高考数学一轮复习讲义 第58课时 圆锥曲线的综合问题 理

第58课时圆锥曲线的综合问题教学目标：能够解决解析几何的综合咨询题.〔一〕要紧知识及要紧方法：1. 圆锥曲线综合咨询题包含内部综合、圆锥曲线与其它章节的综合以及运用圆锥曲线解决实际咨询题前者用到圆锥曲线重要的思想与方法，是高考的热点；圆锥曲线与其它章节的综合要注意各部分知识点的联系，后者要通过建立数学模型，把实际咨询题转化为数学咨询题求解.2. 关于较为综合的解析几何咨询题，必须对题目的内涵进行深刻挖掘的基础上，应用整体思想，构建转化的”框架〃，然后，综合利用代数手段解题.3. 圆锥曲线的定义是解决综合题的基础，定义在本质上揭示了平面上的动点与定点〔或定直线〕的距离满足某种专门关系，从数形结合思想去明白得圆锥曲线中的参数〔a,b,c,e, p 等〕的几何意义以及这些参数间的相互关系，进而通过它们之间组成题设条件的转化.4. 综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判不式、韦达定理的意识.5. 解析几何应用咨询题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数咨询题作出定量或定性的分析与判定〔三〕典例分析：咨询题1〔06四川〕两定点F,( .2,0), F2C、2,0),满足条件鼻2 鼻1 2的点P的轨迹是曲线E，直线y kx 1与曲线E交于A、B两点。

假如AB 6託且曲线E上存在点C ,使O A OB mO*,求m的值和△ ABC的面积S.2 2咨询题2. (06湖南〕椭圆C i : —— 1,抛物线C2: (y m)2 2px(p 0),4 3且C i、C2的公共弦AB过椭圆C i的右焦点1当AB x轴时，求m、p的值，并判定抛物线C2的焦点是否在直线AB上；2是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？假设存在，求出符合条件的m、p的值；假设不存在，请讲明理由.咨询题 3.〔07宁夏〕在平面直角坐标系xOy中，通过点(0, 2)且斜率为k的直线I 2x与椭圆y2 1有两个不同的交点P和Q . 1求k的取值范畴；22 ［设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分不为A, B，是否存在常数k，使得向量OP OQ 与AB共线？假如存在，求k值；假如不存在，请讲明理由.2 咨询题4.〔 06重庆〕 一列椭圆C n : X 2 吿1 假设椭圆C n 上有一点P n ，使P n 到右准线I n 的距离d n 是 的等差中项，其中 F n 、G n 分不是C n 的左、右焦点。

2019-2020年高三数学第58课时圆锥曲线的综合问题教案教学目标：能够解决解析几何的综合问题.（一）主要知识及主要方法：圆锥曲线综合问题包含内部综合、圆锥曲线与其它章节的综合以及运用圆锥曲线解决实际问题前者用到圆锥曲线重要的思想与方法，是高考的热点；圆锥曲线与其它章节的综合要注意各部分知识点的联系，后者要通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解. 对于较为综合的解析几何问题，必须对题目的内涵进行深刻挖掘的基础上，应用整体思想，构建转化的“框架”，然后，综合利用代数手段解题.圆锥曲线的定义是解决综合题的基础，定义在本质上揭示了平面上的动点与定点（或定直线）的距离满足某种特殊关系，从数形结合思想去理解圆锥曲线中的参数（等）的几何意义以及这些参数间的相互关系，进而通过它们之间组成题设条件的转化.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.（三）典例分析：问题1．（四川）已知两定点满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。

如果且曲线上存在点，使求的值和的面积.问题2．(湖南）已知椭圆：,抛物线：,且、的公共弦过椭圆的右焦点当轴时,求、的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；是否存在、的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.问题3．（宁夏）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．求的取值范围；设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．问题4．（重庆）已知一列椭圆：，.….若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与Array的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。

试证：≤（≥）；取，并用表示的面积，试证：且（≥）问题5．某工程要挖一个横断面为半圆柱形的坑，挖出的土只能沿道路、运到处（如图），已知，，，试说明怎样运土最省工（四）课后作业：设集合，()(){}22,1N x y x y a =+-≤，且，求实数的取值范围.正方体的面中有一动点到直线和的距离相等，则动点的轨迹是 一线段 抛物线的一部分 椭圆 椭圆的一部分要建造一座跨度为米，拱高为米的抛物线拱桥，建桥时，每隔米用一根柱支撑，两边的柱长应为（南京模拟）已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过，则该椭圆的离心率为若椭圆和双曲线有共同的焦点、且是两条曲线的一个交点,则的面积是已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（届高三攸县一中）已知椭圆与双曲线有相同的准线，则动点的轨迹为椭圆的一部分双曲线的一部分抛物线的一部分直线的一部分已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是求与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为对于任意，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与轴交于两点，以表示该两点的距离，则112219991999A B A B A B ++⋅⋅⋅+的值是（六）走向高考：（辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（湖北）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于(天津文)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（四川）设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.（上海）点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，.求点的坐标；设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值.。

1.已知λR，则不论λ取何值，曲线C：λx2－x－λy＋1＝0恒过定点( D ) A．(0,1) B．(－1,1) C．(1,0) D．(1,1) 解析：由λx2－x－λy＋1＝0，得λ(x2－y)－(x－1)＝0. 依题设，即， 可知不论λ取何值，曲线C过定点(1,1)． 2.若点A的坐标为(3,2)， F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，P点的坐标为( B ) A．(3,3) B．(2,2) C．(，1) D．(0,0) 解析：如图，根据抛物线的定义可知|PF|等于点P到准线l的距离|PQ|.则当A、P′、Q′三点共线时|PA|＋|PF|最小，此时，可求得P′(2,2)． 3.(2012·山东省高考冲刺预测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则·为定值( D ) A．a2b2 B．2ab C．a2 D．－a2 解析：设P(x，y)，则M(y，y)，N(－y，y)， 于是·＝(y－x,0)·(－y－x,0) ＝(y－x)(－y－x) ＝(b2x2－a2y2) ＝＝a2， 所以·＝－·＝－a2，故选D. 4.(2012·山东省莱芜市上期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为( A ) A. B．3 C．8 D．15 解析：设P(x，y)，由题意得F(－2,0)， 所以·＝(x＋2，y)·(x，y) ＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋5 ＝(x＋)2＋(－3<xb>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为坐标原点)． (1)求证：＋等于定值； (2)若椭圆离心率e[，]时，求椭圆长轴长的取值范围． 解析：(1)证明：由 (a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0. 由Δ＞0a2b2(a2＋b2－1)＞0， 因为a＞b＞0，所以a2＋b2＞1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是的两根， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由·＝0得，x1x2＋y1y2＝0， 即 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， 将代入得，a2＋b2＝2a2b2，所以＋＝2，为定值． (2)由(1)a2＋b2＝2a2b2得2－e2＝2a2(1－e2)， 所以a2＝＝＋， 又≤e≤，所以≤a≤，长轴2a[，]． 9.(2012·山东省淄博市第一学期期中)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为＋1，且PF1F2的最大面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的kR，·是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 解析：(1)由题意可知： a＋c＝＋1，×2c×b＝1， 因为a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，c2＝1， 所以所求椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为y＝k(x－1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(，0)， 联立，消去y，得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 则. 因为＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)， ·＝(x1－)(x2－)＋y1y2 ＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋y1y2 ＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(－－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋ ＝－. 对任意xR，有·＝－为定值．。

圆锥曲线的综合问题●知识梳理分析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它自己重视于形象思想、 推理运算和数形联合，综合了代数、三角、几何、向量等知识. 反应在解题上，就是依据曲线的几何特色准确地变换为代数形式，依据方程画出图形，研究几何性质. 学习时应娴熟掌握函数与方程的思想、数形联合的思想、参数的思想、分类与转变的思想等，以达到优化解题的目的.详细来说，有以下三方面：（ 1）确立曲线方程，本质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 . 有时题设设计的特别隐蔽，这就要求仔细审题，发掘题目的隐含条 件作为解题打破口 .（ 2）分析几何也能够与数学其余知知趣联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思想的灵巧性和多面性，能够顺利进行转变，即从一知识转变为另一知识.（ 3）分析几何与其余学科或本质问题的综合，主要表此刻用分析几何知识去解相关知 识，详细地说就是经过成立坐标系， 成立所研究曲线的方程， 并经过方程求解往返答本质问题. 在这一类问题中“本质量”与“数学量”的转变是易犯错的地方，这是由于在座标系中 的量是“数目” ，不单有大小还有符号 .●点击双基1. （ 2005 年春天北京， 5）设 abc ≠0，“ ac >0”是“曲线 ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件 2 2分析： ac >0 曲线 ax +by =c 为椭圆 .答案： B2. 到两定点 A （0， 0）， B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是A. 椭圆所在直线 C. 线段 ABD. 无轨迹分析：数形联合易知动点的轨迹是线段： = 4，此中 0≤ x ≤ 3.AB3答案： C3. 若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则x y 的最小值为2B. － 1C.－23D. 以上都不对3分析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 . 明显直线与椭圆相x2切时获得最值，设直线 = （ － 2）代入椭圆方程（ 4+k 2）x 2－4 2 +4 2－4=0.y k xk x k令 =0， k =± 23 .3∴ k min =－ 23 .3答案： C4. （ 2005 年春天上海， 7）双曲线 9 2－ 16 y 2=1 的焦距是 ____________.x分析：将双曲线方程化为标准方程得x2y221 21 ，－ 1 =1. ∴ a =9 ， b =16 19 16c 2=a 2+b 2= 1 + 1 =25 .9 16 144∴ c = 5， 2c = 5.126答案：565. （ 2004 年春天北京）若直线+ －3=0 与圆 x 2+ y 2=3 没有公共点，则mx ny系式为 ____________；以（ m ， n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆公共点有 ____________个 .分析：将直线 mx +ny － 3=0 变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去 x ，得（2+2） y 2－ 6 ny +9－3 2=0.m nm22令 <0 得 m +n <3.又 m 、n 不一样时为零，2 2∴ 0<m +n <3.223 ， | m |< 3 ，由 0<m +n <3，可知 | n |<m 、n 知足的关2 2 x y再由椭圆方程 a = 7 ， b = 3 可知公共点有 2 个.2 2答案： 0<m +n <3 2 ●典例分析【例 1】 （2005 年春天北京， 18）如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b （ a >0， b ≠ 0），且交抛物线 y 2=2px （p >0）于 M （ x 1， y 1），N （ x 2， y 2）两点 .lyMOa xb N（ 1）写出直线 l 的截距式方程；（ 2）证明： 1+1=1；y 1y 2 b （ 3）当 =2 时，求∠的大小 .a pMON分析：易知直线l 的方程为 x + y =1 ，欲证 1+1=1，即求 y1y 2 的值，为此只要aby 1 y 2by 1 y 22=2px 交点的纵坐标 . 由根与系数的关系易得 121 2的值，从而证得 求直线 l 与抛物线 y y +y 、y y 1+ 1 = 1. 由 OM · ON =0 易得∠ MON =90° . 亦可由 k OM ·k ON =－ 1 求得∠MON =90° . y 1 y 2 b（ 1）解：直线 l 的截距式方程为x + y=1.a b①（ 2）证明：由①及 y 2=2 消去x可得by 2+2－2 =0.pxpaypab②点、 的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+ 2=2 pa ， 1 y 2=－2. M Npab2 pa所以 1 + 1y 1 y 2 = b1== .y 1 y 2y 1 y 2 2 pa b （ 3）解：设直线 OM 、 ON 的斜率分别为k 1、 k 2，则 k 1=y 1，k 2=y 2.x 1 x 2当 a =2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa =－ 4p 2，2222由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2）=4p x 1 x 2，x 1x 2= ( y 1 y 2 ) 2 =( 4 p 2 ) 2=4p 2，4 p 2 4 p 2所以 ky 1 y 2 4 p 21k 2===－ 1.x 1 x 24 p 2所以 OM ⊥ ON ，即∠ MON =90° .评论：此题主要考察直线、 抛物线等基本知识， 考察运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力 .【例 2】 （2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为x 2+ y 2=1（ a >b >0），双a 2b 2x 2 y 2121曲线a 2－b 2 =1 的两条渐近线为 l 、l ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l ，又 l 与l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下挨次为A 、B . （以下列图）ylPl 2AOFx Bl 1（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ的最大值 .分析：（ 1）求椭圆方程即求、 b 的值，由l 1与l2的夹角为 60°易得b=3，由双曲aa3线的距离为 4 易得 a 2+b 2=4，从而可求得 a 、b .（ 2）由 FA =λ AP ，欲求 λ 的最大值，需求A 、P 的坐标，而 P 是 l 与 l 1 的交点，故需求 l 的方程 . 将 l 与 l 2 的方程联立可求得 P 的坐标，从而可求得点A 的坐标 . 将 A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 .解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y =± bx ，两渐近线夹角为60°，a又 b<1，a∴∠ POx =30°，即 b=tan30 ° = 3.a3∴ a = 3 b .又 a 2+b 2=4，∴ a 2=3，b 2=1.故椭圆 C 的方程为x 22+y =1.3（ 2）由已知 l ： y = a（ x －c ），与 y = bx 解得 P （ a 2，ab），ba ccca 2abFA=cc） .由得 （，λ APA11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c 2+λa 2）2+λ2a 4=（ 1+λ） 2a 2c 2. ∴（ e 2+λ） 2+λ2=e 2（ 1+λ） 2.∴ λ2= e4e 2 =－［（ 2－ e 2）+ 2 ］+3≤3－2 2 . e 222 e 2∴ λ的最大值为2 － 1.评论：此题考察了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用. 解决此题的难点是经过恒等变形， 利用重要不等式解决问题的思想 . 此题是培育学生分析问题和解决问题能力的一道好题 .【例 3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率= 3，已知点（0， 3）2 2到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程， 并求椭圆上到点P 的距离等于 7 的点的坐标 .分析：设椭圆方程为x2+ y2=1，由 e =3知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，而后将距离a 2b 22转变为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判断距离有最大值的过程中，要议论y =－ 1能否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标 .2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是x2 y 2=1，此中 a ＞b ＞ 0 待定 .a+2b 2由 e 2c2=a 2b 2=1－（b2可知b1 e2 = 13 1 ，即 a =2b .=a 2 a 2a ） =4 =a222322y 229设椭圆上的点 （ x ，y ）到点 P 的距离为 d ，则 d =x +（y － 2 ） =a （ 1－ b 2）+y － 3y + 4 =4b 2－3y 2－ 3y + 9 =－ 3（y + 1）2 +4b 2+3，此中－ b ≤ y ≤b .42假如b ＜1，则当y =－ b 时2（从而 ）有最大值，由题设得（7）2=（ + 3）2，由2ddb 2此得 b = 7 － 3＞ 1，与 b ＜ 1矛盾 .222所以必有 b ≥1成立，于是当 y =－127 222 2 时 d （从而 d ）有最大值， 由题设得 （） =4b +3，由此可得 b =1， a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是x 2 +y 2=1.4由 y =－ 1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3 ，－ 1），点（3，－ 1）到222点 P 的距离都是7 .解法二：依据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ， 此中 a ＞ b ＞ 0 待定，0≤ θ＜ 2π，∵ e = 3，2 ∴ a =2b .设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则d 2=x 2+（ y －3）2=a 2cos 2θ +（ b sin θ－3）2=－ 3b 2·（sin θ+1） 2+4b 2+3.222b假如1＞1，即 b ＜1272，则当 sin θ=－ 1 时， d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =2b2（ +3） 2，由此得b =7－3＞1，与 ＜1矛盾 .b22 2b 2所以必有1≤1 成立，于是当 sin θ=－1时， d 2（从而 d ）有最大值，由题设得（7 ）2b2b2=4b 2+3.由此得 b =1， a =2. 所以椭圆参数方程x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得 x2+y 2=1，由 sin θ=1 ，cos θ=±3知椭圆上的点 （－ 3，－1），（ 3 ，4222－ 1）到 P 点的距离都是7 .2评论：此题表现认识析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意议论.深入拓展依据图形的几何性质，以P 为圆心，以 7 为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7 ，此时的椭圆和切点即为所求. 读者不如一试 .x 2+（ y － 3） 2=7，提示：由2x 2+4 2=4 2，y b得 3y 2+3y － 9=4b 2－ 7，4由 =0 得 b 2=1，即椭圆方程为 x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－ 1）、（ 3，－ 1） .22●闯关训练夯实基础1. （ 2005 年北京东城区目标检测）以正方形的相对极点 、 为焦点的椭圆，恰ABCD A C好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为102 B. 5 1A.3351D. 102C.22分析：成立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =102.2答案： D2. 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（3， 0）是椭圆x 2 + y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当m n∠ F 1PF 2＝2π时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有3=12， n =3=24 ， n =6 =6， n =3=12 ， n =62分析：由条件求出椭圆方程即得 m =12， n =3.答案： A3. （ 2005 年启东市第二次调研）设P （ 2 ，2 ）、P （－2 ，－ 2 ）， M 是双曲线12y = 1上位于第一象限的点，对于命题①| 2| － |1|=2；②以线段1为直径的圆与圆xMPMP2MPx 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线 y =－ x +b 的距离等于2| MP 1|. 此中全部正确命2题的序号是 ____________.分析：由双曲线定义可知①正确，②绘图由题意可知正确，③由距离公式及| MP 1| 可知正确 .答案：①②③4. （ 2004 年全国Ⅱ， 15）设中心在原点的椭圆与双曲线2 2－ 2 2=1 有公共的焦点，且xy它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.分析：双曲线中， a =1=b ，∴ F （± 1， 0）， e = c= 2 . ∴椭圆的焦点为（± 1， 0），2a离心率为2. ∴长半轴长为2 ，短半轴长为1.2∴方程为x 2+y 2=1.2答案： x 2+y 2=125. （ 1）试议论方程（ 1－k ） x 2+（ 3－k 2） y 2=4（ k ∈ R ）所表示的曲线；（ 2）试给出方程x 2 y2k+=1 表示双曲线的充要条件 .k 26 6k 2k 1解：（ 1） 3－ k 2>1－k >0 k ∈（－ 1， 1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1－ k >3－ k 2>0 k ∈（－3 ，－ 1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆； 1－k =3－k 2>0 k =－ 1，表示的是一个圆； （ 1－ k ）（ 3－ k 2） <0 k ∈（－∞，－ 3 ）∪（ 1， 3 ），表示的是双曲线； k =1， k =－3 ，表示的是两条平行直线； k = 3 ，表示的图形不存在 .（ 2）由（ k 2+k － 6）（ 6k 2－ k －1）<0（k +3）（ k －2）（ 3k +1）（ 2k － 1）<0 k ∈（－ 3，－ 1）∪（ 1，2）.326. （ 2003 年湖北八市模拟试题）已知抛物线y 2 =2px 上有一内接正△ AOB ，O 为坐标原点 .yAOxB（ 1）求证：点 A 、 B 对于 x 轴对称； （ 2）求△ AOB 外接圆的方程 .（ 1）证明：设 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2），∵| |=|| ，∴x 2+ 22211=2+2.OAOByxy又∵ y 12=2px 1， y 22=2px 2， 22∴ x 2 － x 1 +2p （x 2－ x 1） =0， 即（ x 2－x 1）（ x 1+x 2+2p ）=0.又∵ x 1、x 2 与 p 同号，∴ x 1+x 2+2p ≠ 0. ∴ x 2－ x 1=0，即 x 1=x 2. 由抛物线对称性，知点A 、B 对于 x 轴对称 .（ 2）解：由（ 1）知∠ AOx =30°，则y 2=2px ， x =6p ，y =3 x ∴y =2 3 p .3∴ A （ 6p ， 2 3 p ） .方法一：待定系数法， △ AOB 外接圆过原点 O ，且圆心在 x 轴上，可设其方程为 x 2+y 2+dx =0.将点 A （ 6p ， 2 3 p ）代入，得 d =－ 8p . 故△ AOB 外接圆方程为 x 2+y 2－ 8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r ，则圆心（ r ，0） .培育能力7. （理）（ 2004 年北京， 17）以下列图，过抛物线2=2px （ p ＞ 0）上必定点 P （x ， y ）y（＞ 0），作两条直线分别交抛物线于（1，1）、 （ 2， 2） .yA xyB x y（ 1）求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点 F 的距离；2yPO AxB（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数 .解：（ 1）当 y =p时， = p.2 x 8又抛物线 y 2=2px 的准线方程为x =－ p，2由抛物线定义得所求距离为p－（－ p） =5p.8 2 8（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为22=2px ，由 y=2px ， y0 11相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0），故 ky 1y 0 =2 p（x ≠ x ） .PA1x 1 x 0 y 1 y 0y1y2的值，并证明直线AB的斜率y0 k PB.同理可得 k PB =2 p（ x 2 ≠ x 0）.y 2y 0由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－ k PB ，即2 p 2 p，所以 y +y =－ 2y ，=－y 1y 0y 2 y 0 1 2 0故y1y 2=－ 2.y 0设直线 AB 的斜率为 k.AB22由 y 2 =2px 2， y 1 =2px 1， 相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1）， 所以 k AB = y2y1= 2 p（ x 1≠ x 2） .x 2 x 1 y 1y 2将 y 1+y 2=－2y 0（ y 0＞ 0）代入得k AB =2 p =－ p，所以 k AB 是非零常数 . y 1 y 2 y 0（文）以下列图，抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，点（ 1，2）、 （ 1， 1）、PA xyB （ x 2， y 2）均在抛物线上 .y PO AxB（ 1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2 的值及直线 AB 的斜率 .解：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px . ∵点 P （ 1， 2）在抛物线上，∴ 22=2p ·1，得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =－ 1. （ 2）设直线 的斜率为 k PA ，直线 的斜率为 k PB .PAPB则 k PA =y 12（ x 1≠ 1），k PB =y 22（ x 2≠ 1） .x 1 1x 2 1∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA =－ k PB .由 A （x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）在抛物线上，得2y 1 =4x 1，①2y 2 =4x 2，②∴ y 12=－ y 2 2 .1 y 12 1 1 y 2 2 1 4 4∴ y 1+2=－（ y 2+2） . ∴ y 1+y 2=－ 4. 由①－②得直线 AB 的斜率y 2 y 14=－ 4） .=－ 1（ x ≠ xAB12x 2x 1 y 1 y 2 48.（ 2003 年北京东城区模拟试题）从椭圆 x2+ y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）上一点 M 向 x 轴作垂线，a 2b 2恰巧经过椭圆的左焦点 F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线 AB ∥ OM .（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若 Q 是椭圆上随意一点， F 2 是右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；（ 3）过 F 1 作 AB 的平行线交椭圆于 C 、 D 两点，若 | CD |=3 ，求椭圆的方程 .解：（ 1）由已知可设 （－ ， ），Mcy则有( c) 2y2a 2+=1.b2∵ M 在第二象限，∴ M （－ c ，b 2） .a又由 AB ∥ OM ，可知 k AB =k OM .∴－ b 2 =－ b. ∴b =c . ∴ a = 2 b .acac2a2（ 2）设 | F 1Q |= m ，| F 2Q |= n ，22则 m +n =2a ， mn ＞ 0.| F 1F 2|=2 c ，a =2c ，∴ cos ∠ 1 2= m 2 n 2 4c 2F QF2mn( m n) 22mn 4c 2 4a 2 4c2=2mn=2mn － 1= a 2 － 1≥ a 2 － 1= a 2 － 1=0.mn m n 2 a 2()2 当且仅当 m =n =a 时，等号成立 .故∠ F QF ∈［ 0， π ］.122（3）∵ ∥ ， CD =－ b=－ 2 .CD AB ka2设直线 CD 的方程为 y =－2（x +c ），2即 y =－2（ x +b ）.222x+ y =1，a 22b则 消去 y ，整理得y =－2（x +b ）.2（ a 2+2b 2）x 2+2a 2bx － a 2b 2=0.设 C （x 1， y 1）、 D （ x 2， y 2），∵ a 2=2b 2，∴ x 1+x 2=－2a 2b =－ 4b 3=－ b ，a 22b 24b 2x 1· x 2=－a 2b 2 =－ 2b 4 =－ b 2.a 2 2b 24b 22∴ | CD |= 1 k 2| x 1－x 2|=1 k 2· (x 1x 2 )24x 1x 2=1 (2 ) 2 · ( b)22b 2=9b 2 =3.22∴ b 2=2，则 a 2=4.∴椭圆的方程为 x 2+ y 2 =1.4 2 研究创新9. （ 2005 年春天上海， 22）（ 1）求右焦点坐标是（ 2， 0），且经过点（－ 2，－ 2 ）的椭圆的标准方程 .（ 2）已知椭圆 C 的方程是 x 2 + y 2=1（ a >b >0）. 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、Ba 2b 2两点，的中点为 . 证明：当直线 l 平行挪动时，动点在一条过原点的定直线上 .AB MM （ 3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（ 1）解：设椭圆的标准方程为x2+y2 =1， a >b >0，a 2b 2 ∴ a 2=b 2+4，即椭圆的方程为x 2 +y2 =1.b 2 4 b 2∵点（－ 2，－2 ）在椭圆上，∴4+2 =1.b24 b 2解得 b2=4或 b2=－2（舍）.由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为x2+ y2=1.8 4 （2）证明：设直线l的方程为y=kx +m，与椭圆 C的交点 A（ x， y）、B（ x ， y ），1122y=kx+m，则有x2+ y2=1.a 2b2222222222解得（ b+a k） x +2a kmx+a m－ a b =0.2222∵ >0，∴m<b+a k，即－ b 2 a 2 k 2<m< b 2 a 2 k 2.2a 2 km， y+y=kx +m+kx +m=b 22b 2m，则 x +x =－b2a 2k 2 a 2k 2121212∴ AB中点 M的坐标为（－a 2 km b2 mb2 a 2k 2，b 2a 2 k 2）.∴线段 AB的中点 M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（ 3）解：以下列图，作两条平行直线分别交椭圆于A、 B和 C、 D，并分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A、B 和11 C1、D1，并分别取 A1B1、C1D1的中点 M1、N1，连接直线 M1N1，那么直线 MN和 M1N1的交点 O即为椭圆中心 .C AMA1ON C1BM1DB1N 1●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋向，而分析几何与函数、三角、数列、向量等知识的亲密联系，正是高考命题的热门，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意绘图，抓住波及到的一些元素的几何意义，用数形联合法去分析解决 .2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特色与方程的代数特色的一致3. 注意用好以下数学思想、方法：.①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转变思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形联合思想、主元分析思想、正难则反省想、结构思想等也是分析几何解题中不行缺乏的思想方法. 在复习中一定赐予足够的重视，真实发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提升简化计算能力.●教师下载中心教课点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主假如曲线方程的运用、变量范围的计算、最值确实定等，解决这种问题的重点是依照分析几何自己的特色，找寻一个打破口，那么怎样找到解决问题的打破口呢？（1）联合定义利用图形中几何量之间的大小关系 . （ 2）成立目标函数，转变为求函数的最值问题 . （ 3）利用代数基本不等式 . 代数基本不等式的应用，常常需要创建条件，并进行奇妙的构想 . （ 4）联合参数方程，利用三角函数的有界性. 直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特色是均含有三角式 . 所以，它们的应用价值在于：①经过参数示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、题.（5）结构一个二次方程，利用鉴别式≥ 0.拓展题例【例 1】（ 2005 年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x 轴交于 M 点，过点 M作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点.（ 1）若线段AB的垂直均分线交x 轴于 N（ x ，0），求证： x>3p；00（ 2）若直线l的斜率挨次为p，p2，p3，，线段AB的垂直均分线与x 轴的交点挨次为 N， N， N，，当0<p<1时，求111的值 .++ +123| N1N2 | | N2N3 || N10 N11 |（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得 k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.=4（k2p－ 2p）2－ 4k2·k2p2>0，得 0<k2<1.令 A（x， y）、 B（ x ， y），则 x +x=－2k 2 p 4 p， y +y=k（x+x +2p） =4 p，112212k 21212kAB中点坐标为（ 2 p k 2 p ， 2 p ）.k 2k垂直均分线为y － 2 p=－1（x－ 2 p k 2 p） .AB k k k2令y =0，得x0= k 2 p 2 p= +2 p.k 2p2k由上可知 0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率挨次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点挨次为N1，N2，N3，（0<p<1） .∴点N的坐标为（2， 0）. +np 2n1| N n N n+1|=| （p+2）－（ p+2） |= 2(1p 2 )，p2n1p2n 1p 2n1θ简洁地表范围等问1p 2n 1| N n N n 1 |=，2(1 p 2 )13421p 3 (1 p 19 )所求的值为 2(1p 2 ) ［ p +p + +p ］ = 2(1 p) 2 (1p) .【例 2】 （ 2003 年南京市模拟试题）已知双曲线： x 2－ y2=1（ ＞0， ＞ 0）， B 是右C2 b 2a极点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且知足 | OA |、| OB | 、| OF | 成等比数列，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P .yDPEAB FxO l（ 1）求证： PA · OP =PA · FP ；（ 2）若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别订交于点D 、E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .（ 1）证法一：yDPEOABFlxl ： y =－ a（ x －c ） . b y =－ a（ x － c ），bby = x .解得（ a2，ab）. ∵ | OA | 、| OB | 、 | OF | 成等比数列，∴（ a2， 0）.ccc∴ PA =（ 0，－ab）， OP =（ a 2，ab），c cc b2，ab） .FP =（－cc∴ PA · OP =－a 2b 2， PA · FP =－a 2b 2.c 2c 2∴ PA · OP =PA · FP .证法二：同上得 P （ a 2，ab） .cc∴ PA ⊥x 轴，PA · OP － PA · FP =PA · OF =0.∴ PA · OP =PA · FP .y =－ a（x － c ），（ 2）解：bb 2x 2－ a 2y 2=a 2b 2.422a222∴ b x －（ x － c ） =a b ，即（ b 2－ a4） x 2+2 a4cx －（ a 4c 2+a 2b 2） =0.b 2b 2b 2a 4c 2 22)(2 a b∵ x 1· x 2=ba 4＜ 0，b 2b2∴ b 4＞ a 4，即 b 2＞ a 2，c 2－ a 2＞ a 2.∴ e 2＞ 2，即 e ＞ 2 .。

高考数学一轮教案（圆锥曲线的综合问题）§9.8圆锥曲线的综合问题★ 知识分类★1.直线与圆锥曲线c的位置关系：通过将线l的方程代入曲线C的方程，并消除y或X，我们得到了方程AX2+BX+C=0(1)交点个数：① 当a=0或a≠ 0，s=0，曲线和直线之间只有一个交点；② 当≠ 0且s>0时，曲线与直线有两个交点；③ 当s<0时，曲线和直线之间没有交点。

(2)弦长公式：|ab|?1?k2?|x2?x1|?1?k2?(x1?x2)2?4x1?x22.对称问题：曲线上的两点与已知直线对称：① 曲线上两点的直线垂直于已知的直线（获得斜率）；② 曲线上两点的直线和曲线有两个公共点（s>0）；③ 曲线上两点的中点在对称直线上。

3.求出运动点的轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。

★ 重点难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重点和难点：综合运用方程、函数、不等式和轨迹知识解决相关问题1.体验解题时“设而不求”的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体验数学思维方法（主要是方程思维、变换思维、数形结合）在问题解决中的应用x2y2??1的左焦点，点a(1,1)，动点p在椭圆上，则|pa|?|pf问题1：已知点f1为椭圆1|的最小值95为.刻度盘：将F2设置为椭圆的右焦点，使用定义将|Pf1 |转换为|PF2 |并组合图形，|pa|?|pf1|?6?|pa|?|pf2|，当p、a、f2共线时最小，最小值为6-2★ 热门考点问题类型分析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题[示例1]让抛物线y2=8x的准直与点Q处的x轴相交。