2014届天津和平区九年级数学基础训练题一

和平区2014届九年级基础训练题二数学学科试卷一、选择题: 1．3tan 60°的值等于（ ）．（A） （B ）3 （C）2（D2．下列图形：其中，可以看作是中心对称图形的有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个3．某种细胞的直径是4510-⨯毫米，这个数是（ ）．（A ）0.05毫米 （B ）0.005毫米 （C ）0.000 5毫米 （D ）0.000 05毫米 42的值（ ）．（A ）在4和5之间 （B ）在3和4之间 （C ）在2和3之间 （D ）在1和2之间5．小明将矩形纸片ABCD （如图①，AD ＞CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；则 BAE ∠的大小是（ ）．（A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60°6．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）．（A ）182)1(502=+x（B ）182)1(50)1(50502=++++x x（C ）50(12)182x +=（D ）182)21(50)1(5050=++++x x7．在数轴上距原点两个单位长度的点表示的数是（ ）． （A ）2 （B ）－2 （C ）2或－2 （D ）08．如图，林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以测量、计算得出大树的直径.现已知AB 、AC 分别切O 于B 、C ，BAC ∠＝60°，0.5AB =米，则这棵大树的直径为（ ）．（A（B米 （C（D9．图中所示几何体的俯视图是（ ）．图① 图②（A ） （B ） （C ） （D ）10．甲、乙两人分别在六次射击中的成绩如下表：（单位：环）则这六次射击中（ ）． （A ）甲比乙的成绩稳定 （B ）乙比甲的成绩稳定 （C ）甲、乙两人的成绩一样稳定 （D ）无法确定谁的成绩更稳定11．下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家.其中x 表示时间，y 表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上．则小 明给菜地浇水、给玉米地锄草共用了（ ）．（A ）25分钟 （B ）26分钟 （C ）28分钟 （D ）30分钟 12．下列计算正确的是（ ）．（A ）2(2)(2)2x x x +-=- （B ）2(32)(32)94a a a ---=- （C ）222()a b a b +=+ （D ）22(8)()98x y x y x xy y --=-+ 二、填空题:13．（1）当x 时，分式51x x --有意义；（2）当x 时，分式242x x -+的值为0； （3）当x 时，分式231x x -+的值为正． 14．一次函数的图象经过点（－1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，符合要求的 函数的解析式可以是： （写出一个即可）． 15．如图，ABC ∆中，AB AC =，A ∠=36°，BD 、CE 分别是ABC ∆、BCD ∆的角平分线，则图中的等腰三角形有 个．16．一个正三角形绕着它的中心至少旋转 度，才能和原来的图形重合．17．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比r ∶R ∶h 为 ． 18．当关于x 的一元二次方程230x ax a --=的一根是6时，另一根是 ． 三、解答题：19．解下列方程：21.53x x +=-．20．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球．（Ⅰ）采用树形图法（或列表法）列出两次摸取小球出现的所有可能结果，并回答摸取两球出现的所有可能结果共有几种；（Ⅱ）求两次摸取的小球标号相同的概率； （Ⅲ）求两次摸取的小球标号的和等于4的概率；（Ⅳ）求两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率．y /千米小明家 菜地 玉米地 BCD E A21．物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分情况如下表：（Ⅱ）求这组数据的平均数；（Ⅲ）将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图．扇形①的圆心角度数是多少？22．Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（Ⅰ）如图①，求证直线DE 是O ⊙的切线；（Ⅱ）如图②，连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求A ∠的度数．23．如图，王峰同学跳起来把一个排球打在离她3m 远的地面点C 处，然后反弹碰到墙上点E 处，如果她跳起来击球时的高度 1.8AB =m ，排球落地点离墙的距离6CD =m ，假设球一直沿直线运动，求点E 到地面的高ED .（提示：类似于光线的入射角等于反射角，排球落地弹起时入射角也等于弹射角）24．某商店经营一种小商品，进价是2.5元，销售价是13.5元，平均每天销售量是500件．据市场调查，销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（Ⅰ）假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式；（Ⅱ）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？FBCD E AO图① 图②和平区2014届九年级基础训练题二数学学科试卷参考答案一、选择题:1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 二、填空题:13．（1）1≠ （2）＝2 （3）＞314．1y x =--（答案不惟一．一次函数y kx b =+中，需满足k ＜0且b k =） 15．5 16．120 17．1∶2∶3 18．－2 三、解答题：19．解：将方程化为一般形式，x 2＋3x ＋1.5＝0. a ＝1，b ＝3，c ＝1.5 ，b 2－4ac ＝32－4×1×1.5＝3＞0 .x ==1x =，2x =． 20．解：（Ⅰ）画树形图或列表正确. 摸取两球出现的所有可能结果共有16种；（Ⅱ）设满足两个球标号相同为事件A ，41()164P A ==； （Ⅲ）设满足两个球标号的和等于4为事件B ，3()16P B =；（Ⅳ）设满足两个球标号的和是2的倍数或3的倍数为事件C ，105()168P C ==． 21．解：（Ⅰ）∵ 在这组数据中，9出现了8次，出现的次数最多， ∴ 这组数据的众数是9．∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是9，有 9992+=，∴ 这组数据的中位数是9．（Ⅱ）这组数据的平均数是51089483720x ⨯+⨯+⨯+⨯==8.75．∴ 这组数据的平均数是8.75．（Ⅲ）圆心角的度数为：（1－25%－40%－20%）×360°=54°．∴扇形①的圆心角度数是54°．22．（Ⅰ）证明：连接OD OE BD 、、．∵AB 是O ⊙的直径，∴ADB ∠=90°，∴CDB ∠=90°． ∵E 点是BC 的中点，∴12DE BC BE ==． ∵OD OB =，OE OE =，∴△ODE ≌△OBE ． ∴ODE OBE ∠=∠=90°．即DE OD ⊥．∴直线DE 是O ⊙的切线． （Ⅱ）解：连接OD ，由（Ⅰ）得ODE ∠=90°．∵CF OF =，CE EB =，∴FE ∥OB ． ∴AOD ODE ∠=∠=90°．∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠=45°．23解：∵CE 是排球反弹的路线，∴ACB ECD ∠=∠． 又∵90ABC EDC ∠=∠=，∴ABC EDC ∆∆∽ ．BC CD =． 即1.836ED =． 解得 3.6ED =m ．答：点E 到地面的高 3.6ED =m ．24．（Ⅰ）解：根据题意，得(13.5 2.5)(500100)y x x =--+， 整理，得21006005500y x x =-++（0≤x ≤11）． （Ⅱ）解：当600322(100)b x a =-=-=⨯-时，y 有最大值 2244(100)5500600640044(100)ac b a -⨯-⨯-==⨯-． 即降价3元时利润最大，∴销售价为10.5元时，最大利润是6400元．答：每件小商品销售价是10.5元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是6400元．F BC D EAOBCDEAO。

天津市和平区汇文中学九年级数学上册段考模拟试卷(含答案)如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（）A．25°B．30°C．50°D．60°2.某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1+x）2=146 B．50+50(1+x)+50(1+x)2=146 C.50(1+x)+50(1+x)2=146D．50+50(1+x)+50(1+2x)=1463.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB/C/，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．πB．πC．2πD．4π4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A．5月B．6月C．7月D．8月如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A．1 B．2 C．3 D．46.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE 沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A．B．5 C．6 D．7.二次函数y=ax2+bx+c有最大值为5，若关于x的方程|ax2+bx+c|=t最多有三个不相等的实数根，其中t为常数t≠0，则t的取值范围是（）A．t≥5 B．t＞5 C．t＜5 D．t≤5二、填空题:8.若x1，x2是方程x 2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2= ．9.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-1，2），点C的坐标为（-3，0），将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位，此时点C的对应点的坐标为．10.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．11.若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．12.四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三角形。

2014年天津市和平区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（2014•和平区三模）2cos30°的值等于（ ）　A． 1 B．C．D．2考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值直接解答即可．解答：解：2cos30°=2×=．故选C．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）　A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．解答：解：A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形．故选A．点评：对轴对称与中心对称概念的考查：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ）　A． 3 B．﹣1 C．5D．﹣1或3考点：平移的性质．分析：根据平移的性质，结合数轴的特点，计算求得点B所表示的实数．解答：解：点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，B点所表示的实数是2﹣3，即﹣1．故选B．点评：根据A点平移的单位数，计算出点B所表示的实数．4．（2014•和平区三模）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨，数3120000用科学记数法表示为（ ）　A． 3.12×104B．3.12×105C．3.12×106D．0.312×107考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于3120000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：3 120 000=3.12×106．故选C．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）　A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定　C．甲、乙两人成绩的稳定性相同D．无法确定谁的成绩更稳定考点：方差．分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解答：解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，∴S甲2＞S乙2，∴乙的成绩比甲的成绩稳定；故选B．点评：本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．（2014•和平区三模）如图是由5个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）　A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面、左面、上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．解答：解：从几何体的正面看可得2层小正方形，上面右侧有1个，下面有3个；从几何体的左面看可得2层小正方形，上面左侧有1个，下面有2个；从几何体的上面看可得2层小正方形，上面有3个，下面右侧有1个；故选：B．点评：本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置．7．（2014•和平区三模）下列说法错误的是（ ）　A．对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质　B．对角线互相垂直平分是正方形具有而菱形不具有的性质　C．每一条对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质　D．顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形考点：中点四边形；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．分析：利用中点四边形及特殊的平行四边形的判定方法逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，正确；B、菱形的对角线也互相垂直平分，故错误；C、每一条对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，正确；D、顺次连接任意四边形各边中所得的四边形一定是平行四边形，正确，故选B．点评：本题考查了中点四边形及特殊的平行四边形的判定方法，牢记这些判定方法是解答本题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（ ）　A．30° B．40° C．50°D． 60°考点：圆周角定理．分析：连接AD，由AB是⊙O的直径，可证∠ADB=90°，由圆周角定理可证∠A=∠C=30°，即可求∠ABD．解答：解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠C=30°，∴∠ABD=90°﹣∠A=60°．故选D．点评：本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的性质．9．（2014•和平区三模）已知x﹣3y=0，且y≠0，则（1+）•的值等于（ ）　A． 2 B．C．D．3考点：分式的化简求值．分析：把小括号内分式通分并把分母分解因式，然后根据分式的乘法运算进行计算，再把x=3y代入进行计算即可得解．解答：解：（1+）•，=•，=•，=，∵x﹣3y=0，且y≠0，∴x=3y，∴原式==．故选C．点评：本题考查了分式的化简求值，一般分子、分母能因式分解的先因式分解，本题先计算然后再对分母分解因式更简便．10．（2014•和平区三模）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′的大小为（ ）　A．10° B．15° C．20°D． 30°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质可得AB=AB′，∠AC′B′=∠C=90°，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解答：解：∵Rt△ABC旋转得到Rt△AB′C，点C′落在AB上，∴AB=AB′，∠AC′B′=∠C=90°，∴∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．故选C．点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．11．（2014•和平区三模）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）　A．B．C．D．考点：正多边形和圆．分析：根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．解答：解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=R，故BC=R；故圆内接正三角形、正方形的边长之比为R：R=：=：2．故选：A．点评：本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2014•和平区三模）甲乙两名大学生去距学校36千米的某乡镇进行社会调查，他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续前往乡镇，乙骑电动车按原路返回．乙取相机后（在学校取相机所用时间忽略不计），骑电动车追甲．在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇．乙电动车的速度始终不变．设甲与学校相距y甲（千米），乙与学校相离y乙（千米），甲离开学校的时间为x（分钟）．y甲、y乙与x之间的函数图象如图，则下列结论：①电动车的速度为0.9千米/分；②甲步行所用的时间为45分；③甲步行的速度为0.15千米/分；④乙返回学校时，甲与学校相距20千米．其中正确的个数是（ ）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：一次函数的应用．分析：①根据图象由速度=路程÷时间就可以求出结论；②先求出乙追上甲所用的时间，再加上乙返回学校所用的时间就是乙步行所用的时间．③先根据第二问的结论求出甲步行的速度；y=（y=，根据反比y=（y=，，当和为偶数的概率是 ．这两个球上的数字之和为偶数的概率是=．的长度为 ．∴△BCE≌△ACF（∴，∴∴CD=，BD==．故答案为：．=，则的长为 ．解答：解：（I）∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAR=90°，∵AE=1，∠DEP=45°，∴∠AER=∠DEP=45°，∴∠R=45°，∴AR=AE=1．故答案为：1；（II）∵四个等腰直角三角形的斜边长为a，∴斜边上的高为a，∵每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，∴拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，∴这个新正方形的边长为a；如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，∴S△RSF=a•a=a2．过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=﹣（不合题意，舍去）∴x=，即AD的长为．故答案为：a，．点评：本题考查了的是四边形综合题，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把各个不等式的解集的公共部分表示出来，就是不等式组的解集．解答：解：解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x＞﹣1，∴不等式的解集为﹣1＜x＜2．点评：解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．　图．补全条形统计图，如图所示：）根据题意得：×（4）根据题意得：350×=252（人），则该校350名九年级男生中估计有252人体能达标．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（10分）（2014•和平区三模）已知点C为直径BA的延长线上一点，CD切⊙O于点D，（Ⅰ）如图①，若∠CDA=26°，求∠DAB的度数；（Ⅱ）如图②，过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若⊙O的半径为3，BC=10，求BE的长．考点：切线的性质；勾股定理．分析：（I）根据切线的性质得出∠ODC=90°，求出∠ODA，根据等腰三角形的性质求出即可；（II）根据切线长定理得出BE=DE，根据勾股定理求出DC，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．解答：解：（I）如图①，连接OD，∵CD切⊙O于点D，∴∠ODC=90°，∴∠CDA+∠ODA=90°，∵∠CDA=26°，∴∠ADO=64°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ODA=64°；（II）如图②，连接OD，在Rt△ODC中，OC=BC﹣OB=10﹣3=7，CD===2，∵ED、EB分别为⊙O的切线，∴ED=EB，在Rt△CBE中，设BE=x，由EC2=EB2+BC2得：（x+2）2=x2+102，解得：x=，∴BE的长是．点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的应用，题目比较典型，难度适中．22．（10分）（2014•和平区三模）如图，某中学教学楼BM上有一宣传牌AB，为了测量AB的高度，先在地面上用测角仪自C处测得宣传牌底部B的仰角是37°，然后将测角仪向教学楼方向移动了4m 到达点F处，此时自E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知测角仪的高度是1m，教学楼高17米，且点D，F、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），则在Rt△AEN中，∠AEN=45°，可得EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，可得tan∠BCN=0.75，则可得方程，解此方程即可求得答案．解答：解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），在Rt△AEN中，∠AEN=45°，∴EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，∴tan∠BCN==0.75，∴，解得：x=1≈1.3．经检验：x=1是原分式方程的解．答：宣传牌AB的高度约为1.3m．根据对折的性质可知：θ=45（Ⅱ）如图1，∵将∠OCB沿直线∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5，∴点A的坐标（5，0）．（Ⅲ）2+或2+3如图2，∵∠DOG=∠DGO，∠ODC=∠OCD，∠ODC=∠DOG+∠DGO，∴∠OCG=2∠CGO，∴∠CGO=30°，∵△GAH是等腰三角形，∴∠FAB=60°，在RT△ABF中，BF=3，∴OF=×3=，∵OF=BC=2，∴OA=2+，∴a=2+，如图3所示，∵∠ODG=∠GOD=∠OCD，∠OGC=∠ODG+∠GOD，∴∠OGC=2∠OCD，∴∠ODG=∠OCD=30°，∵△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，∴∠OAB=30°，∴AF=BF=3，∴OA=2+3，∴a=2+3．点评：本题是几何变换综合题型，考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，有一定的难度．解题关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质．第（3）问中，有两种情形符合条件，需要分别计算，避免漏解．25．（10分如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．解答：解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：，解得：故抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2﹣（x+m）﹣4+，即：y=x2+（m﹣1）x+m2﹣m﹣；它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，∴4k+b=0，b=﹣4，∴y=x﹣4．同理直线AB：y=﹣2x﹣4；当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜；又∵m＞0，∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．（3）由A（0，﹣4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA；如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；∴AM1=20÷2=10；而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．综上，AM的长为10或2．点评：考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．。

解直角三角形50题一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）° B.1 C.4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )海里 B.(10－10)海里 C.10海里 D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）°≤A≤60°°≤A ＜90°°＜A ≤30°°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）B. C.0.6 D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）B.41.6814.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值X围是（）°＜α＜30°°＜α＜45°°＜α＜60°°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.ααα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B.° D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD 为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC=．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则=．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC=．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β=；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β=度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA=．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小X在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B 的仰角为45°，小X的观测点与地面的距离EF为．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。

2008—2009学年度天津市和平区九年级数学第二学期一模考试试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试卷满分120分。

考试时间100分钟。

第I 卷（选择题 共30分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. ︒60sin 的值等于（ ） A.21 B. 22 C. 23 D. 1 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）3. 下列计算正确的是（ ） A. 6332a a a =+B. ()11--=--a aC. ()222b a b a -=- D. ()62342a a =-4. 已知∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为︒x 、︒y ，下列方程组中符合题意的是（ ） A. ⎩⎨⎧+==+3090y x y x B.⎩⎨⎧-==+3090y x y x C. ⎩⎨⎧+==+30180y x y x D. ⎩⎨⎧-==+30180y x y x 5. 在一次射击练习中，小明的射击的成绩（单位：环）分别是9，8，9，10，9，下列关于这组数据的说法中错误的是（ ）A. 平均数是9B. 中位数是9C. 众数是9D. 方差是9 6. 如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ） A. 点N B. 点M C. 点Q D. 点P7. 如图，圆柱的左视图是（ ）8. 解放军某部接到上级命令，乘车前往灾区救灾，前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往。

若部队离开驻地的时间为t （小时），离开驻地的距离为s （千米），则能反应s 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）9. 常见复印纸的型号由大到小有A 0、A 1、A 2、A 3、A 4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A 3）的复印纸沿较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（如A 4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比约为（ ）A. 2：1B.1.414：1C. 1：0.618D. 无法确定，随纸张的大小而变化10. 有一块缺角矩形地皮ABCDE （如图），其中AB=110m ，BC=80m ，CD=90m ，∠EDC= 135°。

和平区2014－2015学年度第二学期九年级第二次质量调查数学学科试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 祝你考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算：1()(2)2-⨯-的结果等于（A ）1 （B ）－1 （C ）4 （D ）14-2．2cos60°的值等于（A ）1 （B（C（D3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4．某种细胞的直径是4510-⨯毫米，这个数是（A ）0.05毫米 （B ）0.005毫米 （C ）0.000 5毫米 （D ）0.000 05毫米（A ） （B ） （C ） （D ）5．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是6．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若ABC AOC ∠+∠=90°，则AOC ∠的 大小是 （A ）70° （B ）60° （C ）45° （D ）30°7．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调 查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中数据， 估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 （A ）600 （B ）520 （C ）130 （D ）78 8．直线132y x =+与x 轴的交点坐标为 （A ）（－6，0） （B ）（0，3） （C ）（0，－6） （D ）（3，0）（A ） （B ） （C ） （D ）正面9．外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是 （A ）八 （B ）六 （C ）四 （D ）三10．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，BE CF =，连接AE ，BF ．将 △ABE 绕正方形的对角线的交点O 按顺时针方向旋转到△BCF ，则旋转角是 （A ）30º （B ）45º （C ）60º （D ）90º11．反比例函数my x=①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③ 若A （－1，h ），B （2，k ④若P （x ，y ）在图象上，则P '（x -其中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C 12．如图，边长为1的正方形OABC 的顶点C 在y 轴的正半轴上．动点D 在边BC 点D 作DE OD ⊥，交边AB 于点E ，连接OE ．当线段OE 的长度取得最小值时， 点E 的纵坐标为 （A ）0 （B ）12 （C ）34（D ）1第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔)．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．若3m=，则22749m mm--的值等于．14．已知在反比例函数kyx=的图象的每一支上，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为．15．向阳村2012年的人均收入为12000元，2014年的人均收入为14520元，则人均收入的年平均增长率是．16．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．则至少有一辆汽车向左转的概率为．18．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则（Ⅰ）APPB的值= ；(Ⅱ)tan∠APD的值是．ABCDP三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本小题8分）解不等式组22,417.x x x x +⎧⎨--⎩≤①＞②请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．20．（本小题8分）如图是某校九年级学生为灾区捐款情况抽样调查的条形统计图和扇形统计图. （Ⅰ）求该样本的容量；（Ⅱ）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数； （Ⅲ）若该校九年级学生有800人，据此样本估计该校九年级学生捐款总数．01231-2-3-15 255元的人数 30%已知四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，DAB ∠=45°． （Ⅰ）如图①，判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）如图②，E 是⊙O 上一点，且点E 在AB 的下方，若⊙O 的半径为3cm ，5AE =cm ，求点E 到AB 的距离．22．（本小题10分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔P 90海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远（精确到0.1海里）？（参考数据sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67.）图① 图②九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（Ⅰ）求出y与x的函数关系式；（Ⅱ）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（Ⅲ）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于4800元？请直接写出结果．24．（本小题10分）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（3，0），（0，1）．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线12y x b =-+交边OA于点E．（Ⅰ）如图①，求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（Ⅱ）如图②，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形1111O A B C，试探究矩形1111O A B C与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（Ⅲ）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．25．（本小题10分）已知直线l ：y kx =，抛物线C ：21y ax bx =++．（Ⅰ）当1k =，1b =时，抛物线C 的顶点在直线l 上，求a 的值；（Ⅱ）若把直线l 向上平移21k +个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任一点，过点P 作PQ ∥y 轴且与直线2y =交于点Q ，O 为原点．求证：OP PQ =．图① 图②和平区2014－2015学年度第二学期九年级第二次质量调查数学学科试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B7．B 8．A 9．B 10．D 11．C 12．C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．31014．－1（提示：满足k＜0即可）15．10% 16．5 917．51318．（Ⅰ）3 （Ⅱ）2三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（本小题8分）解：（Ⅰ）x≤2；…………………………………2分（Ⅱ）x＞－2；…………………………………4分（Ⅲ）…………………………………6分（Ⅳ）－2＜x≤2．…………………………………8分20．（本小题8分）解：（Ⅰ）15÷30%＝50．∴该样本的容量是50；…………………………………2分（Ⅱ）该样本中捐款15元的人数为50－25－15＝10（人），∴它所占的圆心角：1050×360°＝72°．…………………………………5分（Ⅲ）∵50名学生捐款总数为：5×15+10×25+15×10＝475（元）， 有800475760050⨯=． ∴据此样本估计该校九年级学生捐款总数约为7600元． …………………８分 21．（本小题10分）解：（Ⅰ）CD 与⊙O 相切． …………………………………1分理由如下：连接OD ，…………………………………2分∵OA OD =， ∴ADO A ∠=∠=45°．∴AOD ∠=180°ADO A -∠-∠=90°． …………………………………3分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ．∴CDO AOD ∠=∠=90°． …………………………………4分 ∴CD OD ⊥．∴CD 与⊙O 相切． …………………………………5分 （Ⅱ）过点E 作EF AB ⊥于点F ，连接BE ， …………………………………6分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴AEB ∠=90°． …………………………………7分 在Rt △AEB 中，5AE =，6AB =，由勾股定理，得BE =． ……………………………8分 由1122ABE S AE BE AB EF ∆==，得5EF ． 分∴EF∴点E 到AB ． …………………………………10分22．（本小题10分）解：在Rt △APC 中，A ∠＝65°，∵sin PCA PA=，…………………………………2分 ∴sin 90sin PC PA A =⨯=⨯65°900.9181.90≈⨯=． ………………………………5分 在Rt △BPC 中，B ∠＝34°，∵sin PCB PB=， …………………………………7分 ∴81.90146.3sin sin340.56PC PC PB B ==≈≈°． …………………………………9分 答：海轮所在的B 处距离灯塔P 大约146.3海里． ………………………………10分 23．（本小题10分）解：（Ⅰ）当1≤x ＜50时，2(2002)(4030)21802000y x x x x =-+-=-++．…2分 当50≤x ≤90时，(2002)(9030)12012000y x x =--=-+． 综上，2(150),21802000(5090).12012000x x x y x x ⎧-++=⎨-+⎩≤＜≤≤ …………………………………4分（Ⅱ）当1≤x ＜50时，22218020002(45)6050y x x x =-++=--+， ∵－2＜0，∴当45x =时，y 有最大值，最大值为6050． …………………………………6分 当50≤x ≤90时，12012000y x =-+， ∵－120＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，y 有最大值，最大值为1205012000=6000-⨯+． ……………8分 ∵6000＜6050，∴当45x =时，即第45天时销售利润最大，最大利润是6050元．………………9分 （Ⅲ）41天． …………………………………10分 24．（本小题10分）解：（Ⅰ）∵四边形OABC 是矩形， ∴CB ∥x 轴．由点C 的坐标为（0，1），可知点D 的纵坐标为1.把1y =代入12y x b =-+，得112x b =-+．解得22x b =-．∴点D 的坐标为（22b -，1）． …………………………………2分把0y =代入12y x b =-+，得102x b =-+．解得2x b =．∴点E 的坐标为（2b ，0）． …………………………………4分 （Ⅱ）记CB 与11O A 的交点为M ，11C B 与OA 的交点为N ， ∵四边形OABC ，四边形1111O A B C 是矩形， ∴CB ∥OA ，11C B ∥11O A ． ∴四边形DMEN 是平行四边形．∵矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为矩形1111O A B C ， ∴12∠=∠． ∵CB ∥OA ， ∴23∠=∠． ∴13∠=∠． ∴DM ME =．∴□DMEN 是菱形． …………………5分 过点D 作DH OA ⊥于点H ， 由D （22b -，1），E （2b ，0），可知22CD b =-，2OE b =,22OH CD b ==-． ∴2(22)2EH OE OH b b =-=--=． 设菱形DMEN 的边长为m ，1在Rt △DHN 中，1DH =，2HN EH NE m =-=-，DN m =．由222DH HN DN +=，得2221(2)m m +-=． …………………………………6分 解得54m =． …………………………………7分 ∴55144DMEN S NE DH ==⨯=菱形．所以重叠部分菱形DMEN 的面积不变，为54． ………………………………8分 （Ⅲ）菱形面积的最小值是1． …………………………………9分菱形面积的最大值是53． …………………………………10分25．（本小题10分）解：（Ⅰ）∵22111()124y ax x a x a a=++=++-， ∴顶点（12a-，114a -）在y x =上，∴11124a a -=-，解得14a =-． …………………………………2分 （Ⅱ）①∵无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点， ∴1k =，2k =时，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．当1k =时，r ：2y x =+，代入C ：21y ax bx =++，有2(1)10ax b x +--=． ∴21(1)40b a ∆=-+=． …………………………………3分 当2k =时，r ：25y x =+，代入C ：21y ax bx =++，有2(2)40ax b x +--=．22(2)160b a ∆=-+=． …………………………………4分 解方程组22(1)40,(2)160.b a b a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩得1,40a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；或1,364.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………………6分∵r ：21y kx k =++代入C ：21y ax bx =++，得22()0ax b k x k +--=． ∴22()4b k ak ∆=-+．当1,40a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时，22221()4()04k k k k ∆=-+-=-=．故无论k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点． 当1,3643a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，222418816()4()336939k k k k ∆=-+-=-+．显然虽k 值的变化，∆不恒为0，所以不合题意舍去．∴C ：2114y x =-+． …………………………………7分②证明：根据题意，画出图象如图，由点P 在抛物线2114y x =-+上，设点P 的坐标为（x ，2114x -+），连接OP ，过点P 作PQ ⊥直线2y =于点Q ，作PD x ⊥轴于点D ，∵2114PD x =-+，OD x =，∴2114OP x ==+． 22112(1)144PQ x x =--+=+．∴OP PQ =．…………………………………10分。

圆一、选择题：1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连结AD、BC．若∠BCD=70°，则∠BAD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.53.已知☉O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不确定4.已知⊙O半径为3,M为直线AB上一点,若MO=3,则直线AB与⊙O的位置关系为（）A.相切B.相交C.相切或相离D.相切或相交5.正多边形的一个内角的度数不可能是()A．80° B．135° C．144° D．150°6.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm7.如图,将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过图形面积为（）A.πB.πC.6πD.π8.如图，AB是⊙O的弦，CD与⊙O相切于点A，若∠BAD=66°，则∠B等于（）A.24°B.33°C.48°D.66°9.如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A．3 B．4 C．5 D．610.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A.2B.8C.2D.211.如图是一块△ABC余料,已知AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（）A.πcm2B.2πcm2C.4πcm2D.8πcm212.如图,在扇形AOB中∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上，点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,则阴影部分的面积为（）A.2π-4B.4π-8C.2π-8D.4π-4二、填空题：13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=130°,连接OC,点P是半径OC上任意一点,连接DP,BP,则∠BPD可能为度（写出一个即可）．14.AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，若CD长为6，则⊙O的半径长为．15.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为 .16.一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为 cm．17.如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为．18.平行线交⊙D于M，N，则MN的长是．三、解答题：19.已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC.20.如图,在□ABCD中,∠ABC=70°,半径为r的⊙O经过点A,B,D,的长是,延长CB至点P,使得PB=AB.判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由．21.如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O.（1）如图1，若AB为⊙O直径，DE切⊙O于F，与BC交于E点，求BE的长；（2）如图2，若⊙O与BC交于E点，且DE为⊙O切线，E为切点，求⊙O的半径.22.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．23.如图,已知BC是⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB交⊙O于点D,E为AC的中点,连接CD,DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．24.如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径,AC:BC=1:2，点D为弧AB的中点,BE⊥CD垂足为E．(1)求∠BCE的度数；(2)求证：D为CE的中点；(3)连接OE交BC于点F，若AB=，求OE的长度．参考答案1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.D8.A9.C10.D11.C．12.A13.答案为：80．14.答案为：2．15.答案:216.解：设底面半径为r，母线为l，∵主视图为等腰直角三角形，∴2r=l，∴侧面积S侧=πrl=2πr2=16πcm2，解得 r=4，l=4，∴圆锥的高h=4cm，故答案为：4．17.答案为：6﹣218.答案为219.略20.解：直线PA与⊙O相交；理由如下：连接OA、OD，如图所示：∵PB=AB，∴∠P=∠BAP，∵∠ABC=∠P+∠BAP，∴∠BAP=∠ABC=35°，设∠AOD的度数为n，∵的长==，解得：n=90，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=110°，∴∠BAO=∠BAD﹣∠OAD=110°﹣45°=65°，∴∠OAP=35°+65°=100°＞90°，∴直线PA与⊙O相交．21.解：（1）BE=16/7；（2）半径为：.22.（1）解：如图所示，（2）相切；理由如下：证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，21∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，∴OD⊥BC，即BC是⊙O的切线．23.解：（1）连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∵E为AC的中点，∴DE=EC=0.5AC，∴∠1=∠2，∵OD=OC，∴∠3=∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△BCD中，∵BD=4，CD=3，∴BC=5，∵∠BCD=∠BCA=90°，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴CD:AC=BD:BBC,即3:AC=4:5，∴AC=3.757．24.22。

天津市和平区一般中学2024届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF. 求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路途为B→A→G→E，小聪行走的路途为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE ，AF .问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6 cm ，∠ABC ＝60°.(1)试推断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH 的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HG GF的值． 12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ；②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析：1. A2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，依据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B.3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，依据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线相互垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5 (2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)依据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)依据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO ·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4 【解析】依据菱形对角线相互垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3 cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，依据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BH HG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HG GF的值． 12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE ＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HC CD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。

2013-2014学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确；B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误；故选A．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中的不可能事件是（）A．点数之和小于4 B．点数之和为10C．点数之和为14 D．点数之和大于5且小于9考点：随机事件．分析：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解答：解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于2，而小于或等于12．显然，是不可能事件的是点数之和是14．故选C．点评：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D． x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．4．（3分）如图，圆内接四边形ABCD是正方形，点E是上一点，则∠E的大小为（）A．90° B．60° C．45°D．30°考点：圆周角定理；正方形的性质．分析：连接AC、BD交于点O，根据正方形ABCD为内接四边形以及正方形的性质可得∠AOD=90°，然后根据圆周角定理可求得∠E的度数．解答：解：连接AC、BD交于点O，∵圆内接四边形ABCD是正方形，∴AO=BO=CO=DO，∠AOD=90°，∴点O为圆心，则∠E=∠AOD=×90°=45°．故选C．点评：本题考查了圆周角定理以及正方形的性质，关键是得出∠AOD=90°，并熟练掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25° B．30° C．35°D．40°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．解答：解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，故选：B．点评：此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．6．（3分）在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③考点：利用频率估计概率．专题：压轴题．分析：根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，分别分析得出即可．解答：解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1﹣20%﹣50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出是解题关键．7．（3分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D考点：旋转的性质．分析：连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解答：解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．点评：本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．8．（3分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠COD=84°，CA平分∠OCD，则∠ABD+∠CAO= （）A．60° B．52° C．48°D．42°考点：圆周角定理．分析：先根据三角形的内角和定理求得∠OCD的度数，然后根据角平分线的性质得出∠ACO=∠ACD，同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠ACD，最后转化为∠ABD+∠CAO=∠ACD+∠ACO=∠OCD=48°，即可得解．解答：解：在△COD中，∵OC=OD（⊙O的半径），∴∠OCD=∠ODC，又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，∠COD=84°，∴∠OCD=48°，∵CA平分∠OCD，∴∠ACO=∠ACD，∵∠ABD=∠ACD，∠CAO=∠ACO，∴∠ABD+∠CAO=∠ACD+∠ACO=∠OCD=48°．故选C．点评：本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出∠ABD=∠ACD，注意角平分线性质的运用．9．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．B．5C．4D．考点：旋转的性质．专题：压轴题．分析：先求出∠ACD=30°，再根据旋转角求出∠ACD1=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，∴∠DCE=90°﹣30°=60°，∴∠ACD=90°﹣60°=30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD1=30°+15°=45°，又∵∠A=45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AO=CO=AB=×6=3，AB⊥CO，∵DC=7，∴D1C=DC=7，∴D1O=7﹣3=4，在Rt△AOD1中，AD1===5．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点．10．（3分）设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x=0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x=0的根是（）A．a，b B．﹣a，﹣b C．c，d D．﹣c，﹣d考点：一元二次方程的解．专题：方程思想；待定系数法．分析：首先把（x﹣a）（x﹣b）﹣x=0变为x2﹣（a+b+1）x+ab=0，而方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x=0的两根是c、d，利用根与系数可以得到a、b、c、d之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题．解答：解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x=0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab=0，而方程的两个根为c、d，∴c+d=a+b+1，①cd=ab，②又方程（x﹣c）（x﹣d）+x=0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd=0，③∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab=0，（x﹣a）（x﹣b）=0，∴x=a，x=b．故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转60度可以和原来的图形重合．考点：旋转的性质．专题：几何变换．分析：根据正六边形的性质，求出它的中心角即可．解答：解：∵正六边形的中心角==60°，∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．故答案60．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正六边形的性质．12．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．考点：根的判别式．分析：由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．（3分）已知关于x的方程x 2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为﹣1．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：把x=﹣a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a，即可得出答案．解答：解：把x=﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a=0，a2﹣ab+a=0，∵a≠0，∴两边都除以a得：a﹣b+1=0，即a﹣b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解的定义，题型较好，难度适中．14．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．考点：弧长的计算．分析：利用底面周长=展开图的弧长可得．解答：解：，解得r=．点评：解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，则小圆形场地的半径=（5+5）m．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．解答：解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，根据题意得：π（x+5）2=2πx2，解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）．故答案为：（5+5）m．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．16．（3分）甲、乙、丙三人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件，则甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：设甲乙丙带的礼物分别为A、B、C，根据题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况共有（B、C、A）和（C、B、A）2种，所以，P（甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物）==．故答案为：．点评：本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（3分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3），则△ABC 的外接圆的直径=2．考点：三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．专题：几何图形问题；数形结合．分析：首先根据题意画出图形，作AB的垂直平分线交∠AOC的角平分线于点D，连接BD，即可得点D是△ABC的外接圆的圆心，易得直线OD的解析式为：y=﹣x，点D的横坐标为：﹣2，则可求得点D的坐标，继而求得答案．解答：解：如图，作AB的垂直平分线交∠AOC的角平分线于点D，连接BD，∵A（﹣3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3），∴OA=OC，∴OD垂直平分AC，∴点D是△ABC的外接圆的圆心，∴直线OD的解析式为：y=﹣x，点D的横坐标为：﹣2，∴D的坐标为：（﹣2，2），∴BD==，∴△ABC的外接圆的直径为：2．故答案为：2．点评：此题考查了三角形的外接圆与外心的性质、勾股定理以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．18．（3分）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．在图1中，画出ABC的三条高的交点P；在图2中，画出ABC中AB边上的高，并写出画法（不要求证明）．考点：作图—复杂作图．分析：（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．解答：解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；（2）如图所示：延长AC、BC分别交半圆于点D，E，连接AD，BE，并延长相交于点P，连接PC并延长交AB于T，则CT就是AB上的高．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：根据切线长定理，可设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．再根据题意列方程组，即可求解．解答：解：根据切线长定理，设AE=AF=xcm，BF=BD=ycm，CE=CD=zcm．根据题意，得，解，得．即AF=4cm、BD=5cm、CE=9cm．点评：此题要熟练运用切线长定理．注意解方程组的简便方法：三个方程相加，得到x+y+z的值，再进一步用减法求得x，y，z 的值．20．（8分）解下列方程（Ⅰ）x（x﹣3）+x﹣3=0（Ⅱ）4x2+12x+9=81．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（Ⅰ）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（Ⅱ）方程整理后，配方变形，开方即可求出解．解答：解：（Ⅰ）分解因式得：（x﹣3）（x+1）=0，可得x﹣3=0或x+1=0，解得：x1=3，x2=﹣1；（Ⅱ）方程整理得：x2+3x=18，配方得：x2+3x+=，即（x+）2=，开方得：x+=±，解得：x1=3，x2=﹣6．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21．（8分）（Ⅰ）如图甲中，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（Ⅱ）如图乙所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：（1）这个三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；作图-旋转变换．分析：（I）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形；（II）（1）根据中心对称的性质解答；（2）根据中心对称图形的性质画出图形即可．解答：解：（I）如图甲所示：（II）（1）由图可知，这三个图案都具有以下共同特征：都要是中心对称图形，都不是轴对称图形．故答案为：中心，轴；（2）如图②所示．点评：本题考查的是利用旋转设计图案，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．22．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？考点：概率公式；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．解答：解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题意，得≥，解得：x≥，∵x为整数，∴x的最小正整数解是x=9．答：至少取走了9个黑球．点评：此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．23．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD 的延长线交于点F．（Ⅰ）求证：CD∥BF．（Ⅱ）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．考点：切线的性质；弧长的计算．专题：证明题．分析：（1）由BF为⊙O的切线，根据切线的性质得OB⊥BF，由DE=CE，根据垂径定理得OB⊥DC，则根据平行线的性质得CD∥BC；（2）连结OD、OC，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A=70°，则∠COD=2∠BOD=140°，然后根据弧长公式求解．解答：（1）证明：∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵DE=CE，∴OB⊥DC，∴CD∥BC；（2）解：连结OD、OC，如图，∵∠A=35°，∴∠BOD=2∠A=70°，∴∠COD=2∠BOD=140°，∴的长度==π．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和弧长公式．24．（8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解题方案：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，（Ⅰ）用含x的解析式表示：第一轮后共有1+x人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有1+x+x（x+1）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x（1+x）=121；（Ⅲ）解这个方程，得x=﹣12或x=10；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10个人．考点：一元二次方程的应用．分析：设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x（x+1）人患病，据此即可列方程求解．解答：解：（Ⅰ）用含x的解析式表示：第一轮后共有1+x人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有1+x+x（1+x）人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x（1+x）=121；（Ⅲ）解这个方程，得x=﹣12或x=10；（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10个人，故答案为：1+x；1+x+x（x+1）；1+x+x（1+x）=121；x=﹣12或x=10；10．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．25．（10分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以点O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．（Ⅰ）如图①，求证：直线AC是⊙O的切线（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求BD与OC之间的数量关系．考点：切线的判定．分析：（1）根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数，求出∠BAO，求出∠OAC=90°，根据切线的判定求出即可；（2）连接AE，求出∠AEB的度数，根据平行线求出∠DAO，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据四边形的内角和定理求出∠DAO，根据平行四边形的判定得出▱BOAD，则BD=AO=OC．解答：（1）证明：如图①，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠BAC）=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=30°，∴∠OAC=120°﹣30°=90°，即OA⊥AC，∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．（2）证明：如图②，连接AE．由（1）知，OA⊥AC，∠C=30°，∴AO=OC∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，∴由圆周角定理得：∠AEB=∠AOB=60°，∵D、B、E、A四点共圆，∴∠D+∠AEB=180°，∴∠ADB=120°，∵AD∥BC，∴∠DAO+∠BOA=180°，∴∠DAO=60°，∴∠DBO=360°﹣60°﹣120°﹣120°=60°，即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，∴四边形BOAD是平行四边形，∵BD=AO=OC，即BD=OC．点评：本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．26．（10分）已知矩形ABCD内接于⊙O，AB=6cm，AD=8cm，以圆心O为旋转中心，把矩形ABCD顺时针旋转，得到矩形A′B′C′D′仍然内接于⊙O，记旋转角为α（0°＜α≤90°）．（Ⅰ）如图①，⊙O的直径为10cm；（Ⅱ）如图②，当α=90°时，B′C′与AD交于点E，A′D′与AD交于点F，则四边形A′B′EF 的周长是14cm．（Ⅲ）如图③，B′C′与AD交于点E，A′D′与AD交于点F，比较四边形A′B′EF的周长和⊙O 的直径的大小关系；（Ⅳ）如图④，若A′B′与AD交于点M，A′D′与AD交于点N，当旋转角α=45（度）时，△A′MN是等腰三角形，并求出△A′MN的周长．考点：圆的综合题；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；旋转的性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接AC，如图①，只需运用勾股定理就可求出⊙O的直径．（Ⅱ）连接AB′，A′D，如图②，由矩形及旋转的性质可得AD=B′C′，然后由在同圆中弦与弧的关系可得=，从而有=，然后根据圆周角定理可得∠AB′C′=∠B′AD，从而有EA=EB′；同理可得DF=FA′，进而可证到四边形A′B′EF的周长等于AB+AD，问题得以解决．（Ⅲ）连接AB′，A′D，BD，如图③，借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，同样可得四边形A′B′EF 的周长等于AB+AD，然后运用三角形三边关系就可解决问题．（Ⅳ）连接AB′，A′D，如图④，易得旋转角α=45°时，△A′MN是等腰三角形，然后借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，可得A′N=DN，PA=PB′．设AM=x，A′N=y，则有A′B′=A′M+MP+B′P=y+x+x=6①，AD=AM+MN+DN=x+y+y=8②．解①和②就可求出△A′MN的周长．解答：解：（Ⅰ）如图①，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，∠ABC=90°．∵矩形ABCD内接于⊙O，∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径．∵AB=6，BC=8，∴AC=10．故答案为：10．（Ⅱ）如图②，连接AB′，A′D．由旋转可得：A′D′=AD，A′B′=AB．∵四边形A′B′C′D′是矩形，∴B′C′=A′D′．∴AD=B′C′．∴=．∴=．∴∠B′AD=∠AB′C′．∴EA=EB′．同理可得：DF=FA′．∴四边形A′B′EF的周长=A′B′+B′E+EF+FA′=AB+EA+EF+DF=AB+AD=6+8=14．故答案为：14．（Ⅲ）如图③，连接AB′，A′D，BD．由（2）中证明可得：EA=EB′，DF=FA′．∵A′B′+B′E+EF+FA′=AB+EA+EF+DF=AB+AD＞BD，∴四边形A′B′EF的周长大于⊙O的直径．（Ⅳ）如图④，连接AB′，A′D．∵四边形A′B′C′D′是矩形，∴∠B′A′D′=90°．∵△A′MN是等腰三角形，∴A′M=A′N，∠A′MN=∠A′NM=45°．∴旋转角α等于45°．∴当旋转角α等于45°时，△A′MN是等腰三角形．故答案为：45．由（2）中的证明可得：A′N=DN，PA=PB′．∵∠AMP=∠A′MN=45°，∠BAD=90°，∴∠APM=45°=∠AMP．∴AM=AP．∴AM=AP=PB′，A′M=A′N=DN，MP=AM，MN=A′N．设AM=x，A′N=y，则A′B′=A′M+MP+PB′=y+x+x=6①，AD=AM+MN+DN=x+y+y=8②．由②﹣①得：（y﹣x）=2．解得：y﹣x=．则x=y﹣．把x=y﹣代入②得：y﹣+y+y=8，解得：2y+y=8+．∴△A′MN的周长为2y+y=8+．点评：本题通过矩形旋转，考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、同圆中弧与弦之间的关系、解二元一次方程组、勾股定理等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，另外还考查了运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．。