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一、数学史上的三次危机分别是什么？第一次危机：毕达哥拉斯悖论——无理数的出现。
第二次危机：微积分工具的使用——无穷小是零吗？第三次危机：悖论的产生。
1、三次危机是如何产生的：（1）毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
（2）第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机1 什么是悖论日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。
特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。
即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
2 悖论的三种主要形式（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
3 悖论存在的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。
正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。
但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。
逻辑学家赫兹贝格说：“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。
”4 悖论举例1. 上帝全能悖论甲说：“上帝是全能的。
”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。
请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。
2. 唐·吉诃德悖论著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学史上的三次危机及如何化解一、希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。
解决：1、伯内特解释了芝诺的“二分法”：即不可能在有限的时间内通过无限多个点，在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。
亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触，须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义。
一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。
因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触。
另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。
因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。
2、亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。
因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。
3、亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。
亚里士多德认为，这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。
4、亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
数学史上的三次数学危机的成因分析数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。
它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。
悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。
本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。
1第一次数学危机及成因1.1危机介绍第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
1.2危机成因分析毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
课 改 前 沿【摘 要】①公元前580～568年之间，希帕索斯发现了第一个无理数，促使了第一次数学危机的发生。
而后，在几何学中引进了不可通约量，使欧式几何变得更加完善。
②大约在公元前450年，莱布尼茨提出“无穷小量是零还是非零”促使了第二次数学危机的发生。
而后，柯西提出极限理论，使微积分更完善。
③十九世纪下半叶，罗素悖论的提出，促使了第三次数学危机的发生。
而后，弗芝克尔改进策梅罗的七条公理得出ZF公理系统，使得集合论得到了发展。
【关键词】危机；无理数；无穷小；罗素悖论数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。
它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。
悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。
本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。
1第一次数学危机及成因1.1危机介绍第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
江西科技师范学院学年论文数学史上的三次数学危机的成因分析吕少珍（数学与应用数学 20081444）指导老师：王亚辉摘要从哲学上来看，矛盾是无处不在的，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。
数学常常被人们认为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
但在数学的发展史中，却经历了三次危机，本文回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
关键词：数学危机；无理数；微积分；无穷小量1第一次数学危机1.1背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2 起源1.2.1 “万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。
所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2 希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
因此，我们从勾股定理谈起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。
天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。
它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。
在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。
毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
后来毕达哥拉斯学派的希帕索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可公度！即这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能成为等腰直角三角形的直角边与斜边的共同度量单位。
即腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。
亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条线段。
这就是希帕索斯悖论：存在不可公度量！1.3 危机的解决1.3.1 无理数的出现毕达哥拉斯学派提出的所谓“任何两个量都是可度量的”就是指对于任何两条线段a与b，存在一条小线段d可作为a与b的共同度量单位，使得a=md,b=nd.这实际上意味着b：a=m：n,其中m与n都是整数。
因此，当毕达哥拉斯学派相信任何两条线段a与b都可公度时，用我们现在的语言表述就是指任何两条线段的比是整数或是一个分数。
简言之，是一个有理数。
而希帕索斯不可公度量的发现就是指，等腰直角三角形的直角边与斜边的比既不是一个整数，也不是一个分数，或者简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数，这类数后来被称为无理数。
最早出现的无理数也与计数、测量有关。
乘法的重复进行产生了乘方，2乘3 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。
在欧几里德的《几何原本》中有关于√2不是有理数的一个证明，但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。
人类历史上诞生的第一个无理数就是希帕索斯发现的√2。
1.3.2 悖论所引发的问题为什么在当时无理数的发现会被认为是悖论并且引发如此严重的问题呢？首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条。
其次，这一发现摧毁了建立在“任何两条线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。
更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。
简言之，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都要被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么困难啊。
事实上，不可通约量的发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，他对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的打击。
不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈抨击并摧毁了许多传统观念与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定上。
事实上，当时毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都是可通约的基础上的。
1.3.3 芝诺悖论与毕氏学派诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，当人们还处在刚刚从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念一无所知。
因此，当时人们的普遍见解是确信一切量都可以用有理数来表示。
亦就是说，在任何精确度的范围内的任何量，总能表示为有理数，迫使人们去认识和理解自然数及其比不能包括几何量，迫使毕达哥拉斯学派承认希帕索斯悖论，并提出单子概念去解决这一悖论。
单子概念是如此之小的度量单位以致本身是不可度量却又要保持为一种单位。
这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。
但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺认为“一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的。
”不论何说都矛盾，这就是芝诺悖论。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
1.3.4 比理论古希腊人面对的难题是如何解决不可通约量或以我们现在的方式说是如何解决无理数，对他们来说，问题来自几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量，这是无法绕过去的。
于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域，仍然只承认整数或整数的比，只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。
简言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量。
令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去竟然成功了。
帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。
欧多克索斯建立了既适用于可通约线段，也适用于不可通约量线段的完整的比理论。
欧多克索斯本人的著作已经全部失传，不过，他的比例论成果被保存在欧几里得《几何原本》第五卷中，下面所介绍的内容来自《几何原本》第五卷，但其主要思想属于欧多克索斯。
定义3：两个同类量之间的数量关系叫做比。
定义4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。
这个定义实际上允许了不可通约量的存在。
比如对正方形对角线与边长这两个量来说，因为正方形的边长增加2倍后就可以超过其对角线，所以现在对两者就可以定义一个比了。
也就是说这里创造的量的比这一新的数学定义已经突破了毕达哥拉斯所认为的只有可公度量才可以比的限制。
实际上，如果承认“两个有限的同类量，任何一个加大适当的倍数都能大于另一个”（阿基米德公理）那么任何两个有限量都有比，而不必考虑是否可公度。
定义5：a:b=c:d是指：如果对于任给的正整数m,n，只要ma>nb,总有mc>nd；只要ma=nb，总有mc=nd；只要ma<nb,总有mc<nd；这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量与不可公度量都能参加运算。
这一定义是整个比理论的基础。
欧多克索斯的比例理论为处理无理数提供了逻辑依据，用几何方法消除了希帕索斯悖论引发的数学危机，事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展．不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理．尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础．为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从他之后，几何学成了希腊数学的主流．1.4 第一次数学危机的影响希帕索斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，导致了第一次数学危机，这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
