首都师大附中2017-2018期末数学参考答案修改版

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为______．13．已知tanθ=3，则=______．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：log a＜1=log a a，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g （x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P 的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A 错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=﹣2或11．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．13．已知tanθ=3，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanθ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，令t=cosx，∵x∈R，∴t∈[﹣1，1]，t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0∴．故答案为a≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得k+和﹣3的坐标，由k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于0，由此解得k的值．（2）由k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．【解答】解：（1）由题意可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣≤π，…∴﹣1≤sin（2x﹣）≤1，…函数f（x）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f（x）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；把（2，2）代入f（x）得2=2sin（+φ），∴cosφ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f（x）=2sin（ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤，解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T≤π＜5T，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣2018年9月28日。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm26．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=______．10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n=，+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且a n 其中k为使a n+1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解．【解答】解：∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a的方程，从而求解．【解答】解：∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点（1，0），以及，缩小ω的范围，根据ω为整数，求出ω的值．【解答】解：由f（x）=cos2（ωx+φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k+1）π（k∈Z），2ω=﹣2ϕ+（2k+1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=﹣1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】结合=i，i2=﹣1，结合复数代数形式的混合运算的运算法则，易化简复数式，得到管好．【解答】解：==i•（1+i）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于4．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意将圆C化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．=，14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1其中k为使a n为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=98；若存在m∈N*，当n＞m且a n +1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为1或5．【考点】数列的应用．【分析】由题设分别求出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，仔细观察能够发现{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列，故a 2016=a 6=98，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，知a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，再由数列{a n }的各项均为正整数，能求出p ．【解答】解：由题设知，a 1=11， a 2=3×11+5=38， a 3==19，a 4=3×19+5=62， a 5==31，a 6=3×31+5=98， a 7=49，a 8=3×49+5=152， a 9==19，∴{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列， a 2016=a 6=98，若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，∴（3﹣2k ）p=﹣5，∵数列{a n }的各项均为正整数， ∴当k=2时，p=5， 当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos =．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c 的值． 【考点】余弦定理；二倍角的余弦． 【分析】（I ）根据，结合cosB=1﹣2sin 2，可求cosB 的值；（II 由余弦定理可得c 的值． 【解答】解：（I ）∵，∴，∴sin =∴cosB=1﹣2sin 2=； （II ）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c 2﹣2c∴c2﹣2c+1=0∴c=1．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：（1）利用b2+S2=12和数列{b n}的公比．即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用放缩法即可获得问题的解答．【解答】解：（I）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入方程=f（x）+，整理后得b=lnx﹣x2+，讨论原方程的根的情况，引入辅助函数h（x）=lnx﹣x2﹣b+，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a0，a1，a2，a3，a4，a5，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；（III）由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．【解答】解：（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．事实上，当x∈（x n﹣1，x n）时，f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]＜n（a1+…+a n+a n+1+…+a5）=nT．所以f（x n）=＜=x n．2016年9月29日。

2017-2018学年北京师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.在△ABC中，若b+c=+1，B=30°，C=45°，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.“a=2”是“直线x+ay-a=0与直线ax-（2a-3）y-1=0互相垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（）A. B. C. D. 44.已知m，n为直线，α，β为平面，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则m与n为异面直线C. 若，，，则D. 若，，，则5.向正方形ABCD内任投一点P，则“△PAB的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）6.已知直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则m=______．7.直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是______．8.已知向量=（1，k），=（-k，1），则与的夹角是______．9.在《九章算术•商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑P-ABD中，PD DA，PD DB，BA AD，则△PAB的直角顶点为______．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1（含边界）内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______．11.已知直线l与圆C：（x-2）2+（y-2）2=4交于A，B两点，，则满足条件的一条直线l的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共67.0分）12.如图，在△ABC中，∠BAC=，BC=，AC=2，AD AC．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求AD．13.甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由．14.已知四棱锥P-ABCCD的底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，AD=PD=2，∠DAB=60°，F，G分别为PD，BC中点，AC∩BD=O．（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥A-PFB的体积；（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，AC BC，AC=BC，D，E分别为AB，A1B1中点．（Ⅰ）求证：AC平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：四边形CC1ED为平行四边形；（Ⅲ）求证：平面ABC1平面CC1ED．16.已知圆A：x2+y2+6y+5=0，圆B：x2+y2-4x-6y+4=0．（Ⅰ）求经过圆A与圆B的圆心的直线方程；（Ⅱ）已知直线l：x+y-7=0，设圆心A关于直线l的对称点为A'，点C在直线l上，当△A'BC的面积为14时，求点C的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，b+c=+1①，B=30°，C=45°，∴由正弦定理得：=，即=，整理得：c=b②，联立①②得：b=1，c=，故选：A．利用正弦定理列出关系式，把sinB与sinC代入得出b与c的关系式，与已知等式联立求出b与c的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：当a=0时，两条直线分别化为：x=0，4y+1=0，此时两条直线相互垂直；当a=时，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠0、时，由于两条直线相互垂直，则×=-1，则a=2．综上可得：a=0或2．∴“a=2”是“直线l1：x+ay-a=0与直线l2：ax-（2a-3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】【解答】由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB AD，BC=2，AB=2，AD=1．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．最长的棱是PC，PC==2．故选：C．【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．判断最长的棱，通过几何体求解即可．本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由m，n为直线，α，β为平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若mα，nβ，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若mα，nβ，αβ，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若mα，nβ，α∥β，则由线面垂直、面面平行的性质定理得m∥n，故D 正确．故选：D．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题题．5.【答案】C【解析】解：由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使△PAB的面积大于正方形ABCD面积四分之一，需要P到AB的距离大于，则P点所在区域面积为．由测度比为面积比，可得△PAB的面积大于正方形ABCD面积四分之一的概率为．故选：C．由题意，求出满足题意的P点所在区域的面积，利用面积比求概率．本题考查几何概型的概率求法；关键是首先明确概率模型，是基础题．6.【答案】4【解析】解：∵直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，∴=≠，∴m=4，故答案为：4．由两直线平行得，=≠，解出m 值．本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．7.【答案】相交【解析】【分析】本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，是基础题．由直线系方程可得直线过定点P（2，1），求出圆心坐标与半径，可得点P在圆内部，从而可知直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是相交．【解答】解：化直线kx-y+1-2k=0为k（x-2）-y+1=0，可得，即x=2，y=1．∴直线kx-y+1-2k=0过定点P（2，1），圆C：（x-1）2+y2=3的圆心坐标为C（1，0），半径r=．而|CP|=＜．∴点P在圆C内部，则直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是相交．故答案为相交．8.【答案】【解析】解：∵向量=（1，k），=（-k，1），∴•=-k+k=0，∴，则与的夹角是，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积公式求得，再利用两个向量垂直的条件得到与的夹角是．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的条件，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：三棱锥P-ABD中，PD DA，PD DB，且DA∩DB=D，则PD平面ABD，又AB平面ABD，∴PD AB；又BA AD，且PD∩AD=D，∴AB平面PAD，又PA平面PAD，∴AB PA，∴△PAB的直角顶点为A．故答案为：A．根据PD DA，PD DB证明PD平面ABD，得出PD AB，再由BA AD证明AB平面PAD，即可得出AB PA，A是△PAB的直角顶点．本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：设正方体的棱长为1，则三棱锥P-ABC的主视图是底边为AB，高为AA1的三角形，其面积为S=×1×1=，主视图当P与D1重合时，三棱锥P-ABC的俯视图正方形ABCD，其面积最大，最大值为1×1=1，所以，三棱锥P-ABC的主视图与俯视图面积比的最小值为．故答案为：．设正方体的棱长为1，求出三棱锥P-ABC的主视图面积为定值，当P与D1重合时三棱锥P-ABC的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小．本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，是基础题．11.【答案】y=1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．确定圆心到直线的距离，即可求直线l的方程．【解答】解：∵，∴圆心（2，2）半径r=2∴圆心到直线l的距离为1，∴满足条件的一条直线l的方程为y=1.故答案为：y=1（答案不唯一）.12.【答案】解：（Ⅰ）∵AB2+22-2×∴AB2+2AB-24=0∴AB=4或AB=-2（舍）∴AB=4；（Ⅱ）得sin B=，sin C=，∴cos B=，sin∠ADC=sin（30°+B）==，∴，∴，∴AD=．【解析】（1）利用余弦定理AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=BC2得AB长；（Ⅱ）计算sinC，sinB，从而求得sin∠ADC，再由正弦定理计算AD的长．本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用．13.【答案】解：（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算甲=×（78+79+81+82+84+88+93+95）=85，乙=×（71+76+80+85+90+91+92+95）=85；所以由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为85分；（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩，基本事件是•=12，甲、乙两人成绩都在90分以上的基本事件为•=6，故所求的概率为P==；（Ⅲ）答案不唯一．派甲参赛比较合适，理由如下：甲，乙，甲（93-85）2+（95-85）2]=35.5；乙，因为甲乙，甲＜乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为，乙获得85分以上（含85分）的频率为，因为f2＞f1，所以派乙参赛比较合适．【解析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算、，即可得出平均分的估计值；（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一．从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适．本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，是基础题．14.【答案】（Ⅰ）证明：如图，连接OF，OG，∵O是BD中点，F是PD中点，∴OF∥PD，OF⊄平面PAB，PB平面PAB，则OF∥平面PAB．∵O是AC中点，G是BC中点，∴OG∥AB，OG⊄平面PAB，AB平面PAB，则OG∥平面PAB．又OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面PAB，则FG∥平面PAB；（Ⅱ）解：∵PD底面ABCD，∴PD AO，又四边形ABCD为菱形，∴AO BD，又AD∩DB=D，∴AO平面PDB，而F为PD的中点，∴==；（Ⅲ）证明：假设OP AB，又PD AB，且OP∩PD=P，∴AB平面PDB，则AB DB，与∠ABD=60°矛盾．∴假设错误，故OP与AB不垂直．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，是中档题．（Ⅰ）连接OF，OG，由已知结合三角形中位线定理可得OF∥平面PAB，OG∥平面PAB，再由面面平行的判断可得平面OFG∥平面PAB，则FG∥平面PAB；（Ⅱ）首先证明AO平面PDB，而F为PD的中点，然后利用等积法求三棱锥A-PFB的体积；（Ⅲ）直接利用反证法证明OP与AB不垂直．15.【答案】证明：（Ⅰ）∵CC1平面ABC，∴CC1AC，又AC=BC，∴CC1∩BC=C，∴AC平面BB1C1C；（Ⅱ）∵D，E分别为AB，A1B1中点，∴AD=A1E，AD∥A1E，∴四边形AA1ED为平行四边形；∴DE=AA1=CC1，DE∥AA1∥CC1，∴四边形CC1ED为平行四边形；（Ⅲ）∵AC=BC，D为AB中点．∴AD CD，∵AD CC1．且CC1∩CD=C，∴AD面CC1ED．∵AD平面ABC1．∴平面ABC1平面CC1ED．【解析】（Ⅰ）只需证明CC1AC，CC1∩BC=C，即可得AC平面BB1C1C；（Ⅱ）可得四边形AA1ED为平行四边形，DE=AA1，=CC1，DE∥AA1，∥CC1，即可得四边形CC1ED为平行四边形；（Ⅲ）易得AD面CC1ED，即可得平面ABC1平面CC1ED．本题考查了空间点、线、面位置关系，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）化x2+y2+6y+5=0为x2+（y+3）2=4，可得A（0，-3），化x2+y2-4x-6y+4=0为（x-2）2+（y-3）2=9，可得B（2，3）．则经过圆A与圆B的圆心的直线方程为，即3x-y-3=0；（Ⅱ）如图，设A′（a，b），则，解得A′（10，7）．∴|A′B|=．A′B所在直线方程为，即x-2y+4=0．设C（m，7-m），则C到A′B所在直线的距离d=由S=，解得m=1或m=．∴C的坐标为（1，6）或，．【解析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）由已知求得A，B的坐标，由直线方程的两点式得答案；（Ⅱ）求出A′的坐标，再求出|A′B|及A′B所在直线方程，设C（m，7-m），利用点到直线的距离公式求出C到A′B所在直线的距离，代入三角形面积公式解得m值，则C的坐标可求．。

2017—2018学年下期期末考试八年级数学参考答案一、选择题1.B2.A3.B4.D5.A6.C7.C8.D9.A 10.B 二、填空题11.x=2;12.合理即可;13.24米;14.小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m 3或小丽家今年7月份每立方米的水费=11+3（）小丽家去年12月每立方米的水费;15.4或三、解答题16.原式可化简为x 2+1.……………………………3分当x =2时,原式=22+1=5(注:x 不能取1或-1)……6分17.（1）图略………………………………2分（2）图略………………………………4分（3）（-1,-2）.…………………………6分18.图略.C 点有两个………………………………1分尺规作出AB 的垂直平分线………………………3分在垂直平分线上作出两个正确的C 点…………………5分能正确的给出∠ACB 是直角的理由.………………………………7分19.（1）①5-2；②1-2；………………………………2分（2）③54；………………………………3分（3）同意小英的说法.理由如下：求不等式25x x +∙+∙＜的解集，就是在图象上找出直线1l 在2l 在下方时对应的x 的取值，两直线的交点C 的横坐标1-2能够使25=x x +∙+∙成立.在C 点的左侧直线1l 在2l 的下方，即满足y 1<y 2，故此不等式的解集为12x ＜-.（理由合理即可.）………………6分20.解：（1）AB =CD ．四边形ABCD 是平行四边形．………………………………2分（2）证明：连接BD ．在△ABD 和△CDB 中，,,,A B C D A D B C B D D B =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CDB （SSS ），∴∠ADB =∠DBC ，∠ABD =∠CDB ，∴AB ∥CD ，AD ∥CB.∴四边形ABCD 是平行四边形；………………………………7分（3）平行四边形两组对边分别相等．………………………………9分21.解：(1)设A ,B 两种型号的新能源汽车的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得5+359,8596.4,x y x y =⎧⎨+=⎩解得 5.8,10.x y =⎧⎨=⎩答：A 型汽车的销售单价为5.8万元，B 型汽车的销售单价为10万元.…………………4分（2）设B 型号的新能源汽车a 辆，则采购A 型号的新能源汽车(30-a )辆，依题意得10a +5.8(30-a )≤200,解得：a ≤12.5.（a 取整数）答：4S 店最多采购B 型号的新能源汽车12辆.……………………7分（3）设4S 店销售完这30辆车，获得的利润是w 万元，()()()5.853010924+0.2w a a a=--+-=0.2012.5,12240.212=26.4.w a a w a a a w >∴∴≤∴==+⨯随的增大而增大最大时，最大又且是整数时，Q Q 答：A 型号采购18辆，B 型号采购12辆时，利润最大，最大利润是26.4万元.……10分22.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD =4；AB ∥CD.……………………2分∴∠B =∠DCE =90°.……………………3分∴Rt △DCE 中，DC =4,CE =3,∴根据勾股定理，得DE =5cm.……………………4分（2）95；根据题意，AP =2t ,PD =9-2t ,EQ =3t ,……………………6分∵四边形PQED 是平行四边形,∴PD=QE,∴9-2t =3t .……………………7分∴t =95.……………………8分。

2017-2018学年北京师大附中下学期高一年级期末考试（AP国际班）数学试题一、单选题1．已知直线经过点()0,4A 和点()1,2B ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．3B ．-2C ．2D ．不存在【答案】B【解析】直线AB 的斜率为42201k -==--. 本题选择B 选项.2．过两点和的直线在轴上的截距为( ) . A ． B ． C ． D ．2【答案】A【解析】直线方程为=， 化为截距式为+=1，则在x 轴上的截距为-. 故答案选A 。

3．已知直线平行，则k 的值是 （ ）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C【解析】由两直线平行得,当k−3=0时,两直线的方程分别为 y=−1 和，显然两直线平行。

当k−3≠0时,由，可得k=5.综上，k 的值是3或5，本题选择C 选项. 点睛：(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．4．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【答案】B【解析】由题意有：sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，根据两角和的正弦公式，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入2sinAcosB=sinC中，整理可得，sinAcosB−cosAsinB=0，即sin(A−B)=0，又因为△ABC中，A<π，B<π，故A−B∈(−π,π)，所以A=B。

本题选择B选项.5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由得，故选D．【考点】平面内两直线垂直与平行的判定．6．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】利用点到圆心O（-a，a）的距离小于半径4即可得答案．【详解】∵点在圆O：（x+a）2+（y﹣a）2＝16的内部，∴|PO|＜4，∴（2+a）2+（2﹣a）2＜16，∴a2＜4,∴﹣2＜a＜2．故选:A．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，考查理解与运算能力，属于基础题．7．方程表示的图形是（）A．以为圆心，为半径的圆B．以为圆心，11为半径的圆C．以为圆心，11为半径的圆D．以为圆心，为半径的圆【答案】D【解析】将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与半径，可得结论．【详解】方程x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0化为标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝11，表示以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆.故选:D．【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题．8．点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】直线即2x-y-1=0,由点到直线的距离公式得，故选:B．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．二、填空题9．两条直线和的交点为_______.【答案】【解析】联立两条直线方程即可得交点坐标．【详解】联立，解得,即直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0交于点（3，2），故答案为：．【点睛】本题考查两条直线相交的问题，属基础题.10．两条直线和的距离为________.【答案】【解析】由题意直接利用两条平行线间的距离公式，即可求得结果．【详解】两条平行线和的距离，故答案为：．【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．11．已知点，点，写出线段的垂直平分线的方程_________.【答案】【解析】利用中点坐标公式求线段AB的中点，由斜率公式可得垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得方程．【详解】点A（-7，4），B（﹣5，6），可得AB线段的中点坐标为（-6，5），，则线段AB垂直平分线的斜率k=-1，∴线段AB垂直平分线方程为：y﹣5＝-（x+6）即，故答案为：．【点睛】本题考查直线方程的求法，其中用到中点坐标公式和斜率公式，属于基础题．12．已知直线与圆相交于两点，那么弦的长等于________.【答案】【解析】求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】∵圆，∴圆心（0，0），半径r=2，圆心到直线l：3x+4y-5=0的距离d==1，∴直线3x+4y-5=0被圆截得的弦长l=2=2．故答案为：．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．13．已知过点和的直线与直线平行，则的值为________.【答案】-8【解析】直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2，∴过点和的直线的斜率也是﹣2，由斜率公式得，解得m＝﹣8，故答案为：-8．【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.三、解答题14．已知三点三点共线，求的值.【答案】-14【解析】利用即可得出的值．【详解】＝（﹣4，5）﹣（1，1）＝（﹣5，4），＝（x﹣1，12）．若A，B，C三点共线，则，∴﹣5×12﹣4（x﹣1）＝0，解得x＝﹣14．故答案为：﹣14．【点睛】本题考查利用向量共线证明三点共线，属于基础题．15．求过三点的圆的方程.【答案】【解析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可得到结论．【详解】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，∵圆过三点A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4），∴满足，解得D＝6，E＝﹣2，F＝﹣15，即圆的一般方程为x2+y2+6x﹣2y﹣15＝0，故答案为：.【点睛】本题考查用待定系数法求圆的一般方程.16．求过两点,且圆心在直线上的圆的标准方程.【答案】【解析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．【详解】由于圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=BC|,即[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2＝[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，解得b＝1，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝25，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝25．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．17．在锐角中，内角的对边分别是,,且.（1）求角的大小；（2）若边的中点为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知条件，由正弦定理可得sin C的值，即可得到角C；（2）在中利用余弦定理求得b，再根据三角形面积公式即可求得面积．【详解】(1)，由正弦定理得2sinCsinA=sinA,∵sinA,则，又为锐角三角形,则C=.(2)在中，由余弦定理得,即，解得b=-1(舍去)或b=3,∴的面积．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角的转化．。

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）A. f(x)=cos xB. f(x)=sin xC. f(x)=e xD. f(x)=lg x3.函数f(x)=sin(x−π4)的一个对称中心是（）A. (π2,0) B. (π4,0) C. (−π4,0) D. (−π2,0)4.设全集U=R，集合A={x|12＜2x＜8}，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）A. (−1,+∞)B. (−1,3)C. (1,3)D. (1,+∞)5.已知a=2log32，b=log35，c=(13)0.2，则（）A. c<b<aB. a<b<cC. b<a<cD. c<a<b6.已知π3＜α＜π，则“α=π2”是“sin(α+π6)=32”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数y=cos(3x−π4)的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）A. 向左平行移动π4个单位 B. 向右平行移动π4个单位C. 向左平行移动π12个单位 D. 向右平行移动π12个单位8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），则f（-100）的值为（）A. −12B. 12C. −2D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：log14+(−8)23=______．10.当x∈(π3，π2)时，函数f（x）=tan x的值域为______．11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．13.若存在x＞0，使得x+2x−a＜0，则实数a的取值范围是______．14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号） ①F （x ）的定义域为[-b ，b ]； ②F （x ）是奇函数； ③F （x ）的最小值为0；④F （x ）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知sinα−cosα=12，且α∈（0，π）．（Ⅰ）求cosα； （Ⅱ）求sin (α+π4)sin 2α+cos 2α+1的值．16. 已知函数f (x )=sin 2x + 3sinxcosx ．（Ⅰ）求f (3π4)；（Ⅱ）当x ∈[0，π2]时，求函数f （x ）的最值及对应x 的值．17. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，N 为f （x ）图象的一个最高点，M 、Q 为f （x ）图象与x 轴的交点． （Ⅰ）若M (π6，0)，N (5π12，3)，求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，求A •ω的值．18.某港口的水深y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数f(x)=ln x−2．x+2（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x∈[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t∈[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】（3，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】−43【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】(−1，1)a【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞22【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵sinα−cosα=12，∴可得：sinα=cosα+12，∵sin2α+cos2α=1，∴（cosα+12）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，∴cosα=−1±74，∵α∈（0，π）．cosα=sinα-12∈（-12，12），∴cosα=7−14．（Ⅱ）∵cosα=7−14，sinα=7+14．∴sin2α=2sinαcosα=34，cos2α=2cos2α-1=-74，∴sin(α+π4) sin2α+cos2α+1=22(sinα+cosα)sin2α+cos2α+1=1447−74=14+26．【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α∈（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)=sin2x+3sinxcosx．那么f(3π4)=（sin3π4）2+3sin3π4cos3π4=12+3×22×(−22)=1−32；（Ⅱ）由函数f(x)=sin2x+3sinxcosx=12−12cos2x+32sin2x=sin（2x-π6）+12，∵x∈[0，π2]时，∴2x-π6∈[−π6，5π6]，∴当2x-π6=−π6，即x=0时，有最小值为0，当2x-π6=π2，即x=π3时，有最大值32．【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x 的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若M (π6，0)，N (5π12，3)，则A =3，T 4=5π12-π6=3π12=π4，即周期T =π，又2πω=π，则ω=2，则f （x ）=3sin （2x +φ），∵f （5π12）=3sin （2×5π12+φ）=3，∴sin （5π6+φ）=1，即5π6+φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ=-π3+k π，∵|φ|＜π2，∴当k =0时，φ=-π3，则f （x ）=3sin （2x -π3）．（2）由2k π+π2≤2x -π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z即函数的单调递减区间为[5π12+kπ，11π12+kπ]，k ∈Z ． （Ⅲ）设M ，Q 的中点是P ，若△MNQ 为直角三角形，则AP =MP ，即△MNP 是等腰三角形，则(T 4)2+A 2=(T 2)2，即A 2=T 24−T 216=3T 216， 则A = 34T = 34⋅2πω，则Aω=32π．【解析】（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A=13−72=3，B=13+72=10．图象过（3，13）即可求解ω．那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=π6故得：A=3，ω=π6，B=10．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，即y=3sinπ6t+10≥11.5，∴sinπ6t≥1 2，∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln a−2a+2=1，即a−2a+2=e，解得a=2+2e1−e；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．由x−2x+2＞0，解得x＞2或x＜-2，故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f（-x）=ln−x−2−x+2=ln x+2x−2=-ln x−2x+2=-f（x），故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．事实如下：当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，即|k|•|x-t|≤2，解得t−2|k|≤x≤t+2|k|，则a=−2|k|，b=2|k|，∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，即t2-2≤x2≤t2+2，（*）当1≤t≤2时，解（*）得：2+2≤x≤ t2+2，此时a−b=2 t2+2；当2＜t≤2时，解（*）得：− t2−2≤x≤ t2+2，此时a−b= t2+2− t2−2．综上，有H（t）=2 t2+2(1≤t≤2)t2+2− t2−2(2＜t≤2)．②由函数单调性可得H（t）∈[6−2，2)∪[23，4]．∴函数H（t）的值域为[6−2，2)∪[23，4]．【解析】（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=，得出H（t）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t∈[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；②由函数的单调性求解H（t）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。

首师大二附中2017-2018学年第二学期期末高二文数学试题考试时间：90分钟 满分：100分一、选择题（共8小题，共32分）1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则MN = （ ）A.()0,1B.[)0,1C. []1,1-D. [)1,1- 2. 下列选项叙述错误的是（ ）A. “若1x ≠，则2320x x -+≠的逆否”是“2320x x -+=，则1x = ” B. 若p q ∨为真，则,p q 均为真C. 若p :x R ∀∈，210x x ++≠，则:p x R ⌝∃∈，210x x ++=D. “2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A.y x =B. 22y x x =- C. cos y x = D. 2xy =4. 设1a >，则0.2log a 、0.2a 、0.2a的大小关系是（ ）A. 0.20.20.2log a a a <<B. 0.20.2log 0.2a a a <<C. 0.20.2log 0.2a a a <<D. 0.20.20.2log a a a <<5. 若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （ ）A. 6. 已知奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且()3f m =，则()4f m -的值为（ ）A. 3B.0C. 3-D. 137. ）A. sin 2cos 2-B. cos 2sin 2-C. ()sin 2cos2±-D. sin 28. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则 （ ）A. 11sincos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()()sin1cos1f f <D. 33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 二、填空题（共6小题，共24分）9. 已知角α的终边经过点()5,12P -，则sin cos αα+=_________.10. 若直线y a =与正弦曲线sin y x =，[]0,2x π∈的图象只有一个交点，则a =________. 11. 若函数()f x 的导函数为()24f x x =-，则函数()1f x -的单调减区间是________.12. 为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象________. 13. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品，二等奖奖品6件， 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，价格有所差异.现有甲、乙两家 工厂可以制作奖品（一定奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多 只能制作4件奖品；乙长原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会订做该工艺品的费用总和最低为___________.14. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，且在[]0,1上是增函数，下面关 于()f x 的判断： ① ()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③ ()f x 在[]1,2上是减函数； ④ ()f x 在[]2,0-是减函数.其中正确的判断是__________.（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（共4小题，共52分）15.（本题12分）已知()23cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()y f x =的单调增区间.16. （本题10分）已知()2f x ax bx c =++.（1）当1,2,4a b c =-==时，求()1f x ≤的解集；（2）当()()130f f ==，且当()1,3x ∈时，()1f x ≤恒成立，求实数a 的最小值.17. （本题10分）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，x R ∈ （其中0,0,A ω>>02πϕ<<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点 为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.18.（本题12分）已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+ (),a b R ∈. （1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[]2,4-上的最大值；②求函数()()()2xG x f x m x m e -=+++⎡⎤⎣⎦ ()m R ∈的单调区间.首师大二附中2015-2016学年第二学期期末高二文数学试题参考答案一、选择题（共8小题，共32分）二、填空题（共6小题，共24分） 9. 713-10. 1±,()()1,00,1a ∈-,011.(),3-∞ 12. 向右平移4π个单位 13.4900 14. ①②③ 三、解答题（共4小题，共52分）15.解：（1）()()3321cos 222f x x x =+--32cos 222x x =-1sin 222x x ⎫=-⎪⎪⎭sin 2cos cos 2sin 33x x ππ⎫=-⎪⎭23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （2）令222232k x k πππππ-≤-≤+()k Z ∈可得：51212k x k ππππ-≤≤+故函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 16. 解：（1）当1,2,4a b c =-==时，()224f x x x =-++由()1f x ≤可得：2241x x -++≤故2230x x -++≤ 即2230x x --≥ 于是有()()310x x -+≥ ⇒ 3x ≥或1x ≤- 因此，()1f x ≤的解集为(][),13,+-∞-∞（2）由()()130f f == 可得：()()()13f x a x x =--① 当0a =时，()01f x =≤在()1,3x ∈ 明显恒成立，符合题意； ② 当0a >时，二次函数()f x 的开口向上，对称轴为2x =()f x 在区间()1,3上的单调性为在区间()1,2上单调递减，()2,3上单调递增. 故其最大值为()()()max 1301f x f f ===≤ 符合题意.③ 当0a <时，二次函数()f x 的开口向下，对称轴为2x =()f x 在区间()1,3上的单调性为在区间()1,2上单调递增，()2,3上单调递减.故其最大值为()()max 21f x f a ==-≤ 1a ⇒≥- 于是此时[)1,0a ∈-综上所述，所求实数a 的取值范围为[)1,-+∞. 17. 解：（1）由题意可知：()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=,最小值为()min 2f x =-222T ππωπ===，2A = 故()()2sin 2f x x ϕ=+由()f x 图象上一个最低点坐标为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭可得： 2322+32k ππϕπ⨯+= ⇒ 26k πϕπ=+ ()k Z ∈ 又02πϕ<<，故6πϕ=因此，函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由122x ππ≤≤可得：72366x πππ≤+≤ 令26t x π=+，可知7,36t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而sin y t =在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故当262x ππ+=即6x π=时，()f x 取得最大值为()max 2f x =；当7266x ππ+=即2x π=时，()f x 取得最小值为()min 1212f x ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.因此，当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]1,2-. 18. （本题12分）已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+ (),a b R ∈. （1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[]2,4-上的最大值；②求函数()()()2xG x f x m x m e -=+++⎡⎤⎣⎦ ()m R ∈的单调区间.解：（1）()f x 的导函数为()22'21f x x ax a =-+-由1x =为()f x 的极值点可得：()22'112120f a a a a =-+-=-= 解得：0a =或2a =经验证：当0a =时，1x =为()f x 的极小值点； 当2a =时，1x =为()f x 的极大值点. 故所求a 的值为0或2.（2）依题意有：()12f =，()'11f =-故有()()2211123'11211f a a b f a a ⎧=-+-+=⎪⎨⎪=-+-=-⎩解得：1a =，83b =故()f x 的解析式为()321833f x x x =-+ ①其导函数()2'2f x x x =-令()'0f x >可得：2x >或0x <；令()'0f x <可得：02x <<.故()f x 在区间[]2,4-上的单调性为在区间[)(]2,0,2,4-上单调递增，在区间[]0,2上单调递减. 而()803f =，()48f = 故函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8.②函数()()()()32182=+233x x G x f x m x m e x x m x m e --⎡⎤=+++-+++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦()3218=233x x x m x m e -⎡⎤-++++⎢⎥⎣⎦其导函数()()()23218'22233x x G x x x m e x x m x m e --⎡⎤=-++--++++⎢⎥⎣⎦()32122433x x x m x e -⎡⎤=--+++⎢⎥⎣⎦。

2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．15．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+16．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i ≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．2017-2018学年北京市首都师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）复数=（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：===﹣．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．【分析】把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．【解答】解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选：A．【点评】本题考查圆的极坐标方程的特征，以及判断一个点是否在圆上的方法，就是把此点的坐标代入圆的方程，若点的坐标满足方程，则此点在圆上，否则，此点不在圆上．3．（5分）直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积是（）A．20 B．C．D．【分析】先求出直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：解得直线y=2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为：（﹣1，1）（3，9）∴直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的弓形面积S=∫（2x+3﹣x2）dx=（x2+3x ﹣）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=故选：C．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力．属于基础题．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由几何体的三视图得到该几何体的直观图，由此能求出结果．【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥S﹣ABC，∴此几何体的体积为：V==．故选：A．【点评】本题考查三棱锥的三视图的识别，三棱锥的体积，平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法．5．（5分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1 D．2k+1【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．【解答】解：当n=k时，不等式左边为1++…+，共有2k﹣1项，当n=k+1时，不等式左边1++…+，共有2k+1﹣1项，∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．6．（5分）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）﹣kx有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点【分析】对函数F（x）=f（x）﹣kx，求导数，根据条件判断f′（x）与k的关系进行判断即可．【解答】解：∵直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，∴kx+m=f（x）有两个根，且f（x）≥kx+m，由图象知m＞0，则f（x）＞kx，即F（x）=f（x）﹣kx＞0，则函数F（x）=f（x）﹣kx，没有零点，函数f（x）有1个极大值点，2个极小值点，则F′（x）=f′（x）﹣k，，结合图象，函数F（x）=f（x）﹣kx有1个极大值点，函数F（x）=f（x）﹣kx有2个极小值点，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．7．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．8．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得△P1P2B∽△AD1B，设出P1B=x，则P1P2=x，P2到平面AA1B1B 的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V==，当x=时，体积取得最大值：．故选：A．【点评】本题考查正方形中，几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，则向量对应的复数为﹣4+2i．【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可．【解答】解：∵向量对应的复数为1+4i，向量对应的复数为﹣3+6i，∴=﹣3+6i﹣1﹣4i=﹣4+2i．故答案为：﹣4+2i．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了向量的减法运算，是基础题．10．（5分）如图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率为．【分析】由书籍可得成绩不低于10分且不超过20分的学生，甲组有2个，乙组有3个，进而可得答案．【解答】解：成绩不低于10分且不超过20分的学生甲组有2个，乙组有3个，从中任意抽取3名，共有=10种不同取法，其中恰有2名学生在乙组有=6种不同取法，故从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，恰有2名学生在乙组的概率P==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是茎叶图和古典概型，难度不大，属于基础题．11．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，则离心率e的取值范围是（1，2] ．【分析】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线，则必有，再利用离心率计算公式即可得到双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与直线y=x无交点，取双曲线的渐近线．∴，∴=2．∴双曲线离心率e的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．【点评】熟练掌握过原点的直线与双曲线的渐近线及双曲线的关系、离心率的计算公式是解题的关键．12．（5分）如图给出一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a53等于，a mn=（m≥3）．【分析】①利用已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，即可求出a53；②由①可得：利用等差数列的通项公式求出每一行的第一个数，从第三行起每一行的公比，再利用等比数列的通项公式即可求出a mn．【解答】解：①第k行的所含的数的个数为k，∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=．a53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为，公差d==的等差数列，∴第一列的第5 个数==；又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q==，∴第5行是以为首项，为公比的等比数列，∴a53=×=．②a mn表示的是第m行的第n个数，由①可知：第一列的第m 个数==，∴a mn==．故答案分别为，．【点评】数列掌握等差数列和等比数列的通项公式是解题的关键．13．（5分）表达式1+中“…”即代表无限次重复，它可以通过方程1+=x，求得x=．类似上述过程，则=3．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=﹣1舍去．故答案为：3【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．14．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】（1）由求导公式求出y′、点A、B的坐标，由导数的几何意义求出切线的斜率k A，k B的值，由两点间的距离公式求出|AB|，求出代入φ（A，B）=求值即可；（2）求出y′=e x，由定义求出两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，代入t•φ（A，B）＜1化简，根据恒成立求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，y=x2，则y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），∴k A=2×0=0，k B=2×1=2，且|k A﹣k B|=2，又|AB|==，∴φ（A，B）===；（2）由y=e x得y′（x）=e x，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，∴φ（A，B）===，∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m||＜，则m＜=，∵＞1，∴m≤1，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故答案为：；（﹣∞，1]．【点评】本题考查新定义的函数的性质与应用问题，导数的几何意义，两点间的距离公式，以及恒成立问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，属于中档题．三、解答题.本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得a n；（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，易求c n，进而可得b n，由等比数列的求和公式可求得结果；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6=14，可得a4=7．由a3a5=45，得（7﹣d）（7+d）=45，可得d=2．∴a1=7﹣3d=1．可得a n=2n﹣1．（Ⅱ）设c n=，则c1+c2+…+c n=a n+1，即c1+c2+…+c n=2n，可得c1=2，且c1+c2+…+c n+c n+1=2（n+1）．∴c n=2，可知c n=2（n∈N*）．+1∴b n=2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n==2n+2﹣4．【点评】本题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力．16．（12分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：EX=1×+2×+3×=．【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（14分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，利用与平面ACE的法向量所成的角即可得出；（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量，，若此两个平面垂直，则必有有解，否则两个平面不垂直．【解答】（Ⅰ）证明：不妨设BC=1，∵AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD．设BC=1，所以．∴，，．设平面EAC的法向量为n=（x，y，z），则有∴取z=1，得n=（0，2，1）．设BC与平面EAC所成的角为θ，则==．所以BC与平面EAC所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：假设线段ED上存在点Q，设（0≤t≤1），所以．设平面QBC的法向量为=（a，b，c），则有，所以取c=1，得=．要使平面EAC⊥平面QBC，只需=0，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量表示线面角和二面角公式、余弦定理和勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【分析】（I）化简f（x）=x2﹣2lnx，求出f′（x）=x﹣，求出斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，求出定义域，极值点，通过①0＜a≤1，②1＜a ＜e2，③a≥e2，判断函数的单调性求解函数的最值即可．（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，推出求解即可．【解答】解：（I）a=2，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=x﹣，f′（1）=﹣1，f（1）=，f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y﹣3=0…..（3分）（Ⅱ）由f′（x）=x﹣=，由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，得x=，①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，因此，f（x）在区间[1，e]的最小值为f（1）=．②若1，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=．③若，即a≥e2，在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，因此，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=﹣a．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f min（x）=e2﹣a．…．（9分）（III）由（II）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则∴即，此时，e．所以，a的取值范围为（e，）…..（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．19．（14分）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b2=a2﹣c2可求得b值；（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x0，y0表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O 到直线l的距离易求，综上即可得到答案．【解答】解：（I）设椭圆方程为，由已知抛物线的焦点为（，0），则c=，由e=，得a=2，∴b2=2，所以椭圆M的方程为；（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，则由消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（2+4k2﹣m2）＞0，①设A、B、P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），则：x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由于点P在椭圆M上，所以．从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式．又点O到直线l的距离为：d===≥=，当且仅当k=0时等号成立，当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（﹣2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．所以点O到直线l的距离最小值为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，韦达定理、判别式解决该类题目的基础，要熟练掌握．20．（13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：（1）；（2）．【分析】（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）（Ⅱ）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，+1=0，∵a1+a2+a3+…+a2k+1∴，所以a1+kd=0，=0，∴a k+2=d，…（4分）即a k+1当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，∴，即=0得，即，由a k+1∴．…（7分）当d＜0时，同理可得，即，由a k+1=0得，即∴．…（8分）（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）当k＜n时，据条件①得S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+|a k+2|+…+|a n|=1，∴．…（11分）====．…（14分）【点评】本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力．。