第12章整式的乘除
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
【教学目标】
知识与技能
1.巩固同底数幂的乘法法则,学生能灵活地运用法则进行计算.
2.了解同底数幂乘法运算性质,并能解决一些实际问题.
3.能根据同底数幂的乘法性质进行运算.
过程与方法
1.经历探索同底数幂的乘法运算的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
2.在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上,“发现”同底数幂的乘法性质,培养学生观察、概括和抽象的能力.
3.能用字母式子和文字语言表达这一性质,知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘.
情感、态度与价值观
在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力. 【重点难点】
重点
熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容.
难点
区别幂的意义与乘法的意义,培养学生的推理能力和有条理的表达能力.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
【情景导入】
“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.
【教师提问】
盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?
光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?
【学生活动】
开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15×?(引入课题)
二、师生互动,探究新知
同底数幂的乘法法则.
【教师提问】
到底105×102=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.
【学生活动】
分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.
计算过程:105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10×10×10=107.
【教师活动】
下面引例.
请同学们计算并探索规律.
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2( );
(2)53×54= =5( );
(3)(-3)7×(-3)6= =(-3)( );
(4)()3×()= ()( );
(5)a3·a4= a( ).
提出问题:①这几道题目有什么共同特点?②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?
【学生活动】
独立完成,并在黑板上演算.
【教师总结】
a m·a n=·==a m+n
从而得出同底数幂的乘法法则a m·a n=a m+n(m、n为正整数)即同底数幂相乘,底数不变指数相加.
【教学说明】
通过以上5个计算,让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则,水到渠成.
三、随堂练习,巩固新知
1.基础练习
(1)下面的计算是否正确?如果错,请在旁边纠正:
①a3·a4=a12②m·m4=m4
③a3+a3=a6④x5+x5=2x10
⑤3c4·2c2=5c6⑥x2·x n=x2n
⑦2m·2n=2m·n⑧b4·b4·b4=3b4
(2)计算:
①78×73;②()5×()7;③x3·x5·x2;
④a12·a;⑤y4·y3·y2·y;⑥x5·x5.
2.能力提高
(1)计算:
①(x+y)3·(x+y)4;②(a-b)(b-a)3;
③x n·x n+1+x2n·x(n是正整数)
(2)填空:
①x5·( )=x8;②a·( )=a6;
③x·x3( )=x7;④x m·( )=x3m;
⑤x5·x( )=x3·x7=x( )·x6=x·x( );
⑥a n+1·a( )=a2n+1=a·a( ).
(3)填空:
①8=2x,则x= ;
②8×4=2x,则x= ;
③3×27×9=3x,则x= ;
④已知a m=2,a n=3,求a m+n的值;
⑤b2·b m-2+b·b m-1-b3·b m-5b2.
四、典例精析,拓展新知
【例】
如果x m-n·x2n+1=x11,且y m-1·y4-n=y5,求m,n的值.
【分析】
根据同底数幂的乘法法则
得:(m-n)+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.
【答案】
m=6,n=4
【教学说明】
教师提问:由两个等式我们想到了什么知识?如何建立m与n 之间的等量关系?教师深入强化数学中的转化思想.
五、运用新知,深化理解
1.a·a2·a3= .
2.(x-y)3·(x-y)2·(y-x)= .
3.(-x)4·x7·(-x)3=
4.已知3a+b·3a-b=9.则a= .
【答案】
1.a6;
2.-(x-y)6;
3.-x14;
4.1.
【教学说明】
注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘,遇到形如
(-a)6·a9转化为a6·a9.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习到什么?有什么收获?有何疑问与困惑与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,使用方法:在乘积中,幂的底数不变,指数相加.
2.同底数幂乘法可以拓展,例如,对含有三个或三个以上的同底数幂,仍成立.底数和指数,它既可取一个或几个具体数,也可取单项式或多项式.
3.幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.
【教学反思】
本节课从故事引入为学生在探究同底数幂乘法法则激发动机,探究同底数幂乘法法则时,注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中,不断渗透转化与方程的数学思想.
2.幂的乘方
【教学目标】
知识与技能
1.了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方运算.
2.能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题.
过程与方法
经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
情感、态度与价值观
通过合作探究,培养学生合作交流的意识,提高学生勇于探究数学的品质.
【重点难点】
重点
了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方,积的乘方运算.
难点
幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别,提高推理能力和有条理的表达能力,关键是利用教材内容安排的特点,把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密结合起来.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,木星的半径是地球半径的103倍,太阳的半径是地球半径的
103倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?(球的体积公式为V=πr3)
【学生活动】
进行计算,并在黑板上演算.
解: 设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为V木星=π(102)3
二、师生互动,探究新知
【教师引导】
(102)3=?利用幂的意义来推导.
【学生活动】
有些同学这时无从下手.
【教师启发】
请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?
【学生回答】
a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106.
【教师活动】
利用上面推导方法求
(1)(a3)2;(2)(24)3;(3)(b n)2
【学生活动】
推导上面几个算式并板演.
【教师推进】
请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a m)n的结果是多少?
【学生活动】
归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:
教师板演(a m)n==a m×n(m、n为正整数)
【教学说明】
通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
三、随堂练习,巩固新知
(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5);
(2)(a2n-2)2·(a m+1)3.
【答案】
(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5)=y6-y6+2y6=2y6.
(2)(a2n-2)2·(a m+1)3=a4n-4·a3m+3=a3m+4n-1.
【例2】
已知:x2n=4,求(x3n)2与x8n的值.
【解析】
此题将(x3n)2与x8n都用x2n表示出来.
【答案】
(x3n)2=x6n=(x2n)3=43=64,x8n=(x2n)4=44=256.
四、典例精析,拓展新知
【例】
已知x2m=5,求x6m=-5的值,逆用幂的乘方法则x6m=x2m×
3=(x2m)3.
【答案】
x6m-5=×125-5=20
【教学说明】
教师提问x6m与x2m在指数上有何关系,你想到了如何变形,化未知为已知(逆用幂的乘方法则).
五、运用新知,深化理解
1.108=( )2=( )4
2.p2n+2=( )2
3.(-x3)5=
4.x2·x4+[(-x)2]3=
5.已知x m·x2m=3,则x9m= .
【答案】
1.104102
2.p n+1
3.-x15
4.2x6
5.27
【教学说明】
从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.幂的乘方(a m)n=a mn(m、n为正整数)使用范围是:幂的乘方,方法:底数不变,指数相乘.
2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是字母,也可以是单项式和多项式.
3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.
【教学反思】
本节课在乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则,在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时,注意联想与逆向思维能力的培养.
3.积的乘方
【教学目标】
知识与技能
会进行积的乘方运算,进而会进行混合运算.
过程与方法
经历探索积的乘方运算法则的过程,理解积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.理解积的乘方的运算法则,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
情感、态度与价值观
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,提高学习数学的信心,感受数学的简洁
美.
【重点难点】
重点
积的乘方是整式乘除运算的基础,本节课的重点是积的乘方运算.
难点
弄清幂的运算的根据,避免各种不同运算法则的混淆,突出幂的运算法则的基础性,注意区别与联系.
【教学过程】
一、回顾交流,引入新课
【教师活动】
提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容以及区别.
【学生活动】
踊跃举手发言,解说老师的提问.
【课堂演练】
计算:(1)(x4)3(2)a·a5(3)x7·x9(x2)3
【学生活动】
完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则.
【教师活动】
巡视,关注学生的练习,并请3位学生上台演示,然后再提出下面的问题.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
请同学们完成教材P20填空,并注意每步变形的依据.
【学生活动】
完成书本填空并回答教师问题.
【教师活动】
你发现了什么规律?如何解释这个规律?
【学生活动】
分组讨论,解释.
【师生互动】
教师在学生发言的基础上板书.
(ab)n===a n b n.(ab)n=a n b n(n为正整数)
即积的乘方,把积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
三、随堂练习,巩固新知
1.下列等式中,错误的是( )
A.(ab2)2=a2b4
B.(-m2n2)5=-m15n10
C.(-2x2)4=-4x4
D.(4x m y3)3=64x3m y9
2.(-3x)3= ,(x2y3)4= ,[(-2)×
102]3= ,[(x3)2·(y2)4]2= .
【答案】
1.C
2.-27x3,x8y12,-8×106,x12y16.~
四、典例精析,拓展新知
【例1】
(1)[(-x2y)3·(-x2y)2]3
(2)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2
【分析】
(1)按积的乘方法则先算括号里面的;
(2)第一项是同底数的乘法,第二项是幂的乘方,第三项是积的乘方.
【答案】
(1)-x30y15;(2)6a8.
【例2】
用简便方法计算:
(1)(-)2014·(2)2015
【分析】
先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.
【答案】
【教学说明】
例1由小组讨论交流解题思路,小组活动后,展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如(-2a4)2中的负号处理.倒2在教师引导
下,由小组合作完成,并强调遇到高指数时化成同指数,再逆用积的乘方法则.
五、运用新知,深化理解
1.计算:(-3a3)2·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3
2.已知:(a-2)2+=0,求a2014·b2013的值.
【答案】
1.-100a9;
2.-2
【教学说明】
由跟踪练习情况及时点评,如第一题中符号问题引起重视.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.积的乘方(ab)n=a n b n(n为正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.
3.要注意运算过程,注意每一步的依据,还应防止符号上的错误.
4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系.
【教学反思】
本节课采用探究与自主学习相结合的模式完成的,探究的目
的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性,突出学生的主体地位.并及时注意在其中的及时引导,发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.
4.同底数幂的除法
【教学目标】
知识与技能
理解同底数幂的除法运算法则,能解决实际问题.
过程与方法
1.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和表达能力.
2.能熟练灵活地运用法则进行同底数幂的除法运算,培养学生的数学能力.
情感、态度与价值观
感受数学的应用价值,体会数学与社会生活的联系,提高数学素养.
【重点难点】
重点
理解同底数幂的除法法则.
难点
应用同底数幂除法法则解决数学问题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
【教师活动】
地球的体积是1.1×1012 km3,月球的体积2.2×1010 km3,求地球的体积是月球的多少倍?如何列式?
【学生活动】
学生代表发言:(1.1×1012)÷(2.2×1010)
【教师活动】
1012÷1010=?下面我们一起探究.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
完成教材P22填空,由填空你得出了什么规律?
【学生活动】
经小组交流后,汇报结果.
【教师活动】
板书:a m÷a n=a m-n,(m>n,且m、n为正整数)
同底数相除,底数不变,指数相减.
【教师活动】
乘法与除法互为逆运算,我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗?教师引导a n·( )=a m.设( )=a k.
【学生活动】
由小组讨论交流后汇报推导结果.
【教师活动】
我们的认知规律:猜测——归纳——证明.
三、随堂练习,巩固新知
1.105×107= .
2.a·a2·a3·a4= .
3.x n+1·x2·x1-n= .
4.下列各题中,运算正确的是( )
A.a3+a4=a7
B.b3·b4=b7
C.c3·c4=c12
D.d3·d4=2d7
【答案】
1.1012
2.a10
3.x4
4.B
【教学说明】
根据反馈情况及时订正,并与法则对比,找准错因.
四、典例精析,拓展新知
【例1】
一张数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=2K)的移动存储器能存储多少张这样的照片?
【分析】
用储量26M除以每张照片的存储量的大小.
【答案】
28(张)
【教学说明】
教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系,从而化为同底数的除法.
【例2】
若32×92a+1÷27a+1=81,求a的值.
【答案】
a=2
【分析】
将左右都化成3的指数幂再比较对应.
【教学说明】
左右两边能否化成同底幂的运算,如何使用幂的运算法则,强调转化思想,小组活动时注意对学困生的辅导.
五、运用新知,深化理解
1.一种计算机每秒可进行1012运算,它工作1015次运算需要
秒时间.
2.若y2m-1÷y=y2,求m+2的值.
【答案】
1.103
2.4
【教学说明】
由跟踪练习情况及时点评,如y的指数不是0等.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有何收获?有何疑惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题:
(1)运用法则的关键是看底数是否相同,而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数;
(2)因为零不能作除数,所以底数a≠0,这是此性质成立的前提条件;
(3)注意指数“1”的情况,如a4÷a=a4-1=a3,不能把a的指数当做0;
(4)多个同底数幂相除时,应按顺序计算.
【教学反思】
本节课探究新知部分,注意如何使学生从特殊中发现规律,得到一般性结论,再由同底数幂的乘法法则证明规律(同底数幂除法法则).积极鼓励学生主动地探究数学问题,加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯,提高学生的数学素养.
八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（） 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点（3,2）关于x轴的对称点为( ) A.(3，-2) B.(-3，2) C.(-3，-2) D.(2，-3) 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要 添加一个条件是（） A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 （） A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合 ．．．要求的是( )
9.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=4cm，则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ．．的是（）. A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分，共24分) 13. 写出一个成轴对称图形的汉字：______________ 14.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．
八年级上册知识点 第11章数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 a，读作“根号a”；另一个平方根是它正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方数。 的相反数，即- 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。
3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数
八年级数学上册教学计划 一、学生情况分析： 本班学生：63人，其中男生39人，女生：24人。上期末数学考试最高分120分，最低分15分，平均分103，110分以上30人.总体上看，学生的数学成绩较差，及格的同学仅93.5%；在学生的数学知识上看，基本概念，基本计算，以及基本的空间与图形知识都极其欠缺；数学的思维混乱；不能独立思考，大部分学生对数学兴趣低落，多数学生对数学严重丧失信心，谈数学而色变。 二、教材分析： 1、体系结构： （1）数学内容的引入，采取从实际问题情景境入手的方式，贴近学生的生活实际，选择具有现实背景的素材，建立数学模型，使学生通过问题解决的过程，获得数学概念，掌握解决数学问题的技能和方法。 （2）教材内容的呈现，努力创设学生自主探究的学习情况和机会，适当编排应用性、探索性和开放性的，发挥学生的主动性、留给学生充分的时间与空间，自主探索、促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高，为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。 （3）教材内容的编写，把握课程标准，同时又具有弹性，编入一些选学内容，以适应较高程度学生学习的需要，使不同水平的学生都得到发展。 （4）教材内容的叙述、行当介绍数学内容的背景知识与数学史料等，将背景材料与数学内容融为一体，激发学生学习数学的兴趣，引导学生体会数学的文化价值。 （5）现代信息技术的应用在教材中占有适当地位，有利于学生理解概念、自主探索、实践体验。 2、教材体例。 （1）教材的正文中，根据教材内容的实际需要，适当设置了一些相应的栏目。如“观察”、“思考”、“实验”、“想一想”、“试一试”、“做一做”等，给学生适当的思考空间，让学生通过自主探索，获得体验和感受，掌握必要的知识。 （2）结合教材各块内容，安排一些有关的阅读材料，涉及数学史料、数学家故事、实际生活中的问题、数学趣题、知识背景等，扩大学生的知识面，增强学生的应用意识和对数学的兴趣，对学生进行爱国主义和人文主义精神教育。 （3）控制习题总量，降低难度，增加探索、开放、实践类型的习题，按照不同的要求，
一、选择题（每小题3分，共21分） 1．9的算术平方根是（ ） A ．3± B ．３ C ．3- D ．3 2．下列运算正确的是（ ） A ．5 2 3 a a a =+ B ．6 3 2 a a a =? C ．65332)(b a b a = D ．632)(a a = 3．如图，AOC ?≌BOD ?，∠C 与∠D 是对应角，AC 与BD 是对应边，AC=8㎝，AD=10㎝，OD=OC=2㎝，那么OB 的长是（ ） A ．8㎝ B ．10㎝ C ．2㎝ D ．无法确定 4 3-、0 3.1415、π 2.123122312233……（不循环）中，无理数的个数为（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5．若)5)(3(+-x x =q px x ++2，则p 为（ ） A 、－15 B 、2 C 、8 D 、－2 6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（ ） A ．BD 平分∠ABC B ．△BCD 的周长等于AB+B C C ．AD=BD=BC D ．点D 是线段AC 的中点 7. 如图所示,小方格都是边长为1的正方形，则四边形的面积是（ ） （A ）56 （B ）23 （C ）25 （D ）12.5 二、填空题（每小题4分，共40分） 8．一个正方体木块的体积是64㎝3 ，则它的棱长是 ㎝。 9．若3=m x ，2=n x ，则=+n m x 。 10．（1）（6x 2 －3x ）÷3x=___________．（2）分解因式：3a ＋3b ＝___________． 11．一个边长为a 的正方形广场，扩建后的正方形广场的边长比原来大10米， 则扩建后的广场面积增大了 米2． 12. 如果多项式22 16(4)x mx x ++=-，那么m 的值为_______________． 13．如图，一次强风中，一棵大树在离地面３米高处折断，树的顶端落在离树 杆底部４米远处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 14．如图，ABC Rt ?中，∠B= 90，AB=3㎝，AC=5㎝，将ABC ?折叠，使点 八年级数学上期期末卷试 姓名 O D B A C 第3题 （第7题） 第6题 A 第13题 E D C A B
八年级数学综合练习题 命题人：赵文静 时间：2015-11-9 一.选择题 1、如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A,B 两点对应的实数分别是31-和，则点C 所对应的实数是（ ） A.1+3 B.2+3 C.231- D.231+ 2、把多项式m 2（a-2）+m （2-a ）分解因式等于（ ） A.（a-2）（m 2+m ） B.(a-2)(m 2-m) C.m(a-2)(m-1) D.m （a-2）（m+1） 3、如图1所示，OA=OC ，OB=OD 且O A ⊥OB,OC ⊥OD,下列结论：①△AOD ≌△COB ；②CD=AB ；③∠CDA=∠ABC ；其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 4、如图2所示，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB,AC 为边的正三角形，CE ，BF 相交于点O 。则∠EOB 的度数为（ ） A.450 B. 600 C. 700 D. 900 5、如图3所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若∠1=∠2，∠E =∠C ，AE=AC,则（ ） A. △ABC ≌△AFE B. △AFE ≌△ADC C. △AFE ≌△DFC D. △ABC ≌△ADE 6、如图4所示，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边上，边AC 交边BE 于点F ，若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，AE=AC ，则∠ACB 等于（ ） A. ∠ECD B. BEC C. 2 1∠AFB D. 2∠ABF 7、如图5所示，△AB C ≌△AEF ，则下列结论不一定成立的是（ ） 图1 图2 图3 图4
八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）
华师大版数学八年级上册 第一单元检测题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） １．若一个数的平方根为2a+3和a-15，则这个数是（ ） A -18 B 3 2- C 121 D 以上结论都不是 2、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。 A 、x ＞37- B 、x ≥ 37- C 、x ＞37 D 、x ≥3 7 3下列各式中正确的是（ ） A.2008)2008(2-=- B.2008)2008(2=-- C.2008)2008(2±=- D.2008)2008(2±=-± 4、下列说法中，错误的是（ ）。 A 、4的算术平方根是2 B 、81的平方根是±3 C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１ 5、16的算术平方根是（ ）。 A 、±4 B 、4 C 、－4 D 、2 6、已知04)3(2=-+-b a ，则b a 3 的值是（ ）。 A 、 41 B 、－ 41 C 、433 D 、4 3 7、计算33841627-+-+的值是（ ）。 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、7 8、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1 9、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、无理数包括正无理数、0和负无理数 B 、无理数不是实数 C 、无理数是带根号的数 D 、无理数是无限不循环小数 10．一个正数的算术平方根是a ，那么比这个正数大2的数的算术平方根是………（ ） A ．a 2+2 B ．±a 2+2 C ．a 2+2 D ．a+2 二．填空（每小题2分，共20分） 11、()2 6-的算术平方根是__________。 12、ππ-+-43＝ _____________。 13、2的平方根是__________。 14、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 化简c b c b a a ---++2 ＝________________。 15、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。 16、若2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。 17、在3325,8,2,4 1.......,8080080008.0,94,3,1.3,2--π ,其中是无理数的是＿＿＿＿＿ 18、12-的相反数是_________。 19、 38-＝________，38-＝_________。 20、绝对值小于π的整数有__________________________。 三、解答题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）
八年级上册知识点第11章数的平方 平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；另一个平方 根是它的相反数，即-a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方 数。 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是 根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。
二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数正分数 实数0 负整数 负有理数 负实数负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2.一个数的绝对值是非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．两个相反数的绝对值相等． 第12章整式的乘除 幂的运算 一、同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则 1.同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂。（其中底数可以是数、单独的字母或其他单项式，也可以是多项式）。 2.同底数幂的乘法法则 n m a m n = ?（m、n为正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 a+ a 二、逆用同底数幂的乘法法则
八年级上 第 11章 数的开方 1．平方根 （1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 其中：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”， 另一个平方根是它的相反数，即a - 。 因此，正数a 的平方根可以记作a ±。a 称为被开方数。 0的平方根只有一个，就是0，记作00=。 负数没有平方根。 （3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 2．立方根 （1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 即：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根 数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，其中a 称为被开方数，3称为根指数。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （3）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。 正数有一个正的立方根。 负数有一个负的立方根。 0的立方根是0。 3.无理数 无限不循环小数叫做无理数。 实数 有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 第 12章 整式的乘除 1．幂的运算 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数） (2)幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ()mn n m a a =（m 、n 为正整数）
(3)积的乘方 积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ()n n n b a ab =（n 为正整数） (4)同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m 、n 为正整数，m>n ，a 0≠） 2.整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b ）(m+n)=am+bm+an+bn 3.乘法公式 (1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。 ()()22b a b a b a -=-+ (2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 ()2222b ab a b a ++=+ ()222 2b ab a b a +-=- 4．整式的除法 （1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 5．因式分解 （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 （2）公因式： 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。 （3）提取公因式法： 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和（a+b+c ）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。 （4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。 （5）十字相乘法：ab x b a x +++)(2 =))((b x a x ++（a 、b 是常数） 公式特点： 1）右边相乘的两个因式都只含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项的系数为一。 2）左边是二次三项式，二次项的系数是1，一次项系数是两常数项之和，积的常数项等于两个因式中常数项之积。
华东师大版八年级上册数学教案全册 第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 教学目的 1.知识与能力：从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 2.过程与方法：扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 3.情感态度与价值观：以旧引新，以新带旧。 重点、难点 1．重点：通过实际问题的研究，认识平方根；会用计算器求任意正数的算术平方根。 2．难点：正确区分平方根与算术平方根的关系。 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R ＝4． 答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4．所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根． 三、实践应用 例1 求100的平方根． 解因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10. 学生试一试：
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华师大版数学八年级上册 第一单元检测题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） １．若一个数的平方根为2a+3和a-15，则这个数是（ ） A -18 B 3 2- C 121 D 以上结论都不是 2、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。 A 、x ＞37- B 、x ≥ 37- C 、x ＞37 D 、x ≥3 7 3下列各式中正确的是（ ） A.2008)2008(2-=- B.2008)2008(2=-- C.2008)2008(2±=- D.2008)2008(2±=-± 4、下列说法中，错误的是（ ）。 A 、4的算术平方根是2 B 、81的平方根是±3 C 、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是－１ 5、16的算术平方根是（ ）。 A 、±4 B 、4 C 、－4 D 、2 6、已知04)3(2=-+-b a ，则b a 3的值是（ ）。 A 、 41 B 、－ 41 C 、433 D 、4 3 7、计算33841627-+-+的值是（ ）。 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、7 8、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A 、－1 B 、1 C 、0 D 、±1 9、下列命题中，正确的是（ ）。 A 、无理数包括正无理数、0和负无理数 B 、无理数不是实数 C 、无理数是带根号的数 D 、无理数是无限不循环小数 10．一个正数的算术平方根是a ，那么比这个正数大2的数的算术平方根是……… （ ） A ．a 2+2 B ．±a 2+2 C ．a 2+2 D ．a+2 二．填空（每小题2分，共20分） 11、()26-的算术平方根是__________。 12、ππ-+-43＝ _____________。 13、2的平方根是__________。 14、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 化简c b c b a a ---++2＝________________。 15、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。 16、若2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。
八上期末科学复习题 一、基础知识 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫机械运动，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿参照物。 2、机械运动分为＿＿＿运动和＿＿＿＿运动。直线运动分为＿＿＿＿运动和＿＿＿＿运动。 3、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫速度，单位为＿＿＿＿＿，10米／秒＝＿＿＿＿Kｍ／ｈ。 速度的运算公式为＿＿＿＿＿＿。 4、力是＿＿＿＿＿＿＿＿，力的作用是＿＿＿＿＿。力的作用郊果有⑴＿＿＿＿＿＿＿＿＿、⑵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。物体运动状态改变包括＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。 5、力的测量工具是＿＿＿＿＿＿，常用＿＿＿＿＿＿＿，测力计的使用要先＿＿＿＿＿＿再＿＿＿＿＿＿然后再测量。力的单位是＿＿＿＿＿＿。 6、力的三要素是＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。用力的图示法表示力时，用＿＿表示力的作用点，线段上的＿＿＿表示力的方向，线段的＿＿＿＿表示力的大小，如果一个物体受到几个力的作用，需将这几个力都用力的图示法表示出来时，这几个力的＿＿必须统一。 7、物体由于＿＿＿＿＿＿＿＿＿的力叫重力，重力的方向总是＿＿＿＿＿＿。物体的重力与质量的关系式可写成＿＿＿＿＿＿＿，“9.8N／Kｇ”读作＿＿＿＿＿＿＿，它表示的意思是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。重力的施力物体是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫重心。 8、物体间产生摩擦力须具备以下条件：⑴＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。摩擦分为＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿。影响滑动摩擦大小因素有＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿。弹力的方向＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 10、牛顿第一定律的内容：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11、牛顿第一定律是建立在＿＿＿＿＿＿上通过＿＿＿＿＿＿而概括出来的。惯性是物体的＿＿＿＿＿＿属性，无论物体处于＿＿＿＿＿状态或＿＿＿＿状态，都具有惯性。惯性和惯性定律的不同之处在于＿＿＿＿＿＿描写了物体本身的性质，＿＿＿＿描写物体的运动规律，＿＿＿＿＿的成立是有条件的，而＿＿＿＿＿＿是一切物体，在任何时候都具有的。 12、如果一个物体在两个力作用保持＿＿＿＿＿＿状态或＿＿＿＿＿＿状态，那是这两力是＿＿＿＿＿＿＿。二力平衡的条件是：作用在一个物体上的两个力，＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿并且＿＿＿＿＿＿。物体的运动状态发生改变是在＿＿＿作用下，所以说力是＿＿＿＿＿＿的原因，而不是＿＿＿＿＿＿＿的原因。 13、人走路时是依靠＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿部肌肉以及骨骼的运动。在左右两脚交替
华师大八上科学知识点大全 一、机械运动与力 1.同一物体是运动还是静止取决于所选参照物，选取的参照物不同，所得的目标物运动状态也不同。 2.速度是表示物体运动的快慢的物理量，单位时间内物体通过的路程就是速度。 3.速度的计算公式：t s v =,路程的计算公式vt s =，时间的计算公式v s t =。 4.速度的换算公式：1m/s=3.6 km/h 。 5.物体沿着直线快慢不变的运动叫做匀速直线运动。做匀速直线运动的物体速度是一个定值，速度的大小与路程、时间的选择无关。不能认为速度与路程成正比，速度与时间值成反比。 6.路程-时间图像（s-t 图像）：它表示路程随时间的变化规律。 匀速直线运动的路程—时间图像是一条直线。 7.速度-时间图像（v-t 图像）：它表示物体的速度跟时间的关系。由于匀速直线运动的速度不随时间而改变，它的图像是平行于时间轴的一条直线。 8.力是物体对物体的作用，三要素有大小、方向和作用点。 9.力的作用效果：改变物体运动状态和改变物体的形状。 10.重力的大小与质量成正比，公式mg G =(g 一般取9.8N/kg)。重力方向竖直向下。 11.弹力必须在物体接触且发生形变之后才会发生。弹力的方向是物体恢复原来形状的方向，大小与物体的劲度系数和物体的形变程度有关，公式kx F =。 12.摩擦力是一种阻碍相对运动．．．． 的力，切记不是阻碍运动的力。滑动摩擦力与压力和接触面的粗糙程度成正比，与面积没有关系。 13.增大摩擦力的方法：(1)增大压力；(2)使接触面变粗糙；(3)变滑动为滚动。 14.减小摩擦力的方法：(1)减小压力；(2)使接触面变光滑；(3)变滑动摩擦为滚动摩擦（滚动轴承）；(4)使接触面彼此分开（加润滑油、气垫、磁悬浮） 15.牛顿第一定律：物体在不受外力条件下总保持静止或匀速直线运动。 16.物体保持原有运动状态的性质叫做惯性。任何物体都有惯性，惯性只跟质量有关，与其他任何因素都没有关系。 17.惯性是物体的属性，不是力。因此在提到惯性时，只能说“物体具有惯性”，或“由于惯性”，而不能说“受到惯性作用”或“惯性力”等。 18.当作用在一个物体上的两个力大小相等、方向相反，且作用在一条直线上时，两个力才能平衡。 19.平衡力与相互作用力的异同。 二、压力和压强 20.垂直作用在物体表面上的力叫压力。当两个物体相互接触并且发生挤压作用时就有压力产生。当物体放置在水平面上时对支撑物产生的压力大小等于物体本身的重力大小，即