2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第八篇 第5讲 简单几何体的面积与体积

(2)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以 A、B 为焦点
且过点 C 的双曲线的离心率为( )
1＋ 2 A. 2
1＋ 3 B. 2
C．1＋ 2 D．1＋ 3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)设椭圆 C1 的方程为xa221＋yb221＝1(a1＞b1＞0)，
由已知得：2e＝a1＝ca11＝261，53，
变式迁移 1 求与双曲线 16x2－9y2＝－144 有共同焦点，且过点(0,2)的双曲 线方程．
解析 由已知双曲线知1y62 －x92＝1， ∴c＝5，且焦点在 y 轴上． ∴可设所求双曲线方程为ya22－25x－2 a2＝1， 将点(0,2)代入方程得 a2＝4. ∴所求双曲线方程为y42－2x12 ＝1.
变式迁移 2 就 m 的不同取值，讨论方程9－x2m2＋m2y－2 4＝1 所表示的曲线类型．
解析 ①当 9－m2＝m2－4≠0， 即 m＝± 226时，方程所表示的曲线为圆． ②当 9－m2＞0，且 m2－4＞0 且 m≠± 226， 即－3＜m＜－2 或 2＜m＜3 且 m≠± 226时，方程所表示的曲 线为椭圆． ③当(9－m2)(m2－4)＜0 即 m＞3 或 m＜－3 或－2＜m＜2 时，方程所表示的曲线为双 曲线.
另外两个也可知道，特别地如果知道 e，也就知道了 a、b、c 之间的
关系，也就是说 a、b、c 三个字母只需一个字母即可表示：如 e＝ 5，
则b＝ a
5－1＝2，则 b＝2a，c＝
a2＋b2＝
5a，即 b、c 都可用 a 表示．
(6)双曲线通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦 AB 叫双曲 线的通径．通径长|AB|＝2ab2.
(5)双曲线的离心率

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何8.5 椭圆课时规X 训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2014·高考大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：利用椭圆的定义及性质列式求解． 由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A2．(2016·某某七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b＝c ＝1时取等号)，故选D.答案：D3．(2016·某某某某一诊)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴．若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32解析：Rt △PFA 中，|FA |＝a ＋c ，|PF |＝b 2a ，由|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，得4c2＋ac －3a 2＝0，∴e ＝c a ＝34，故选B.答案：B4．(2014·高考某某卷)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 答案：225．(2016·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________． 解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·高考某某卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.答案：x 2＋32y 2＝17．(2015·高考某某卷) 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.8．如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a ＞b＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时，l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t 2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e2e2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .[B 级 能力突破]1．(2016·某某某某一模)已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在的直线斜率为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1x 2236＋y 229＝1两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0∴2x 1－x 29＝－4y 1－y 29∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12答案：B2．(2016·某某某某联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22 B.32 C.23D.33解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以由题意知ab a 2＋b2＝63c ，又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍)，所以e ＝22，故选A. 答案：A3．(2016·某某模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( )A ．0B ．1C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)， 则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263， ∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫3－263，－33∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2016·苏锡常镇调研)已知A 为椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2＝1的一条直径，则AM →·AN →的最大值为________．解析：记圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，设A (x ，y )，x ∈[－3,3]，则|AC |2＝(x－1)2＋y 2＝(x －1)2＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，当x ＝－3时，(|AC |2)max ＝4＋6＋6＝16.AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·(AC →－CM →)＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2－1≤15，故AM →·AN →的最大值为15.答案：155．(2016·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·PA →的最大值为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4. 答案：46．(2014·高考某某卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 答案：127．(2016·潍坊市模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1：x ＋my＝3恒过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，已知△F 1PQ 的周长为8，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于M ，N 两点，以线段OM ，ON 为邻边作平行四边形OMGN ，其中点G 在椭圆C 上，当12≤|t |≤1时，求|OG |的取值X 围．解：(1)∵直线x ＋my ＝3恒过定点(3，0)，所以F 2(3，0)， ∴c ＝ 3.∵△F 1PQ 的周长为8，∴4a ＝8，解得a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0，由Δ＝64k 2t 2－4(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，可得4k 2＋1>t 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2，∵四边形OMGN 是平行四边形，∴x 0＝x 1＋x 2＝－8kt1＋4k2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝kx 0＋2t ＝2t1＋4k2， 可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 2，2t 1＋4k 2.∵点G 在椭圆C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋4k 22＝1，整理得4t 2(4k 2＋1)＝(4k 2＋1)2，∴4t 2＝4k 2＋1，∴|OG |2＝x 2＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋4k 22＝4t 216k 2＋11＋4k 22＝16t 2－34t 2＝4－34t 2，∵12≤|t |≤1，∴14≤t 2≤1， ∴4－34t 2∈[1，134]，∴|OG |的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，132.。

x 2 y2 双曲线标准方程的推导基本和椭圆类似， 2－ 2＝ 1(a， b ＞ 0) a b y2 x 2 表示焦点在 x 轴上的双曲线， 2－ 2＝ 1(a，b＞ 0)表示焦点在 y 轴上 a b 的双曲线． 注意：(1)由椭圆的标准方程判断焦点在 x 轴上还是 y 轴上，可 看 x2， y2 下系数的大小，而双曲线标准方程中 x2， y2 前符号相异， 判断焦点在 x 轴上还是 y 轴上，可看 x2、y2 前正负号，若 x2 前的系 数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 前的系数为正，则焦点在 y 轴上， 正所谓椭圆靠大小定焦点位置，双曲线靠正、负定焦点位置． (2)椭圆标准方程中 a、b、 c 之间的关系为 a2＝ b2＋ c2， max{a， b， c}＝ a， 而双曲线方程中 a、 b、 c 之间的关系为 c2＝ a2＋ b2， max{a， b， c}＝ c.
⑤共渐近线的双曲线系方程 x 2 y2 x 2 y2 与双曲线 2－ 2＝ 1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为 2－ 2 a b a b x y x y x2 ＝ λ(λ≠0)；以直线 ＋ ＝ 0 或 － ＝ 0 为渐近线的双曲线方程为 2 m n m n m 2 y － 2＝ λ(λ≠ 0)． n
(2)双曲线的对称性 双曲线关于两个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的 对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫作双曲线 的中心，从这一点来说椭圆和双曲线是完全一致的，都称为有心圆 锥曲线． (3)双曲线的顶点 x 2 y2 在双曲线的标准方程 2－ 2＝ 1 中，令 y＝ 0 得 x＝ ± a，因此双 a b 曲线和 x 轴有两个交点 A1(－ a,0)， A2(a,0)， 叫作双曲线的左右顶点， 线段 A1A2 叫作双曲线的实半轴长， 它的长等于 2a， a 叫作双曲线的 实半轴长．令 x＝ 0， y2＝－ b2，无实数解，但我们也把点 B1(0，－ b)， B2(0， b)画在 y 轴上，线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长等 于 2b， b 叫作双曲线的虚半轴长． 注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有 4 个顶点，更不能把椭 圆的短轴与双曲线的虚轴弄混淆．

6-5数列的综合应用基 础 巩 固一、选择题1．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为14 028，则出齐这套书的年份是( )A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010[答案] D[解析] 设出齐这套书的年份数是x ， 则有7x －7×62×2＝14 028.解得x ＝2010.2．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等数列的公差等于( )A ．0 B.π12 C.π6 D.π4 [答案] A[解析] 因A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列， 则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推得a ＝c ＝b . ∴A ＝B ＝C ，即公差为0.3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝nn ＋1.4．(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n ，∴n ＝8，故选D.5．某种细胞开始时有2个，1h 后分裂成4个并死去1个，2h 后分裂成6个并死去1个，3h 后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6h 后细胞存活数是( )A ．33B ．64C．65 D．127[答案] B[解析]每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．6．小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n}，有以下结论：①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＋1＝a n＋n＋1(n∈N＋)．其中正确的命题序号为()A．①②B．①③C．①④D．①[答案] C[解析]当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有a n＋1＝a n＋n＋1，a5＝15.故①④正确．二、填空题7．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．[答案] 22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22.8．已知α∈(0，π2)∪(π2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案] 2π3[解析] 由题意，sin 22α＝sin α·sin4α， ∴sin 22α＝2sin α·sin2α·cos2α， 即sin2α＝2sin α·cos2α，∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π3. 三、解答题9．(2012·湖南文，20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[解析] (1)由题意得a 1＝2000(1＋50%)－d ＝3000－d ， a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d ＝(32)2a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]． 整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1] ＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d .令a m ＝4 000得(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解之得d ＝1 000(3m －2m ＋1)3m －2m.所以该企业每年上缴资金d 的值为1 000(3m －2m ＋1)3m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.能 力 提 升一、选择题1．(文)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( )A ．3B ．4C ．5或9D ．4或9[答案] B[解析] 设边数为n ，则60°n ＋n (n －1)2·20°＝(n －2)·180°，解得n ＝4或9.当n ＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去．(理)下表给出一个“直角三角形数阵” 14 12，14 34，38，316 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i 行，第j 列的数列为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N )，则a 83等于( )A.18B.14 C.12 D ．1[答案] C[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a 81＝14＋(8－1)·14＝2，在每行构成的等比数列中公比q ＝12， ∴a 83＝2·(12)2＝12.2．(2012·北京理，8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( )A ．5B ．7C ．9D ．11[答案] C[解析] 本题考查了读图、识图的能力及分析问题、解决问题的能力．由于目的是使平均产量最高，就需要随着n 增大，变化超过平均值的加入，随着n 的增大，变化不足值就舍去．由图可知6、7、8、9这几年增长最快，超出平均值，所以应该加入，故选C.二、填空题3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.[答案] 10[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1， 又∵a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，∴a 2m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)，又S 2m －1＝2m －12(a 1＋a 2m －1)＝2m －12×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.4．设f (x )是定义域为R 且恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．[答案] [12，1)[解析] 因a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12a n ， 故S n ＝12[1－(12)n]1－12＝1－(12)n，∵n ≥1，n ∈N ，∴S n ∈[12，1)． 三、解答题5．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{a n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上， ∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)∵b n ＝a n ·3n ，∴b n ＝(2n ＋1)·3n .∴T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)·3n ，① ∴3T n ＝3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ＋(2n ＋1)·3n ＋1.② ①－②得－2T n ＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n )－(2n ＋1)·3n ＋1＝9＋2×9(1－3n －1)1－3－(2n ＋1)·3n ＋1＝－2n ·3n ＋1∴T n ＝n ·3n ＋1.6．(文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值． [解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N ＋) 又a 1＝13，故a n ＝(13)n(n ∈N ＋)从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n](n ∈N ＋) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2.(理)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N ＋)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N ＋)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上． 此直线方程为y －1＝d2(x －1)．7．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．[解析] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎨⎧130－10n ，n ≤6，70×(34)n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－210×(34)n －6n 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×(34)28＝824764>80， A 9＝780－210×(34)39＝767996<80， 所以须在第9年初对M 更新．。