新疆乌鲁木齐市第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理)试题
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乌鲁木齐市第一中学2014届高三上学期第二次月考化学试题(请将答案写在答题纸上)可能用到的相对原子质量:O—16;H—1;N-14;Al―27;Cl―35.5;Mg—24;Fe—56 ;Cu-64一.选择题(每小题只有一个选项符合题意,每小题2分,50分)1.下列说法中,正确的是A.粗硅制备单晶硅不涉及氧化还原反应B.工艺师利用盐酸刻蚀石英制作艺术品C.水晶项链和餐桌上的瓷盘都是硅酸盐制品D.硅是目前人类将太阳能转变为电能的重要材料2.下列物质不能通过化合反应得到的是A.Fe(OH)3B.FeCl2C.H2SiO3D.NaHSO33.在下列溶液中通入CO2至过量,原溶液一直保持澄清的是A.硅酸钠溶液B.氯化钡溶液C.石灰水D.漂白粉溶液4.下列各组物质的稀溶液相互反应,无论是前者滴入后者,还是后者滴入前者,反应现象都相同的是A.NaHSO4和Ba(OH)2B.AlCl3和NaOHC.NaAlO2和H2SO4D.Na2CO3和盐酸5.在酸性溶液中,高锰酸钾发生的反应是MnO-4+5e-+8H+===Mn2++4H2O。
下列离子能让此反应过程发生的是()①Fe2+②C2O2-4③SiO2-3④IO-3A.①②B.①③C.②③D.③④6.下列实验现象的描述错误的是A.氢气在氯气中燃烧产生苍白色火焰B.红热的铁丝在氯气中燃烧,火星四射,生成黑色固体颗粒C.红热的铜丝在氯气中燃烧,产生棕黄色烟D.钠在空气中燃烧,发出黄色的火焰,生成淡黄色固体7.下列说法正确的是()A.因为SO2具有漂白性,所以它能使品红溶液、溴水、酸性KMnO4溶液褪色B.能使品红溶液褪色的不一定是SO2C.SO2、漂白粉、活性炭、Na2O2都能使红墨水褪色,其原理相同D.SO2和Cl2等物质的量混合后同时通入有湿润的有色布条的集气瓶中,漂白效果更好8.下列化学实验事实及其解释都正确的是A .FeCl 3溶液可以腐蚀线路板上的Cu ,因为Fe 的金属活动性大于CuB .将SO 2通入含HClO 的溶液中,生成H 2SO 4,因为HClO 酸性比H 2SO 4强C .铝箔在酒精灯火焰上加热熔化但不滴落,因为铝箔表面氧化铝膜熔点高于铝D .将饱和氯水滴到淀粉碘化钾试纸上,试纸先变蓝后变白,因为氯水具有漂白性 9.将SO 2分别通入下列4种溶液中,有关说法正确的是A .试管a 中实验可以证明SO 2具有漂白性B .试管b 中溶液褪色,说明SO 2具有强氧化性C .试管c 中能产生白色沉淀,说明SO 2具有还原性D .试管d 中能产生白色沉淀,该沉淀完全溶于稀硝酸1011.将CO 2气体缓缓地通入到含KOH 、Ba(OH)2和KAlO 2的混合溶液中直至过量,生成沉淀的物质的量与所通CO 2的体积关系如图所示。
命题人:魏强审题人:宋雁萍(注意:请将选择题答案涂在机读卡上,非选择题答案写在答题纸上)一、选择题(每题2分,共50分)1.下列关于生命系统的结构层次的说法正确的是A.生物圈是地球上最基本的生命系统和最大的生态系统B.生物大分子如蛋白质、核酸,不是生命系统的结构层次C.除病毒外,所有生物构成了生物圈这一结构层次D.各层次的生命系统层层相依,具有相同的组成、结构和功能2.下列关于显微镜操作的叙述错误的是A.标本染色较深,应选用凹面反光镜和大光圈B.将位于视野右上方的物象移向中央,应向右上方移动装片C.若转换高倍镜观察,需要先升高镜筒以免损坏镜头D.转换高倍镜之前,应将所观察物象移到视野中央3.以下关于微生物的叙述,正确的有①硝化细菌无叶绿体,但能通过氧化氨获得能量②蓝球藻无线粒体,但能通过有氧呼吸产生能量③酵母菌无核膜,但能通过拟核控制遗传与代谢④小球藻无中心体,但能通过细胞质产生纺锤丝⑤变形虫无细胞壁,但在清水中不会吸涨致破裂A.一项B.两项C.三项D.四项4.下列关于细胞内化合物的叙述,正确的是A.ATP脱去全部磷酸基团后是RNA的基本组成单位之一B.胆固醇是细胞膜的主要成分,在人体内参与血液中脂质的运输C.Mg和N均是组成叶绿素的元素,缺Mg会导致暗反应减弱D.C8H16O3N2是一种二肽,可水解产生丙氨酸与亮氨酸5.下列关于“观察DNA和RNA在人口腔上皮细胞中的分布”实验的说法正确的是A.盐酸能够使细胞分散开,加速染色剂进入细胞B.配制吡罗红甲基绿混合染色剂时,应保持碱性的pH条件C.不能用哺乳动物的红细胞作为实验材料,因为红细胞没有DNA和RNAD.酒精灯烘干载玻片,可迅速杀死细胞,防止细胞死亡时溶酶体对核酸的破坏6.某科学工作者研究某细胞的组成成分时,提取到两种大分子物质T和D,其基本组成单位分别是t和d。
已知t是葡萄糖,且T遇碘不变蓝,D可以被胃液中的某种酶消化。
下列有关说法正确的是A.该细胞肯定为植物细胞,T物质是纤维素B.物质d中肯定含有元素氮,不含元素硫C.T和D的合成过程中都能产生水D.物质D一定是在附着于内质网上的核糖体上合成的,其合成受核DNA控制7.一种聚联乙炔细胞膜识别器已问世,它是通过物理力把类似于细胞膜上具有分子识别功能的物质镶嵌到聚联乙炔囊泡中,组装成纳米尺寸的生物传感器。
乌鲁木齐市第一中学 2011—2012学年高三第一次月考数学试题(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2M {|60},{|13}x x x N x x =+-<=≤≤,则M N = ( )A .[1,2)B .[1,2]C .(2,3]D .[2,3]2.设集合2{1,2},{}M N a ==,则“1a =”是“N M ⊆”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件3.公差不为零的等差数列}{n a 中,2a ,3a ,6a 成等比数列,则其公比q 为 ( )A .1B .2C .3D .4 4.下列命题中是假命题的是( )A .π0,,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭x x sin > B .000,sin cos 2x R x x ∃∈+=C .,x ∀∈R 03>xD .0,x R ∃∈0lg 0=x5.数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N *+=-∈,若3102,12b b =-=,则8a =( )A .0B .3C .8D .116.已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( )A .(0,1)B .1(0,)3C .11[,)73D .1[,1)77.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22a b -=,sin C B =,则A =( )A .30B .60C .120D .1508.已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-,将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来21,纵坐标不变,再将所得图象向右平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,则函数()y g x =的解析式为( )A .()g x x =B .()g x x =C .()4g x x =D .3())4g x x π=-9.已知函数()log xa f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +,则a 的值为( )A .12B .14C .2D .410.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A .12B .1C .32D . 311.已知函数)2sin()(φ+=x x f 满足)()(a f x f ≤对R x ∈恒成立,则函数 ( )A .)(a x f -一定为奇函数B .)(a x f -一定为偶函数C .)(a x f +一定为奇函数D .)(a x f +一定为偶函数12.下列关于函数2()(2)xf x x x e =-的判断正确的是( )①()0{|02}f x x x <<<的解集是 ② )2(-f 是极小值,)2(f 是极大值③)(x f 有最小值,没有最大值 ④ )(x f 有最大值,没有最小值A .①③B .①②③C .②④D .①②④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.角θ终边上一点M (x ,-2)()0(≠x ,且cos 3xθ=,则sin θ= . 14.若两个等差数列的前n 项和之比为7235+-n n ,则这两个数列的第9项之比是 。
乌鲁木齐市第一中学2018—2019学年第一学期2020届高二年级第二次月考数学试卷一、选择题:(12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项符合题目要求)1. 下列是全称命题且是真命题的是( ) A. x R ∀∈,20x > B. ,x y R ∀∈,220x y +>C. x Q ∀∈,2x Q ∈D. 0x Z ∃∈,201x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的概念,以及全称命题真假的判定方法,即可得出结果.【详解】A 选项,x R ∀∈,20x >是全称命题,但0x =时,20x =,所以是假命题; B 选项,,x y R ∀∈,220x y +>是全称命题,但0x y ==时,220x y +=,所以是假命题; C 选项,x Q ∀∈,2x Q ∈是全称命题,且是真命题;D 选项,0x Z ∃∈,201x >是特称命题;故选:C.【点睛】本题主要考查全称命题以及真假的判定,属于基础题型.2. 已知()1,0,2a λ=+,()6,21,2b μλ=-,若//a b ,则λ与μ的值可以是( ) A. 2,12B. 13-,12C. -3,2D. 2,2【答案】A 【解析】 分析】根据条件可得12210,62λμλ+-==,然后算出即可. 【详解】因为()1,0,2a λ=+,()6,21,2b μλ=-,//a b 所以12210,62λμλ+-==,解得2λ=或3λ=-,12μ=故选:A【点睛】本题考查的是由空间向量的平行求参数,较简单. 3. 下列命题错误的是( )A. 命题“ 0x R ∃∈,20013x x +>”的否定是“x ∀∈R ,213x x +≤”;B. 若p q ∧是假命题,则p ,q 都是假命题C. 双曲线22123x y -=的焦距为D. 设a ,b 是互不垂直的两条异面直线,则存在平面α,使得a α⊂,且a b ∥ 【答案】B 【解析】 【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A ,由于特称命题的否定是特称命题,所以命题“ 0x R ∃∈,20013x x +>”的否定是“x R ∀∈,213x x +≤”,是正确的.对于选项B, 若p q ∧是假命题,则p ,q 至少有一个是假命题,所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线22123x y -=的焦距为=,所以是真命题.对于选项D, 设a ,b 是互不垂直的两条异面直线,则存在平面α,使得a α⊂,且b a ,是真命题. 故答案为B【点睛】本题主要考查特称命题的否定,考查复合命题的真假,考查双曲线的简单几何性质和直线平面的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4. “0AB AC >”是“ABC 为锐角三角形”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】以A 为起点的两个向量数量积大于零,说明它两个的夹角是锐角,但不能说明其他角的情况,当三角形是锐角三角形时,以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零. 【详解】解:以A 为起点的两个向量数量积大于零,∴夹角A 是锐角,但不能说明其他角的情况,∴在ABC 中,“0AB AC >”不能推出“ABC 为锐角三角形”,ABC 为锐角三角形,∴0AB AC >,∴前者是后者的必要不充分条件,故选:B .【点睛】两个向量的数量积是一个数量,它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定.5. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆上且满足120PF PF =,则12PF F ∆的面积为( )C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,分析可得122F PF π∠=,由椭圆的标准方程和定义可得12||||24PF PF a +==,22212||||(2)12PF PF c +==,将两式联立可得12||||PF PF 的值,由三角形面积公式计算可得答案.【详解】解:根据题意,点P 在椭圆上,满足120PF PF =,122F PF π∠=,又由椭圆的方程为2214x y +=,其中2413=-=c ,则有12||||24PF PF a +==,22212||||(2)12PF PF c +==,联立可得12||||2PF PF =,则△12F PF 的面积121||||12S PF PF =⨯=; 故选:C .【点睛】本题考查椭圆的几何性质,涉及勾股定理与三角形的面积,关键是掌握椭圆的几何性质.6. 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -,则此椭圆的离心率为A.3 B.3或7C. 7D.37或59【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,按椭圆的焦点位置分2种情况讨论,结合椭圆的定义分析可得m 的值,据此求出a 、b 、c 的值,由椭圆的离心率公式计算可得答案.【详解】由题意得,230a m =->,即3m >,若24a =,即2a =,则34m -=,74m =>,不合题意,因此2a m =,即a =,则3m =-,解得9m =,即3a =,c ==e =.故正确答案为A. 【点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能,属于中低档题型,也是常考题.在解决此类问题中,要充分利用椭圆定义应用,即椭圆上的点到两个定点(即两个焦点)的距离之和为定长(即长轴长2a ),在焦点位置不确定的情况,有必要分两种情况(其焦点在x 轴或是y 轴)进行讨论,从而解决问题.7. 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ,两点,若4MF FN =,则直线l 的斜率为( )A. 32±B.23C. 34±D. 43±【答案】D 【解析】试题分析:不妨设()()()1111220? 0? M x y x y N x y >>,,,,,∵4MF FN =,∴124y y =-,又212y y p =-,∴22 28p p y x =-=,,∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.选D.考点:直线与抛物线位置关系8. 已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点,线段MN 的中点为P ,设直线l 的斜率为1k ,直线OP 的斜率为2k ,则12k k =( )A.12B. 12- C. 2 D. -2【答案】A 【解析】试题分析:设()()()112200,,,,M x y N x y P x y ,则222212121,122x x y y -=-=,根据点差法可得()()()()121212122x x x x y y y y -+-+=,所以直线l的斜率为()0121211212022x y y x x k x x y y y -+===-+,直线OP 的斜率为020y k x =,001200122x y k k y x =⨯=,故选A.考点:双曲线的方程.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的方程及点差法,属于中档题.解答本题的关键是根据直线l 与双曲线相交于,M N 两点,即,M N 两点在双曲线上,其坐标满足双曲线方程,再由P 为,M N 的中点,据此表示出直线l 的斜率表达式,根据斜率公式表示出OP 的斜率,即可求得结论.这种方法常称为点差法,往往涉及二次曲线的中点弦时,考虑用这种方法处理.9. 已知双曲线:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,焦距为2c ,直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C. 2D.31+【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程,求得12F M F M ⊥,进而得到11212MF F F c ==, 23MF c =,再利用双曲线的定义,以及双曲线的离心率的定义,即可求解. 【详解】由题意,直线3()y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为60°,12212MF F MF F ∠=∠∴1260MF F ∠=︒,2130MF F ∠=︒,∴1290F MF ∠=︒,即12F M F M ⊥ ∴11212MF F F c ==,∴212sin 603MF F F c ︒==, 双曲线定义有2132MF MF c c a -=-=,∴离心率e 31ca==+. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出,a c ,代入公式ce a=;②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,转化为,a c 的齐次式,然后转化为关于e 的方程,即可得e 的值(范围).10. 如图,已知DE 是正ABC 的中位线,沿AD 将ABC 折成直二面角B AD C --,则翻折后异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为( )A.34B.23C.12D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据ABC为正三角形,D为中点,所以折叠后AD⊥平面BDC,又二面角B AD C--为直二面角,以D为原点,分别以DB,D C,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求得向量,AB DE由cosAB DEAB DEα⋅=⋅求解.【详解】因为ABC为正三角形,D为中点,所以折叠后AD⊥平面BDC,又二面角B AD C--为直二面角,所以BD CD⊥,以D为原点,分别以DB,D C,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:设正三角形的边长为:2,则(()()133,1,0,0,0,1,0,0,,22A B C E⎛⎪⎝⎭()131,0,3,0,,22AB DE⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭异面直线AB与DE所成角α3cos4AB DEAB DEα⋅==⋅,故选:A【点睛】本题主要考查空间向量法求异面直线所成角,还考查了运算求解的能力,属于基础题.11. 如图,正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1,点M在棱AB上,且13AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线11A D的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P 的轨迹是( )A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线【答案】B 【解析】 【分析】作PQ AD ⊥,11QR A D ⊥,PR 即为点P 到直线11A D 的距离,由勾股定理得2221PR PQ RQ -==,由已知221PR PM -=,故PQ PM =,即P 到点M 的距离等于P到AD 的距离【详解】解:如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,作PQ AD ⊥,垂足为Q , 则PQ ⊥平面11ADD A ,过Q 作11QR A D ⊥,则11A D ⊥平面PQR , 则PR 为点P 到直线11A D 的距离, 由题意得2221PR PQ RQ -==, 由已知得221PR PM -=, 所以PQ PM =,即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离,所以根据抛物线的定义可得,点P 的轨迹是抛物线, 故选:B【点睛】此题考查抛物线的定义,求点的轨迹方程的方法,体现了数形结的数学思想,属于中档题12. 已知两定点A (-1,0)和B (1,0),动点P (x ,y )在直线l :y =x +3上移动,椭圆C 以A ,B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为( ) 5 1025210【答案】A 【解析】 【分析】先待定系数法求椭圆方程,联立方程得a 的范围,进而计算离心率1c e a a==的范围即可. 【详解】椭圆C 以A ,B 为焦点,即1c =,221b a =-,故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1), 联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2-1)x 2+6a 2x +10a 2-a 4=0,由题意易知∆=36a 4-4(2a 2-1)(10a 2-a 4)≥0,即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤(舍去),解得a 5所以15c e a a ==≤, 所以e 5. 故选:A.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,属于中档题.二、填空题(每小题5分,4小题共20分):13. 动圆经过点(3,0)A ,且与直线:3l x =-相切,求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 【答案】212y x = 【解析】试题分析:设动点(,)M x y ,设M 与直线:3l x =-的切点为N ,则MA MN =,即动点M 到定点A 和定直线:3l x =-的距离相等,所以点M 的轨迹是抛物线,且以(3,0)A 为焦点,以直线:3l x =-为准线,所以6p,所以动圆圆心的轨迹方程为212y x =.考点:抛物线的定义及其标准方程.14. 平面α的一个法向量()0,1,1n =-,如果直线l ⊥平面α,则直线l 的单位方向向量是s =________【答案】220,,s ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或220,,s ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据平面α的一个法向量()0,1,1n =-,且直线l ⊥平面α,得到//s n ,设直线l 的单位方向向量是()0,,s a a =-,然后由1s =求解.【详解】因为平面α的一个法向量()0,1,1n =-,且直线l ⊥平面α, 所以//s n ,即s an =,故设直线l 的单位方向向量是()0,,s a a =-, 所以()2201a a ++-=, 即221a =, 解得2a =±, 故220,,22s ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或220,22s ⎛=- ⎝⎭故答案为:220,,22s ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或220,,22s ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查空间向量共线定理的应用,属于基础题.15. 如图,在大小为45°的二面角A EF D --中,四边形ABFE ,CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是________32- 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算以及向量模的求法即可求解. 【详解】BD BF FE ED =++,2222222BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED ∴=+++⋅+⋅+⋅111232=++=- 32BD ∴=-.32-【点睛】本题考查了空间向量的线性运算、空间向量模的求法,考查了基本运算求解能力,属于基础题.16. 已知命题:P x R ∀∈,()2ln 0x x a ++>恒成立,命题[]0:2,2Q x ∃∈-,使得022x a ≤,若命题P Q ∧为真命题,则a 的取值范围是________【答案】5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由命题P Q ∧为真命题,可知,P Q 均为真命题,当P 为真命题可得4114a ->可求出a 的取值范围,当Q 为真命题时,得2a ≤,从而可求出a 的取值范围, 【详解】解:因为命题P Q ∧为真命题,所以,P Q 均为真命题, 由()2ln 0x x a ++>得2x x a ++的最小值大于1,即4114a ->,得54a >, 所以当54a >时,P 为真命题, 由命题[]0:2,2Q x ∃∈-,使得022x a ≤,可得2a ≤, 所以当2a ≤时,Q 为真命题, 所以524a <≤ 综上a 的取值范围为5,24⎛⎤⎥⎝⎦故答案为:5,24⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】此题考查由复合命题的真假求参数的范围,考查对数不等式和指数不等式,考查计算能力,属于中档题三、解答题(17题10分,其余每题12分题共70分):17. 已知空间中三点(2,0,2)A -,(1,1,2)B -,(3,0,4)C -,设a AB =,b AC =. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值; (2)若ka b +与2ka b -互相垂直,求实数k 的值.【答案】(1);(2)52k =-或2k =.【解析】 【分析】(1)先写出a ,b ,再根据空间向量的夹角公式直接求解即可; (2)根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】(1)∵()1,1,0a AB ==,()1,0,2b AC ==-,设a 与b 的夹角为θ,∴cos 10|a ba b θ⋅===∣;(2)∵()1,,2ka b k k +=-,()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-,∴2(1)(2)80k k k -++-=,即:52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算,空间向量的垂直求参数,考查运算能力,是基础题.18. 已知p :方程22192x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆,q:双曲线2215x y m -=的离心率2e ⎛∈ ⎝.(1)若椭圆22192x y m m+=-的焦点和双曲线2215x y m -=的顶点重合,求实数m 的值;(2)若“p q ∧”是真命题,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)43m =;(2)2.53m <<. 【解析】 【分析】(1)求出椭圆半焦距的平方,根据题意列方程,解得结果;(2)先分别求出p 真、q 真时m 的取值范围,再求交集的结果. 【详解】(1)由925m m --=,得43m =; (2)据题意有,p 与q 同时为真,若p 真,则920m m ->>,解得03m <<, 若q 真时,则350,225m m +><<,解得2.55m <<, 当p 真、q 真时,032.55m m <<⎧⎨<<⎩,∴实数m 的取值范围是2.53m <<.【点睛】本题考查根据椭圆方程与双曲线方程求基本量、根据复合命题真假求参数范围,考查基本分析求解能力,属基础题.19. 如图,正三棱柱111ABC A B C -,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11A C ,AC 的中点,点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ; (2)AD ⊥平面1A BN . 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【详解】 【分析】试题分析:(1)根据平行四边形性质得1//B M BN ,再根据线面平行判定定理得结论,(2)根据平几知识得1AD A N ⊥,再根据线面垂直性质定理得AD BN ⊥,最后根据线面垂直判定定理得结论.试题解析:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M 、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB 且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN ,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN ,所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A ⋂=,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C , 所以AD BN ⊥,由题意,16AA =2AC =,1AN =,6CD =132AA AN AC CD ==, 又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD ∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠ 112ANA AA N π=∠+∠=,则1AD A N ⊥,又1BN A N N ⋂=,BN ,1A N ⊂平面1A BN , 所以AD ⊥平面1A BN .点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.20. 如图,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G为AB 的中点,AB=BE=2.(Ⅰ)求证:EG ∥平面ADF ; (Ⅱ)求二面角O−EF−C 的正弦值; (Ⅲ)设H 为线段AF 上的点,且AH=23HF ,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ3(Ⅲ7. 【解析】【详解】试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出平面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证;(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值;(Ⅲ)利用空间向量求线面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.试题解析:依题意,OF ABCD ⊥平面,如图,以O 为点,分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0)O ,()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------,.(Ⅰ)证明:依题意,()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量,则110{0n AD n AF ⋅=⋅=,即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =,可得()102,1n =,,又()0,1,2EG =-,可得10EG n ⋅=, 又因为直线EG ADF ⊄平面,所以//EG ADF 平面. (Ⅱ)解:易证,()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量. 依题意,()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量,则220{0n EF n CF ⋅=⋅=,即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =,可得()21,1,1n =-. 因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅,于是23sin ,3OA n =, 所以,二面角O EF C --的正弦值为33. (Ⅲ)解:由23AH HF =,得25AH AF =. 因为,所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此2227cos ,BH n BH n BH n ⋅==-⋅.所以,直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题21. 已知抛物线E 的顶点在原点,焦点F 在y 轴正半轴上,抛物线上一点(),4P m 到其准线的距离为5,过点F 的直线l 依次与抛物线E 及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点.(1)求抛物线E 的方程; (2)探究AC BD ⋅是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由;【答案】(1)24x y =;(2)是定值,且定值为1. 【解析】 【分析】(1)由题意,设抛物的方程为()220x py p =>,根据题中条件,得到452p+=,求出p ,即可得到抛物线方程;(2)先由(1)得()0,1F ,恰好为圆()2211x y +-=的圆心,设直线l 的方程为1y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y ,根据抛物线定义,以及题中条件,得到12AC BD y y ⋅=,联立直线与抛物线方程,根据韦达定理,即可得出结果.【详解】(1)由题意,设抛物的方程为()220x py p =>, 因为抛物线上一点(),4P m 到其准线的距离为5, 所以452p+=,解得2p =,所以抛物线的方程为24x y =;(2)由(1)知,抛物线的焦点为()0,1F ,恰好为圆()2211x y +-=的圆心,设直线l 的方程为1y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y ,因为过点F 的直线l 依次与抛物线E 及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点, 根据抛物线的定义可得,11AF y =+,21BF y =+, 则()()1211AC BD AF BF y y ⋅=-⋅-=,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,所以124x x =-, 因此()22212121214416x x x xAC BD y y ⋅==⋅==,即AC BD ⋅为定值1.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程,考查抛物线中的定值问题,属于常考题型.22. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ,与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==.()1求椭圆的标准方程;()2若123λλ+=-,试证明:直线l 过定点并求此定点.【答案】(1)2213x y +=;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)由已知条件推导出1b =,222(2)(2)2(2)a b c +=,由此能求出椭圆的方程. (2)由题意设()0,P m ,()0,0Q x ,()11,M x y ,()22,N x y ,设l 方程为()x t y m =-,由已知条件推导出111my ,221my ,由此能证明直线l 过定点并能求出此定点.【详解】解:()1椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点0,1,1b ∴=,设焦距为2c ,长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列,222(2)(2)2(2)a b c ∴+=,又222a b c =+解得2 3.a =∴椭圆的方程为22 1.3x y +=()2由题意设()0,P m ,()0,0Q x ,()11,M x y ,()22,N x y ,设l 方程为()x t y m =-,由1PM MQ λ=,知()()111011,,x y m x x y λ-=--111y m y ,由题意10,111my , 同理由2PN NQ λ=知,221my , 123,()()12120*y y m y y ∴++=,联立()2233{x y x t y m +==-,得()222223230t y mt y t m +-+-=,∴需()()()2422244330**m t t t m ∆=-+->且有()22212122223,***33mt t m y y y y t t -+==++,()***代入()*得222320t m m mt -+⋅=,2()1mt ∴=,直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ,∴由题意0mt ,1(mt ∴=-满足()**),得l 方程为1x ty =+,过定点()1,0,即()1,0为定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注意向量知识和等价转化思想的合理运用.对于椭圆方程的求法,一般都是根据题意建立关于,,a b c 的方程,从而求得椭圆方程,注意焦点位置.而对于直线过定点问题主要有两种思路:(1)可先=+,然后利用条件建立,b k的等量关系进行消元,借助于直线系的思设出直线方程为y kx b想找出定点;(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.- 21 -知识改变格局格局决定命运!。
乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准1.选B .【解析】∵{}0,1,2,3,4,5,6A =,{}0,3B x x x =<>∴{}4,5,6A B =2.选B .【解析】∵()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+,对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限 3.选C .【解析】由()1f x >知0211x x -≤⎧⎨->⎩或1201x x >⎧⎪⎨⎪>⎩,分别解之,得1x <-或1x >.4.选A .【解析】∵3,4παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,∴cos 0,sin 0αα<>,且cos sinαα>, 又()21sincos 1sin 225ααα+=+=,∴1s i n c o s 5αα+=-,∴34sin ,cos 55αα==-5.选C .【解析】∵2345111113102222232S =+++++=,此时5n =,为使输出的3132S =,必须有n p ≥,所以5p =6.选B .【解析】由题意及正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =,∴tan 3tan B A =, ∴0,2A B π<<,又cos C =,故sin C =tan 2C =,而A B C π++=, ∴()tan tan 2A B C +=-=-,即tan tan 21tan tan A BA B+=--,将tan 3tan B A =代入,得24tan 213tan A A =--,∴tan 1A =,或1tan 3A =-,而0,2A B π<<,故45A =︒ 7.选B.【解析】此几何体的直观图如图所示, ∴()11401444323V =⨯+⨯⨯=8.选D .【解析】依题意,有3sin 4cos 5a a -=±,即()sin 1a ϕ-=±,其中4tan 3ϕ=且02πϕ<<,∴2a k πϕπ-=+,即2a k ππϕ=++,k ∈Z ,由4ta n 3ϕ=且02πϕ<<,得42ππϕ<<,∴34k a k ππππ+<<+,k ∈Z ,故,选D (此时0k =).9.选D .【解析】令()(1)F x f x =+,∵其图象关于()1,0对称,∴()()2F x F x =--, 即()(3)1f x f x -=-+,∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+,∵其图象关于直线1=x 对称,∴()()2G x G x +=-, 即()()53f x f x +=-,∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得,()()4f x f x +=-,∴()()8f x f x += …⑶∴()()()844f x f x f x -=-=+-,由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--= ∴()()f x f x -=;∴A 对;由⑶,得()()282f x f x -+=-,即()()26f x f x -=+,∴B 对; 由⑴得,()()220f x f x -++=,又()()f x f x -=, ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=,∴C 对;若()()330f x f x ++-=,则()()6f x f x +=-,∴()()12f x f x +=, 由⑶得()()124f x f x +=+,又()()4f x f x +=-,∴()()f x f x =-,即()0f x =,与题意矛盾,∴D 错. 10.选C .【解析】∵()0a f b '=-,()10f b=-,∴()f x 的图象在0x =处的切线方程为 10ax by ++=,它与圆221x y +=相切,1=,即221a b +=,∵0,0a b >>时有2221222a b a b++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,∴a b +≤∴a b +此时2a b ==.11.选C .【解析】设ABC ∆的外接圆的圆心为O ',由2AB BC ==,AC =90ABC ∠=︒,∴点O '为AC 的中点,∴OO ABC '⊥平面,设直线OO '交球O 于1D 和2D ,不妨设点O 在线段1O D '内,∴1O D '为四面体D ABC -高的最大值,∴1112323D ABC V AB BC h h -⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭,依题意知,2433h ≤,即2h ≤,当且仅当点D 与1D 重合时,D ABC V -取最大值,此时2h =,由()222h R R -+=,得222h R h+=,∴32R =,∴249S R ππ==.12.选B .【解析】不妨设22221x y a b -=的两条渐近线,OA OB 的方程分别为0bx ay -=和0bx ay +=则右焦点(),0F c 到直线OA的距离d b ==,又由FA OA ⊥,得O A a =,∵2OA OB AB +=,∴2OB AB a =- …①∵90AOB ∠=︒,∴222OA AB OB += …②,①②联立,解得43AB a =在Rt OAB ∆中,4tan 3AB AOB OA∠==,而2AOB AOF ∠=∠且tan b AOF a ∠=∴22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠=-∠,即22431b a b a ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得12b a =,或2b a =-(舍)∴2214b a =,即2254c a =,∴离心率2c e a == 二、填空题 :共4小题,每小题5分,共20分. 13.填112.【解析】∵()843182r rrr T C x-+=-,令8403r-=,即2r =, ∴常数项为()22382112T C =-=14.填1±.【解析】设点()()1122,,,A x y B x y ,由2OB OA =,得21212,2x x y y ==,又∵点B 在椭圆2C 上,∴22221164y x +=,∴2211144y x += …①, ∵点A 在椭圆1C 上,∴221114x y +=…②,由①②可得111yx =±.∴射线OA 的斜率为1±. 15.填12.【解析】依题意,有()2log f x x a -=,a 是常数. ∴()1f a =,即2l o g 1a a =-,易知1a =,∴()21log f x x =+,令()0f x =,解得12x =16.填21y x =+.【解析】依题意,设直线l 的方程为y kx m =+,它与抛物线2y x =交于点()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点P 的坐标为(),x y ,则122x x x +=, 122y y y +=…⑴由方程组2y kx m y x=+⎧⎨=⎩,得到以12,x x 为根的一元二次方程20x kx m --=,则240k m ∆=+>且12x x k +=,12x x m =-…⑵不妨设12x x <,依题意知()21243x x kx m x dx +-=⎰, 即()()22112221124233x x x x k x x x x m ⎡⎤++-++-=⎢⎥⎣⎦…⑶,将⑵代入⑶,化简得()3218x x -=,即()2214x x -=,∴()2121244x x x x +-=…⑷ 又∵221122,y x y x ==,∴2212121212422222y y x x x x y x x +++====+,故122x x y =-,而122x x x +=,得122x x x +=,代入⑷,化简得21y x =+ 三、解答题17.(本小题满分12分)(Ⅰ)∵1233,2,S S S 成等差数列,∴21343S S S =+,∴()()12112343a a a a a a +=+++,即323a a =,∴公比3q =∴113n n n a a q -== …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,33log log 3n n n b a n ===,∵()()2122212122214n n n n b b b b n n n n n -+-=--+=- ∴()()()12233445212221n n n n n T bb b b b b b b b b b b -+=-+-++-()()214124222n n n n n +=-+++=-⨯=-- …12分18.(本小题满分12分)取AC 的中点O ,连接,OF OB ,则有1A A ∥FO ,故FO ⊥平面ABC ,在正三角形ABC 中,O 是AC 的中点,故OB AC ⊥,1,OA OC OB ===如图,以O 为原点,分别以,,OA OB OF 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则()()()()(0,0,0,1,0,0,,1,0,0,,O A B C E F ⎛- ⎝⎭(FB =,AE ⎛=- ⎝⎭,()2,0,0AC =-,(AF =-(Ⅰ)∵(02FB AE ⎛⋅=⋅-= ⎝⎭, ∴FB AE ⊥,即FB AE ⊥又∵(()2,0,00FB AC ⋅=⋅-=, ∴FB AC ⊥,即FB AC ⊥而AEAC A =,∴FB ⊥平面AEC ; …6分(Ⅱ)设平面AEF 的法向量为(),,a b c =n ,则有0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n,即00a a ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩,令c =6,a b =即(=n ,由(Ⅰ)知平面AEC 的一个法向量为FB 设二面角F AE C --的平面角为θ,易知02πθ<≤,∴cos FB FB θ⋅==n n…12分 19.(本小题满分12分)设“两位专家都同意通过”为事件A ,“只有一位专家同意通过”为事件B , “通过复审”为事件C .(Ⅰ)设“某应聘人员被录用”为事件D ,则D A BC =+∵()111224P A =⨯=,()11121222P B ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭,()310P C = ∴()()()()()25P D P A BC P A P B P C =+=+= …6分 (Ⅱ)根据题意,0,1,2,3,4X =i A 表示“应聘的4人中恰有i人被录用”()0,1,2,3,4i =.∵()04004238155625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31142321655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭, ()222242321655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3334239655625P A C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭, ()4444231655625P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴X 的分布列为∵X ~()4,0.4B ,∴ 1.6EX np == …12分 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)分别过,A B 作准线的垂线,垂足分别是11,A B则11,AF AA BF BB ==∴11AA AF HABF BB HB==, ∴AF HA BF HB =,∴AF BFHA HB=…① AHF ∆中,sin sin AF AHFHA AFH ∠=∠…②,BHF ∆中,sin sin BF AHFHB BFH∠=∠…③将②③代入①,得sin sin sin sin AHF AHFAFH BFH∠∠=∠∠,∴sin sin AFH BFH ∠=∠∴180AFH BFH BFx ∠=︒-∠=∠∴0AF BF k k +=,∴2BF AF k k =-=-.…6分(Ⅱ)依题意可知,抛物线为24y x =,直线l 的斜率k 存在且0k ≠,l 的方程为()1y k x =+,设交点()11,A x y ,()22,B x y ,满足()214y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩, 即12,x x 满足()2222240k x k x k +-+=,∴()2242440k k ∆=-->,∴21k <,且21212242,1k x x x x k -+==设()00,M x y ,由FA FB tFM +=,其中0t ≠, X 0 1 2 3 4P81625 216625 216625 96625 16625得()()()1122001,1,1,x y x y t x y -+-=-,∴12012021x x x ty y y t +-⎧=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,而()121242y y k x x k+=++=代入2004y x =,得222422441k k kt t ⎛⎫-- ⎪⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,化为:222444k t k t t -+= 得,22444t k t t-=-,而21k <且0k ≠, ∴2t <-,或01t <<,或12t <<,或4t >. …12分 21.(本小题满分12分)(Ⅰ)令()()()()1ln 1h x f x x x x =--=-+,则()1xh x x '=+, 当10x -<≤ 时,()0h x '≤,函数()h x 递减当0x >时,()0h x '>,函数()h x 递增,故()h x 在0x =处取得最小值()00h = 即,对1x >-,有()()00h x h ≥=,故()1f x x ≥- 令()()()1ln 111x I x f x x x x =-=-+++,则()()21x I x x '=-+, 当10x -<≤ 时,()0I x '≥,函数()I x 递增当0x >时,()0I x '<,函数()I x 递减,故()I x 在0x =处取得最大值()00I = 即,对1x >-,有()()00I x I ≤=,故()11f x x≤+ ∴()111x f x x-≤≤+ …6分 (Ⅱ)令()()()()2ln 1F x g x f x x ax x =-=++-,则()()22211ax a xF x x +-'=+⑴当0a ≤时,210a -<,∴当0x ≥,∴10x +>,2210ax a +-≤∴()0F x '≤,∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数,∴当01x ≤≤时,()()00F x F ≤=, 即0a ≤时,()()f x g x ≥成立⑵当104a <≤时,1212aa-≥ 则对[]0,1x ∀∈,12102ax x a--≤-≤,∴10x +>,2210ax a +-≤ ∴()0F x '≤,∴函数()[],0,1y F x x =∈为减函数,∴当01x ≤≤时,()()00F x F ≤=,即104a <≤时,()()f x g x ≥成立 ⑶当11ln 24a <≤-时,由11ln 22-<,知12012aa-<< ∴当1202ax a-≤≤时,∴10x +>,2210ax a +-≤,∴()0F x '≤当1212ax a-<≤时,∴10x +>,2210ax a +-≥,()0F x '≥, ∴函数()[],0,1y F x x =∈的减区间为120,2a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,增区间为12,12a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦又∵()()00,1ln 210F F a ==-+≤∴对[]0,1x ∀∈,()()(){}max 0,10F x F F ≤≤ 故,当01x ≤≤时,()()f x g x ≥成立⑷当1ln 2a >-时,有ln 210a +->,∴()1ln 210F a =+-> 即()()11g f >,与题意矛盾综合⑴⑵⑶⑷,(],1ln2a ∈-∞-,对01x ≤≤,有()()f x g x ≥. …12分 22.(本小题满分10分)(Ⅰ)如图,由题意可知,ACD AEC CAD EAC ∠=∠∠=∠∴ADC ∆∽ACE ∆,∴CD ACCE AE=, 同理,BD ABBE AE =,又∵AB AC =, ∴CD BDCE BE=,∴B E C D B D C E ⋅=⋅ …5分(Ⅱ)如图,由切割线定理,得2FB FD FC =⋅,∵CE ∥AB ∴FAD AEC ∠=∠,又∵AB 切圆于B ,∴ACD AEC ∠=∠,∴FAD FCA ∠=∠, ∴AFD ∆∽CFA ∆,∴AF FD CF AF=,即2AF FD FC =⋅∴22FB AF =,即FB FA =,∴F 为线段AB 的中点. …10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)设曲线C 上任意点M 的坐标为()cos ,sin ϕϕ(02ϕπ≤<)依题意,直线l 的普通方程为40x y +-=点M 到l的距离为d ==∵02ϕπ≤<,∴9444πππϕ≤+<,3444242πππϕ⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭即4444πϕ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭,当342ππϕ+=,即54πϕ=时,max 1d === …5分 (Ⅱ)设射线OP 的极坐标方程为()θαα=∈R ,依题意可知,动点Q 的极坐标为(),ρα,()()1,,,P R P αρα,由2OP OQ OR ⋅=,得1P ρρ⋅=…⑴点(),P P ρα在直线l 上,∴()cos sin 4P ραα+=…⑵,cos sin 0αα+≠,∴4cos sin P ραα=+…⑶,将其代入⑴得41cos sin ραα=+,即4cos sin ραα=+由cos ,sin x y ραρα==,∴()224x y x y +=+,其中0xy ≠24.(本小题满分10分)(Ⅰ)∵()()()3332223a b c a b c a b c ++-++++()()()()3332222222a b c a b c b a c c a b =++-+-+-+∵()()332222a b a b ab aa b b b a +--=-+-()()2a b a b =-+∵,a b +∈R ,∴()()20a b a b -+≥,∴3322a b a b ab +≥+,同理,3322b c b c bc +≥+,3322c a c a ca +≥+∴()3332222222a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++∴()()()()33322222220a b c a b c b a c c a b ++-+-+-+≥∴()()()2223333a b c a b c a b c ++++≤++ …5分(Ⅱ)∵,,a b c +∈R ,∴0,0,0a b b c c a +>+>+>,由柯西不等式得()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29≥=即()11129a b c a b b c c a ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭,∴23ca b a b b c c a ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭故,32a b c b c c a a b ++≥+++,当且仅当a b c ==时不等式取等号 …10分以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.。
新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下面的四个图形中,1∠与2∠是对顶角的是( )A .B .C .D .2.在实数:3.14159 1.010010001 05π,449中,无理数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.如图,直线a ,b 相交于点O ,如果12100∠+∠=°,那么3∠=( )A .50︒B .100︒C .130︒D .150︒ 4.下列等式正确的是( )A 3=-B 12±C 2=-D .5=- 5.如图,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠B =∠DCE ;④∠B +∠BAD =180°,其中能推出//AB CD 的是( )A .①②B .①③C .②③D .②④ 6.下列语句中,真命题为( )A .2a 的平方根为a ±B .只有正数才有平方根C .正数的平方根仍然是正数D .2a -一定没有平方根7.如图,河道1的一侧有A 、B 两个村庄,现要铺设一条引水管道把河水引向A 、B 两村,下列四种方案中最节省材料的是( )A .B .C .D .8x ,小数部分为y y -的值是( )A .3 B C .1 D .39.如图,将Rt ABC △沿着点B 到C 的方向平移到DEF V 的位置,10AB =,4DO =,平移距离为6,则阴影部分面积为( )A .42B .96C .84D .4810.已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简|a +b )A .2a -B .2aC .2bD .2b -二、填空题11.412.比较大小:13.请将命题“邻补角互补”写成“如果……那么……”的形式:.14.已知()2130a b -++=,则a b c +-=.152.872. 16.如图,将一张矩形纸片按图中方式折叠,若163∠=︒,则2∠为度.三、解答题17.计算1(3)()236125x -=(4)()31064x +=-18.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,ABC V 的三个顶点A ,B ,C 都在格点(正方形网格的交点称为格点),现将ABC V 平移,使点A 平移到点D ,点E ,F 分别是B ,C 的对应点.(1)在图中请画出平移后的DEF V ;(2)DEF V 的面积为______.19.已知21a -的平方根是3±,39a b +-的立方根是2,求2+a b 的算术平方根. 20.如图,AB 和CD 相交于点O ,OD 平分BOF ∠,OE CD ⊥于点O ,40AOC ∠=︒,求EOF ∠的度数.21.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,B D ∠=∠,点E 在BA 的延长线上,连接CE .求证:E ECD ∠=∠.22.为庆祝祖国70华诞,某小区计划在一块面积为196m 2的正方形空地上建一个面积为100m 2的长方形花坛(长方形的边与正方形空地的边平行),要求长方形的长是宽的2倍.请你通过计算说明该小区能否实现这个愿望?23.问题情境:如图1,AB CD ∥,130PAB ∠=︒,120PCD ∠=︒,求APC ∠度数. 小明的思路是:过P 作PE AB P ,通过平行线性质来求APC ∠.(1)按小明的思路,易求得APC ∠的度数为______度;(直接写出答案)(2)问题迁移:如图2,AB CD ∥,点P 在射线OM 上运动,记PAB α∠=,PCD β∠=,当点P 在B 、D 两点之间运动时,问APC ∠与α、β之间有何数量关系?请说明理由;(3)在(2)的条件下,如果点P 在B 、D 两点外侧运动时(点P 与点O 、B 、D 三点不重合),请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系.。
2013-2014学年新疆乌鲁木齐一中高一(上)期中数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3.00分)已知全集U为实数集,设集合A={x|x2﹣4≤0},B={x|x≤0},A∩∁U B=()A.[0,2]B.(0,2]C.(﹣∞,2]D.[﹣2,0]2.(3.00分)函数y=log2(x+1)+的定义域是()A.(﹣1,1)B.[﹣1,1)C.(﹣1,1]D.[﹣1,1]3.(3.00分)已知函数f(2x+1)=3x+2,f(m)=﹣1,则m等于()A.2 B.11 C.5 D.﹣14.(3.00分)已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是()A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥1 D.0≤m≤45.(3.00分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是()A.y=x3 B.y=2x C.y=log2|x|D.y=2﹣|x|6.(3.00分)函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()A.[0,]B.[,]C.[,]D.[,1]7.(3.00分)已知函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)8.(3.00分)一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a倍,那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.﹣1 B.﹣1 C.D.9.(3.00分)函数的图象的大致形状是()A. B.C.D.10.(3.00分)函数y=log a(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,+∞)二.填空题(每小题4分,共20分)11.(4.00分)函数是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为.12.(4.00分)函数y=log a(x﹣2)+1,(a>0且a≠1),无论a取何值,函数图象恒过一个定点,则定点坐标为.13.(4.00分)f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=﹣f(x)({x∈R}),当0<x <1时,f(x)=x,则f(3.5)=.14.(4.00分)A={y|y=x2﹣2x﹣3,x∈[0,3]},B={x|x>m},且A⊆B,则m的范围.15.(4.00分)已知函数f(x)=为R上的增函数,则a的取值范围是.三.解答题(每小题10分,共50分)16.(10.00分)(1)计算:lg25+lg2lg50.(2)已知3x=2y=12,求+的值.17.(10.00分)设集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a﹣1)x+(a2﹣5)=0}(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.18.(10.00分)设函数f(x)=a﹣(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数.19.(10.00分)已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时f(x)>0,且f()=1;(1)证明:y=f(x)是(x>0)上的减函数;(2)解不等式f(x﹣3)>f()﹣2.20.(10.00分)设f(x)=log(a为常数)的图象关于原点对称(1)求a的值;(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性并证明;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,f(x)>()x+m恒成立,求实数m的取值范围.2013-2014学年新疆乌鲁木齐一中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1.(3.00分)已知全集U为实数集,设集合A={x|x2﹣4≤0},B={x|x≤0},A∩∁U B=()A.[0,2]B.(0,2]C.(﹣∞,2]D.[﹣2,0]【解答】解:由x2﹣4≤0得,﹣2≤x≤2,则集合A={x|﹣2≤x≤2},又∁U B={x|x>0},所以A∩∁U B={x|0<x≤2}=(0,2],故选:B.2.(3.00分)函数y=log2(x+1)+的定义域是()A.(﹣1,1)B.[﹣1,1)C.(﹣1,1]D.[﹣1,1]【解答】解:要使函数有意义,则,即,解得﹣1<x<1,故函数的定义域为(﹣1,1),故选:A.3.(3.00分)已知函数f(2x+1)=3x+2,f(m)=﹣1,则m等于()A.2 B.11 C.5 D.﹣1【解答】解:∵f(2x+1)=3x+2,设2x+1=t,则x=,∴f(t)=,∵f(m)=﹣1,∴,解得m=﹣1.故选:D.4.(3.00分)已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是()A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥1 D.0≤m≤4【解答】解:当m=0时,函数f(x)=,函数的定义域不是R,所以m=0不正确.m≠0此时:应有,即解得:1≤m,故选:C.5.(3.00分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是()A.y=x3 B.y=2x C.y=log 2|x|D.y=2﹣|x|【解答】解:A选项,y=x3是奇函数且是增函数,不是正确选项;B选项,y=2x不具有奇偶性,故不是正确选项;C选项,y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故C是正确选项;D选项,是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,故不是正确选项.故选:C.6.(3.00分)函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()A.[0,]B.[,]C.[,]D.[,1]【解答】解:∵f()=<0,f()=<0,f()=>0,f(1)=π,∴只有f()•f()<0,∴函数的零点在区间[,]上.故选:C.7.(3.00分)已知函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)【解答】解:函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)是y=e x的反函数,即f(x)=lnx,∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),选D.8.(3.00分)一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a倍,那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.﹣1 B.﹣1 C.D.【解答】解:设月平均增长率为x,一月份的产量为1,∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍,∴(1+x)11=a,即1+x=,即x=﹣1,故选:A.9.(3.00分)函数的图象的大致形状是()A. B.C.D.【解答】解:f(x)是分段函数,根据x的正负写出分段函数的解析式,f(x)=,∴x>0时,图象与y=a x在第一象限的图象一样,x<0时,图象与y=a x的图象关于x轴对称,故选:C.10.(3.00分)函数y=log a(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,+∞)【解答】解:∵a>0,∴2﹣ax在[0,1]上是减函数.∴y=log a u应为增函数,且u=2﹣ax在[0,1]上应恒大于零.∴∴1<a<2.故选:C.二.填空题(每小题4分,共20分)11.(4.00分)函数是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为﹣1.【解答】解:∵函数是幂函数,∴m2﹣m﹣1=1,解得m=2或m=﹣1,又∵函数在x∈(0,+∞)上为增函数,∴m2﹣2m﹣2>0,故m=﹣1.故答案为:﹣112.(4.00分)函数y=log a(x﹣2)+1,(a>0且a≠1),无论a取何值,函数图象恒过一个定点,则定点坐标为(3,1).【解答】解:令x﹣2=1,解得x=3,则x=3时,函数y=log a(x﹣2)+1=1,即函数图象恒过一个定点(3,1).故答案为:(3,1).13.(4.00分)f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=﹣f(x)({x∈R}),当0<x <1时,f(x)=x,则f(3.5)=﹣0.5.【解答】解:因为x∈(0,1)时,f(x)=x,设x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1),∴f(﹣x)=﹣x,∵f(x)为定义在R上的奇函数∴f(x)=﹣f(﹣x)=x,所以x∈(3,4)时,x﹣4∈(﹣1,0),∴f(x﹣4)=x﹣4∵f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,f(x﹣4)=f(x)=x﹣4;∴x∈(3,4)时,f(x)=x﹣4∴f(3.5)=3.5﹣4=﹣0.5故答案为:﹣0.5.14.(4.00分)A={y|y=x2﹣2x﹣3,x∈[0,3]},B={x|x>m},且A⊆B,则m的范围(﹣∞,﹣4).【解答】解:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∵x∈[0,3],∴﹣1≤x﹣1≤2,则﹣4≤(x﹣1)2﹣4≤0,∵B={x|x>m},且A⊆B,∴m<﹣4,故答案为:(﹣∞,﹣4).15.(4.00分)已知函数f(x)=为R上的增函数,则a的取值范围是[2,6).【解答】解:要使函数f(x)=为R上的增函数,则满足,即,解得2≤a<6,故答案为:[2,6).三.解答题(每小题10分,共50分)16.(10.00分)(1)计算:lg25+lg2lg50.(2)已知3x=2y=12,求+的值.【解答】解:(1)原式=lg25+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1.(2)∵3x=2y=12,∴,.∴+===1.17.(10.00分)设集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a﹣1)x+(a2﹣5)=0}(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)有题可知:A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,将2带入集合B中得:4+4(a﹣1)+(a2﹣5)=0解得:a=﹣5或a=1当a=﹣5时,集合B={2,10}符合题意;当a=1时,集合B={2,﹣2},符合题意综上所述:a=﹣5,或a=1.(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={1,2},∴B=∅或B={1}或{2}或{1,2}.若B=∅,则△=4(a﹣1)2﹣4(a2﹣5)=24﹣8a<0,解得a>3,若B={1},则,即,不成立.若B={2},则,即,不成立,若B={1,2}.则,即,此时不成立,综上a>3.18.(10.00分)设函数f(x)=a﹣(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数.【解答】解:(1)由于f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),即a﹣=﹣a+,解得:a=1,f(x)=1﹣(2)由于f(x)的定义域为R,令x1<x2,则,∵x1<x2,∴,,∴f(x1)﹣f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.19.(10.00分)已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时f(x)>0,且f()=1;(1)证明:y=f(x)是(x>0)上的减函数;(2)解不等式f(x﹣3)>f()﹣2.【解答】(1)证明:设0<x1<x2,则0<<1,由题意f(x1)﹣f(x2)=f(•x2)﹣f(x2)=f()+f(x2)﹣f(x2)=f()>0,则f(x1)>f(x2),∴y=f(x)是(x>0)上的减函数;(2)由函数的定义域知:,解得x>3;又∵f()=1,∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2,由f(x﹣3)>f()﹣2.得f(x﹣3)+2>f(),即f(x﹣3)+f()>f(),即f()>f(),由(2)得<,解得﹣1<x<4,综上知3<x<4为所求.20.(10.00分)设f(x)=log(a为常数)的图象关于原点对称(1)求a的值;(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性并证明;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,f(x)>()x+m恒成立,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)由题意可得,f(x)为奇函数,故有f(﹣x)=﹣f(x),即=﹣,即=,∴=,解得a=±1.…(3分)经检验,当a=1时不合条件,故a=﹣1.…(4分)(2)由(1)可得f(x)=log,函数在区间(1,+∞)内单调递增.…(10分)证明:令g(x)==1+,由于在区间(1,+∞)内单调递减,故函数g(x)在区间(1,+∞)内单调递减,故函数f(x)=log在区间(1,+∞)内单调递增.(3)令h(x)=f(x)﹣,则由(2)得h(x)在[3,4]上单调递增,…(12分)故g(x)的最小值为g(3)=﹣.…(14分)故有m<﹣.…(16分)。
(请将答案写在答题纸上)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,其中第II 卷第(22)-(24)题为选考题,其他题为必考题。
考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
第I 卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A x x x =-+=,{}log 42x B x ==,则AB =A .{}2,1,2-B .{}1,2C .{}2,2-D .{}22.已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角,那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的A . 充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件 3.下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是A.xx f 1)(=B.x x f -=)(C.x x x f 22)(-=-D.x x f tan )(-= 4. 已知0x 是函数f(x) =2x +11x-的一个零点, 若1x ∈(1,0x ),2x ∈(0x ,+∞),则(A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0 (C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>05.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,则将()y f x =的图象向左平移6π个单位后,得到()g x 的图象解析式为A.()sin 2g x x = B .()sin(2)6g x x π=-C .2()sin(2)3g x x π=+D .()cos 2g x x = 6.定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0),()(1)(2),(0).x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则f(1)+ f(2) +f(3)+…+ f(2013)的值为A .-2B .-1C .1D .27.若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是 A .4π B .6π C .56π D .34π8.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为9.与向量a =(72,12),b =(12,-72)的夹角相等,且模为1的向量是A.B.C. D.10.设集合{}2),(≤+=y x y x A ,{}2(,)B x y A y x =∈≤,从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ,则(,)P x y B ∈的概率是第5题图A .121 B .32 C .2417 D .6511.函数22()(sin cos )2cos f x x x x m =+--在[0,]2π上有零点,则实数m 的取值范围是A .[1,1]- B. C.[1- D.[ 12.定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“驻点”,若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“驻点”分别为γβα,,,则γβα,,的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>>第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.函数y =x2-sin x 的单调递减区间是 . 14.已知a = (cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(,ππ2),若a ·b =52,则tan(α+4π)的值为_________. 15. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x ∈R ,都有(2)(2)f x f x -=+,且当[2,0]x ∈-时,1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=在区间(2,6]-内恰有三个不同实根,则实数a 的取值范围是 . 16. 在ABC ∆中,点G 为中线AD 上一点,且1,2AG AD =过点G 的直线分别交,AB AC 于点,E F ,若AC n AF AB m AE ==,,则m +3n 的最小值为_________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分):在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274s i n c o s222A B C +-=. (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin sin A B +的最大值.18. (本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和S n=n2,数列{b n}满足b n=a na n+m(m∈N*).(1)若b1,b2,b8成等比数列,试求m的值;(2)是否存在m,使得数列{b n}中存在某项b t满足b1,b4,b t(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111C B A ABC -中,点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点,⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ,21===BC AC AA .(Ⅰ) 求异面直线1AB 与C A 1所成的角; (Ⅱ) 求11C A 与平面11B AA 所成角的正切值.20. (本小题满分12分):给定抛物线c ∶y 2=4x ,F是c 的焦点,过点F的直线l 与c 相交于A,B两点. (1)设l 的斜率为1,求与夹角的余弦值;(2)设=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上的截距的取值范围.21.(本小题满分12分): 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ (1)当254a =时,求()f x 的单调递减区间; (2)若当0x >时,()1f x >恒成立,求a 的取值范围; (3)求证:1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)已知AB 为半圆O 的直径,4AB =,C 为半圆上一点,过点C 作半圆的切线CD ,过点A 作AD CD ⊥于D ,交圆于点E ,1DE =. (Ⅰ)求证:AC 平分BAD ∠; (Ⅱ)求BC 的长.ABCO1A 1C 1B E23.(本小题满分10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为:)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+,参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(.(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立,求实数m 的取值范围.乌鲁木齐市第一中学2013--2014学年第一学期 2014届高三年级第一次月考理科数学参考答案一.选择题二、填空题三、解答题(Ⅱ)由(Ⅰ)得 32π=+B A .∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A . ∵ 320π<<A ,∴ 6566πππ<+<A .∴ 当26ππ=+A ,即 3π=A 时,B A sin sin +取得最大值为3.19.解法一:(Ⅰ) ∵⊥AO 平面111C B A ,∴AO O AO C A = 11,∴⊥11C B 平面11AC CA ,∴111C B C A ⊥ 又∵AC AA =1, ∴四边形11AC CA 为菱形,∴11AC C A ⊥,且1111B C AC C =∴⊥C A 1平面1AB ∴C A AB 11⊥,即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90(Ⅱ)设点1C 到平面11B AA 的距离为d ,∵111111B AA C C B A A V V --=, 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅ 又∵在△11B AA 中,22111==AB B A ,∴S △11AA B 7=.∴7212=d ,∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721A 1(Ⅱ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ,∵)0,2,0(11=C A ,111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩不妨令1x =,可得(1,1,n =-∴11sin cos ,7AC n θ=<>==, ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值72120.解: (1)C的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x -1. 将y =x -1代入方程y 2=4x , 整理得x 2-6x +1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1..所以与的夹角的余弦值为-3/√41(2)由题设得(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1),即由②得∴, ③联立①、③解得x 2=λ,依题意有λ>0. ∴ B (λ,),或B(λ,-),又F(1,0),得直线l 方程为(λ-1)y =(x -1)或(λ-1)y =-(x -1),当λ∈[4,9]时,l 在方程y 轴上的截距为或-,把看作函数,设g(λ)=,λ∈[4,9],,可知g(λ)=在[4,9]上是递减的(或用导数g′(λ)=-<0,证明g(λ)是减函数).∴,即直线l 在y 轴上截距的变化范围为.22.解:(Ⅰ)连结AC ,因为OA OC =,所以OAC OCA ∠=∠,因为CD 为半圆的切线,所以OC CD ⊥,又因为AD CD ⊥,所以OC ∥AD ,所以OCA CAD ∠=∠,OAC CAD ∠=∠,所以AC 平分BAD ∠. (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =,连结CE ,因为ABCE 四点共圆,B CED ∠=∠,所以cos cos B CED =∠, 所以DE CB CE AB=,所以2BC =.。
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 CD C C B B C A B A C A 1.选C .【解析】由21x <得11x -<<,故()1,1A =-,∴[)0,1A B =I .2.选D .【解析】∵()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d+-++-+===++-+, ∴12z z ∈R 的充要条件是0ad bc -=. 3.选C .【解析】由题意得,123112,216.a q a q a q =⎧⎨+=⎩解得112a q =⎧⎨=⎩,1124a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,又0n a >, ∴112a q =⎧⎨=⎩,∴45116a a q ==. 4.选C .【解析】,该几何体的直观图为右图所示∴114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 5.选B .【解析】∵()2y f x x =+是偶函数,∴()()()22f x x f x x -+-=+, ∴()()222f x f x x -=+,令1x =,()()2223f f -=+=.6.选B .【解析】循环体执行第一次时:1,3i n ==;循环体执行第二次时:2,10i n == 循环体执行第三次时:3,5i n ==;∴输出5n =.7.选C .【解析】当向量,,a b c 两两成0︒角时,5++=++=a b c a b c ;当向量,,a b c 两两成120︒角时,∵22222224++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b c a b a c b c =; ∴2++=a b c8.选A .【解析】根据题意有1212234PA PA A A -=<=,∴点P 的轨迹是以()12,0A -,()22,0A 为焦点,实轴长为223a =的双曲线,2221b c a =-=,方程为2213x y -=.9.选B .【解析】∵()f x过0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴sin θ=22ππθ-<<,∴3πθ=, ∵()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦过0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴sin 23πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,∴23πϕ-+ 23k ππ=+,或22233k ππϕπ-+=+,即k ϕπ=-,或6k πϕπ=--,又0ϕ>,选B . 10.选A .【解析】∵21log 21log n n n=+,当1201n n <<<时,有2122log log 0n n << ∴2122110log log n n >>,即,当01n <<时,n 越大,log 2n n 的值越小,0.10.20.3<<,∴a b c >>.11.选C .【解析】∵从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数有32109648A A -=个;其中,能被3整除的,可以分为“含0”与“不含0”两类;“含0”:由这样的数字构成:0,1,2;0,1,5;0,1,8;0,2,4;0,2,7;0,4,5;0,4,8;0,5,7;0,7,8,它们组成的无重复数字的三位数有12229C A 个;或由0,3,6;0,3,9;0,6,9构成,它们组成的无重复数字的三位数有12223C A 个,共有122212C A 个“不含0”:由这样的数字构成:⑴含3,6,9中的一个,另外两个数字分别为1,2;1,5;1,8;2,4;2,7;4,5;4,8;5,7;7,8,它们组成的无重复数字的三位数有33333927A A ⨯=个; ⑵由3,6,9三个数字构成无重复数字的三位数有33A 个;⑶无3,6,9,由1,4,7;2,5,8组成无重复数字的三位数有332A 个,故,从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被3整除的共有1232231230228C A A +=个,∴能被3整除的概率为2281964854P ==. 12.选A .【解析】设1122(,),(,)P x y M x y ,33(,)N x y ,由PM 过焦点F ,易得121y y =-,1214x x =,则有2211,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P x y ,同理3311,4⎛⎫- ⎪⎝⎭Q x y ,将P 点代入直线方程0ax by c ++=,有221104a b c x y ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭,两边乘以24x ,得222440bx a x c y -+=,又2222y x =,⇒2222x y y =,所以22240a by cx -+=,同理33240a by cx -+= 故,所求直线为240a by cx -+=.二、填空题 :共4小题,每小题5分,共20分.13.填20-.【解析】依题意有911119361111559S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,两式相减得,12192a d +=-, ∴2012019020S a d =+=-.14.填π.【解析】根据题意,阴影部分的面积为014sin 2a a xdx a ⎛⎫⨯⋅= ⎪⎝⎭⎰, 即,()cos cos02a --=,cos 1a =-,又()0,2a π∈,故a π=.15.填20π.【解析】设半径为R 的球内接直三棱柱111ABC A B C -的上下底面外接圆的圆心分别为12,O O ,则球心O 在线段12O O 的中点处,连接11,,OO OA O A ,则222211R OA OO O A ==+211O A =+,在ABC ∆中,2,120AB AC BAC ==∠=︒,∴BC =12sin BC O A BAC=∠,∴122sin O A BAC ==∠,∴R = ∴此球的表面积等于2420R ππ=.16.填1.【解析】曲线32:3C y x px =-,则236y x px '=-,设()()1122,,,A x y B x y , 依题意知21136m x px =-…⑴,22236m x px =-…⑵,∴12,x x 是方程2360x px m --=的两个根∴122x x p +=…⑶,下证线段AB 的中点在曲线C 上, ∵()()()223232121212121211223323322x x x x x x p x x x x x px x px ⎡⎤⎡⎤++--+--+-⎣⎦⎣⎦= 33381222p p p -==-,而323231212223322222x x x x p p p p p ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴线段AB 的中点在曲线C 上,由⑶知线段AB 的中点为(),1p p -- 323132p p p p p --=-⋅=-,解得1p =.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分12分)(Ⅰ)在Rt COB ∆中,CB x =,OB x =tan30tan30sin OA DA CB x =︒=︒=,sin AB OB OA x x =-=-()()3cos sin 3sin f x AB BC x x x =⋅=-⋅23sin cos 3sin x x x =⋅- ()333sin 21cos 23sin 226x x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ …6分 (Ⅱ)由03x π<<,043x ππ<+<,得012x π<<而()4y f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭33sin 26x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭33sin 246x ππ⎡⎤⎛⎫+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 2cos 2366x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦56sin 2312x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ∵012x π<<,∴026x π<<,5572121212x πππ<+<, ∴52122x ππ+=,即24x π=时,max 63y =- …12分 18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在梯形ABCD 中,∵AD ∥BC ,∴::2OC OA BC AD ==,又2BN NA =,∴NO ∥BC ∥AD在PAC ∆中,∵::2OC OA BC AD ==,2CM MP =,∴OM ∥AP∴平面MNO ∥平面PAD ; …6分 (Ⅱ)在PAD ∆中,2222cos 3PA PD AD PD AD PDA =+-⋅∠=∴222PA AD PD +=,即PA AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD∴PA ⊥平面ABCD ,而90BAD ∠=︒故,如图,以点A 为坐标原点,分别以,,AD AB AP所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,在梯形ABCD 中,22CD BC AD ===, 90BAD ∠=︒,∴3AB =,则有()()()()()0,0,0,0,3,0,2,3,0,1,0,0,0,0,3A B C D P , 由13PM PC =u u u u r u u u r ,得12323,,33AM PC AP ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r , ()()0,3,0,2,3,0AB AC ==u u u r u u u r , 设平面ABM 的法向量为(),,a b c =1n ,由00AB AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11u u u r u u u u r n n ,得3023230b a b c ⎧=⎪⎨++=⎪⎩,令c =0,3b a ==,∴(3,0,=1n同理,可得平面ACM的法向量为()3,=-2n设二面角B AM C --的平面角为θ,易知02πθ<<,∴1212cos θ⋅==n n n n …12分 19.(本小题满分12分)(Ⅰ)若取出的4个球都是红色,共有4735C =种情形,若取出的4个球都是黑色,共有4870C =种情形,故取出的4个球同色的概率为4478415113C C C +=; …6分 (Ⅱ)依题意知0,1,2,3,4ξ=()04874151039C C P C ξ===;()138********C C P C ξ===;()228741528265C C P C ξ===; ()3187415563195C C P C ξ===;()40874152439C C P C ξ=== ∴ξ的分布列为∴012343939651953915E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …12分 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)根据题意有232c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,又222a b c =+,解得3,2a b c ===∴椭圆M 的方程为22195x y += …5分 (Ⅰ)不妨设F 为椭圆M 的右焦点()2,0当直线1l 的斜率1k 存在时,1l 的方程为()()11122y k x k x m m k =-=+=- …⑴,设()11,A x y ,()22,C x y ,把⑴代入椭圆的方程,得关于x 的一元二次方程: ()2221159189450k x mk x m +++-= …⑵∵1x ,2x 是方程⑵的两个实数解,∴211212221118945,5959mk m x x x x k k --+==++ …⑶ 又()1112y k x =-,()2122y k x =- ∴12FA ==-,同理22FC =-, ∴()()211112124FA FC k x x x x ⋅=+-++ …⑷ 把⑶代入⑷得,()22112211189451245959mk m FA FC k k k --⋅=+-+++ …⑸ 记1θ为直线1l 的倾斜角,则11tan k θ=,由⑸知212594cos FA FC θ⋅=- …⑹ 当1l 的斜率不存在时,190θ=︒,此时,A C 的坐标可为52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭和52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴259FA FC ⋅= …⑺ 由⑹⑺知,当直线1l 的倾斜角为1θ时212594cos FA FC θ⋅=- …⑻ 同理,记直线2l 的倾斜角为2θ时222594cos FB FD θ⋅=- …⑼ 由FA FC FB FD ⋅=⋅得,2212cos cos θθ=,120,θθπ<<,∴12θθ=或12θπθ=-,依题意12θθ≠,∴12θπθ=- 当190θ≠︒时,AC ==()()22112211301301tan 5959tan k k θθ++===++ 213094cos θ=- …⑽当190θ=︒时,510233AC =⨯= …⑾ 由⑽、⑾知当直线1l 的倾斜角为1θ时,213094cos AC θ=- …⑿同理,()2211303094cos 94cos BD πθθ==--- …⒀由⑿、⒀知,四边形ABCD 的面积为()11221450sin 21sin 2294cos S AC BD θθθ=⋅=- 令()()22sin 294cos g θθθ=-,∵21cos 2cos 2θθ+=,∴()()2sin 272cos 2g θθθ=- 则()()()()()2322cos 21cos 24sin 272cos 272cos 2g θθθθθθ'⎛⎫-+'== ⎪ ⎪--⎝⎭∵0θπ<<, ∴022θπ<<,当023πθ<<,或5223πθπ<<时,()0g θ'>, ()g θ递增,当5233ππθ≤≤时,()0g θ'≤,()g θ递减, ∴当23πθ=6πθ⎛⎫=⎪⎝⎭时,()g θ取最大值,即()max 6g g πθ⎛⎫==⎪⎝⎭∴当6πθ=时,四边形ABCD的面积max 4S =…12分 21.(本小题满分12分)(Ⅰ)令()ln 1g x x x =-+,则()111xg x x x-'=-=当01x <<时,()0g x '>,∴函数()y g x =在01x <<时为增函数, ∴01x <<时,()()10g x g <=,即ln 10x x -+<当1x >时,()0g x '<,∴函数()y g x =在1x >时为减函数, ∴1x >时,()()10g x g <=,即ln 10x x -+<, 则,当1x >时,0ln 1x x <<-,∴11ln x x->,()1f x >; …5分 (Ⅱ)下面用数学归纳法证明2ln 1nn a ≥ⅰ)当1n =时,1a =,知12ln 1a ==,∴1n =时,命题成立ⅱ)假设n k =时,命题成立.即2ln 1kk a ≥要证明1n k =+时,命题成立.即证明112ln 1k k a ++≥,只需证明1121k k a e ++≥依题意知11ln k k k a a a +-=,即证明:1121ln k k ka e a +-≥()()()22111ln 1ln 11ln ln ln x x x x x f x x x x +--+-'-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭ 当1x >时,有101x <<,由(Ⅰ)可知11ln 10x x -+<,即11ln 10x x-+-> ∴当1x >时,()0f x '>,∴函数()y f x =,1x >时为增函数由归纳假设2ln 1kk a ≥,即121kk a e ≥>,∴()11122212111ln 2kk kkk ke ef a f e e ⎛⎫-->== ⎪ ⎪⎝⎭ …⑴ 依题意知()1k k a f a +=,故又只需证明()112k k f a e +≥,即只需证明11122kk f e e +⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭,构造函数()21xxh x e xe=--,()2222122x x x xxx x h x e e e e e ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭21x e >,由(Ⅰ)知22ln 10x xe e -+<,即2102xxe -->,∴()0h x '>∴函数()y h x =,0x >为增函数,∴()1002kh h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即1112221102k kke e ⋅--> 则1111222112kkk ke f e e +⎛⎫-=> ⎪⎪⎝⎭…⑵,由⑴⑵及题意知1121k k a e ++≥,即112ln 1k k a ++≥ 综合ⅰ)ⅱ)知,对*n ∀∈N ,都有2ln 1n n a ≥成立.22.选修4—1:几何证明选讲(Ⅰ)连接DE ,因为四边形ACED 是圆的内接四边形,所以BDE BCA ∠=∠,又DBE CBA ∠=∠,所以DBE ∆∽CBA ∆,即有BE BDAB BC=, 又2AB BE =,所以2BC BD = …5分(Ⅱ)由(Ⅰ)DBE ∆∽CBA ∆,知BE EDAB AC=, 又2AB BE =,∴2AC DE =, ∵2AC =,∴1DE =,而CD 是ACB ∠的平分线∴1DA =,设BD x =,根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅即()()()11111122x x x x ⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦,解得1x =,即1BD = …10分 23.选修4-4:坐标系与参数方程(Ⅰ)直线l的方程为0x y -= 圆C 的方程是221x y +=圆心到直线的距离为1d ==,等于圆半径,∴直线l 与圆C 的公共点个数为1; …5分(Ⅱ)圆C 的参数方程方程是()cos 02sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩∴曲线C '的参数方程是cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴22224+4cos cos 2sin 4sin 4sin 2xxy y θθθθθ+=+⋅+=+当4πθ=或54πθ=时,224+x xy y +取得最大值5 此时M的坐标为或⎛ ⎝ …10分24.选修4-5:不等式选讲(Ⅰ)∵(1)(1)f x f x -+-2x x =-+.因此只须解不等式2x x -+2≤.当0x ≤时,原不式等价于22x x --≤,即0x =.当02x <<时,原不式等价于22≤,即02x <<. 当2x ≥时,原不式等价于2+2x x -≤,即=2x .综上,原不等式的解集为{}|02x x ≤≤. …5分 (Ⅱ)∵()()f ax af x -11ax a x =---又a <0时,111ax a x ax ax a ---=-+-+1ax ax a ≥--+1a =-()f a = ∴a <0时,()()f ax af x -≥()f a . …10分 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.。
乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题(8小题每题5分共40分)1.已知{}22A y y x ==-,{}22B y y x==-+,则A B = ()A.()){},B.⎡⎣C.[]22-, D.{2.已知2i12iz +=-,则复数z 的虚部为()A.iB.i- C.1- D.13.已知向量()()1,3,2,5a b ==- 若向量c 满足()c a b ⊥+ ,且//()b a c - ,则c=()A.1133816,⎛⎫⎪⎝⎭ B.113381,6⎛⎫-⎪⎝⎭C.1133816,⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.6,113381⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.已知函数()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调,则a 的取值范围为()A .1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()1,+∞ C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.[)1,+∞5.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为2,椭圆22221x y a b =+的离心率为A.12B.3C.2D.26.已知4cos 5α=,()3cos 5αβ+=,且α,β均为锐角,那么cos β=()A.2425B.725或-1 C.1D.7257.已知函数()xxf x 33a b R -=-∀∈.,,则“a b >”是“()()f a f b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且)cos cos c A a C -=,则sin 2A 的值等于A.13B.12C.23D.6二、多选题(共4小题每题五分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别记录每次出现的点数,四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述,可以判断一定没有出现6点的描述是()A.中位数为3,众数为5B.中位数为3,极差为3C.中位数为1,平均数为2D.平均数为3,方差为210.已知正数x ,y ,z 满足3212x y z ==,下列结论正确的有()A.623z y x >>B.121x y z+= C.(3x y z+>+ D.28xy z >11.下列说法正确的是()A.若0b a >>,0m >,则a m ab m b+>+; B.1()|3|3f x x =+-是非奇非偶函数C.若集合{}210A x ax ax =++=中只有一个元素,则4a =D.若00a b >>,,且ln ln a b =,则2a b +的最小值为12.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示的六面体,则下列说法正确的是()A.六面体的体积为6B.C.折后棱AB ,CD 所在直线异面且垂直D.折后棱AB ,CD 所在直线相交三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13.现把5个不同的小球全部分给3名同学,每名同学至少分到1个小球,则不同的分配方法共有___________种,(用数字作答)14.已知三棱台111ABC A B C -的上底面的面积是28cm ,下底面的面积是218cm ,高是6cm ,则三棱锥11A B C C -的体积是___3cm .15.设R a ∈,函数()()()22sin 3π3π,215,x a x af x x a x a x a⎧-<⎪=⎨-++--≥⎪⎩,若()f x 在区间()0,∞+内恰有9个零点,则a 的取值范围是________.16.已知双曲线C :2213y x -=的左右焦点分别为1F ,2F ,A 为C 右支上一动点,12AF F ∆的内切圆的圆心为D ,半径(0,1]r ∈,则1F D 的取值范围为______.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效.)17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=.(1)证明:sin sin sin A B C =;(2)若3cos 5A =,求sin B .18.如图,在四棱锥P ABCD -中,CD ⊥平面PAD ,△PAD 为等边三角形,AD //BC ,22AD CD BC ===,平面PBC 交平面PAD 直线l ,E 、F 分别为棱PD ,PB 的中点.(1)求证:BC ∥l ;(2)求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值;(3)在棱PC 上是否存在点G ,使得DG ∥平面AEF ?若存在,求PGPC的值,若不存在,说明理由.19.已知函数()()eln 1=--xf x x x .(1)求函数()f x 的单调区间;(2)设()()()e R xg x f x mx m =++∈,若()0g x ≥恒成立,求m 的取值范围.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2112,66a S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=,求证:121n b b b +++< .21.2022年3月“两会”在北京召开,会议吸引了全球的目光,对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义,遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况,进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次),随机抽取年龄在15~75岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示,其分组区间为:[)15,25,[)25,35,[)35,45,[)45,55,[)55,65,[]65,75,把年龄落在区间[)15,35和[]35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.(1)若“青少年人”中有15人在关注两会,根据已知条件完成下面的22⨯列联表,根据列联表,判定是否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会?(2)由(1)结果,从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取6人,从这6人中选3人进行专访,这3人关注两会人数为X ,求X 的分布列和期望.关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥0.050.0100.0010k 3.8416.63510.82822.已知函数()22ln f x x x =-.(I)求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.(II)如果函数()()g x f x ax =-的图像与x 轴交于两点()1,0A x 、()2,0B x ,且120x x <<.()g'y x =是()y g x =的导函数,若正常数,p q 满足1,p q q p +=≥.求证:()12'0g px qx +<.乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题(8小题每题5分共40分)1.已知{}22A y y x ==-,{}22B y y x==-+,则A B = ()A.()){},B.⎡⎣C.[]22-,D.{【答案】C【解析】【分析】求出集合A 、B ,利用交集的定义可求得结合A B ⋂.【详解】因为{}{}222A y y x y y ==-=≥-,{}{}222B y y x y y ==-+=≤,因此,[]2,2A B =- .故选:C.2.已知2i12iz +=-,则复数z 的虚部为()A.iB.i- C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z 的代数形式,进而可得虚部.【详解】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5z +++====--+,则复数z 的虚部为1.故选:D.3.已知向量()()1,3,2,5a b ==- 若向量c 满足()c a b ⊥+ ,且//()b a c - ,则c=()A.1133816,⎛⎫⎪⎝⎭ B.113381,6⎛⎫-⎪⎝⎭C.1133816,⎛⎫- ⎪⎝⎭D.6,113381⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】设(,)c x y =,求出()3,2a b +=- ,()1,3a c x y -=-- ,利用向量垂直与向量平行列方程求解即可.【详解】因为()()1,3,2,5a b ==-,所以()3,2a b +=-设(,)c x y =,则()1,3a c x y -=--,因为()c a b ⊥+,且//()b a c -,所以()62510320y x x y ⎧---=⎨-=⎩,解得1183316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,c =)113,3816(.故选:A.4.已知函数()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调,则a 的取值范围为()A.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()1,+∞ C.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】因为()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调,当1x ≤时,()f x x a =-+是单调递减函数,可得()f x 在R 上是单调递减函数,即可求得答案.【详解】()log 3,1,1a x a x f x x a x ->⎧=⎨-+≤⎩又 当1x ≤时,()f x x a =-+是单调递减函数∴()f x 在R 上是单调递减函数根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得:∴()01log 131a a a a<<⎧⎨-≤-+⎩解得:1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选:A.【点睛】本题考查了根据分段函数单调性来求参数范围,解题关键是掌握在求解分段函数的单调性时,即要保证每段函数上单调,也要保证在分界点上单调,通过联立不等式组来求解参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.5.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为2,椭圆22221x y a b =的离心率为A.12B.33C.32D.22【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线离心率得a,b 关系,再根据离心率定义计算椭圆离心率.【详解】由题意得226122c b e a a a ===∴=,椭圆离心率为22e a ==故选:D 6.已知4cos 5α=,()3cos 5αβ+=,且α,β均为锐角,那么cos β=()A.2425B.725或-1 C.1D.725【答案】A 【解析】【分析】首先确定角(0,)αβπ+∈,接着求3sin 5α=,()4sin 5αβ+=,最后根据cos cos[()]βαβα=+-展开求值即可.【详解】因为α,β均为锐角,所以(0,)αβπ+∈,所以3sin 5α=,()4sin 5αβ+=,所以cos cos[()]βαβα=+-344324cos()cos sin()sin 555525αβααβα=+++=⨯+⨯=.故选:A.【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,选正弦较好.7.已知函数()xxf x 33a b R -=-∀∈.,,则“a b >”是“()()f a f b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】:先求函数()f x 的一阶导函数,判断函数在()∞∞-+,上单调递增函数,由此判断出命题“a b >”是“()()f a f b >”的分必要条件.【详解】:因为()xxf x 33-=-,所以()()()xxx x f x 3ln33ln313ln33ln30--=-⨯-=+>',因此函数()xxf x 33-=-为()∞∞-+,上单调递增函数,从而由“a b >”可得“()()f a f b >”,由“()()f a f b >”可得“a b >”,即“a b >”是“()()f a f b >”的充分必要条件,选C.【点睛】:本题考查了函数的单调性的应用,利用导数判断函数单调性,转化为命题之间的关系.8.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且)cos cos c A a C -=,则sin 2A 的值等于A.13B.12C.23D.6【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理及条件得到sin BcosA B =,于是可得3cos 3A =,再根据平方关系可得22sin 3A =.【详解】由)cos cos 0c A a C --=及正弦定理,得)sin cos sin cos 0B C A A C --=,BcosA sinAcosC =+()cos AsinC sin A C =+.又()()sin sin sin A C B B π+=-=,sin BcosA B =,由于sin 0B ≠,所以3cos 3A =,所以222sin 1cos 3A A =-=.故选C .【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查,考查综合运用知识解决问题的能力,解题时要注意公式的灵活选择和应用.另外,在三角形中特别要注意三个内角间的关系,再结合诱导公式灵活应用.二、多选题(共4小题每题五分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次(骰子每次出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),并分别记录每次出现的点数,四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述,可以判断一定没有出现6点的描述是()A.中位数为3,众数为5B.中位数为3,极差为3C.中位数为1,平均数为2D.平均数为3,方差为2【答案】AD 【解析】【分析】根据数字特征的定义,依次对选项分析判断即可【详解】对于A ,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列后,第3个数是3,则第4和5个为5,所以这5个数中一定没有出现6,所以A 正确,对于B ,由于中位数为3,极差为3,所以这5个数可以是3,3,3,4,6,所以B 错误,对于C ,由于中位数为1,平均数为2,所以这5个数可以是1,1,1,1,6,所以C 错误,对于D ,由平均数为3,方差为2,可得1234515x x x x x ++++=,22222123451[(3)(3)(3)(3)(3)]25x x x x x -+-+-+-+-=,若有一个数为6,取16x =,则23459x x x x +++=,22222345(3)(3)(3)(3)1x x x x -+-+-+-=,所以22222345(3)1,(3)1,(3)1,(3)1x x x x -≤-≤-≤-≤,所以2345,,,x x x x 这4个数可以是4,3,3,3或2,3,3,3,与23459x x x x +++=矛盾,所以16x ≠,所以这5个数一定没有出现6点,所以D 正确,故选:AD10.已知正数x ,y ,z 满足3212x y z ==,下列结论正确的有()A.623z y x >>B.121x y z+=C.(3x y z+>+ D.28xy z >【答案】BCD 【解析】【分析】设3212x y z ==m =1>,求得3log x m =,2log y m =,12log z m =,然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项.【详解】设3212x y z ==m =1>,则3log x m =,2log y m =,12log z m =,226622log log 23log 2log 8m m m y m ====,336633log log 32log 3log 9m m m x m ====,又0log 8log 9m m <<,所以23y x >,12666log log 12m z m ==,而log 12log 8m m >,所以62z y <,A 错;则3212121log 32log 2log 12log log m m m x y m m z+=+=+==,B 正确;23232312log log (log log )log 12(log log )(2log 2log 3)log m m m m m x y m m m m z m ++==+=++322323322log log 21(log log )()3log log log log m m m m m m m m =++=++33≥+=+,当且仅当32322log log log log m m m m=,即23log m m =,这个等式不可能成立,因此等号不能取到,3x yz+>+,即(3x y z +>+,C 正确;因为(222(log 12)(2log 2log 3)8log2log 3m m m mm =+≥=,所以21118z x y ⎛⎫≥⨯⨯ ⎪⎝⎭,即28xy z >,D 正确.故选:BCD .【点睛】本题考查对数的运算法则,考查基本不等式的应用,解题关键是由题设指数式改写为对数式,实质就是表示出变量,,x y z ,然后证明各个不等式.11.下列说法正确的是()A.若0b a >>,0m >,则a m ab m b+>+; B.1()|3|3f x x =+-是非奇非偶函数C.若集合{}210A x ax ax =++=中只有一个元素,则4a =D.若00a b >>,,且ln ln a b =,则2a b +的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】A.利用作差法判断;B.先求得函数()f x 的定义域再判断;C.由方程210ax ax ++=只有一个根求解判断;D.根据ln ln a b =,得到01,1a b <<>,1ab =,再利用基本不等式求解判断.【详解】A.因为0b a >>,0m >,所以()()0a m a b a mb m b b m b +--=>++,即a m a b m b+>+,故正确; B.由210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得110x x -≤≤⎧⎨≠⎩,所以()f x 的定义域为[1,0)(0,1]-⋃,则1()f x x=,又1()()f x f x x-==-=-,所以()f x 是奇函数,故错误;C.因为集合{}210A x ax ax =++=中只有一个元素,所以方程210ax ax ++=只有一个根,当0a =时,不成立,当0a ≠时,240a a ∆=-=,解得4a =,故正确;D.因为00a b >>,,且ln ln a b =,所以01,1a b <<>,则ln ln a b -=,即1ab =,所以2a b +≥=2a b =,即2,2a b ==时,等号成立,故正确;故选:ACD12.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示的六面体,则下列说法正确的是()A.六面体的体积为6B.C.折后棱AB ,CD 所在直线异面且垂直D.折后棱AB ,CD 所在直线相交【答案】ABD 【解析】【分析】六面体由两个全等的正四面体组成,算出每个正四面体的高为63,再利用锥体的体积公式即可判断A ;由图形的对称性,小球的体积要达到最大,即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大,利用等体积法求得内切球的半径69R =,再利用球的体积公式即可判断B ;利用翻折变换规律,折后AB 、CD 在共底的两个四面体的底面,可判断C D ;【详解】对于A ,六面体由两个全等的正四面体组成,其中每个四面体的棱长为1,取BC 的中点D ,连接AD ,且AD BC ⊥,由正四面体性质知,顶点S 在底面的投影在AD 上,如图所示,32AD =,22333323AO AD ==⨯=,故四面体的高为3SO ==,故六面体的体积136223436V =⨯⨯⨯=,故A 正确;对于B ,由图形的对称性,小球的体积要达到最大,即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大,六面体的每个面的面积是13311224S =⨯⨯⨯=,连接球心与五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥,且每个小棱锥的高都是球的半径R ,由等体积法知2136634R ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得69R =,所以球的体积3344686339729V R ππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭,故B 正确;对于CD ,折后AB 、CD 在共底的两个四面体的底面,则直线AB 与CD 相交,故C 错误,D 正确;故选:ABD.【点睛】结论点睛:本题考查求锥体的体积,内切球的半径,及翻折变换的规律,求内切球半径常用的方法是等体积法,锥体的内切球半径3Vr S=,即求锥体的体积及表面积,考查学生的空间想象能力与计算能力,属于中档题.三、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13.现把5个不同的小球全部分给3名同学,每名同学至少分到1个小球,则不同的分配方法共有___________种,(用数字作答)【答案】150【解析】【分析】将问题分为两类,一类是一个同学分到3个小球,剩下两名同学各分到一个小球;另一类是一个同学分到1个小球,剩下两名同学各分到2个小球,进行通过排列组合中分配问题的求法得到答案.【详解】问题分两类:第一类是一个同学分到3个小球,其余两个同学各分到1个小球,有113321532260C C C A A ⋅⋅⋅=种分法;第二类是一个同学分到1个小球,其余两个同学各分到2个小球,有221342532290C C C A A ⋅⋅⋅=种分法,所有共有150种分法.故答案为:150.14.已知三棱台111ABC A B C -的上底面的面积是28cm ,下底面的面积是218cm ,高是6cm ,则三棱锥11A B C C -的体积是___3cm .【答案】24【解析】【分析】连接1AB 、1AC 、1CB ,三棱台111ABC A B C -可分割为三棱锥111A A B C -,三棱锥1B ABC -,三棱锥11A B C C -,求出棱台111ABC A B C -的体积减去111A A B C V -,再减去1B ABC V -即可求解.【详解】如图三棱台111ABC A B C -中,28cm ABC S = ,111218cm A B C S = ,棱台的高6cm h =,连接1AB 、1AC 、1CB ,则三棱台111ABC A B C -可分割为三棱锥111A A B C -,三棱锥1B ABC -,三棱锥11A B C C -,由棱台体积公式可得((1111181867633ABC A B C V S S h =+⋅=++⨯= ,1111186363A A B C V -=⨯⨯=,1186163B ABC V -=⨯⨯=,所以11111176361624A B C C A A B C B ABC V V V V ---=--=--=,故答案为:24.15.设R a ∈,函数()()()22sin 3π3π,215,x a x af x x a x a x a ⎧-<⎪=⎨-++--≥⎪⎩,若()f x 在区间()0,∞+内恰有9个零点,则a 的取值范围是________.【答案】758(,(,3]323【解析】【分析】讨论22()2(1)5f x x a x a =--+--在(0,)+∞上零点个数从而确定sin(3π3π)y x a =-在(0,)a 上零点个数,然后结合正弦函数性质可得参数范围.【详解】2222(1)5(1)24y x a x a x a a =-++--=---+-,当240a -≤时,2a ≤,sin(3π3π)y x a =-的周期是2π23π3T ==,因为2T=2323=,326⨯=,所以在区间(0,)a 上,sin(3π3π)y x a =-最多有6个零点,在区间[,)a +∞上,222(1)5y x a x a =-++--最多有1个零点,因此2a ≤时,()f x 在区间()0,∞+内不可能是9个零点,因此2a >,222(1)50x a x a -++--=的两根为1a a ++>,1a +,因为()222150a a +-=+>,所以10a +->,若1a a +≥,则522a <≤,22()2(1)5f x x a x a =-++--在(,)a +∞上有两个零点,因此()sin(3π3π)f x x a =-在(0,)a 上有7个零点,0x a <<,3π3π3π0a x a -<-<,因此8π3π7πa -≤-<-,7833a <≤,所以7532a <≤;当52a >时,1a a +-<,()f x 在区间[,)a +∞上只有一个零点,因此()f x 在区间(0,)a 上有8个零点,即sin(3π3π)y x a =-在(0,)a 上有8个零点,所以9π3π8πa -≤-<-,833a <≤,综上,a 的取值范围是758(,](,3]323.故答案为:758(,](,3]323【点睛】关键点睛:这道题的关键指出是讨论222(1)50x a x a -++--=的一个实数根是否在[,)a +∞的范围内,需要分类讨论,然后给出另外一段函数零点的个数,利用数形结合得到范围16.已知双曲线C :2213y x -=的左右焦点分别为1F ,2F ,A 为C 右支上一动点,12AF F ∆的内切圆的圆心为D ,半径(0,1]r ∈,则1F D 的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】数形结合分析可得圆与12F F 的切点为右顶点,所以()222219F D a c r r =++=+,从而得解.【详解】根据题意得F 1(﹣2,0),F 2(2,0),设△AF 1F 2的内切圆分别与AF 1,AF 2切于点A 1,B 1,与F 1F 2切于点P,则|AA 1|=|AB 1|,|F 1A 1|=|F 1P|,|F 2B 1|=|F 2P|,又点A 在双曲线右支上,∴|F 1A|﹣|F 2A|=2a=2,∴|PF 1|﹣|PF 2|=2a=2,而|F 1P|+|F 2P|=2c=4,设P 点坐标为(x,0),则由|F 1A|﹣|F 2A|=2a=2,得(x+c)﹣(c﹣x)=2a,解得x=a=1,圆与12F F 的切点为右顶点,所以()222219F D a c r r =++=+,所以(1F D ∈.故答案为(.【点睛】本题考查双曲线定义及圆的切线长定理,考查了学生的数形结合的能力,属于中档题.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效.)17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=.(1)证明:sin sin sin A B C =;(2)若3cos 5A =,求sin B .【答案】(1)证明见解析;(2)17【解析】【分析】(1)将已知条件根据正弦定理化边为角,逆用两角和的正弦公式以及诱导公式即可求证;(2)由同角三角函数基本关系求出sin A 的值,再结合(1)中cos cos 1sin sin A BA B+=以及22sin cos 1B B +=即可求解.【详解】(1)因为cos cos sin A B Ca b c+=,根据正弦定理化边为角可得,cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=,即cos cos 1sin sin A B A B +=,所以cos sin cos sin 1sin sin A B B AA B+=,所以sin sin cos sin cos sin A B A B B A=+()()sin sin πsin A B C C =+=-=,即sin sin sin A B C =;(2)因为3cos 5A =,且()0,πA ∈,所以A 为锐角,所以4sin 5A ===,所以cos 3sin 4A A =由(1)知cos cos 1sin sin A B A B +=可得3cos 14sin BB +=,所以cos 1sin 4B B =,即1cos sin 4B B =,因为sin 0B >,所以cos 0B >,又因为22sin cos 1B B +=,可得217sin 116B =,所以417sin 17B =.18.如图,在四棱锥P ABCD -中,CD ⊥平面PAD ,△PAD 为等边三角形,AD //BC ,22AD CD BC ===,平面PBC 交平面PAD 直线l ,E 、F 分别为棱PD ,PB 的中点.(1)求证:BC ∥l ;(2)求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值;(3)在棱PC 上是否存在点G ,使得DG ∥平面AEF ?若存在,求PGPC的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见详解(2)17(3)存在,45PG PC =【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明;(2)根据题意可在OP ⊥平面ABCD ,建系,利用空间向量求面面夹角;(3)设PG PC λ=,求点G 的坐标,根据线面平行的向量关系分析运算.【小问1详解】因为AD //BC ,AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ,所以BC //平面PAD ,又因为BC ⊂平面PBC ,平面PBC ⋂平面PAD =直线l ,所以BC ∥l .【小问2详解】取AD 的中点O ,连接,OP OB ,由题意可得:BC //OD ,且BC OD =,则OBCD 为平行四边形,可得OB //CD ,且CD ⊥平面PAD ,则OB ⊥平面PAD ,由OP ⊂平面PAD ,则OP OB ⊥,又因为△PAD 为等边三角形,则O 为AB 的中点,可得OP AD ⊥,OB AD O = ,,OB AD ⊂平面ABCD ,则OP ⊥平面ABCD ,如图,以O 为坐标原点,,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则()()()()(1331,0,0,0,2,0,1,2,0,1,0,0,,,0,,0,1,222A B C D P E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得331,0,,,1,0222AE EF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面AEF 的法向量(),,n x y z =,则3022102n AE x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ,令2x =,则1,y z =-=,即(2,1,n =-,由题意可知:平面PAD 的法向量()0,1,0m =,可得17cos ,17n m n m n m ⋅===-⋅,所以平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值1717.【小问3详解】由(2)可得:(1,2,PC =-,设PG PC λ=,(),,G a b c,则(,,PG a b c =- ,可得2a b c λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩,解得)21a b c λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=-⎩,即)(),21G λλλ--,可得)()1,21DG λλλ=--,若DG ∥平面AEF ,则n DG ⊥ ,可得()()212610n DG λλλ⋅=--+-=,解得4=5λ,所以存在点G ,使得DG ∥平面AEF ,此时45PG PC =.19.已知函数()()eln 1=--xf x x x .(1)求函数()f x 的单调区间;(2)设()()()e R xg x f x mx m =++∈,若()0g x ≥恒成立,求m 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为()()1,,f x ∞+的单调减区间为()0,1(2)[e,)-+∞【解析】【分析】(1)利用导数的性质,结合构造新函数法进行求解即可;(2)利用常变量分离法,结合导数的性质,结合新函数法进行求解即可;【小问1详解】()f x 定义域为()0,∞+,()()11e ln 1e 1e ln x x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'令()1ln g x x x x =--,则()22222131112410x x x g x x x x x⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=-+==>所以()g x 在()0,∞+上单调递增,且()10g =令()0f x ¢>,得1x >,令()0f x '<,得01x <<,所以()f x 的单调增区间为()()1,,f x ∞+的单调减区间为()0,1;【小问2详解】()()()()e e ln 1e e ln 0x x x x g x f x mx x x mx x x mx =++=--++=-+≥恒成立所以()e ln x x x m x-≥恒成立设()()e ln x x x h x x-=则()()()()221e ln 1e ln e 1ln 1x x x x x x x x x x x x h x x x ⎛⎫-+--- ⎪---⎝⎭=='设()ln 1t x x x =--,则()111x t x x x-'=-=,当01x <<时,()()0,t x t x '>递增,当1x >时,()()0,t x t x '<递减,所以()max ()120t x t ==-<所以当0x >时,ln 10x x --<恒成立,当01x <<时,()()0,h x h x '>递增,当1x >时,()()0,h x h x '<递减,所以()max ()1eh x h ==-由()ln x e x x m x-≥恒成立得e m ≥-,所以m 的取值范围为[e,)-+∞.【点睛】关键点睛:利用常变量分离法,结合构造新函数法、结合导数的性质是解题的关键.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2112,66a S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=,求证:121n b b b +++< .【答案】(1)n a n =;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先根据等差数列的性质和前n 项和公式求出6a 的值,进而可得公差1d =,利用等差数列通项公式可得通项;(2)由(1)得111(1)1n b n n n n ==-++,根据裂项相消法可求12n b b b +++L ,再利用放缩法证明.【详解】(1)∵1161166S a ==,∴66a =,设公差为d ,∴6244a a d -==,∴1d =.∴2(2)2(2)1n a a n d n n =+-=+-⨯=.(2)由(1),得111(1)1n b n n n n ==-++.∴12111111(1)()()122311n b b b n n n +++=-+-++-=-++ .101n >+ ,∴121n b b b +++< .21.2022年3月“两会”在北京召开,会议吸引了全球的目光,对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义,遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况,进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次),随机抽取年龄在15~75岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示,其分组区间为:[)15,25,[)25,35,[)35,45,[)45,55,[)55,65,[]65,75,把年龄落在区间[)15,35和[]35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.(1)若“青少年人”中有15人在关注两会,根据已知条件完成下面的22⨯列联表,根据列联表,判定是否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会?(2)由(1)结果,从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取6人,从这6人中选3人进行专访,这3人关注两会人数为X ,求X 的分布列和期望.关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥0.050.0100.0010k 3.841 6.63510.828【答案】(1)见解析(2)分布列见解析,()1E X =【解析】【分析】(1)由频率分布直方图计算青少年人的人数,填写列联表,计算2K ,作出判断即可;(2)由分层抽样的性质得出关注两会2人,不关注两会4人,得出所有X 的可能值,再计算相应概率,列出分布列计算数学期望.【小问1详解】依题意可知:“青少年人”共有()1000.0150.03045⨯+=人,“中老年人”共有1004555-=人完成的22⨯列联表如下:关注不关注合计青少年人153045中老年人352055合计5050100结合列联表的数据得:()()()()()()22210030352015100=9.091 6.6355050554511n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会.【小问2详解】依题意,青年人关注两会15人,不关注两会30人,抽取6人,关注两会2人,不关注两会4人,所有X 的可能值为0,1,2所以0324361(0),5C C P X C ===1224363(1),5C C P X C ===2124361(2),5C C P X C ===故随机变量X 的分布列为X012P 153515所以131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=22.已知函数()22ln f x x x =-.(I)求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.(II)如果函数()()g x f x ax =-的图像与x 轴交于两点()1,0A x 、()2,0B x ,且120x x <<.()g'y x =是()y g x =的导函数,若正常数,p q 满足1,p q q p +=≥.求证:()12'0g px qx +<.【答案】(Ⅰ)-1;(Ⅱ)证明见解析.【解析】【分析】(I)利用导数判断函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的的单调性,利用单调性可得函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值;(II)如果函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴交于两点()1,0A x 、()2,0B x ,且120x x <<.由()()1200g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两式相减化为()()()1212122ln ln x x x x x x -=-+-,要证原式只需证明:211122ln 0x x x px qx x -+<+,设12x t x =,只需证明1ln 0t t pt q-+<+,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求出最值,从而可得结果.【详解】(Ⅰ)由()22ln f x x x=-得到:()()()211x x f x x -+'=,,故在1t <有唯一的极值点,()22g x x a x-'=- ,,()()21210p x x ∴--≤,且知,所以最大值为.(Ⅱ),又()()10u t u <=有两个不等的实根1t <,则,两式相减得到:于是,要证:,只需证:只需证:211122ln 0x x x px qx x -+<+①令,只需证:在10t -<上恒成立,又∵∵,则,于是由可知()0,1t ∈,故知在上为增函数,则,从而知211122ln 0x x x px qx x -+<+,即①成立,从而原不等式成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.。
(请将答案写在答题纸上)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,其中第II 卷第(22)-(24)题为选考题,其他题为必考题。
考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
第I 卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A x x x =-+=,{}log 42x B x ==,则A B =A .{}2,1,2-B .{}1,2C .{}2,2-D .{}22.已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角,那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的A . 充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件 3.下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是A.xx f 1)(=B.x x f -=)(C.xx x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 4. 已知0x 是函数f(x) =2x +11x-的一个零点, 若1x ∈(1,0x ),2x ∈(0x ,+∞),则(A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0 (C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>05.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,则将()y f x =的图象向左平移6π个单位后,得到()g x 的图象解析式为A.()sin 2g x x = B .()sin(2)6g x x π=-C .2()sin(2)3g x x π=+D .()cos 2g x x = 6.定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0),()(1)(2),(0).x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则f(1)+ f(2) +f(3)+…+ f(2013)的值为A .-2B .-1C .1D .27.若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是 A .4π B .6π C .56π D .34π 8.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为9.与向量a =(72,12),b =(12,-72)的夹角相等,且模为1的向量是A.B.C. D.10.设集合{}2),(≤+=y x y x A ,{}2(,)B x y A y x =∈≤,从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ,则(,)P x y B ∈的概率是第5题图A .121 B .32 C .2417 D .65 11.函数22()(sin cos )2cos f x x x x m =+--在[0,]2π上有零点,则实数m 的取值范围是A .[1,1]-B .C .[-D .[ 12.定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“驻点”,若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“驻点”分别为γβα,,,则γβα,,的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>>第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.函数y =x2-sin x 的单调递减区间是 . 14.已知a = (cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(,ππ2),若a ·b =52,则tan(α+4π)的值为_________. 15. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,对任意的x ∈R ,都有(2)(2)f x f x -=+,且当[2,0]x ∈-时,1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=在区间(2,6]-内恰有三个不同实根,则实数a 的取值范围是 . 16. 在ABC ∆中,点G 为中线AD 上一点,且1,2AG AD =过点G 的直线分别交,AB AC 于点,E F ,若AC n AF AB m AE ==,,则m +3n 的最小值为_________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分):在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274s i n c o s222A B C +-=.(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin sin A B +的最大值.18. (本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和S n=n2,数列{b n}满足b n=a na n+m(m∈N*).(1)若b1,b2,b8成等比数列,试求m的值;(2)是否存在m,使得数列{b n}中存在某项b t满足b1,b4,b t(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111C B A ABC -中,点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点,⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ,21===BC AC AA .(Ⅰ) 求异面直线1AB 与C A 1所成的角; (Ⅱ) 求11C A 与平面11B AA 所成角的正切值.20. (本小题满分12分):给定抛物线c ∶y 2=4x ,F是c 的焦点,过点F的直线l 与c 相交于A,B两点. (1)设l 的斜率为1,求与夹角的余弦值;(2)设=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上的截距的取值范围.21.(本小题满分12分): 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ (1)当254a =时,求()f x 的单调递减区间; (2)若当0x >时,()1f x >恒成立,求a 的取值范围; (3)求证:1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)已知AB 为半圆O 的直径,4AB =,C 为半圆上一点,过点C 作半圆的切线CD ,过点A 作AD CD ⊥于D ,交圆于点E ,1DE =. (Ⅰ)求证:AC 平分BAD ∠; (Ⅱ)求BC 的长. ABCO1A 1C 1B E23.(本小题满分10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为:)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+,参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(.(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立,求实数m 的取值范围.乌鲁木齐市第一中学2013--2014学年第一学期 2014届高三年级第一次月考理科数学参考答案一.选择题二、填空题三、解答题(Ⅱ)由(Ⅰ)得 32π=+B A .∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A . ∵ 320π<<A ,∴ 6566πππ<+<A . ∴ 当26ππ=+A ,即 3π=A 时,B A sin sin +取得最大值为3.19.解法一:(Ⅰ) ∵⊥AO 平面111C B A ,∴AO O AO C A = 11,∴⊥11C B 平面11A C CA ,∴111C B C A ⊥ 又∵AC AA =1, ∴四边形11A C CA 为菱形,∴11AC C A ⊥,且1111B C AC C = ∴⊥C A 1平面1AB ∴C A AB 11⊥,即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90(Ⅱ)设点1C 到平面11B AA 的距离为d ,∵111111B AA C C B A A V V --=, 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅ 又∵在△11B AA 中,22111==AB B A ,∴S △11AA B 7=.∴7212=d ,∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721A 1(Ⅱ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ,∵)0,2,0(11=C A ,111(2,2,0),A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =,可得(1,n =-∴11sin cos ,7AC n θ=<>==, ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值72120.解: (1)C的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y =x -1. 将y =x -1代入方程y 2=4x , 整理得x 2-6x +1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1..所以与的夹角的余弦值为-3/√41(2)由题设得(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1),即由②得∴, ③联立①、③解得x 2=λ,依题意有λ>0. ∴ B (λ,),或B(λ,-),又F(1,0),得直线l 方程为(λ-1)y =(x -1)或(λ-1)y =-(x -1),当λ∈[4,9]时,l 在方程y 轴上的截距为或-,把看作函数,设g(λ)=,λ∈[4,9],,可知g(λ)=在[4,9]上是递减的(或用导数g′(λ)=-<0,证明g(λ)是减函数).∴,即直线l 在y 轴上截距的变化范围为.22.解:(Ⅰ)连结AC ,因为OA OC =,所以OAC OCA ∠=∠,因为CD 为半圆的切线,所以OC CD ⊥,又因为AD CD ⊥,所以OC ∥AD ,所以OCA CAD ∠=∠,OAC CAD ∠=∠,所以AC 平分BAD ∠. (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =,连结CE ,因为ABCE 四点共圆,B CED ∠=∠,所以cos cos B CED =∠, 所以DE CB CE AB=,所以2BC =.。