lxl-解三角形应用题

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考点17 解三角形应用举例一、解答题(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【命题意图】本题考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、三角函数变换等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.【解析】(1)记玻璃棒与CC1的交点为H,则CH=22AH AC-=30,sin∠HAC=34,没入水中的部分为12sin HAC∠=16(cm).答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1⊥平面EFGH,所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH,O 1O ⊥EG.同理,平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1.记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G 1,K 为垂足,则GK =OO 1=32.因为EG =14,E 1G 1=62,所以KG 1=62142-=24,从而GG 1221KG GK +222432+ 设∠EGG 1=α,∠ENG=β,则sin α=sin 12KGG π⎛⎫+∠⎪⎝⎭=cos ∠KGG 1=45. 因为2π<α<π,所以cos α=-35. 在△ENG 中,由正弦定理可得40sin α=14sin β,解得sin β=725. 因为0<β2π所以cos β=2425. 于是sin ∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×2425+35⎛⎫- ⎪⎝⎭×725=45. 记EN 与水面的交点为P 2,过P 2作P 2Q 2⊥EG,Q 2为垂足,则P 2Q 2⊥平面EFGH,故P 2Q 2=12,从而EP 2=22sin P Q NEG∠=20. 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)【反思总结】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,其基本步骤是:第一步:定条件,确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.关闭Word文档返回原板块。

解三角形练习题及答案一、解三角形练习题1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。

2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。

3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。

4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。

5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的大小。

二、解三角形练习题答案1. 解题过程：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。

余弦定理公式为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c)其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。

代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8)= (49 + 64 - 25) / 112= 88 / 112≈ 0.786通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。

2. 解题过程：同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。

代入已知条件可得：cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12)= (81 + 144 - 36) / 216= 189 / 216≈ 0.875通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。

3. 解题过程：同理，利用余弦定理求解角G的大小。

代入已知条件可得：cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7)= (25 + 49 - 25) / 70= 49 / 70≈ 0.7通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。

4. 解题过程：利用余弦定理求解角K的大小。

代入已知条件可得：cos(K) = (10^2 + 12^2 - 8^2) / (2*10*12)= (100 + 144 - 64) / 240= 180 / 240= 3 / 4= 0.75通过反余弦函数，可以得到角K的近似值为 41.4°。

§4.7解三角形的综合应用最新考纲考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求AB 图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝a tan α底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝a tan αtan βtan β－tan α求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝a sin αsin(α＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝a sin αsin(α＋γ)；在△BDC中，BC＝a sin βsin(β＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB知识拓展实际问题中的常用术语1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝ 米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴a sin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22a . 题组三 易错自纠4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC 等于( ) A ．10° B ．50° C ．120° D ．130°答案 D5.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝ .答案32a 解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东，速度的大小为km/h. 答案60°20 3解析如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝203，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m. 答案10 3解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．2.(2017·河南郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝.答案h cos αsin βsin(α－β)解析由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).3．(2018·日照模拟)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为 km. 答案 30 2解析 如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60，由正弦定理得BC sin 30°＝AC sin 45°，∴BC ＝302(km)．思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 求角度问题典例 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的 的方向上．答案 北偏西10°解析 由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上． 题型三 三角形与三角函数的综合问题典例 (2018·石家庄模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． 解 (1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题． 跟踪训练 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分] S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300.[3分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又当t ＝23时，v ＝30，故当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]。

1. 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值21S S 称为“规划合理度”.（1）试用a ,θ表示1S 和2S . （2）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小. 解：（1）、 如图，在ＡＢＣ中，＝设正方形的边长为 则＝…………………………………………………7分（2）、 而＝∵0 < < ,又0 <２ <,０<１ 为减函数当时 取得最小值为此时2.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

【解析】如图，由（1）得103,AC=10,>,,>AC OC OC AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最ABCPQRSCM B高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇，设COD=(0<<90),Rt CODCD θθθ∠∆=则在中，，OD=cos θ，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t =和t =所以1030θ+cos v θ=，解得3,30,sin (+30)+30)2v v θ=≤≥又故，从而30<90,30tan θθθ≤=由于时，取得最小值，且最小值为3，于是 当30θ=时，1030t θ+=取得最小值，且最小值为23。

高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。

【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。

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1。

２应用举例1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据,应当测量的数据是（ )A.α、a、bB.α、β,ａＣ.ａ、b、γＤ．α、β，ｂ2．已知两座灯塔Ａ和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔Ａ在观察站C的北偏东20°方向,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为( )Ａ．ａkm B．3a km Ｃ。

2a km Ｄ．2a km3．某人向东走了ｘ km,然后向右转150°，向新方向走了3 km,结果他离出发点错误! km,则x 的值为＿＿_____＿__．4.在高出海平面200 ｍ的小岛顶上A处，测得位于正西和正东的两船的俯角分别为4５°和30°,此时两船的距离为＿＿_＿＿__＿__.答案:1.C 选择易到达、容易测量的长度a、b和∠γ，然后利用余弦定理求ＡＢ的长度.2．B 如图所示,可知∠ACB＝120°,AＣ＝BC=ａ,在△ABC中，过点C作CＤ⊥ＡB,则AＢ=２AD=2acｏs3０°＝＼r(3）a。

3.错误!或2错误!根据余弦定理知(错误!）２=x２＋3２-2·3·ｘ·cos3０°，解得x=错误!或2错误!.4．200(错误!+1) m 如图，BH=AH＝200 ｍ,而CH=AH·tan６０°＝2０0错误! m,∴两船相距2０0（＼ｒ（3)+1） m．课堂巩固1.两座灯塔A和B到海岸观察站Ｏ的距离相等,灯塔A在观察站沿北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ）A．北偏东10°B．北偏西10° C．南偏东１0°Ｄ．南偏西10°2.如图,Ｄ、C、B三点在地面同一直线上,DC＝a,从Ｃ、D两点测得A点的仰角分别是α、β(α〈β),则点Ａ离地面的高AB等于( )A。

解三角形的实际应用（1)测量高度问题； （2)测量角度问题； （3)测量距离问题； （4)计算三角形面积。

例：习题部分 1、如图1-2-22，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为600，塔基的俯角为450，那么这座塔的高度是（ ）A 、m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33120 B 、m )31(20+ B 、 C 、m )26(10+ D 、m )26(20+2、有一长为10m 的斜坡，倾斜角为750，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为300，则坡底要延长（ ） A 、5m B 、10m C 、m 210 D 、m 3103、一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东150方向，与灯塔S 相距20n miel,随后货轮按北偏西300的方向航行3h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A 、n )26(310+ mile/h B 、n )26(310- mile/h C 、n )36(310+ mile/h D 、n )36(310- mile/h4、海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成600，从B 岛望C 岛和A 岛成750的视角，则B ，C 之间的距离为（ ） A 、n 310 mile B 、n 3610 mile C 、n 25 mile D 、n 65 mile 5、某人向正东方向走x km 后向右转1500，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值是（ ） A 、3 B 、32 C 、32或3 D 、36、如图1-2-23，为了测量某障碍物两侧A ，B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）A 、βα,,,b aB 、αB 、C 、γ,,b aD 、b ,,βα7、已知两座灯塔A 与B 与海洋观测站C 的距离相等，灯塔A 在观测站C 的北偏东400，灯塔B 在观测站C 的南偏东600，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）0 0008、如图1-2-24，从气球A 测得正前方的济南全运会两个体育馆B 、C 的俯角分别为βα、。

解三角形的必备知识和典型例题及习题解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。