数学史上的三次数学危机的成因分析

数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机1 什么是悖论日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。

特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。

即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。

2 悖论的三种主要形式（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。

3 悖论存在的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。

正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。

但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。

逻辑学家赫兹贝格说：“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。

”4 悖论举例1. 上帝全能悖论甲说：“上帝是全能的。

”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。

请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。

2. 唐·吉诃德悖论著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。

数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。

这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。

第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。

在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。

他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。

然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。

按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。

但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。

这次危机的成因可以归结为以下几点。

首先，当时的数学观念和认知存在局限性。

人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。

其次，数学的推理和证明体系还不够完善。

在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。

第一次数学危机的影响是深远的。

它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。

数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。

第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。

在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。

微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。

然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。

例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。

无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。

造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。

一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。

科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。

另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。

对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。

从我国数学的发展看三次数学危机1 引言。

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。

在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

2 三次数学危机。

第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。

毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。

但这一信条后来遇到了困难。

因为有些数是不可公度的。

这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。

这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。

17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为“第二次数学危机”[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。

牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。

他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了“无穷小悖论”[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成“第二次数学危机”.19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。

庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了！”[5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论“悖论”打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。

三次数学危机近年来，全球数学教育领域出现了三次重大危机。

这些危机对数学教育和数学领域造成了巨大的影响，同时也引发了人们对数学教育的深思和反思。

第一次数学危机：学生数学素养缺失随着科技的发展和全球化的进程，数学应用范围扩大，人们对数学素养的要求也越来越高。

然而，随着教育体系的快速扩张，学生数量的大幅增加，数学教育也面临着新的挑战。

特别是在发展中国家，大量学生因为教育资源的不足，缺乏基础数学知识和实际应用能力，这就导致了数学教育与社会需求之间的差距越来越大。

首先是基本知识不够扎实。

现在，很多学生在做数学题时，经常出现漏洞百出的情况。

其中，最常见的问题是基本数学公式掌握不牢固，导致出现一些低级错误。

其次，很多学生缺乏灵活性和创造性。

很多数学问题需要学生通过思考和运用数学知识来解决，但是现在的很多学生习惯于机械式的计算，不愿意用思考去解决问题。

这也是学生数学素养缺失的一个重要原因。

为了解决这个问题，不仅需要加强数学教育的质量，还需要对数学教学方法进行改进。

一方面，教师需要注重培养学生的数学素养和思维能力，让他们能够理解数学知识的本质。

另一方面，学生也需要学习如何运用已有知识解决实际的数学问题，并且要在实践中不断探索和学习。

第二次数学危机：教师缺乏数学教育知识和技能数学教学是一个非常复杂和技术性强的工作。

对于指导学生学习数学的教师来说，他们需要掌握数学教育知识和教学技能，如何组织教育资源，如何指导学生学习，如何评估学生知识水平等等。

然而，在现实中，很多教师的数学教育知识和技能都不够充分，这就导致了数学教育的质量难以保证。

一方面，现在的数学教师很多是简单“过场”。

由于教师职业相对较为稳定，很多人并不具备数学专业背景，但仍从事数学教育工作。

因此，这些教师的数学知识水平和教育能力都比较有限，无法让学生充分理解数学的本质，更难以激发学生的兴趣和学习热情。

针对这一问题，需要提高教育工作者的素质。

对于那些无法接受正统数学教育的教师来说，应该通过系统培训来提高他们的专业素养和教育技能。

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。

它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。

于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。

于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。

数学史上的三次数学危机的成因分析数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。

它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。

悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。

本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。

1第一次数学危机及成因1.1危机介绍第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

1.2危机成因分析毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。

这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。

希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。