（图略）可知１<λ≤３或λ>４．触类旁通分段函数问题的求解策略（１）分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．２分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值范围是否适合相应的分段区间.即时训练１0．（２0１9·山西省实验中学模拟）设函数f（x）＝错误!若f（a）>a，则实数a的取值范围是________．答案（—∞，—１）解析当a≥0时，f（a）＝错误!a—１>a，解得a<—２，矛盾；当a<0时，f（a）＝错误!>a，解得a<—１．所以a的取值范围为（—∞，—１）．１１．设函数f（x）＝错误!若f[f（a）]＝２，则a＝________.答案错误!解析若a>0，则f（a）＝—a２<0，f[f（a）]＝a４—２a２＋２＝２，得a＝错误!.若a≤0，则f（a）＝a２＋２a＋２＝（a＋１）２＋１>0，f[f（a）]＝—（a２＋２a＋２）２＝２，此方程无解．（２0１9·贵州模拟）若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１）成立，则称函数f（x）为“１的饱和函数”．给出下列三个函数：１f（x）＝错误!；２f（x）＝２x；３f（x）＝lg （x２＋２）．其中是“１的饱和函数”的所有函数的序号为（）Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．１２Ｄ．３答案B解析对于１，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则错误!＝错误!＋１，所以x错误!＋x0＋１＝0（x0≠0，且x0≠—１），显然该方程无实根，因此１不是“１的饱和函数”；对于２，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则２x0＋１＝２x0＋２，解得x0＝１，因此２是“１的饱和函数”；对于３，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则lg [（x0＋１）２＋２]＝lg （x错误!＋２）＋lg （１２＋２），化简得２x错误!—２x0＋３＝0，显然该方程无实根，因此３不是“１的饱和函数”．答题启示解决与函数有关的新定义问题的策略（１）根据定义合理联想，即分析有关信息，通过联想和类比、拆分或构造，可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．（２）捕捉解题信息，紧扣定义，根据定义与条件一步步进行推理求解．（３）合理、巧妙的赋值，即给x，y等量一些特殊的数值，求得特殊函数值，从而将新定义的函数进行化简和转化，利用已有函数知识进一步求解．对点训练（２0１9·黄冈模拟）若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（—x）＝f（x），则称f（x）为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是（）Ａ．f（x）＝cosx Ｂ．f（x）＝sinxＣ．f（x）＝x２—２x Ｄ．f（x）＝x３—２x答案D解析A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f（x）＝f（—x），不符合题意；B中，当x＝kπ（k∈Z）时，满足f（x）＝f（—x），不符合题意；C中，由f（x）＝f（—x），得x２—２x＝x２＋２x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f（x）＝f（—x），得x３—２x＝—x３＋２x，解得x＝0或x＝±错误!，满足题意，故选Ｄ．。

一、知识梳理指数函数的图象及性质函数y＝a x（a>0，且a≠１）图象0<a<１a>１图象特征在x轴上方，过定点（0，１）当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域（0，＋∞）单调性减增函数值变化规律当x＝0时，y＝１当x<0时，y>１；当x>0时，0<y<１当x<0时，0<y<１；当x>0时，y>１１．指数函数图象的画法画指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0，１），错误!.２．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数１y＝a x，２y＝b x，３y＝c x，４y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c>d>１>a>b>0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a>0，a≠１）的图象越高，底数越大．二、习题改编１．（必修１P５6例6改编）若函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝．答案：错误!２．（必修１P５9A组T7改编）已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是．解析：因为y＝错误!错误!是减函数，所以错误!错误!>错误!错误!>错误!错误!，即a>b>１，又c ＝错误!错误!<错误!错误!＝１，所以c<b<a.答案：c<b<a一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝a—x是R上的增函数．（）（２）函数y＝a x２＋１（a>１）的值域是（0，＋∞）．（）（３）函数y＝２x—１是指数函数．（）（４）若a m<a n（a>0，且a≠１），则m<n.（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!（１）不理解指数函数概念出错；（２）忽视底数a的范围出错．１．函数y＝（a２—５a＋５）a x是指数函数，则a的值为．解析：因为函数y＝（a２—５a＋５）a x是指数函数，所以a２—５a＋５＝１，解得a＝１或a＝４．又因为指数函数y＝a x的底数a需满足a>0且a≠１，所以a＝４．答案：４２．若函数y＝（a２—１）x在（—∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．解析：由题意知0<a２—１<１，即１<a２<２，得—错误!<a<—１或１<a<错误!.答案：（—错误!，—１）∪（１，错误!）指数函数的图象及应用（典例迁移）（１）函数f（x）＝a x—b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）Ａ．a>１，b<0Ｂ．a>１，b>0Ｃ．0<a<１，b>0Ｄ．0<a<１，b<0（２）若方程|３x—１|＝k有一解，则k的取值范围为．【解析】（１）由f（x）＝a x—b的图象可以观察出函数f（x）＝a x—b在定义域上单调递减，所以0<a<１．函数f（x）＝a x—b的图象是在f（x）＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0．（２）函数y＝|３x—１|的图象是由函数y＝３x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥１时，直线y＝k与函数y＝|３x—１|的图象有唯一的交点，即方程有一解．【答案】（１）D （２）{0}∪[１，＋∞）【迁移探究１】（变条件）若本例（２）的条件变为：方程３|x|—１＝k有两解，则k的取值范围为．解析：作出函数y＝３|x|—１与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>0．答案：（0，＋∞）【迁移探究２】（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是．解析：作出函数y＝|３x—１|＋k的图象如图所示．由图象知k≤—１，即k∈（—∞，—１]．答案：（—∞，—１]【迁移探究３】（变条件）若本例（２）的条件变为：函数y＝|３x—１|在（—∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例（２）作出的函数y＝|３x—１|的图象知其在（—∞，0]上单调递减，所以k∈（—∞，0]．错误!指数函数图象的画法及应用（１）画指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）的图象，应抓住关键点．（２）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．（３）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与１的大小关系不确定时应注意分类讨论．１．已知函数f（x）＝a x—２＋２（a>0且a≠１）的图象恒过定点A，则A的坐标为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（２，３）Ｃ．（３，２）Ｄ．（２，２）解析：选B.令x—２＝0，则x＝２，f（２）＝３，即A的坐标为（２，３）．２．（２0２0·河北武邑中学调研）函数y＝e—|x—１|的大致图象是（）解析：选Ｂ．因为—|x—１|≤0，所以0<e—|x—１|≤e0，即0<y＝e—|x—１|≤１，故选Ｂ．３．若直线y＝２a与函数y＝|a x—１|（a>0且a≠１）的图象有两个公共点，则a的取值范围是．解析：（１）当0<a<１时，y＝|a x—１|的图象如图１．因为y＝２a与y＝|a x—１|的图象有两个交点，所以0<２a<１，所以0<a<错误!.（２）当a>１时，y＝|a x—１|的图象如图２，而y＝２a>１不可能与y＝|a x—１|有两个交点．综上，0<a<错误!.答案：错误!指数函数的性质及应用（多维探究）角度一比较指数幂的大小已知a＝错误!错误!，b＝２错误!，c＝错误!错误!，则下列关系式中正确的是（）Ａ．c<a<bＢ．b<a<cＣ．a<c<bＤ．a<b<c【解析】把b化简为b＝错误!错误!，而函数y＝错误!错误!在R上为减函数，又错误!>错误!>错误!，所以错误!错误!<错误!错误!<错误!错误!，即b<a<c.【答案】B错误!比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，１）比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．角度二解简单的指数方程或不等式不等式错误!错误!<错误!错误!恒成立，则a的取值范围是．【解析】由题意，y＝错误!错误!是减函数，因为错误!错误!<错误!错误!恒成立，所以x２＋ax>２x＋a—２恒成立，所以x２＋（a—２）x—a＋２>0恒成立，所以Δ＝（a—２）２—４（—a＋２）<0，即（a—２）（a—２＋４）<0，即（a—２）（a＋２）<0，解得—２<a<２，即a的取值范围是（—２，２）．【答案】（—２，２）错误!解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．角度三研究指数型函数的性质（１）函数f（x）＝错误!错误!的单调递减区间为．（２）已知函数f（x）＝２|２x—m|（m为常数），若f（x）在区间[２，＋∞）上是增函数，则m的取值范围是．【解析】（１）设u＝—x２＋２x＋１，因为y＝错误!错误!在R上为减函数，所以函数f（x）＝错误!错误!的减区间即为函数u＝—x２＋２x＋１的增区间．又u＝—x２＋２x＋１的增区间为（—∞，１]，所以函数f（x）的减区间为（—∞，１]．（２）令t＝|２x—m|，则t＝|２x—m|在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减．而y＝２t为R上的增函数，所以要使函数f（x）＝２|２x—m|在[２，＋∞）上单调递增，则有错误!≤２，即m≤４，所以m的取值范围是（—∞，４]．【答案】（１）（—∞，１] （２）（—∞，４]错误!求指数型复合函数的单调区间和值域的方法（１）形如y＝a f（x）（a>0，且a≠１）的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f（x），先求出u＝f （x）的值域，再利用y＝a u的单调性求出y＝a f（x）的值域．（２）形如y＝a f（x）（a>0，且a≠１）的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>１时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝a f（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相同；当0<a<１时，若f（x）在区间（m，n）上（其中（m，n）⊆D）具有单调性，则函数y＝a f（x）在区间（m，n）上的单调性与f（x）在区间（m，n）上的单调性相反．１．函数y＝错误!错误!的值域是（）Ａ．（—∞，４）Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（0，４] Ｄ．[４，＋∞）解析：选Ｃ．设t＝x２＋２x—１，则y＝错误!错误!.因为0<错误!<１，所以y＝错误!错误!为关于t的减函数．因为t＝（x＋１）２—２≥—２，所以0<y＝错误!错误!≤错误!错误!＝４，故所求函数的值域为（0，４]．２．已知a，b∈（0，１）∪（１，＋∞），当x>0时，１<b x<a x，则（）Ａ．0<b<a<１Ｂ．0<a<b<１Ｃ．１<b<aＤ．１<a<b解析：选Ｃ．因为x>0时，１<b x，所以b>１．因为x>0时，b x<a x，所以x>0时，错误!错误!>１．所以错误!>１，所以a>b.所以１<b<a.故选Ｃ．思想方法系列３换元法求解指数型函数的有关问题已知函数f（x）＝４x＋m·２x—２在区间[—２，２]上单调递增，求m的取值范围．【解】设t＝２x，则f（x）＝４x＋m·２x—２＝t２＋mt—２．因为x∈[—２，２]，所以t∈错误!.又函数f（x）＝４x＋m·２x—２在区间[—２，２]上单调递增，即f（x）＝t２＋mt—２在区间错误!上单调递增，故有—错误!≤错误!，解得m≥—错误!.所以m的取值范围为错误!.错误!（１）此例题利用了换元法，把函数f（x）转化为y＝t２＋mt—２，其中t∈错误!，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．（２）对于同时含有a x与a２x（a>0且a≠１）的函数、方程、不等式问题，通常令t＝a x进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法．已知函数f（x）＝错误!错误!，a为常数，且函数的图象过点（—１，２）．（１）求a的值；（２）若g（x）＝４—x—２，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值．解：（１）由已知得错误!错误!＝２．解得a＝１．（２）由（１）知f（x）＝错误!错误!，又g（x）＝f（x），则４—x—２＝错误!错误!，所以错误!错误!—错误!错误!—２＝0，令错误!错误!＝t，则t>0，t２—t—２＝0，即（t—２）（t＋１）＝0，又t>0，故t＝２，即错误!错误!＝２．解得x＝—１，故满足条件的x的值为—１．[基础题组练]１．若函数f（x）＝（２a—５）·a x是指数函数，则f（x）在定义域内（）Ａ．为增函数Ｂ．为减函数Ｃ．先增后减Ｄ．先减后增解析：选Ａ．由指数函数的定义知２a—５＝１，解得a＝３，所以f（x）＝３x，所以f（x）在定义域内为增函数．２．设函数f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a>１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，则M＝（a—１）0．２与N＝错误!错误!的大小关系是（）Ａ．M＝NＢ．M≤NＣ．M<NＤ．M>N解析：选Ｄ．因为f（x）＝x２—a与g（x）＝a x（a>１且a≠２）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以a>２，所以M＝（a—１）0．２>１，N＝错误!错误!<１，所以M>N，故选Ｄ．３．已知f（x）＝３x—b（２≤x≤４，b为常数）的图象经过点（２，１），则f（x）的值域为（）Ａ．[9，8１] Ｂ．[３，9]Ｃ．[１，9] Ｄ．[１，＋∞）解析：选Ｃ．由f（x）过定点（２，１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２且在[２，４]上是增函数，f（x）min＝f（２）＝１，f（x）max＝f（４）＝9．４．已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝a x＋k的图象可能是（）解析：选Ｂ．由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<１．因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于１，所以k>—１，所以—１<k<0．函数y＝a x＋k的图象可以看成把y＝a x的图象向右平移—k 个单位长度得到的，且函数y＝a x＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于１，结合所给的选项，选Ｂ．５．已知函数f（x）＝错误!则函数f（x）是（）A．偶函数，在[0，＋∞）内单调递增Ｂ．偶函数，在[0，＋∞）内单调递减Ｃ．奇函数，且单调递增Ｄ．奇函数，且单调递减解析：选Ｃ．易知f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝１—２—x，—f（x）＝２—x—１，此时—x<0，则f（—x）＝２—x—１＝—f（x）；当x<0时，f（x）＝２x—１，—f（x）＝１—２x，此时—x>0，则f （—x）＝１—２—（—x）＝１—２x＝—f（x）．即函数f（x）是奇函数，且单调递增，故选Ｃ．6．不等式２—x２＋２x>错误!错误!的解集为．解析：不等式２—x２＋２x >错误!错误!可化为错误!错误!>错误!错误!，等价于x２—２x<x＋４，即x ２—３x—４<0，解得—１<x<４．答案：{x|—１<x<４}7．若函数f（x）＝a|２x—４|（a>0，a≠１）满足f（１）＝错误!，则f（x）的单调递减区间是．解析：由f（１）＝错误!得a２＝错误!.又a>0，所以a＝错误!，因此f（x）＝错误!错误!.因为g（x）＝|２x—４|在[２，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[２，＋∞）．答案：[２，＋∞）8．设偶函数g（x）＝a|x＋b|在（0，＋∞）上单调递增，则g（a）与g（b—１）的大小关系是．解析：由于g（x）＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，又g（x）＝a|x|在（0，＋∞）上单调递增，得a>１．则g（b—１）＝g（—１）＝g（１），故g（a）>g（１）＝g（b—１）．答案：g（a）>g（b—１）9．已知函数f（x）＝错误!错误!.（１）求f（x）的单调区间；（２）若f（x）的最大值等于错误!，求a的值．解：（１）令t＝|x|—a，则f（x）＝错误!错误!，不论a取何值，t在（—∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，又y＝错误!错误!是单调递减的，因此f（x）的单调递增区间是（—∞，0]，单调递减区间是（0，＋∞）．（２）由于f（x）的最大值是错误!，且错误!＝错误!错误!，所以函数g（x）＝|x|—a应该有最小值—２，从而a＝２．１0．（２0２0·福建养正中学模拟）已知函数f（x）＝２x，g（x）＝x２＋２ax（—３≤x≤３）．（１）若g（x）在[—３，３]上是单调函数，求a的取值范围；（２）当a＝—１时，求函数y＝f（g（x））的值域．解：（１）g（x）＝（x＋a）２—a２图象的对称轴为直线x＝—a，因为g（x）在[—３，３]上是单调函数，所以—a≥３或—a≤—３，即a≤—３或a≥３．故a的取值范围为（—∞，—３]∪[３，＋∞）．（２）当a＝—１时，f（g（x））＝２错误!（—３≤x≤３）．令u＝x２—２x，y＝２u.因为x∈[—３，３]，所以u＝x２—２x＝（x—１）２—１∈[—１，１５]．而y＝２u是增函数，所以错误!≤y≤２１５，所以函数y＝f（g（x））的值域是错误!.[综合题组练]１．（２0２0·辽宁大连第一次（３月）双基测试）函数y＝错误!（x∈R）的值域为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（0，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．错误!解析：选Ｂ．y＝错误!＝错误!＝１—错误!，因为２x>0，所以１＋２x>１，所以0<错误!<１，—１<—错误!<0，0<１—错误!<１，即0<y<１，所以函数y的值域为（0，１），故选Ｂ．２．已知函数f（x）＝a x（a>0，a≠１）在区间[—１，２]上的最大值为8，最小值为m.若函数g（x）＝（３—１0m）错误!是单调递增函数，则a＝．解析：根据题意，得３—１0m>0，解得m<错误!；当a>１时，函数f（x）＝a x在区间[—１，２]上单调递增，最大值为a２＝8，解得a＝２错误!，最小值为m＝a—１＝错误!＝错误!>错误!，不合题意，舍去；当0<a<１时，函数f（x）＝a x在区间[—１，２]上单调递减，最大值为a—１＝8，解得a＝错误!，最小值为m＝a２＝错误!<错误!，满足题意．综上，a＝错误!.答案：错误!３．已知定义域为R的函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求a，b的值；（２）解关于t的不等式f（t２—２t）＋f（２t２—１）<0．解：（１）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即错误!＝0，解得b＝１，所以f（x）＝错误!.又由f（１）＝—f（—１）知错误!＝—错误!，解得a＝２．（２）由（１）知f（x）＝错误!＝—错误!＋错误!.由上式易知f（x）在（—∞，＋∞）上为减函数（此处可用定义或导数法证明函数f（x）在R上是减函数）．又因为f（x）是奇函数，所以不等式f（t２—２t）＋f（２t２—１）<0等价于f（t２—２t）<—f（２t２—１）＝f（—２t２＋１）．所以t２—２t>—２t２＋１即３t２—２t—１>0．解得t>１或t<—错误!，所以该不等式的解集为错误!.。

§2.9函数模型及其应用1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (3)不存在x 0，使000log x n a ax x <<.( × )(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%.( × )(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )(6)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )1．(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.2．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5千米处 B ．4千米处 C ．3千米处 D ．2千米处答案 A解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A.3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.4．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.题型一 二次函数模型例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系． (1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围．解 (1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h ≥1， 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4， 将A (2,3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1. ∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y ＝－(x －3)2＋4.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4 得ah 2＝－1，所以a ＝－1h2.由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h 2[x －(2＋h )]2＋4，则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1h2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43.所以达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，43]．思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定要注意函数的定义域．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台答案 C解析 设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2) ＝0.1x 2＋5x －3 000 (0<x <240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型例2 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)(2)里氏震级M 的计算公式：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． A ．6 1 000 B ．4 1000 C ．6 10 000 D ．4 10 000 答案 (1)5 (2)C解析 (1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19. ∴x 最小为5.(2)由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级． 设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4. ∴A 1A 2＝104＝10 000， ∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．思维升华 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12k e ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 题型三 分段函数模型例3 中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强国．为响应中央号召．某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内(以30天计)，民族文化旅游人数f (x )(万人)与时间x (天)的函数关系近似满足f (x )＝4(1＋1x )，人均消费g (x )(元)与时间x (天)的函数关系近似满足g (x )＝104－|x －23|.(1)求该市旅游日收益p (x )(万元)与时间x (1≤x ≤30，x ∈N *)的函数关系式；(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资．解 (1)由题意知p (x )＝f (x )g (x )＝4(1＋1x)(104－|x －23|)(1≤x ≤30，x ∈N *)．(2)由p (x )＝⎩⎨⎧4(1＋1x)(81＋x )(1≤x ≤23，x ∈N *)，4(1＋1x )(127－x )(23<x ≤30，x ∈N *).①当1≤x ≤23时，p (x )＝4(1＋1x )(81＋x )＝4(82＋x ＋81x )≥4(82＋2x ·81x)＝400， 当且仅当x ＝81x，即x ＝9时p (x )取得最小值400.②当23<x ≤30时，p (x )＝4(1＋1x )(127－x )＝4(126＋127x －x )．设h (x )＝127x －x ，则有h ′(x )＝－127x 2－1<0， 所以h (x )在(23,30]上为减函数，则p (x )在(23,30]上也是减函数，所以当x ＝30时，p (x )min ＝4(126＋12730－30)＝4001415>400. 所以当x ＝9时，p (x )取得最小值400万元．则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%＝648>600，所以600万元的投资可以在两年内收回．思维升华 (1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同．分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n ≤10)，100 (10<n ≤15)，200 (15<n ≤20)，300 (20<n ≤25)，400 (n >25).现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) A ．600元 B ．900元 C ．1 600元 D ．1 700元答案 D解析 ∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D.函数应用问题典例：(12分)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量x (x ∈N *,80≤x ≤100)件之间的关系如下表所示：其中p (x )＝1a －x (a 为常数)．已知生产一件正品盈利k 元，生产一件次品损失k3元(k 为给定常数)．(1)求出a ，并将该厂的日盈利额y (元)表示为日生产量x (件)的函数； (2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？思维点拨 (1)首先根据图表确定次品率p (x )，利用“日盈利额＝正品盈利总额－次品损失总额”求出y 关于x 的函数；(2)求第(1)步建立函数模型的最大值． 解 (1)根据列表数据可得a ＝108，所以p (x )＝1108－x(x ∈N *,80≤x ≤100)，[2分]由题意，当日产量为x 时，次品数为1108－x ·x ，正品数为(1－1108－x )·x ，[3分]所以y ＝(1－1108－x )·x ·k －1108－x ·x ·13k ，[5分] 整理得y ＝13kx (3－4108－x )(x ∈N *,80≤x ≤100)．[6分](2)令t ＝108－x ，t ∈[8,28]，t ∈N *.[7分] 则y ＝13k (108－t )(3－4t )＝13k [328－3(t ＋144t)]≤13k (328－3×2·t ·144t )＝2563k .[10分] 当且仅当t ＝144t ，即t ＝12时取得最大盈利，此时x ＝96.答 为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件．[12分]答题模板解函数应用题的一般程序第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．温馨提醒 (1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p (x )，再求日盈利额关于日产量x 的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.方法与技巧1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原． 失误与防范1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元 D ．108元答案 D解析 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )答案 B解析 根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨 答案 B解析 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2 x 10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.4.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( ) A ．10元 B ．20元 C ．30元 D.403元 答案 A解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32. 因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．6．如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程为________cm.答案 11解析 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11. 7．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt ＝18a ， e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.9．某地上 年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)． 把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4,20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52， 故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2， 0<x ≤4，－18x ＋52， 4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0<x ≤4，－18x 2＋52x ， 4<x ≤20， 当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008，f (x )max ＝f (10)＝12.5. 所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00答案 C解析 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)分别代入 可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x . ∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4，400－20x ， 4<x ≤20.由y ≥240， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤480x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧ 4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.12．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10答案 A解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2. 13．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1C ．aD ．a －1答案 B解析 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－b b＝(1＋a )12－1. 14．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．答案 7解析 设第n (n ∈N *)年的年产量为a n ，则a 1＝12×1×2×3＝3；当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2.又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n ∈N *，故最长的生产期限为7年．15．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x＋1 450－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)， ∴L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N *)，1 200－(x ＋10 000x )(x ≥80，x ∈N *).(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当x ＝10 000x，即x ＝100时， L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000， 即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.。

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

一、知识梳理１．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x）（x∈A）对应f：A→B是一个映射（１）函数的定义域、值域在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（２）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（３）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．３．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、习题改编１．（必修１P２３练习T２改编）下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）答案：C２．（必修１P１8例２改编）下列哪个函数与y＝x相等（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝２log２xＣ．y＝错误!Ｄ．y＝（错误!）３答案：D一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（）（２）函数f（x）＝x２—２x与g（t）＝t２—２t是同一函数．（）（３）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（）（４）函数f（x）的图象与直线x＝１最多有一个交点．（）（５）分段函数是由两个或几个函数组成的．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）√（５）×二、易错纠偏错误!（１）对函数概念理解不透彻；（２）解分段函数不等式忽视范围．１．下列函数中，与函数y＝x＋１是相等函数的是（）Ａ．y＝（错误!）２Ｂ．y＝３错误!＋１Ｃ．y＝错误!＋１Ｄ．y＝错误!＋１解析：选Ｂ．对于Ａ．函数y＝（错误!）２的定义域为{x|x≥—１}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于Ｂ．定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于Ｃ．函数y＝错误!＋１的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋１的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．２．设函数f（x）＝错误!则使得f（x）≥１的自变量x的取值范围为．解析：当x<１时，|x|≥１，所以x≥１或x≤—１．所以x≤—１；当x≥１时，３x—５≥１，所以x≥２．所以x≥２；所以x的取值范围为（—∞，—１]∪[２，＋∞）．答案：（—∞，—１]∪[２，＋∞）函数的定义域（多维探究）角度一求函数的定义域（２0２0·辽宁鞍山一中一模）函数f（x）＝错误!＋ln（２x＋１）的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】要使函数f（x）有意义，需满足错误!解得—错误!<x<２．所以函数f（x）的定义域为错误!.故选Ｄ．【答案】D错误!求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式（组）求解已知函数的具体表达式，求f（x）的定义域转移法若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a<g（x）<b即可求出y＝f（g（x））的已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域定义域若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二已知函数的定义域求参数若函数f（x）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是．【解析】由题意可得mx２＋mx＋１≥0对x∈R恒成立．当m＝0时，１≥0恒成立；当m≠0时，则错误!解得0<m≤４．综上可得0≤m≤４．【答案】[0，４]错误!已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．１．函数f（x）＝错误!＋ln（２x—x２）的定义域为（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，２）Ｄ．[１，２]解析：选Ｂ．要使函数有意义，则错误!解得１<x<２．所以函数f（x）＝错误!＋ln（２x—x２）的定义域为（１，２）．２．如果函数f（x）＝ln（—２x＋a）的定义域为（—∞，１），那么实数a的值为（）Ａ．—２Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｄ．因为—２x＋a>0，所以x<错误!，所以错误!＝１，所以a＝２．３．（２0２0·山东安丘质量检测）已知函数f（x）的定义域为[0，２]，则函数g（x）＝f错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．[0，３] Ｂ．[0，２]Ｃ．[１，２] Ｄ．[１，３]解析：选Ａ．由题意，可知x满足错误!解得0≤x≤３，即函数g（x）的定义域为[0，３]，故选Ａ．函数的解析式（师生共研）（１）已知f错误!＝lg x，则f（x）的解析式为．（２）若f（x）为二次函数且f（0）＝３，f（x＋２）—f（x）＝４x＋２，则f（x）的解析式为．（３）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，则f（x）的解析式为．【解析】（１）（换元法）令错误!＋１＝t，由于x>0，所以t>１且x＝错误!，所以f（t）＝lg错误!，即f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!（x>１）．（２）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝３．所以f（x）＝ax２＋bx＋３，所以f（x＋２）—f（x）＝a（x＋２）２＋b（x＋２）＋３—（ax２＋bx＋３）＝４ax＋４a＋２b＝４x＋２．所以错误!所以错误!所以所求函数的解析式为f（x）＝x２—x＋３．（３）（解方程组法）因为２f（x）＋f（—x）＝２x，１将x换成—x得２f（—x）＋f（x）＝—２x，２由１２消去f（—x），得３f（x）＝6x，所以f（x）＝２x.【答案】（１）f（x）＝lg错误!（x＞１）（２）f（x）＝x２—x＋３（３）f（x）＝２x 错误!求函数解析式的４种方法１．（一题多解）已知二次函数f（２x＋１）＝４x２—6x＋５，则f（x）＝．解析：法一（换元法）：令２x＋１＝t（t∈R），则x＝错误!，所以f（t）＝４错误!错误!—6·错误!＋５＝t２—５t＋9（t∈R），所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．法二（配凑法）：因为f（２x＋１）＝４x２—6x＋５＝（２x＋１）２—１0x＋４＝（２x＋１）２—５（２x＋１）＋9，所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．法三（待定系数法）：因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），则f（２x＋１）＝a（２x＋１）２＋b（２x＋１）＋c＝４ax２＋（４a＋２b）x＋a＋b＋c.因为f（２x＋１）＝４x２—6x＋５，所以错误!解得错误!所以f（x）＝x２—５x＋9（x∈R）．答案：x２—５x＋9（x∈R）２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋１）＝２f（x）．若当0≤x≤１时，f（x）＝x（１—x），则当—１≤x≤0时，f（x）＝．解析：因为—１≤x≤0，所以0≤x＋１≤１，所以f（x）＝错误!f（x＋１）＝错误!（x＋１）[１—（x ＋１）]＝—错误!x（x＋１）．故当—１≤x≤0时，f（x）＝—错误!x（x＋１）．答案：—错误!x（x＋１）分段函数（多维探究）角度一求分段函数的函数值（１）（２0２0·合肥一检）已知函数f（x）＝错误!则f（f（１））＝（）Ａ．—错误!Ｂ．２Ｃ．４Ｄ．１１（２）（２0２0·山西太原三中模拟）设函数f（x）＝错误!若f（m）＝３，则f错误!＝．【解析】（１）因为f（１）＝１２＋２＝３，所以f（f（１））＝f（３）＝３＋错误!＝４．故选Ｃ．（２）当m≥２时，m２—１＝３，所以m＝２或m＝—２（舍）；当0<m<２时，log２m＝３，所以m＝8（舍）．所以m＝２．所以f错误!＝f错误!＝log２错误!＝—１．【答案】（１）C （２）—１错误!分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f （a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二分段函数与方程、不等式问题（１）（一题多解）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）A．２Ｂ．４C．6 Ｄ．8（２）（一题多解）（２0１8·高考全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝错误!，则满足f（x＋１）<f（２x）的x的取值范围是（）Ａ．（—∞，—１] Ｂ．（0，＋∞）Ｃ．（—１，0）Ｄ．（—∞，0）【解析】（１）法一：当0＜a＜１时，a＋１＞１，所以f（a）＝错误!，f（a＋１）＝２（a＋１—１）＝２a.由f（a）＝f（a＋１）得错误!＝２a，所以a＝错误!.此时f错误!＝f（４）＝２×（４—１）＝6．当a≥１时，a＋１＞１，所以f（a）＝２（a—１），f（a＋１）＝２（a＋１—１）＝２a.由f（a）＝f（a＋１）得２（a—１）＝２a，无解．综上，f错误!＝6，故选Ｃ．法二：因为当0＜x＜１时，f（x）＝错误!，为增函数，当x≥１时，f（x）＝２（x—１），为增函数，又f（a）＝f（a＋１），所以错误!＝２（a＋１—１），所以a＝错误!.所以f错误!＝f（４）＝6．（２）法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x）即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x）即１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１，0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．故选Ｄ．法二：因为f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图可知，当x＋１≤0且２x≤0时，函数f（x）为减函数，故f（x＋１）＜f（２x）转化为x＋１＞２x.此时x≤—１．当２x＜0且x＋１＞0时，f（２x）＞１，f（x＋１）＝１，满足f（x＋１）＜f（２x）．此时—１＜x＜0．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，—１]∪（—１，0）＝（—∞，0）．故选Ｄ．【答案】（１）C （２）D错误!有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．１．已知f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!的值等于（）Ａ．—２Ｂ．４Ｃ．２Ｄ．—４解析：选Ｂ．由题意得f错误!＝２×错误!＝错误!.f错误!＝f错误!＝f错误!＝２×错误!＝错误!.所以f错误!＋f错误!＝４．２．已知函数f（x）＝错误!若a[f（a）—f（—a）]>0，则实数a的取值范围为（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．（２，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）∪（２，＋∞）解析：选Ｄ．当a>0时，不等式a[f（a）—f（—a）]>0可化为a２＋a—３a>0，解得a>２．当a<0时．不等式a[f（a）—f（—a）]>0可化为—a２—２a<0，解得a<—２．综上所述，a的取值范围为（—∞，—２）∪（２，＋∞）．３．（２0２0·安徽安庆二模）已知函数f（x）＝错误!若实数a满足f（a）＝f（a—１），则f错误!＝．解析：由题意得a>0．当0<a<１时，由f（a）＝f（a—１），即２a＝错误!.解得a＝错误!，则f错误!＝f（４）＝8，当a≥１时，由f（a）＝f（a—１），得２a＝２（a—１），无解．答案：8核心素养系列２数学抽象——函数的新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．（２0２0·广东深圳３月模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f（x）的图象恰好经过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．给出下列函数：１f（x）＝sin ２x；２g（x）＝x３；３h（x）＝错误!错误!；４φ（x）＝ln x.其中是一阶整点函数的是（）Ａ．１２３４Ｂ．１３４Ｃ．１４Ｄ．４【解析】对于函数f（x）＝sin ２x，它的图象（图略）只经过一个整点（0，0），所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g（x）＝x３，它的图象（图略）经过整点（0，0），（１，１），…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h（x）＝错误!错误!，它的图象（图略）经过整点（0，１），（—１，３），…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选Ｃ．【答案】C错误!本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f（x）的图象恰好经过１个整点，问题便迎刃而解.１．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x２＋１，值域为{１，３}的同族函数有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．由x２＋１＝１得x＝0，由x２＋１＝３得x＝±错误!，所以函数的定义域可以是{0，错误!}，{0，—错误!}，{0，错误!，—错误!}，故值域为{１，３}的同族函数共有３个．２．若函数f（x）同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：（１）∀x∈R，都有f（—x）＋f（x）＝0；（２）∀x１，x２∈R，且x１≠x２，都有错误!<0．１f（x）＝sin x；２f（x）＝—２x３；３f（x）＝１—x；以上三个函数中，是“优美函数”．解析：由条件（１），得f（x）是R上的奇函数，由条件（２），得f（x）是R上的单调递减函数．对于１，f（x）＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于２，f（x）＝—２x３既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于３，f（x）＝１—x不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：２[基础题组练]１．函数y＝错误!的定义域为（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．[１，＋∞）Ｃ．（１，２）∪（２，＋∞）Ｄ．（１，２）∪[３，＋∞）解析：选Ｃ．由ln（x—１）≠0，得x—１>0且x—１≠１．由此解得x>１且x≠２，即函数y＝错误!的定义域是（１，２）∪（２，＋∞）．２．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a等于（）A．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｂ．令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，所以f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，所以f（a）＝４a—１＝6，即a＝错误!.３．（２0２0·江西南昌一模）设函数f（x）＝错误!则f（５）的值为（）Ａ．—7 Ｂ．—１Ｃ．0 Ｄ．错误!解析：选Ｄ．f（５）＝f（５—３）＝f（２）＝f（２—３）＝f（—１）＝（—１）２—２—１＝错误!.故选Ｄ．４．已知f错误!＝错误!＋错误!，则f（x）等于（）Ａ．（x＋１）２（x≠１）Ｂ．（x—１）２（x≠１）Ｃ．x２—x＋１（x≠１）Ｄ．x２＋x＋１（x≠１）解析：选Ｃ．f错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!＋１，令错误!＝t（t≠１），则f（t）＝t２—t＋１，即f（x）＝x２—x＋１（x≠１）．５．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝，函数f（x）的值域是．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!—２＝—错误!.当x>１时，f（x）∈（0，１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）6．若函数f（x）在闭区间[—１，２]上的图象如图所示，则此函数的解析式为．解析：由题图可知，当—１≤x<0时，f（x）＝x＋１；当0≤x≤２时，f（x）＝—错误!x，所以f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!7．已知f（x）＝错误!则使f（x）≥—１成立的x的取值范围是．解析：由题意知错误!或错误!解得—４≤x≤0或0＜x≤２，故x的取值范围是[—４，２]．答案：[—４，２]8．设函数f（x）＝错误!且f（—２）＝３，f（—１）＝f（１）．（１）求f（x）的解析式；（２）画出f（x）的图象．解：（１）由f（—２）＝３，f（—１）＝f（１）得错误!解得a＝—１，b＝１，所以f（x）＝错误!（２）f（x）的图象如图所示．[综合题组练]１．（２0２0·海淀期末）下列四个函数：１y＝３—x；２y＝２x—１（x>0）；３y＝x２＋２x—１0；４y＝错误!其中定义域与值域相同的函数的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｂ．１y＝３—x的定义域与值域均为R，２y＝２x—１（x>0）的定义域为（0，＋∞），值域为错误!，３y＝x２＋２x—１0的定义域为R，值域为[—１１，＋∞），４y＝错误!的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是１４，共有２个，故选Ｂ．２．（创新型）设f（x），g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f·g）（x）：∀x∈R，（f·g）（x）＝f（g（x））．若f（x）＝错误!g（x）＝错误!则（）Ａ．（f·f）（x）＝f（x）Ｂ．（f·g）（x）＝f（x）Ｃ．（g·f）（x）＝g（x）Ｄ．（g·g）（x）＝g（x）解析：选Ａ．对于A，（f·f）（x）＝f（f（x））＝错误!当x>0时，f（x）＝x>0，（f·f）（x）＝f（x）＝x；当x<0时，f（x）＝x２>0，（f·f）（x）＝f（x）＝x２；当x＝0时，（f·f）（x）＝f２（x）＝0＝0２，因此对任意的x∈R，有（f·f）（x）＝f（x），故A正确，选Ａ．３．（２0２0·宁夏银川一中一模）已知函数f（x）＝错误!则f（x＋１）—9≤0的解集为．解析：因为f（x）＝错误!所以当x＋１≤0时，错误!解得—４≤x≤—１；当x＋１>0时，错误!解得x>—１．综上，x≥—４，即f（x＋１）—9≤0的解集为[—４，＋∞）．答案：[—４，＋∞）４．（创新型）设函数f（x）的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f（y）＝—f（x）成立，则称函数f（x）为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：１f（x）＝x２；２f（x）＝错误!；３f（x）＝ln（２x＋３）；４f（x）＝２sin x—１．其中是“美丽函数”的序号有．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f（x）与y所对应的函数值f（y）互为相反数，即f（y）＝—f（x）．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．１中函数的值域为[0，＋∞），值域不关于原点对称，故１不符合题意；２中函数的值域为（—∞，0）∪（0，＋∞），值域关于原点对称，故２符合题意；３中函数的值域为（—∞，＋∞），值域关于原点对称，故３符合题意；４中函数f（x）＝２sin x—１的值域为[—３，１]，不关于原点对称，故４不符合题意．故本题正确答案为２３．答案：２３。

1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值肯定是4ac －b 24a.( × ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不行能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 打算了图象的开口方向和在同始终角坐标系中的开口大小．( √ ) (4)函数y ＝2x 12是幂函数．( × )(5)假如幂函数的图象与坐标轴相交，则交点肯定是原点．( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2) 答案 B解析 ∵方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m 2－4×14×1>0，即m 2>1，解得m <－1或m >1，故选B.2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.3．函数y ＝x 13的图象是( )答案 B解析 明显f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ；当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合．4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减． 答案 y ＝x －12(0，＋∞)题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解 方法一 (利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又依据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.思维升华 求二次函数的解析式，关键是机敏选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，依据二次函数的性质进行求解．(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________________________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)f (x )＝12x 2－2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.∴f (x )＝12x 2－2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型二 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的单调性例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x >0，其图象如图所示．又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数． 命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2,3]，则函数f (x )的最大值为________. 答案 8解析 f (x )＝(x －1)2－1，∵－2≤x ≤3(如图)， ∴[f (x )]max ＝f (－2)＝8. 引申探究已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值． 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不肯定在区间[－2，a ]内，∴应进行争辩，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ， 当a >1时，y min ＝－1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 (1)由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，由于1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 (1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，依据函数的单调性及分类争辩的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分别参数；二是不分别参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分别．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 由于y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三 幂函数的图象和性质例5 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1C.32D ．2 (2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 (1)C (2)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)由于函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上所述，5－12≤m <2.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(1)已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)－1 (2)[－1，23)解析 (1)∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解之得－1≤a <23.3．分类争辩思想在二次函数最值中的应用典例 (12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．思维点拨 参数a 的值确定f (x )图象的外形；a ≠0时，函数f (x )的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系． 规范解答解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分](2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.[3分]①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.[6分]②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[9分](3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[11分]综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a ，a ≥1.[12分]温馨提示 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类争辩思想，求解中既对系数a 的符号进行争辩，又对对称轴进行争辩．在分类争辩时要遵循分类的原则：一是分类的标准要全都，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避开分类，绝不无原则的分类争辩．(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类争辩．[方法与技巧]1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更便利． 2．争辩二次函数的性质要留意： (1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类争辩． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必需结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较． [失误与防范]1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必需满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要争辩a ＝0和a ≠0两种状况．2．幂函数的图象肯定会消灭在第一象限内，肯定不会消灭在第四象限，至于是否消灭在其次、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时消灭在两个象限内；假如幂函数图象与坐标轴相交，则交点肯定是原点．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．假如函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4 D ．a ≥－4答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.2．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2答案 B解析 f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.3．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，且f (m )<0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0 D ．f (m ＋1)<0答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，∴f (x )的大致图象如图所示． 由f (m )<0，得－1<m <0， ∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.4．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 5．二次函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x )>0的解集为( ) A ．(－3,1) B ．(－lg3,0) C.⎝⎛⎭⎫11000，1 D ．(－∞，0)答案 D解析 由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋32 (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，∵f ′(x )＝－x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－1，b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1，∴f (x )＝－12x 2－x ＋32，令f (x )>0，得－3<x <1，∵10x >0，∴不等式f (10x )>0可化为0<10x <1，∴x <0，故选D.6．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.7．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)由于f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .由于方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )． (1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2. (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2. B 组 专项力量提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 函数的对称轴为x ＝－1， 设x 0＝x 1＋x 22，由0<a <3得到－1<1－a 2<12.又x 1<x 2，用单调性和离对称轴的远近作推断得f (x 1)<f (x 2)．12．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．13．已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫23＝________. 答案 －19解析 由题意得：|f (0)|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1； |f (1)|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1， ∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝－19. 14．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，则t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2. 15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

基础知识整合１．函数的单调性（１）增函数与减函数一般地，设函数f（x）的定义域为I：１如果对于定义域I内某个区间D上的错误!任意两个自变量的值x１，x２，当x１<x２时，都有f（x１）<f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是错误!增函数．２如果对于定义域I内某个区间D上的错误!任意两个自变量的值x１，x２，当x１<x２时，都有f（x１）>f （x２），那么就说函数f（x）在区间D上是错误!减函数．（２）单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）错误!单调性，区间D叫做y＝f（x）的错误!单调区间．２．函数的最值（１）最大值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：１对于任意的x∈I，都有错误!f（x）≤M；２存在x0∈I，使得错误!f（x0）＝M.那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值．（２）最小值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数N满足：１对于任意的x∈I，都有错误!f（x）≥N；２存在x0∈I，使得错误!f（x0）＝N.那么我们称N是函数y＝f（x）的最小值．１．对勾函数y＝x＋错误!（a>0）的增区间为（—∞，—错误!]和[错误!，＋∞）；减区间为[—错误!，0）和（0，错误!]，且对勾函数为奇函数．２．设∀x１，x２∈D（x１≠x２），则１x１—x２>0（<0），f（x１）—f（x２）>0（<0）⇔f（x）在D上单调递增；x１—x２>0（<0），f （x１）—f（x２）<0（>0）⇔f（x）在D上单调递减；２错误!>0（或（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]>0）⇔f（x）在D上单调递增；３错误!<0（或（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]<0）⇔f（x）在D上单调递减．１．下列函数中，在区间（—∞，0）上是减函数的是（）Ａ．y＝１—x２Ｂ．y＝x２＋xＣ．y＝—错误!Ｄ．y＝错误!答案D解析选项D中，y＝错误!＝１＋错误!.易知其在（—∞，１）上为减函数．故选Ｄ．２．（２0１9·信阳模拟）函数y＝—２x２—４ax＋３在区间[—４，—２]上是单调函数，则a的取值范围是（）Ａ．（—∞，１] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．（—∞，２]∪[４，＋∞）Ｄ．（—∞，１]∪[２，＋∞）答案C解析函数y＝—２x２—４ax＋３的图象的对称轴为x＝—a，由题意可得—a≤—４或—a≥—２，解得a≤２或a≥４，故选Ｃ．３．若函数f（x）＝|２x＋a|的单调递增区间是[３，＋∞），则a的值为（）Ａ．—２Ｂ．２C．—6 Ｄ．6答案C解析由图象易知函数f（x）＝|２x＋a|的单调增区间是错误!，令—错误!＝３，所以a＝—6．故选Ｃ．４．已知函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，若f（a２—a）>f（a＋３），则实数a的取值范围为________．答案（—３，—１）∪（３，＋∞）解析由已知可得错误!解得—３<a<—１或a>３，所以实数a的取值范围为（—３，—１）∪（３，＋∞）．５．（２0１9·衡水模拟）函数f（x）＝错误!（x≥２）的最大值为________．答案２解析f（x）＝错误!＝错误!＝１＋错误!，∵x≥２，∴x—１≥１,0<错误!≤１，∴１＋错误!∈（１,２]，故当x＝２时，函数f（x）＝错误!取得最大值２．6．（２0１9·浙江模拟）已知函数f（x）＝错误!则f[f（—３）]＝________，f（x）的最小值是________．答案0 ２错误!—３解析∵f（—３）＝lg [（—３）２＋１]＝lg １0＝１，∴f[f（—３）]＝f（１）＝１＋２—３＝0．当x≥１时，x＋错误!—３≥２错误!—３＝２错误!—３，当且仅当x＝错误!，即x＝错误!时等号成立，此时f（x）min＝２错误!—３<0；当x<１时，lg （x２＋１）≥lg （0２＋１）＝0，此时f（x）min＝0．所以f（x）的最小值为２错误!—３．核心考向突破考向一确定函数的单调区间例１求下列函数的单调区间：（１）y＝—x２＋２|x|＋１；（２）y＝log错误!（x２—３x＋２）．解（１）由于y＝错误!即y＝错误!画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为（—∞，—１]和[0,１]，单调递减区间为[—１，0]和[１，＋∞）．（２）令u＝x２—３x＋２，则原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x２—３x＋２的复合函数．令u＝x２—３x＋２>0，则x<１或x>２．∴函数y＝log错误!（x２—３x＋２）的定义域为（—∞，１）∪（２，＋∞）．又∵u＝x２—３x＋２的对称轴x＝错误!，且开口向上，∴u＝x２—３x＋２在（—∞，１）上是单调减函数，在（２，＋∞）上是单调增函数．而y＝log错误!u在（0，＋∞）上是单调减函数，∴y＝log错误!（x２—３x＋２）的单调递减区间为（２，＋∞），单调递增区间为（—∞，１）．确定函数单调性的方法（１）定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．错误!错误!即时训练１．求出下列函数的单调区间：（１）f（x）＝|x２—４x＋３|；（２）f（x）＝错误! .解（１）先作出函数y＝x２—４x＋３的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x２—４x＋３|的图象．如图所示．由图可知f（x）在（—∞，１]和[２,３]上为减函数，在[１,２]和[３，＋∞）上为增函数，故f（x）的增区间为[１,２]，[３，＋∞），减区间为（—∞，１]，[２,３]．（２）∵３—２x—x２>0，∴—３<x<１．由二次函数图象（图略）可知f（x）的递减区间是（—３，—１]，递增区间为[—１,１）．考向二函数单调性的应用角度１利用函数的单调性比较大小例２（１）（２0１9·长沙模拟）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，则f（—１）与f（a ２—２a＋３）的大小关系是（）Ａ．f（—１）≥f（a２—２a＋３）Ｂ．f（—１）＝f（a２—２a＋３）Ｃ．f（—１）>f（a２—２a＋３）Ｄ．f（—１）<f（a２—２a＋３）答案D解析a２—２a＋３＝（a—１）２＋２≥２，由偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，可得f（—１）＝f（１）<f（a２—２a＋３），故选Ｄ．（２）（２0１9·大同模拟）设函数f（x）＝x２＋x＋a（a>0）满足f（m）<0，则（）Ａ．f（m＋１）＝0 Ｂ．f（m＋１）≤0Ｃ．f（m＋１）>0 Ｄ．f（m＋１）<0答案C解析∵f（x）图象的对称轴为x＝—错误!，f（0）＝f（—１）＝a，∴f（x）的大致图象如图所示．结合图象，由f（m）<0，得—１<m<0，∴m＋１>0，∴f（m＋１）>f（0）>0．故选Ｃ．角度２利用函数的单调性解不等式例３（１）（２0１9·长春模拟）f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f （y），f（３）＝１，当f（x）＋f（x—8）≤２时，x的取值范围是（）Ａ．（8，＋∞）Ｂ．（8,9] Ｃ．[8,9] Ｄ．（0,8）答案B解析２＝１＋１＝f（３）＋f（３）＝f（9），由f（x）＋f（x—8）≤２，可得f[x（x—8）]≤f（9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8<x≤9．（２）函数y＝f（x）是R上的增函数，且y＝f（x）的图象经过点A（—２，—３）和B（１,３），则不等式|f（２x—１）|<３的解集为________．答案错误!解析因为y＝f（x）的图象经过点A（—２，—３）和B（１,３），所以f（—２）＝—３，f（１）＝３．又|f（２x—１）|<３，所以—３<f（２x—１）<３，即f（—２）<f（２x—１）<f（１）．因为函数y＝f（x）是R上的增函数，所以—２<２x—１<１，即错误!即错误!所以—错误!<x<１．角度３利用函数的单调性求参数例４（１）（２0１9·太原模拟）若f（x）＝—x２＋４mx与g（x）＝错误!在区间[２,４]上都是减函数，则m的取值范围是（）Ａ．（—∞，0）∪（0,１] Ｂ．（—１,0）∪（0,１]Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．（0,１]答案D解析函数f（x）＝—x２＋４mx的图象开口向下，且以直线x＝２m为对称轴，若在区间[２,４]上是减函数，则２m≤２，解得m≤１；g（x）＝错误!的图象由y＝错误!的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[２,４]上是减函数，则２m>0，解得m>0．综上可得，m的取值范围是（0,１]．故选Ｄ．（２）已知f（x）＝错误!是（—∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析由f（x）在R上单调递减，则有错误!解得错误!≤a<错误!.触类旁通函数单调性应用问题的解题策略（１）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．２在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.３利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练２．（２0１9·商丘模拟）若f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，且对任意的x１，x２∈[0，＋∞）且x１≠x２，有错误!<0，则（）Ａ．f（３）<f（１）<f（—２）Ｂ．f（３）<f（—２）<f（１）Ｃ．f（—２）<f（１）<f（３）Ｄ．f（１）<f（—２）<f（３）答案B解析∵对任意的x１，x２∈[0，＋∞）且x１≠x２，有错误!<0，∴当x≥0时，函数f（x）为减函数，∴f（３）<f（２）<f（１），又f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的偶函数，∴f（３）<f（—２）<f（１）．故选Ｂ．３．（２0１9·曲阜师大附中质检）已知函数f（x）＝logax（a>0且a≠１）满足f（a＋１）>f（a＋２），则f（２x—３）>0的解集是（）Ａ．（—∞，２）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（２，＋∞）答案C解析因为函数f（x）＝logax（a>0且a≠１）满足f（a＋１）>f（a＋２），所以0<a<１，则函数f （x）＝logax（0<a<１）是减函数，所以f（２x —３）>0可化为0<２x—３<１，求解可得错误!<x<２，故选Ｃ．４．（２0１8·山东泰安模拟）已知函数f（x）＝错误!是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，＋∞）Ｂ．[４,8）Ｃ．（４,8）Ｄ．（１,8）答案B解析由f（x）在R上单调递增，则有错误!解得４≤a<8．考向三函数的最值（值域）问题例５（１）函数y＝错误!的值域是________．答案（—１,１]解析（分离常数法）因为y＝错误!＝—１＋错误!，又因为１＋x２≥１，所以0<错误!≤２，所以—１<—１＋错误!≤１，所以函数的值域为（—１,１]．（２）（２0１9·福建厦门质检）函数f（x）＝错误!x—log２（x＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________．答案３解析（单调性法）由于y＝错误!x在R上递减，y＝log２（x＋２）在[—１,１]上单调递增，所以f（x）在[—１,１]上单调递减，故f（x）在[—１,１]上的最大值为f（—１）＝３．（３）函数f（x）＝x＋错误!的值域为________．答案（—∞，１]解析（代数换元法）函数的定义域为错误!.令t＝错误!（t≥0），则x＝错误!.所以y＝错误!＋t＝—错误!（t—１）２＋１（t≥0），故当t＝１（即x＝0）时，y有最大值１，故函数f（x）的值域为（—∞，１]．（４）函数f（x）＝３x＋错误!，x∈[１,２]的值域为________．答案[５,7]解析解法一：（基本不等式）f（x）＝３错误!x＋错误!错误!，易证f（x）在错误!上是增函数．∴f（x）在[１,２]上为增函数，从而得值域为[５,7]．解法二：（导数法）f′（x）＝３—错误!，当１≤x≤２时，f′（x）>0，∴f（x）在[１,２]上为增函数，又f（１）＝５，f（２）＝7．∴f（x）＝３x＋错误!，x∈[１,２]的值域为[５,7]．触类旁通函数值域的几种求解方法（１）分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．错误!错误!４基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.５导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.6换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.即时训练５．（２0１9·莱州质检）对于每一个实数x，f（x）是y＝２—x２和y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）的最大值是（）Ａ．２Ｂ．１C．0 Ｄ．—２答案B解析解法一：f（x）＝错误!当x<—２时，函数f（x）的值域为（—∞，—２）；当—２≤x≤１时，函数f（x）的值域为[—２,１]；当x>１时，函数f（x）的值域为（—∞，１）．故函数f（x）的值域为（—∞，１]，所以f（x）max＝１．故选Ｂ．解法二：画出函数f（x）的图象，如图所示：其中A（１,１），B（—２，—２），故当x＝１时，函数f（x）的最大值为１．故选Ｂ．6．函数f（x）＝x＋２错误!的最大值为________．答案２解析设错误!＝t（t≥0），∴x＝１—t２．∴y＝x＋２错误!＝１—t２＋２t＝—t２＋２t＋１＝—（t—１）２＋２．∴当t＝１即x＝0时，ymax＝２．7．已知函数y＝错误!＋错误!的最大值为M，最小值为m，则错误!的值为________．答案错误!解析由题意，得错误!所以函数的定义域为{x|—３≤x≤１}．两边平方，得y２＝４＋２错误!·错误!＝４＋２错误!.所以当x＝—１时，y取得最大值M＝２错误!；当x＝—３或１时，y取得最小值m＝２，所以错误!＝错误!.8．设a，b∈R，a２＋２b２＝6，则a＋b的最小值是________．答案—３解析因为a，b∈R，a２＋２b２＝6，所以令a＝错误!cosα，错误!b＝错误!sinα，α∈R.则a＋b＝错误! cosα＋错误!sinα＝３sin（α＋φ）错误!，所以a＋b的最小值是—３．函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）—１，并且x>0时，恒有f（x）>１．（１）求证：f（x）在R上是增函数；（２）若f（３）＝４，解不等式f（a２＋a—５）<２．解（１）证明：设x１<x２，所以x２—x１>0．因为当x>0时，f（x）>１，所以f（x２—x１）>１，f（x２）＝f[（x２—x１）＋x１]＝f（x２—x１）＋f（x１）—１，所以f（x２）—f（x１）＝f（x２—x１）—１>0⇒f（x１）<f（x２），所以f（x）在R上为增函数．（２）因为m，n∈R，不妨设m＝n＝１，所以f（１＋１）＝f（１）＋f（１）—１⇒f（２）＝２f（１）—１，f（３）＝４⇒f（２＋１）＝４⇒f（２）＋f（１）—１＝４⇒３f（１）—２＝４，所以f（１）＝２，所以f（a２＋a—５）<２＝f（１），因为f（x）在R上为增函数，所以a２＋a—５<１⇒—３<a<２，即原不等式的解集为{a|—３<a<２}．答题启示对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x１，x ２在所给区间内比较f（x１）—f（x２）与0的大小，或错误!与１的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x１＝x２＋x１—x２或x１＝x２·错误!等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．对点训练函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x>0，y>0都有f错误!＝f（x）—f（y），当x>１时，有f （x）>0．（１）求f（１）的值；（２）判断f（x）的单调性并证明；（３）若f（6）＝１，解不等式f（x＋５）—f错误!<２．解（１）f（１）＝f错误!＝f（x）—f（x）＝0，x>0．（２）f（x）在（0，＋∞）上是增函数．证明：设0<x１<x２，则由f错误!＝f（x）—f（y），得f（x２）—f（x１）＝f错误!，因为错误!>１，所以f错误!>0．所以f（x２）—f（x１）>0，即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（３）因为f（6）＝f错误!＝f（３6）—f（6），又f（6）＝１，所以f（３6）＝２，原不等式化为f（x２＋５x）<f（３6），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以错误!解得0<x<４．。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0；当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1. 答案 A2.(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B.答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A.5B.3C.－1D.72解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 答案 A5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 由log a b >1得log a ba >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<ba <1， 则b >a >1或0<b <a <1.故(b －a )(b －1)>0. 答案 D 二、填空题6.设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)7.设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________.解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 答案 328.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a ＞13＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1，2]. 答案 (1，2] 三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.(2016·衡阳月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·青岛质检)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.c >b >a C.c >a >bD.a >c >b解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 答案 B 12.已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析 由题意可知lna 1－a ＋lnb 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1413.(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1). ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。