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个人自我鉴定怎么写（31篇）个人自我鉴定怎么写（通用31篇）个人自我鉴定怎么写篇1本人在思想觉悟上始终对自己有较高的要求，能清醒的意识到自己所担负的社会责任，对个人的人生理想和发展目标，有了相对成熟的认识和定位。
在专业课程的学习上，根据自身专业方向的要求，有针对性的认真研读了有关核心课程，为自己的学习工作打下扎实基础；并涉猎了一部分其他课程，开阔视野，对本专业方向的应用背景以及整个学科的结构有了宏观的认识。
学习成绩也比较理想。
在外语方面，着重加强了阅读的训练，并取得了一定效果，成功考取了学位英语。
在学习工作上，根据导师的指导，研读了大量论著，逐步明确了发展方向，通过自身不断的努力，以及与师长同学间的探讨交流，取得了一些比较满意的成果。
在这期间，查阅资料，综合分析等基本素质不断提高，书面表达的能力也得到了锤炼，尤其是独立思考判断和研究的能力，有了很大进步，这些对于平时的工作也都是大有裨益的。
个人自我鉴定怎么写篇2大学生活即将结束，在毕业之即，对自己三年的学习和生活做一个作一个总结和鉴定：在校期间，在学校的指导、老师的教诲、同学的帮助下，通过不断地学习理论知识和参与社会实践，自觉自己的综合素质在很大程度上得到了提升，努力将自己塑造成为一个专业功底扎实、知识结构完善、适应能力强、具有团体协作精神的青年。
当然，本人还存在很多不足之处，诸如：一是学习成绩还不是十分优秀，三年来，虽然我的成绩一直在进步，但却始终达不到最理想的状态，主要原因是基础比较薄弱，加上刚进大学时，学习的环境变宽松了，学习更多需要的是自主性，于是，长期在老师、家长督导下学习的我，一度迷失了方向和动力，幸亏后来在老师、辅导员和同学的帮助下，我从迷失中找回了方向，从而迎头赶上，但因此也落下了一些课程。
二是与同学的联系还不够紧密，和同学交流较少，主要原因是自己作息的时间安排上不够合理，未能够十分有效地工作与学习，导致时间使用的紧张，无意中减少了与同学交流的时间。
收稿日期:２０２０－０１－０８基金项目:国家自然科学基金资助项目(６１７７２１２４).作者简介:马海涛(１９７７－)ꎬ男ꎬ黑龙江伊春人ꎬ东北大学讲师ꎬ博士.第４２卷第２期２０２１年２月东北大学学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)Ｖｏｌ.４２ꎬＮｏ.２Ｆｅｂ.２０２１㊀ｄｏｉ:１０.１２０６８/ｊ.ｉｓｓｎ.１００５－３０２６.２０２１.０２.００８线性区域数量与ＰＬＮＮ表达能力的相关性马海涛ꎬ路家蕊ꎬ于文鑫ꎬ于长永(东北大学秦皇岛分校计算机技术学院ꎬ河北秦皇岛㊀０６６００４)摘㊀㊀㊀要:使用分段线性激活函数的神经网络(ＰＬＮＮ)在机器学习中得到广泛应用.本文给出了一种ＰＬＮＮ模型表达能力的度量值 线性区域数量ꎬ并给出了线性区域的数学表示.分析了线性区域之间的关系并计算合并后的线性区域数量ꎬ同时给出一种基于Ｚ曲线的线性区域数量的计算方法.针对一个任务实例进行分析ꎬ计算不同网络结构的线性区域数量及合并后的线性区域数量ꎬ分析了线性区域数量与不同网络结构的准确性的关联.结果表明ꎬ线性区域数量能够表现ＰＬＮＮ模型的表达能力ꎬ对于选择网络超参数及解释模型边界具有研究意义.关㊀键㊀词:机器学习ꎻ分段线性神经网络ꎻ表达能力ꎻ线性区域中图分类号:ＴＰ１８３㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００５－３０２６(２０２１)０２－０２０１－０７ＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐＢｅｔｗｅｅｎｔｈｅＮｕｍｂｅｒｏｆＬｉｎｅａｒＲｅｇｉｏｎｓａｎｄＥｘｐｒｅｓｓｉｖｅＰｏｗｅｒｏｆＰｉｅｃｅｗｉｓｅＬｉｎｅａｒＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓＭＡＨａｉ￣ｔａｏꎬＬＵＪｉａ￣ｒｕｉꎬＹＵＷｅｎ￣ｘｉｎꎬＹＵＣｈａｎｇ￣ｙｏｎｇ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙａｔＱｉｎｈｕａｎｇｄａｏꎬＱｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４ꎬＣｈｉｎａ.Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ:ＬＵＪｉａ￣ｒｕｉꎬＥ￣ｍａｉｌ:６０２０３７６７７＠ｑｑ.ｃｏｍ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒａｃｔｉｖａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ(ＰＬＮＮ)ｉｓｅｘｔｅｎｓｉｖｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇ.ＴｈｉｓｐａｐｅｒｇｉｖｅｓａｍｅａｓｕｒｅｏｆｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆＰＬＮＮｍｏｄｅｌꎬｉ.ｅ.ꎬｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓꎬｗｉｔｈｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ.Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｉｓａｎａｌｙｚｅｄａｎｄｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｏｍｂｉｎｅｄｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄ.ＡｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｂａｓｅｄｏｎＺｃｕｒｖｅｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ.Ａｃａｓｅｉｓｇｉｖｅｎｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎｅｔｗｏｒｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｎｄｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓａｆｔｅｒｍｅｒｇｉｎｇꎬａｎｄｔｈｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓａｎｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎｅｔｗｏｒｋｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｓａｎａｌｙｚｅｄ.ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｃａｎｒｅｆｌｅｃｔｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆＰＬＮＮｍｏｄｅｌꎬｗｈｉｃｈｈａｓｇｒｅａｔｒｅｓｅａｒｃｈｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｆｏｒｓｅｌｅｃｔｉｎｇｎｅｔｗｏｒｋｈｙｐｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｅｘｐｌａｉｎｉｎｇｍｏｄｅｌｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｍａｃｈｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇꎻｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋꎻｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒꎻｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎ㊀㊀神经网络ꎬ特别是深度模型ꎬ２００６年以后在很多领域的应用中取得了十分好的效果ꎬ是目前研究最深入㊁应用最广泛的学习模型ꎬ其中分段线性神经网络(ｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋꎬＰＬＮＮ)是一类十分重要的网络模型.ＰＬＮＮ使用分段线性的激活函数ꎬ其中较为典型的非饱和激活函数ꎬ如ｒｅｌｕ家族中的ＰＲｅＬＵꎬＲＲｅＬＵꎬＬｅａｋｙＲｅＬＵｓ等ꎬ在图像分类㊁动作识别㊁抵御对抗性攻击等[１－２]任务模型中取得很好的效果.由于对网络模型的解释研究滞后于网络模型取得的应用进展ꎬ导致缺乏对模型行为的深入了解和解释ꎬ使得当网络模型不能取得良好效果时ꎬ无法对模型进行改进或优化.鉴于此ꎬ一些致力于模型解释的工作已经展开.最早在２０１４年Ｐａｓｃａｎｕ和Ｍｏｎｔúｆａ等[３－４]提出了ＰＬＮＮ的线性区域数概念ꎬ并使用其数量的上界衡量网络的性能ꎻ此后ꎬ更多的学者开始关注ＰＬＮＮ本身的基础性质.２０１６年ꎬＥｌｄａｎ等[５]使用线性区域数比较了深㊁浅ＰＬＮＮ模型ꎻＳｅｒｒａ等[６]在２０１８年使用ＳＡＴ概率推理方法近似了混合整数线性公式的解数量ꎬ以此求解线性区域的概率下界.受上述工作启发ꎬＲａｇｈｕ等[７]使用轨迹长度作为ＰＬＮＮ表达能力的新度量值ꎻＺｈａｎｇ等[８]首次建立了ＰＬＮＮ与热带几何之间的联系.此外ꎬ不少研究试图作出与模型无关的整体解释ꎬ如文献[９]提出的ＬＩＭＥ模型和文献[１０]提出的Ｍａｓｋ方法ꎻ但其解释成果仍是局部的ꎬ未能证明其可靠性.２０１８年Ｃｈｕ等[１１]提出了ＯＰＥＮＢＯＸ方法ꎬ将ＰＬＮＮ转换成一组数学上等价的线性分类器ꎬ从而能够精确一致地解释一个整体的网络模型.根据以上相关工作ꎬ已有结论表明ꎬＰＬＮＮ神经网络等价于一组线性分类器.然而ꎬＰＬＮＮ神经网络的线性区域数量的计算方法㊁该数量与模型的表达能力ꎬ以及模型的泛化准确定的关系仍不是十分明确ꎬ有待进一步的验证和分析.本文针对上述问题进行了３方面的工作:①给出计算ＰＬＮＮ激活模式的过程ꎬ并说明线性区域数在数学上等于激活模式数量ꎻ②提出线性区域可合并的概念ꎬ使输出层标签相等的实例集合所对应的线性区域合并ꎻ③对比了相同隐藏节点数㊁不同结构的线性区域数㊁合并区域数ꎬ以及对应的精确度.１㊀ＰＬＮＮ基础概念１ １㊀基本符号定义本文的研究对象为使用线性激活函数的神经网络.定义一个具有Ｌ层的网络模型ＮｅｔꎬＮｅｔ中网络层表示为ｌｉꎬｉɪ{１ꎬ ꎬＬ}.其中ｌ１为网络的输入层ꎬｌＬ为网络的最终输出层.Ｎｅｔ模型中ｌｉ层具有的节点个数为Ｎｉꎬ隐藏层总节点个数为Ｍ＝ðＬ－１ｉ＝２Ｎｉꎬｉɪ{１ꎬ ꎬＬ}.Ｎｅｔ中ｌｉ层的第ｊ个节点为ｎｉｊꎬｉɪ{１ꎬ ꎬＬ}ꎬｊɪ{１ꎬ ꎬＮｉ}.Ｎｅｔ中自第２层开始的ｌｉ层的偏置表示为Ｂｉ＝[ｂｉ１ꎬ ꎬｂｉＮｉ]Ｔꎬｉɪ{２ꎬ ꎬＬ}ꎬ网络总偏置矩阵表示为Ｂ＝[Ｂ２ꎬ ꎬＢＬ]Ｔ.Ｎｅｔ模型中前一层的神经元是通过全连接的形式与下一层相接ꎬ因此用ｗｉｊｋ表示ｌｉ层中的第ｊ个节点与ｌｉ－１层中的第ｋ个节点相连的边权ꎬｌｉ－１层所有节点与ｌｉ层第ｊ个节点连接的权重矩阵表示为ｗｉｊ＝[ｗｉｊ１ꎬ ꎬｗｉｊＮｉ－１]Ｔꎬ同时第ｌｉ－１层所有节点与第ｌｉ层所有节点的权重矩阵用Ｎｉ－１ˑＮｉ维的Ｗｉ表示ꎬｉɪ{２ꎬ ꎬＬ}.对于ｌｉ层中的节点ꎬｉɪ{２ꎬ ꎬＬ－１}ꎬ每一个节点上的激活函数均使用ＲｅＬｕ函数ꎬ即ｒ(ｘ)＝ｍａｘ{０ꎬｘ}.而输出层ｌＬꎬ使用ｓｏｆｔｍａｘ函数作为激活函数.１ ２㊀ＰＬＮＮ定义根据以上基础符号ꎬ定义Ｎｅｔ网络的计算过程.当ｉ＝１时ꎬ网络的输入表示为ｚ１＝ｘ＝[ｘ１ꎬ ꎬｘＮ１]ＴꎬｘɪＲＮ１是Ｎ１维的网络原始输入向量.ｌｉ层中的每个节点ｎｉｊ接收来自上一层节点的输入ꎬ经过权重计算处理表示为ｙｉｊꎬｙｉｊ经过激活函数后的输出表示为ｚｉｊꎬ即ｚｉｊ＝ｒ(ｙｉｊ).因此对于ｌｉ层的加权和向量可以表示为ｙｉ＝[ｙｉ１ꎬ ꎬｙｉＮｉ]Ｔꎬ而ｌｉ层的输出向量也是ｌｉ＋１层的输入向量ꎬ可以表示为ｚｉ＝[ｚｉ１ꎬ ꎬｚｉＮｉ]Ｔ.因此ꎬ对于ｉɪ{２ꎬ ꎬＬ－１}ꎬｌｉ层的输出表示为ｙｉ＝Ｗｉｚｉ－１＋Ｂｉꎬ(１)ｚｉ＝ｒ(ｙｉ).(２)其中当ｉ＝Ｌ时ꎬ使用ｓｏｆｔｍａｘ函数处理来自前一层的加权和ꎬ输出概率分布作为预测结果.由于Ｎｅｔ模型中除输出层以外使用的激活函数都是线性激活函数ＲｅＬｕꎬ因此整个网络可以视为一个等价的线性仿射函数ｆ:ＲＮ１ңＲＮＬ.２㊀线性区域计算方法２ １㊀线性区域的定义给定Ｎｅｔꎬ即给定权重与偏置矩阵.根据式(１)和式(２)ꎬ每当将一个实例ｘ输入到Ｎｅｔ计算后ꎬＮｅｔ中所有隐藏层节点都会根据ＲｅＬｕ函数判断一个不等式:ｙｉｊ＝ｗｉｊｚｉ－１＋ｂｉｊȡ０.(３)每一次判断式(３)是否大于或等于０ꎬ都意味着在几何层面上ꎬ输入空间被一分为二.在先前工作中ꎬ称被划分后的输入空间的区域边界由超平面给定ꎬ即每一个隐藏层节点ｎｉｊ上的计算都代表一个划分输入空间的超平面.最终整个输入空间被网络模型中的约束划分成连通的子集区域.因此ꎬ给定网络模型Ｎｅｔ所代表的线性映射函数ｆ:Ｘ⊆ＲＮ１ңＹ⊆ＲＮＬꎬ用Ｒ⊂ＲＮ１表示Ｎｅｔ的线性区域.当实例ｘ输入到网络ꎬ在隐藏层节点ｎｉｊ进行计算时ꎬ根据式(３)ꎬ若ｙｉｊ大于０则输出ｙｉｊ的２０２东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４２卷㊀㊀值ꎬ即属于ｎｉｊ上的计算所代表的超平面的一侧线性区域Ｒｉｊ１ꎻ若ｙｉｊ小于０则输出０ꎬ即属于超平面的另一侧的线性区域Ｒｉｊ０.而判断式(３)是否大于或等于０ꎬ在数学层面上意味着可以将Ｎｅｔ网络中的每个节点的输出视作两种状态:０或１(原数据ｘ).因此给定实例ｘꎬ节点ｎｉｊ的状态表示为ｓｉｊ＝０/１ꎬｊɪ{１ꎬ ꎬＮｉ}ꎬ由以下公式定义:ｓｉｊ＝０ꎬｚｉｊ＝０ꎻ１ꎬｚｉｊ＝ｙｌｉ. {(４)由此ꎬ对于ｌｉ层ꎬ用Ｓｉ＝{ｓｉ１ꎬ ꎬｓｉＮｉ}表示这一层的状态序列.最终ꎬ每一个实例ｘ都会存在一个对应的状态序列Ｓ＝{Ｓ２ꎬ ꎬＳＬ－１}ꎬ此状态序列也称为此实例ｘ的激活模式.给定Ｎｅｔꎬ当Ｎｅｔ的一个输入实例ｘ的激活模式确定了ꎬ同时也确定了此ｘ所在的输入空间所属的线性区域ꎬ即一种激活模式对应一个线性区域.多个实例ｘ的激活模式若相同ꎬ那么它们应同属一个线性区域ꎻ因此可以计算输入集合Ｘ对应的激活模式种类数量ꎬ用这个数值作为衡量网络表达能力的度量值.当Ｎｅｔ网络的隐藏层神经元总数为Ｍ时ꎬ理论上此网络不同的激活模式的数量应为２Ｍ个.但由于网络模型的表达性能一般很难达到理论上的最高点ꎬ其代表的函数计算复杂性一般也难以描述理论上所有的线性区域ꎬ以及实际中预测的输入实例数据集之间总是存在关联ꎬ因此通过计算输入实例集合所对应的不同激活模式数量总会远远小于２Ｍ个.２ ２㊀线性区域的计算给定网络模型Ｎｅｔꎬ给定具有Ｐ个实例的输入实例集合Ｘꎬ通过不等式(３)可以确定地计算每一个输入实例ｘｐɪＸ都对应着由Ｍ个不等式(３)组成的不等式组ꎻ用Ｅｐ来表示这个不等式组ꎬ同时用ｘｐ~Ｅｐ来表达对应关系ꎬ其中ｐɪ{１ꎬ ꎬＰ}ꎬ同时Ｅｐ也确定了ｘｐ的激活模式Ｓｐ.若有输入实例ｘｐꎬｘｑɪＸ对应的Ｅｐ与Ｅｑ中的不等式完全相等ꎬ则写作Ｅｐ＝Ｅｑ(Ｓｐ＝Ｓｑ)ꎬ这表示Ｅｐ与Ｅｑ代表了同一片线性区域Ｒ⊂ＲＮ１ꎬ并且ｘｐ与ｘｑ也同属于这一片线性区域.由以上定义可以总结为在这个线性子集区域Ｒ上的所有输入实例ｘꎬ都对应着由这一组不等式Ｅ所规定的分类规则ꎬ最终整个网络模型Ｎｅｔ所代表的线性函数ｆ:ＸңＹ可以由以下公式表达:Ｆ(Ｘ)＝Ｗ１Ｘ１＋Ｂ１ꎬＸ１~Ｅ１ꎻＷ２Ｘ２＋Ｂ２ꎬＸ２~Ｅ２ꎻ⋮ＷｋＸｋ＋ＢｋꎬＸｋ~Ｅｋ.ìîíïïïïï(５)式中:Ｘｉ代表属于输入空间Ｘ的一部分输入子集ꎻＷｉ与Ｂｉ代表当Ｘｉ中所有元素都对应着的同一种不等式组Ｅｉꎬ它们决定了原始权重矩阵与偏置矩阵中哪些位置上的矩阵元素应该被保留ꎬ其中ｉɪ{１ꎬ ꎬｋ}.如上述内容所示ꎬＷｉ与Ｂｉ是根据输入实例在网络中每一个隐藏层节点上的计算所决定的.假设Ｎｅｔ网络模型固定ꎬ实例ｘ进入网络的ｌ１层ꎬ以全连接的形式输入到ｌ２层ꎬ根据式(１)和式(２)可得ｙ２＝Ｗ２ｘ＋Ｂ２ꎬ(６)ｚ２＝ｒ(ｙ２).(７)同时还可以根据式(４)得到ｌ２对应的状态序列Ｓ２ꎬ将Ｓ２拓展为Ｎ２ˑＮ２的对角矩阵Ｓ２ｗ与Ｎ２ˑ１的矩阵Ｓ２ｂ:Ｓ２ｗ＝ｓ２１０ ００ｓ２２ ０⋮⋮⋮００ ｓ２Ｎ２éëêêêêêêùûúúúúúúꎻ(８)Ｓ２ｂ＝ｓ２１ｓ２２⋮ｓ２Ｎ２éëêêêêêêùûúúúúúú.(９)在ｌ３层中ꎬ这一层的权重Ｗ３不再与上一层的所有权重连乘ꎬ而是根据式(７)的输出ꎬ仅与非零输入的权重相乘:ｙ３＝Ｗ３(Ｓ２ｗＷ２ｘ＋Ｓ２ｂＢ２)＋Ｂ３.(１０)然后根据式(２)可以得到ｚ３ꎬ在接下来的网络层上不断循环上述的计算过程ꎬ把对Ｗｉ与Ｂｉ的Ｓｉｗ与Ｓｉｂ处理总结为对ｌｉ层上权重㊁偏置矩阵的Ｓｉ处理ꎬ最终针对某一个输入实例ｘꎬ对于ｌɪ{２ꎬ ꎬＬ－１}ꎬｌｉ层的输出改写为ｙｉ＝Ｗｉｚｉ－１＋Ｂｉꎬ(１１)ｚｉ＝Ｓｉｙｉ.(１２)在ｌＬ－１层上的输出可以表示为ｚｉ＝ᵑＬ－２ｉ＝２ＳｉＷｉｘ＋ðＬ－２ｉ＝２ᵑＬ－２ｑ＝ｉＳｑ＋１Ｗｑ＋１ＳｉＢｉ＝Ｃｗｘ＋Ｃｂ.(１３)式中:Ｃｗ是实例ｘ的系数矩阵ꎻＣｂ是ｘ的常数项矩阵.此系数与常数项正是构造出不同不等式组ꎬ３０２第２期㊀㊀㊀马海涛等:线性区域数量与ＰＬＮＮ表达能力的相关性㊀㊀㊀㊀从而划分输入空间区域的根本所在.２ ３㊀线性区域的合并本文提出了线性区域合并的概念ꎬ即将输出层的分类标签加入划分线性区域的标准.例如本文实验是对数据集进行二分类ꎬ分类标签分别是１类与０类.给定网络模型Ｎｅｔꎬ共具有Ｍ个隐藏层节点.对于同属相同分类标签的两个激活模式集Ｓｉ＝{ｓｉ１ꎬ ꎬｓｉＭ}ꎬＳｊ＝{ｓｊ１ꎬ ꎬｓｊＭ}ꎬ若它们Ｍ－１个同位置的状态码都相同ꎬ并且仅有一个同位置的状态码相加为１ꎬ即ｓｉｋ＋ｓｊｋ＝１ꎬ则将第ｋ位状态位合并为Ｑｋ.最终ꎬＳｉ与Ｓｊ合并为ｓｌｖ１ｎｅｗ＝{ｓ１ꎬ ꎬＱｋꎬꎬｓＭ}.将仅合并过一个状态位的激活序列Ｓｌｖ１称为ｌｅｖｅｌ １的激活序列ꎻ依此类推ꎬ合并了两个状态位的激活序列Ｓｌｖ２称为ｌｅｖｅｌ ２的激活序列.最终将原始激活模式集通过合并操作ꎬ压缩为具有ｌｅｖｅｌ激活序列的合并激活模式集.下面给出实验数据示范合并过程:图１ａ为未经合并的４个原始激活序列ꎬ经过第一轮合并操作后ꎬ转变为２个各具有１位Ｑ状态的ｌｅｖｅｌ １激活序列ꎬ如图１ｂ所示ꎻ再经过第二轮合并操作后ꎬ转变为１个具有２位Ｑ状态的ｌｅｖｅｌ ２激活序列ꎬ如图１ｃ所示.将原始线性区域数量通过合并操作压缩得更少ꎬ可以在一定程度上使合并线性区域的决策边界更一般地表现出此决策的特征ꎬ对于合并区域作用价值的研究将在未来展开.图１㊀数据合并过程Ｆｉｇ １㊀Ｄａｔａｍｅｒｇｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ(ａ) 原始激活序列ꎻ(ｂ) ｌｅｖｅｌ １激活序列ꎻ(ｃ) ｌｅｖｅｌ ２激活序列.３㊀实㊀㊀验３ １㊀实验准备本文的实验平台使用８ＧＢ内存的ｉ７处理器ꎬ实验算法皆采用ｐｙｔｈｏｎ语言编写.为了取得能够尽可能遍历空间窗口的点集ꎬ实验采用的数据集为Ｚ－ｏｒｄｅｒ空间填充曲线上的点ꎬ如图２所示.应用此点集作为网络模型Ｎｅｔ的输入ꎬ能够使不等式尽可能划分出更多的线性区域ꎬ同时能在一定程度上得到此网络模型的最大表达能力及其能够达到的最高计算复杂性.实验中采用的网络模型结构分为三种ꎬ输入层ｌ１与输出层ｌＬ保持不变ꎬ分别都具有２个节点.中间层共２２个节点ꎬ构建了三种层分布:具有２层中间层的网络模型Ａ㊁具有３层中间层的网络模型Ｂꎬ以及仅具有一层中间层的网络模型Ｃ.这三种网络模型中的隐藏层节点均采用ＲｅＬｕ函数作为激活函数ꎬ输出层的激活函数则采用Ｓｏｆｔｍａｘ函数.图２㊀Ｚ－ｏｒｄｅｒ空间填充曲线Ｆｉｇ ２㊀Ｚ￣ｏｒｄｅｒｓｐａｃｅｆｉｌｌｉｎｇｃｕｒｖｅ㊀㊀对三种网络模型ＡꎬＢꎬＣ的中间层上分布的节点数量按一定规律进行调整.模型Ａ根据层节点的分布又细分为９个模型ꎬ同理模型Ｂ细分为２７个模型ꎻ而模型Ｃ因为仅有一层中间层ꎬ２２个隐藏层节点均在这一层中.４０２东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４２卷㊀㊀对ＡꎬＢꎬＣ类共３７个模型进行训练ꎬ如图３所示.用来训练的数据集是在一定空间内的一组二分类点集ꎬ网络模型的功能即是对输入的数据点集进行二分类.最终所有３７个模型的分类精度均达到９７％以上.图３㊀训练数据 二分类点集Ｆｉｇ ３㊀Ｔｒａｉｎｉｎｇｄａｔａ ｔｗｏｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｅｔ㊀㊀开始实验时ꎬ网络输入的数据集采用４６个Ｚ－ｏｒｄｅｒ空间填充曲线ꎬ点集中共有４７＝１６３８４个二维点.使用ＡꎬＢꎬＣ类共３７个模型对Ｚ点集进行二分类ꎬ同时计算这些模型得到的不同激活模型数量.３ ２㊀线性区域数量图４所示为Ａ类模型第１和第２隐藏层不同节点分布的子类模型所能够得到的线性区域数量ꎬ即激活模式数量.图４㊀Ａ类模型的表达能力Ｆｉｇ ４㊀ＥｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆＡ￣ｔｙｐｅｍｏｄｅｌ㊀㊀从图中可以看出ꎬ隐藏层第１层的节点数量越少ꎬ网络模型得到的线性区域数越少.当两个隐藏层之间的节点分布较为均匀ꎬ如１１ʒ１１和１３ʒ１９ꎬ网络的表达能力达到最大值ꎻ而后随着第２层节点数量的减少ꎬ网路模型能够划分的线性区域数又逐渐回落.这在一定程度上表示具有过少节点的中间层会降低网络的表达性能ꎬ这种现象称为隐藏节点过少的局限性.但对比具有同样过少节点的其他子模型ꎬ如３ʒ１９对比１９ʒ３ꎬ５ʒ１７对比１７ʒ５ꎬ在这两组中ꎬ后一种结构的子模型所划分的线性区域数均比前者多ꎬ这一定程度上表示靠近网络输入层的隐藏层节点数量会限制后续网络的表达能力ꎬ这个现象称为前期隐藏节点过少的制约性.Ｂ类模型２７个子模型的表达能力如图５所示ꎬＢ１ꎬＢ２ꎬＢ３系列模型均表现出了隐藏节点过少的局限性.中间层节点均匀分布的网络模型如８ʒ８ʒ６ꎬ８ʒ６ʒ８ꎬ６ʒ８ʒ８等子模型所划分的线性区域数更多一些ꎬ并且对于三个不同系列ꎬ均可见第１层隐藏层节点数过少的子模型表达能力不如第２层隐藏层节点数过少的子模型ꎬ如２ʒ１８ʒ２与２ʒ２ʒ１８ꎬ２ʒ１０ʒ１０与１０ʒ２ʒ１０等.保持第１层节点数量相等ꎬ对比后两层节点数量翻转的模型ꎬ如３ʒ１６ʒ３与３ʒ３ʒ１６ꎬ９ʒ４ʒ９与９ʒ９ʒ４等ꎬ都表现出前期隐藏节点过少的制约性.图中从６ʒ８ʒ８分布的子模型开始ꎬ三个系列的模型有一个显著的反超趋势ꎬ这正是因为第１层的节点数量制约了后续网络的表达性能.图５㊀Ｂ类模型的表达能力Ｆｉｇ ５㊀ＥｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆＢ￣ｔｙｐｅｍｏｄｅｌ㊀㊀选取Ｂ２系列与Ａ类模型㊁Ｃ类模型一起作对比ꎬ如图６所示:单隐藏层网络模型的表达能力远不及深层网络模型ꎻ而三层的网络模型在节点分布较均匀时ꎬ能够较多地超出二层模型所能划分的线性区域数ꎬ仅有当层节点数量过少时才会制约三层网络模型的表达能力ꎬ从而使得二层模５０２第２期㊀㊀㊀马海涛等:线性区域数量与ＰＬＮＮ表达能力的相关性型的表现更佳.图６㊀三类模型的表达能力Ｆｉｇ ６㊀Ｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆｔｈｒｅｅｔｙｐｅｓｏｆｍｏｄｅｌｓ３ ３㊀线性区域合并数量与精确度在合并线性区域的概念中ꎬ由于引入了输出层分类标签的划分标准ꎬ会存在激活序列相同但分类标签不同的情况ꎬ这些激活序列会被重复计数ꎬ因此原始线性区域数量会比３ ２节中得到的区域数量更多ꎬ需要对增多的原始线性区域进行合并操作.选取Ａ系列模型以及Ｂ１系列模型加入合并线性区域的操作ꎬ并且计算了模型的精确度ꎬ如图７所示.由于合并操作不影响模型的分类计算ꎬ因此合并前后模型的精确度是相同的.可以看到原始线性区域经过合并操作ꎬ极大地压缩了原始区域数量ꎬ这意味着计算出的同一标签下的线性区域ꎬ其决策边界可能存在更加一般化的决策特征ꎬ即合并后区域的决策特征.从精确度的变化曲线可以看出ꎬ精确度基本上是随线性区域数量的走势而变化的.这表明在一定程度上可以使用线性区域数量作为模型表达能力的度量单位.最后选取Ａ类模型中层节点分布为１１ʒ１１的子模型ꎬ根据计算输入实例集合的激活模式ꎬ将输入空间被划分后的线性区域可视化ꎬ如图８所示.从图中大致可以看出这些线性区域的边界可以构成一个半径为１的圆ꎬ这正是网络模型对输入空间进行划分的结果.同时ꎬ单独绘制了图８中可合并的部分线性区域组ꎬ如图９所示.其中ꎬ一些线性区域可以与其他不同的线性区域合并成不同的组合ꎬ如图９ｂ和图９ｃ所示ꎬ中间最大的线性区域与其他不同的３个线性区域构成了不同的合并组.图７㊀不同模型的合并区域数及精确度Ｆｉｇ ７㊀Ｔｈｅｎｕｍｂｅｒａｎｄａｃｃｕｒａｃｙｏｆｍｅｒｇｉｎｇａｒｅａｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｏｄｅｌｓ(ａ) Ａ类模型ꎻ(ｂ) Ｂ１类模型.图８㊀线性区域的可视化Ｆｉｇ ８㊀Ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓ６０２东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４２卷㊀㊀㊀图９㊀可合并的区域组Ｆｉｇ ９㊀Ｍｅｒｇｅａｂｌｅｒｅｇｉｏｎｇｒｏｕｐｓ(ａ) 图８中区域Ⅰꎻ(ｂ) 图８中区域Ⅱꎻ(ｃ) 图８中区域Ⅲ.４㊀结㊀㊀语本文探究了分段线性神经网络的表达能力ꎬ在原理上给出了线性区域的基础概念与相关的计算方式ꎬ同时提出了合并线性区域的概念.在实验上通过三类模型所构建的线性区域ꎬ一定程度上衡量了这些模型的表达能力.通过本文的方法原理ꎬ给出了一些如何使网络的表达能力较为优秀的途径.在未来的工作中ꎬ将继续探索合并线性区域的决策特征是否能为模型带来更好的泛化能力等深入网络模型的原理及其作用.参考文献:[１]㊀ＷａｎｇＳＨꎬＰｈｉｌｌｉｐｓＰꎬＳｕｉＹＸꎬｅｔａｌ.ＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆＡｌｚｈｅｉｍｅｒ ｓｄｉｓｅａｓｅｂａｓｅｄｏｎｅｉｇｈｔ￣ｌａｙｅｒｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｗｉｔｈｌｅａｋｙｒｅｃｔｉｆｉｅｄｌｉｎｅａｒｕｎｉｔａｎｄｍａｘｐｏｏｌｉｎｇ[Ｊ/ＯＬ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｄｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓꎬ２０１８[２０１９－１２－０５].ｈｔｔｐｓ://ｌｉｎｋ.ｓｐｒｉｎｇｅｒ.ｃｏｍ/ａｒｔｉｃｌｅ/１０.１００７/ｓ１０９１６－０１８－０９３２－７.ＤＯＩ:１０.１００７/ｓ１０９１６－０１８－０９３２－７. [２]㊀ＣｒｏｃｅＦꎬＨｅｉｎＭ.Ａｒａｎｄｏｍｉｚｅｄｇｒａｄｉｅｎｔ￣ｆｒｅｅａｔｔａｃｋｏｎＲｅＬＵｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ/ＯＬ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ４０ｔｈＧｅｒｍａｎＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ.Ｓｔｕｔｔｇａｒｔꎬ２０１８(２０１８－１１－２８)[２０１９－１２－０６].ｈｔｔｐｓ://ａｒｘｉｖ.ｏｒｇ/ｐｄｆ/１８１１.１１４９３.ｐｄｆ.ＤＯＩ:１０.１００７/９７８－３－０３０－１２９３９－２＿１６. [３]㊀ＰａｓｃａｎｕＲꎬＭｏｎｔúｆａｒＧꎬＢｅｎｇｉｏＹ.Ｏｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅｓｐｏｎｓｅｒｅｇｉｏｎｓｏｆｄｅｅｐｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｎｅｔｗｏｒｋｓｗｉｔｈｐｉｅｃｅ￣ｗｉｓｅｌｉｎｅａｒａｃｔｉｖａｔｉｏｎｓ[Ｊ/ＯＬ].(２０１４－０２－１４)[２０２０－０１－０４].ｈｔｔｐｓ://ａｒｘｉｖ.ｏｒｇ/ａｂｓ/１３１２.６０９８ｖ４.ＤＯＩ:１０.１００２/ａｒｔ.２３４７４.[４]㊀ＭｏｎｔúｆａｒＧꎬＰａｓｃａｎｕＲꎬＣｈｏＫꎬｅｔａｌ.Ｏｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｏｆｄｅｅｐｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２７ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＮｅｕｒａｌＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＳｙｓｔｅｍｓ.ＣａｍｂｒｉｄｇｅꎬＭＡ:ＭＩＴＰｒｅｓｓꎬ２０１４:２９２４－２９３２.[５]㊀ＥｌｄａｎＲꎬＳｈａｍｉｒＯ.Ｔｈｅｐｏｗｅｒｏｆｄｅｐｔｈｆｏｒｆｅｅｄｆｏｒｗａｒｄｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ/ＯＬ].(２０１５－１２－１２)[２０１９－１２－０５].ｈｔｔｐｓ://ａｒｘｉｖ.ｏｒｇ/ａｂｓ/１５１２.０３９６５ｖ１. [６]㊀ＳｅｒｒａＴꎬＴｊａｎｄｒａａｔｍａｄｊａＣꎬＲａｍａｌｉｎｇａｍＳ.Ｂｏｕｎｄｉｎｇａｎｄｃｏｕｎｔｉｎｇｌｉｎｅａｒｒｅｇｉｏｎｓｏｆｄｅｅｐｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ/ＯＬ].(２０１７－１１－０６)[２０１９－１２－０８].ｈｔｔｐｓ://ｗｗｗ.ｒｅｓｅａｒｃｈｇａｔｅ.ｎｅｔ/ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ/３２０９２０５３７＿Ｂｏｕｎｄｉｎｇ＿ａｎｄ＿Ｃｏｕｎｔｉｎｇ＿Ｌｉｎｅａｒ＿Ｒｅｇｉｏｎｓ＿ｏｆ＿Ｄｅｅｐ＿Ｎｅｕｒａｌ＿Ｎｅｔｗｏｒｋｓ. [７]㊀ＲａｇｈｕＭꎬＰｏｏｌｅＢꎬＫｌｅｉｎｂｅｒｇＪꎬｅｔａｌ.Ｏｎｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｖｅｐｏｗｅｒｏｆｄｅｅｐｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ３４ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＭａｃｈｉｎｅＬｅａｒｎｉｎｇ.Ｓｙｄｎｅｙꎬ２０１７:２８４７－２８５４.[８]㊀ＺｈａｎｇＬＷꎬＮａｉｔｚａｔＧꎬＬｉｍＬＨ.Ｔｒｏｐｉｃａｌｇｅｏｍｅｔｒｙｏｆｄｅｅｐｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ[Ｃ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ３５ｔｈＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＭａｃｈｉｎｅＬｅａｒｎｉｎｇ.Ｓｔｏｃｋｈｏｌｍꎬ２０１８:５８２４－５８３２.[９]㊀ＲｉｂｅｉｒｏＭＴꎬＳｉｎｇｈＳꎬＧｕｅｓｔｒｉｎＣ. ＷｈｙｓｈｏｕｌｄＩｔｒｕｓｔｙｏｕ? :ｅｘｐｌａｉｎｉｎｇｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓｏｆａｎｙｃｌａｓｓｉｆｉｅｒ[Ｃ]//Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ２０１６ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｆｔｈｅＮｏｒｔｈＡｍｅｒｉｃａｎＣｈａｐｔｅｒｏｆｔｈｅＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎｆｏｒＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＬｉｎｇｕｉｓｔｉｃｓ:Ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｓ.ＳａｎＤｉｅｇｏꎬＣＡꎬ２０１６:９７－１０１.[１０]ＦｏｎｇＲꎬＶｅｄａｌｄｉＡ.Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｂｌｅｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｓｏｆｂｌａｃｋｂｏｘｅｓｂｙｍｅａｎｉｎｇｆｕｌｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ[Ｃ]//ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＣｏｍｐｕｔｅｒＶｉｓｉｏｎ.Ｖｅｎｉｃｅꎬ２０１７:３４２９－３４３７. [１１]ＣｈｕＬＹꎬＨｕＸꎬＨｕＪＨꎬｅｔａｌ.Ｅｘａｃｔａｎｄｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｆｏｒｐｉｅｃｅｗｉｓｅｌｉｎｅａｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ:ａｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎ[Ｃ]//Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓｏｆｔｈｅ２４ｔｈＡＣＭＳＩＧＫＤＤＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＲｅｆｅｒｅｎｃｅｏｎＫｎｏｗｌｅｄｇｅＤｉｓｃｏｖｅｒｙ＆ＤａｔａＭｉｎｉｎｇ.Ｌｏｎｄｏｎꎬ２０１８:１２４４－１２５３.７０２第２期㊀㊀㊀马海涛等:线性区域数量与ＰＬＮＮ表达能力的相关性㊀。
春风化雨，桃李芳菲——东北大学辅导员石昌远事迹材料一、个人简历石昌远，男，汉族，中共党员， 1978年10月生。
2002年8月起从事辅导员工作，2010年担任东北大学信息科学与工程学院2006级计算机科学与技术专业（228人）辅导员。
二、获奖情况2008年：辽宁省就业工作先进工作者；2010年：辽宁省就业工作先进工作者；2010辽宁省高校辅导员年度人物。
三、工作情况莫道为教辛勤苦, 丹心一点到春时。
从2002年大学毕业做学生辅导员，8年多来石昌远同志始终坚守在学生工作的第一线。
“常怀感激之情，永抱进取之心”，他用爱心传递教育，用行动践行诺言，他无悔地实现着他的人生选择和“服务学生，奉献自我，追求个人与社会的共同进步”这一永恒的奋斗目标。
正是凭着对辅导员工作的满腔热爱，对教育事业的无比忠诚，才赋予了他神圣的使命感和自强不息的奋斗动力，成为广大东信学子的知心人。
献身事业，成就人生“事业心强，肯付出，有思想，是个有前途的年轻人”，这是大家对石昌远同志的普遍评价。
无论是每一项重要工作，还是具体的日常事务，都能看到石昌远同志忙碌的身影，并做到准确认真、开拓创新地落实和推动。
从在东北大学信息学院从事辅导员工作到现在，学院学生工作在他的参与和推动下，取得了很多的成绩，他开创了东信论坛，筹划建立了东信希望小学，策划并推动学院本科生班级对接共建，编纂《信息学院学生工作年鉴》、《东北大学信息学院毕业生就业状况》，策划和开发学院学生工作干部工作指南信息系统、学院学生就业信息网（）、学院校友资源管理平台，并坚持创新地做好红色实践基地建设、全院党员集中培训等活动，为学院和学校学生思想政治教育工作的开展创立了诸多品牌，多项活动被评为精品活动。
在石昌远同志的带动和影响下，信息学院一批政治强、业务精、纪律严、作风正的辅导员队伍正在脱颖而出，成为东北大学学生思想政治教育的骨干力量，成为信息学子的人生导师和知心朋友。
他认真履行《普通高等学校辅导员队伍建设规定》，以“四个坚持”切实地加强辅导员的队伍建设工作：坚持“三个一”工程（即办公室每位同志每人每年读一本书、写一篇论文、作一场报告）、坚持开展寒暑假工作研讨会、坚持每周例会制度、坚持辅导员培训工作机制。
硕士研究生学术讲座个人心得7篇硕士研究生学术讲座个人心得【篇1】随着科学技术的迅猛发展，传统的研究生教育在观念、内容和方法上都发生了深刻的变化，研究范围不断拓展和深化。
西北农林科技大学为了促进研究生自主开展学术交流活动，达到开阔视野、启迪智慧、提高创新能力的目的，营造敢于探索、勇于创新的学术氛围，每年都邀请很多大师来我校进行学术交流。
这些学术活动有跨区域、跨校、跨院系层次之间的交流与研讨，还有不同学术背景的知识观点、思想相互碰撞与融合。
学校研究生学术活动逐渐形成了一派欣欣向荣的景象，各种形式的学术活动成为校园里一道道亮丽的风景。
这些学术活动拓宽学术思路与领域，激发创新激情，提高研究生创新能力。
以下是我参加学术活动的一些笔记总结和心得体会。
1、学术活动之一：《关于气候变化的哲学思考》学术讲座 x月x日，长安大学的李佩成教授为我们做了题为“关于气候变化的哲学思考”的学术报告。
李教授曾在水建学院任教，因此显得格外亲切和蔼。
而他对专业知识的深刻见解更是让我们获益颇多。
他强调，运动变化是绝对的，地球的气候一直在变。
地球气候一直在变化着，当代气候变化的态势并未超出历史气候变化的范畴。
矛盾决定一切事物的生命，推动一切事物的发展，气候变化有着众多因素的推动。
要历史的、全面的、辩证的看问题，不能肯定当代的气候是完全变暖或是人类活动所致。
任何事物都是一分为二的，对于全球气候变暖是好是坏还要做具体的分析。
因此，他认为应该具体矛盾具体解决，中国应该寻求自己的应对气候变化之策。
他的论题与新闻媒体一面倒的观点相比，充分体现了作为学术研究工作者的科学客观的态度，这一点尤为值得我们大家学习。
2、学术活动之二：《河流研究的新挑战》学术讲座x月x日，来自清华大学的王兆印教授来到我们学院为我们做了题为“河流研究的新挑战”的学术报告。
会上，王教授针对汶川地震引发的河流研究7个方面新挑战：巨型滑坡体的稳定及开发利用、堰塞湖引起的河床演变及管理方略、颗粒侵蚀及治理、地震引发的4种次生灾害链、滑坡崩塌堆积体的植被修复、高容重两相慢速泥石流及青藏高原抬升对河流演变及生态的影响，给我们作了一场精彩的报告。
个人自我鉴定个人自我鉴定范文（通用15篇）自我鉴定就是把一个时段的个人情况进行一次全面系统的总结，自我鉴定可以总结出具体的经验，因此我们要做好总结，写好自我鉴定。
那么我们该怎么去写自我鉴定呢？下面是小编整理的个人自我鉴定范文，希望能够帮助到大家。
个人自我鉴定篇1工作以来，在单位领导的精心培育和教导下，通过自身的不断努力，无论是思想上、学习上还是工作上，都取得了长足的发展和巨大的收获，现将工作总结如下：思想上，积极参加政治学习，坚持四项基本原则，自觉遵守各项法规。
工作上，本人自20xx年工作以来，先后在某某部门、某某科室、会计科等科室工作过，不管走到哪里，都严格要求自己，刻苦钻研业务，争当行家里手。
就是凭着这样一种坚定的信念，我已熟练掌握储蓄、会计、计划、信用卡、个贷等业务，成为xx行业务的行家里手。
记得，刚进xx行，为了尽快掌握xx行业行业知识，我每天苦学6个多小时，但我每天都风雨无阻，特别是冬天，冰天雪地，怕挤不上车，我常常要提前两、三个小时上班，就是那时起我养成了早到单位的习惯，现在每天都是第一个到行里，先打扫卫生，再看看业务书或准备准备一天的工作，也是这个习惯，给了我充足的时间学习到更多的业务知识，为我几年来工作的顺利开展打下了良好的基础。
我工作过的岗位大部分在前台，为了能更好的服务客户，针对不同层次、不同需求的客户，我给予不同的帮助和服务，记得有一位第一次到我行客户，当我了解到他要贷款买二手房时，由于他不知该怎么办，只是有个想法，我便详细地向他介绍了个贷的所有手续。
除了在服务客户上我尽心尽力，在行里组织的各项活动中我也积极响应，经常参加单位组织的各项竞赛，展示自我，并取得了优异的成绩，受到了单位的嘉奖。
学习上，自从参加工作以来，我从没有放弃学习理论知识和业务知识。
由于我毕业财校属于中专，刚工作我就利用业余时间自学大专，并于xx年毕业，但我没有满足于现状，又于xx年自修东北大学金融本科，由于学习勤奋刻苦，成绩优良，学习中受到老师充分肯定，目前正在积极准备论文答辩。
分类号ＵＤＣ密级Ｖ８５３７２０学．位论支？］户定制系统的设计与实现作者姓名奎丝垦指导导师姓名盘逛到盈窒亟申请学位级别巫±学科类别圭些茔焦论文提交日期！ＱＱｉ圭！旦论文答辩日期２ＱＱｊ：！！：Ｑｇ学位授予日期…一制丝囤评阅人型盐垦塞壶送东北大学２００５年７月东北大学硕士学位论文摘要、－］户定制系统的设计与实现摘要随着信息技术的发展，企业迫切的需要统一的信息处理平台来处理日常事务。
本系统就是定制企业信息门户的平台。
本系统可以面向管理员用户也可以面向系统的实施人员，可以二次开发，可以不断扩展，样式和内容可以灵活设置。
本文介绍了本系统设计的思路和具体实现的方式。
实现门户网站的个性化定义需要解决两个关键问题，样式和内容。
本文具体阐述了系统实现的难点问题。
本系统用ＸＭＬ存储布局的数据信息，通过布局信息和边框的配置信息，组合成最终的页面元素，使用Ｖｅｌｏｃｉｔｙ模板引擎实现数据对象与ＨＴＭＬ元素的整合。
针对接口编程，使系统可以灵活扩展。
通过门户构件（Ｐｏｒｔｌｅｔ）的接口，可以与具体的应用模块相连。
本系统可以为页面风格相同的页面设定页面模版，实现模板的重用；整个子站可以导入和导出实现子站文件的重用；边框可以导入和导出实现边框的重用；整个子站有统一的图片管理，实现图片的重用。
系统框架充分应用设计模式，使用插件以及模板引擎技术，使得本系统能够灵活的扩展，能够对页面的层次、风格、布局、内容和菜单进行定制，管理员使用本系统能够快速搭建门户网站。
本文最后介绍了系统的特点和待解决问题，以及如何进一步的完善本系统。
关键词门户门户构件设计模式插件模板引擎布局定制一ＩＩ—东北大学硕士学位论文ＡＢＳＴＲＡＣＴＤｅｓｉｇｎａｎｄＩｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＰｏｒｔａｌＣｕｓｔｏｍｉｚａｔｉｏｎＳｙｓｔｅｍＡｂｓｔｒａｃｔＡｌｏｎｇｗｉｔｈｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｔｈｅｂｕｓｉｎｅｓｓｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅｃｒｙｉｎｇｎｅｅｄｔｈｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｐｌａｔｆｏｒｍｔｏｈａｎｄｌｅｔｈｅｄａｉｌｙｂｕｓｉｎｅｓｓ．ＴｈｉｓｓｙｓｔｅｍｉｓａｐｌａｔｆｏｒｍｗｈｉｃｈＣａｎｃｕｓｔｏｍｉｚｅＰｏｒｔａｌｏｆｂｕｓｉｎｅｓｓｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｓｙｓｔｅｍｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄｆｏｒｔｈｅａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｏｒａｎｄａｌｓｏｆｏｒｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｅｒｔｏｅｘｔｅｎｄ．Ｔｈｅｓｔｙｌｅａｎｄｃｏｎｔｅｎｔｉｎｔｉｆｆｓｓｙｓｔｅｍｃａｎｂｅｆｌｅｘｉｂｌｙｃｕｓｔｏｍｉｚｅｄ．ＴｈｉｓｓｙｓｔｅｍｓａｖｅｓｔｈｅｄａｔａｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌａｙｏｕｔｗｉｔｈＸＭＬ．Ｔｈｅｐａｇｅｅｌｅｍｅｎｔｓａｒｅｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅｄｂｙｔｈｅｌａｙｏｕｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｂｏｒｄｅｒｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ＴｈｅｓｙｓｔｅｍｕｓｅｓｔｈｅｔｅｍｐｌａｔｅｅｎｇｉｎｅｔｏｍｅｒｇｅｔｈｅｄａｔａｏｂｊｅｃｔａｎｄｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｏｆＨＴＭＬ．Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｏａｌｌｉｎｔｅｒｆａｃｅ，ｍａｋｅｔｈｅｓｙｓｔｅｍｃａｎｂｅｅｘｔｅｎｄｅｄｆｌｅｘｉｂｌｙ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅｉｎｔｅｒｆａｃｅｏｆＰｏｒｔｌｅｔ，ｔｈｅｓｙｓｔｅｍＣａｎｃｏｎｉｌｅｃｔ、埔ｔｈａｓｐｅｃｉｆｉｃａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｍｏｄｕｌｅ．Ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｃａｎｓｅｔｔｈｅｔｅｍｐｌａｔｅｆｏｒｔｈｅｐａｇｅｓｗｉｔｈｓａｍｅｓｔｙｌｅ，ｃａｒｒｙｉｎｇｏｕｔｔｈｅｔｅｍｐｌａｔｅ’Ｓｒｅｕｓｅ．Ｔｈｅｗｈｏｌｅｓｉｔｅｆｉｌｅｓｃａｎｂｅｅｘｐｏｒｔｅｄａｎｄｉｍｐｏｒｔｅｄ．Ｔｈｅｗｈｏｌｅｓｉｔｅｆｉｌｅｓｃａｔｌｂｅｒｅｕｓｅｄ．Ｔｈｅｂｏｒｄｅｒｃａｎｂｅｅｘｐｏｒｔｅｄａｎｄｉｍｐｏｒｔｅｄ．Ｔｈｅｂｏｒｄｅｒｃａｒｌｂｅｒｅｕｓｅｄ．Ｔｈｅｗｈｏｌｅｓｉｔｅｃｏｎｔａｉｎｓｕｎｉｆｏｒｍｐｉｃｔｕｒｅｓｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｃａｒｒｙｉｎｇｏｕｔｔｈｅｐｉｃｔｕｒｅ。
个人简历个人概况姓名性别出生年月政治面貌中共党员籍贯英语水平CET-6联系电话E-mail兴趣爱好写作，硬笔书法，羽毛球，乒乓球，跑步，游泳教育情况✧** - 至今东北大学，工学硕士（保送），专业：计算机系统结构研究所✧** - ** 东北大学，工学学士（统考），专业：计算机科学与技术获奖情况✧硕士：东北大学“一等”奖学金2次2011 - 2012学年，荣获东北大学“三好研究生”称号✧本科：获东北大学“一等”奖学金2次（获奖比例3%）获东北大学“二等”奖学金4次（获奖比例8%）获国家“励志奖学金”2次2008 - 2009学年，获“东软集团”命名奖学金2009 - 2010学年，荣获“沈阳市优秀大学生”称号2010 - 2011学年，荣获东北大学“优秀干部标兵”称号荣获东北大学“优秀学生”称号3次2010 - 2011学年，荣获信息学院“模范党员”称号2010 - 2011学年，荣获东北大学“优秀毕业生”称号项目经验✧2011年9月至今基于无线对讲及GPS的调度指挥系统为***有限公司开发的车载终端项目。
本系统采用GPS技术，解决了如何将**内车辆的定位数据实时传输到调度中心，并通过管理系统对车辆进行管理控制等问题。
主要负责：通过用户需求的分析，采用C#语言和JavaScript脚本进行前台界面的设计；后台SQL Server数据库设计和管理；GPS信息采集和终端数据的发送与接收；相关IIS的部署及维护等。
开发平台及工具：，，Visual Studio 2010，SQL Server 2005✧2010年11月至2011年6月**系统主要是对Windows环境下通过网络编程的Sockets机制，结合TCP/IP等网络协议，开发设计一款控制用户上网行为的代理服务器系统。
✧2009年3月至2009年7月***系统。
学术报告题目：故障旋转机械动力学摘要：围绕大型离心压缩机、航空发动机所出现的转子-密封及叶片-机匣碰摩、滑动轴承油膜失稳、齿轮裂纹及剥落故障，对课题组在故障建模以及含故障的转子动力学研究方面的成果进行了总结，并对未来本领域的研究进行了适当展望。
报告时间：9月13日14：30报告地点：513会议室报告人简历：马辉，男，1978年9月生于河北省安平县，东北大学机械工程与自动化学院教授，博士生导师。
2007年获机械设计及理论博士学位，留校任讲师，2015年晋升为教授。
2008年8月-2011年3月，在沈阳鼓风机集团有限公司从事博士后研究工作；2014年11月至2015年10月，在英国谢菲尔德大学做访问学者，合作导师郎自强教授；2010年获得辽宁省优秀博士后，2011年度入选“教育部新世纪人才支持计划”、2013年度东北大学首批高层次人才培养计划“曙光学者”。
应邀担任《声学与振动》杂志编委，《International Journal of Rotating Machinery》特邀编辑，机械工程学会和振动工程学会高级会员，并担任《Journal of Sound and Vibration》、《Mechanical Systems and Signal Processing》、《振动工程学报》等32个国内外学术期刊的审稿人。
主要从事旋转机械动力学方面研究，为东北大学闻邦椿院士课题组核心成员之一，“航空动力装备振动及控制”教育部重点实验室(B类)主要成员之一。
近几年主持国家自然科学基金“大型离心压缩机转子系统的耦合碰摩故障机理若干关键问题的研究(50805019)”、“航空发动机旋转叶片-涂层机匣碰摩机理及动力学特性研究(U1433109)”，教育部博士点基金、中国博士后基金、教育部基本科研费项目和机械传动/强度与振动国家重点实验室开放基金等纵向科研项目11项；同时参加了多个国家自然科学基金重点项目、973和863项目。
分类号密级UDC学位论文三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线作者姓名：钱金花指导教师：李建华 副教授东北大学理学院数学系申请学位级别：硕士 学科类别：理学学科专业名称：基础数学论文提交日期：2006年11月 论文答辩日期：2006年12月 学位授予日期：答辩委员会主席：评阅人：东北大学2006年12月A Thesis in Pure MathematicsNull Bertrand Curves in 3-DimensionalMinkowski SpaceBy Qian JinhuaSupervisor：Associate Professor Li JianhuaNortheastern UniversityDecember 2006独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。
论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
学位论文作者签名：日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。
本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。
（如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。
）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：签字日期：东北大学硕士学位论文 摘 要 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线摘 要数学是历史十分悠久的一门学科. 几何学作为描述宇宙空间的一门分科，反映了现实世界的不同范围和方面．尤其是非欧几何的诞生构成了数学史上最光辉的篇章．自从爱因斯坦创立了相对论以后，其所用的时空模型——Minkowski空间倍受数学界和物理学界的关注，对它的研究一直没有间断过．本文主要讨论三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线. 在三维Minkowski空间中，由于度量的不同，向量可以分为类空、类时和类光三种类型，因此在研究三维Minkowski空间的曲线论时，标架的选取就有正交标架和伪正交标架两种情况．本文系统而全面地讨论了伪正交标架下Bertrand曲线及其侣线的性质．在第二章介绍Minkowski空间及Bertrand曲线的基础知识．在第三章针对三种标架分别讨论Bertrand 曲线及侣线的曲率、挠率及相互关系，并与欧氏空间中的结论进行对比．例如，在三维欧氏空间中有这样的结论：具有常曲率的曲线是Bertrand曲线．而在本文的第二种标架（α类光，β类空，γ类光）下得到了具有常挠率的曲线是Bertrand曲线的结论．关键词：非欧几何；三维Minkowski空间；Bertrand曲线东北大学硕士学位论文 AbstractNull Bertrand Curves in 3-Dimensional Minkowski SpaceAbstractMathematics is a subject which has a long-standing history. As a science of describing physical space, geometry reflects different aspects and areas. Especially, the appearance of the Non-Euclidean geometry is the most glorious event in the history of mathematics. Since Einstein built the theory of relativity, Minkowski Space, the space-time model he used, is paid more and more attention in mathematics and physics. The research works on it have never been ceased.In this thesis we mainly discuss Bertrand curves in 3-dimensional Minkowski space. In 3-dimensional Minkowski space, the metric is different from Euclidean space, so vectors in this space are divided into three kinds, respectively called space-like, time-like and light-like. So when we study the theory of curves in 3-dimensional Minkowski space, there are two kinds of frames, namely orthogonal frame and pseudo-orthogonal frame. In this thesis we discuss the properties of Bertrand curves and Bertrand partner curves completely and systematically. In Chapter Two, we introduce the basic knowledge about 3-dimensional Minkowski space and Bertrand curves. In Chapter Three, we discuss the curvatures, torsions and their relations of Bertrand curves and their partner curves under three different frames respectively and carry out comparison with Euclidean space. For example, if a curve has a constant curvature in 3-dimensional Euclidean space, then it is a Bertrand curve. In this thesis we get a result that if a curve has a constant torsion, then it is a Bertrand curve under the second frame in 3-dimensional Minkowski space.Key words：Non-Euclidean geometry; 3-dimensional Minkowski space; Bertrand curve目 录声明 (i)摘要 (ii)Abstract (iii)第一章引言 (1)1.1 几何学发展简史 (1)1.2 非欧几何的诞生与发展 (3)1.3 本文的主要内容、研究目的及意义 (5)第二章 预备知识 (7)2.1n维Minkowski空间（伪欧氏空间） (7)2.1.1n维Minkowski空间的定义 (7)2.1.2 n维Minkowski空间中的向量 (7)2.1.3 n维Minkowski空间中的标架 (8)2.2三维Minkowski空间中向量的运算及Frenet标架 (8)2.2.1 三维Minkowski空间中向量的内积和外积 (8)2.2.2 三维Minkowski空间中的曲线 (11)2.2.3三维Minkowski空间中曲线的Frenet公式 (12)2.3 Bertrand曲线 (18)2.3.1Bertrand曲线的定义 (18)2.3.2 曲线为Bertrand曲线的充要条件 (18)2.3.3 Bertrand曲线的性质 (18)2.4 曲率中心轨迹 (19)第三章 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线 (21)3.1标架（一）下的Bertrand曲线 (21)3.1.1第一种侣线的情况 (21)3.1.2 第二种侣线的情况 (24)3.2 标架（二）下的Bertrand曲线 (24)3.2.1 第一种侣线的情况 (25)3.2.2第二种侣线的情况 (28)3.2.3 第三种侣线的情况 (30)3.3标架（三）下的Bertrand曲线 (33)3.3.1第一种侣线的情况 (33)3.3.2 第二种侣线的情况 (34)第四章 总结 (37)参考文献 (39)致 谢 (41)第一章引言数学是历史非常悠久的一门学科．从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，构成了科学史上最富有魅力的题材． 数学虽有众多的分支，却是有机的统一．几何的，代数的，分析的方法相辅相成，使现代数学成为人类认识世界，改造世界的锐利武器．其中几何学的对象比较直观，比较接近人们的生活经验，所以更能激发开创性思维．数学历史上许多划时代的新思想，如无理数的发现，公理化方法的建立，坐标方法的提出，非欧几何的诞生，空间观念的演变，对整体性质和行为的关注，非线性数学的兴起等等，都首先发生在几何学的沃土上．今天，数学科学发展的大趋势是走向综合．几何学的观点，方法，语言正在大规模地向其他数学分支渗透，而在高新技术的发展过程中，几何学的原理又得到了空前的应用．无论是在计算机图形学，CT扫描或核磁共振成像，视觉信息处理，还是在机器人，虚拟现实，数字仿真技术，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论．1.1几何学发展简史几何学是数学中最古老的一门分科．如果从欧几里得的《几何原本》算起，至今已有两千三百多年的历史，而且该学科长盛不衰，其内涵一直在不断地延展之中，以至于现在人们很难确切地回答“什么是几何学?”的问题． 在数学的发展史上，有相当长的一段时间，“几何”曾等同于数学．公元前七世纪之后，希腊几何学迅猛发展，积累了丰富的材料．希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统．首先做出这方面尝试的是公元前五世纪的希波克拉底（Hippocrates），其后经过了众多数学家的修改和补充．到了公元前四世纪，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础．欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集，整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明．他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》．《几何原本》可以说是数学史上的一座理论丰碑．它主要阐述的是关于平面几何，立体几何及算术理论的系统化知识，建立了一个完整的关于几何学的演绎知识体系．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响．自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰．它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本．除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的．它对数学发展的影响超过了任何别的书，以至于人们把“欧几里得”与“几何学”看成了同义词．到了十六世纪，对运动与变化的研究已经变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生．变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(),x y之间建立一一对应的关系，并以这种方式将一个代数方程()f x y=与平面上一条曲线对应,0起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果．解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆，但其真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿和费马．十七至十八世纪，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分及由此引起的分析运动，对数学和整个科学带来了极大的刺激．分析方法的应用，开拓了一个新的数学分支—微分几何．1731年法国数学家克莱洛发表《关于双重曲率曲线的研究》开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步．欧拉是微分几何的重要奠基人．他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线的弧长作为曲线上点的坐标．他还正确的建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率，主曲率，并得到了法曲率的欧拉公式．直到十八世纪末，几何领域仍然是欧几里得占主导地位．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容．解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位．然而这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击，数学家们虽然坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公理(在平面上经过直线外一点可作，并且只能作一条直线与已知直线平行，也称平行公理)．平行公理叙述上的复杂，不自然和使用此公理的迟缓引起了人们对它的怀疑．许多数学家想用别的叙述取代它，或者想从其他公理推导它．这种努力在两千年的时间中耗费了很多大数学家的精力，人们开始认识到公理的实质在于符合经验，而不是它的不证自明性．非欧几何的历史就开始于努力消除对平行公理的怀疑．1.2非欧几何的诞生与发展在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来．最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间，像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯．从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公理不能从其他的欧几里得公理推导出来，并从1813年起发展了这种平行公理在其中不成立的新几何．他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯．但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著．俄国的罗巴切夫斯基最早，最系统地发表了有关此课题的研究成果，并在1929年正式发表了关于非欧几何的第一篇论文《几何学原理》，因此他发展的几何现今常称作罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何．非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路．1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》．这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生．然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对．参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫，有后来成为科学院院士的古普费尔以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼．在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家．可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫名其妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等．这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离．然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得几何有着同等的存在权利．要达到这一目标，需要确实地建立起非欧几何自身的无矛盾性和现实性．罗巴切夫斯基终其一生努力也没有实现这个目标．然而在他之后，非欧几何的发展正是朝着这样的方向前进的．首先是德国数学家黎曼在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何．罗巴切夫斯基几何及欧氏几何都只不过是这种几何的特例．黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家．他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性．十九世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米，德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．因为我们可以设想，如果罗氏几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾必然会在欧氏几何中表现出来，也就是说，只要欧氏几何没有矛盾，那么罗氏几何也不会有矛盾．至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解，非欧几何作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了．非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公理问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命．首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响．在十九世纪占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念，非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战，从罗巴切夫斯基到黎曼，他们都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近似写照．他们的预言在二十世纪被爱因斯坦的相对论所证实．正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性．其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面，引进了全新的空间观念，在现代物理学中获得了广泛的应用，对于二十世纪初关于空间和时间的物理观念的变革起到了重要的作用．最后，非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的变革．它迫使数学家们从根本上改变对数学的本质的理解，改变对数学与物质世界的关系的理解，为以后发展的公理化运动打下了基础．1.3本文的主要内容、研究目的及意义非欧空间与欧氏空间的实质区别在于空间具有不同的度量形式，从而具有不同的弯曲性质．欧式空间是平直的(高斯曲率为零)，而非欧空间是负常弯曲的(高斯曲率是负常数)．非欧几何首次提出了弯曲空间，它为更广泛的黎曼几何的产生建立了前提，而黎曼几何后来又成了爱因斯坦广义相对论的数学工具．爱因斯坦的相对论把新时代的几何推倒了科学的最前沿．四维时空的狭义相对论产生了Minkowski空间几何．Minkowski空间最先是由俄国数学家Minkowski在二十世纪初提出来的．1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论，所用的数学工具是Lorentz 坐标变换．Minkowski考虑到可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和爱因斯坦的工作，他认为时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空结构中，这种结构后来被称为“Minkowski World”．作为一种重要的几何空间，相对于我们熟悉的欧氏空间，Minkowski空间是一个全新的领域，因此研究Minkowski空间中的曲线和曲面是有意义的．但由于Minkowski空间中度量的特殊性，一些在欧氏空间看起来很容易，很理所当然的问题，往往在Minkowski空间中变得很复杂．在研究空间曲线的基本理论时，常见的一类问题是关于两条曲线之间可建立某种点对应关系的问题．例如，空间中一条曲线的切线如果是另一条曲线的主法线，则它们就是渐伸线和渐缩线的关系；著名的Mannheim曲线对就是由空间中的一条曲线在对应点上的主法线与另一条曲线的副法线重合而得到的．本文所讨论的曲线也是存在着某种对应关系的曲线对，这种关系是空间中的两条曲线在对应点有共同的主法线．在微分几何的历史上，满足这种对应关系的曲线称为Bertrand曲线．在欧氏空间中对于这种曲线的研究已经取得了一部分理想的结果，包括一条曲线是Bertrand曲线的充要条件，原曲线及其侣线的曲率和挠率之间的关系等等．但是在Minkowski空间中对Bertrand曲线的研究却很少．在Minkowski空间中存在两种常用标架：正交标架和伪正交标架．虽然目前在正交标架下对Bertrand曲线的研究得到了一些结果，但是在伪正交标架下对它的研究却寥寥无几．本文的主要工作是在三维Minkowski空间中讨论伪正交标架下的类光Bertrand曲线问题，针对三种不同的标架，研究曲线的曲率、挠率及它们的相互关系．第二章 预备知识本章主要介绍Minkowski 空间中的基本概念以及欧氏空间中Bertrand 曲线的定义及性质．2.1 n 维Minkowski 空间（伪欧氏空间）2.1.1 n 维Minkowski 空间的定义定义2.1 假设V 是n 维向量空间，且在V 上具有一个对称的双线性函数：,:V V R ⋅⋅×→则可以选取一组标准正交基底{}()1,2,,i e i n =L ，使得11,2,,,011,,.ij i j ij i j m g e e i ji j m n δ==⎧⎪===≠⎨⎪−==+⎩L L 称,为向量空间V 上的内积.设ij g 的值为1的数目为m ，为1−的数目为p ，则m p n +=. 若m 和p 中任意一个为零，则此时的空间为n 维欧氏空间，记为n E ；若m 和p 均不为零，则此时的空间为n 维伪欧氏空间（或Lorentz 空间），记为np E ；特别地，当1p =时，称向量空间V 为n 维Minkowski 空间，记为1n E ；当3,1n p ==时，称向量空间V 为三维Minkowski 空间，记为31E ．2.1.2 n 维Minkowski 空间中的向量定义2.2 设V 是n 维Minkowski 空间，任取向量V α∈，0α≠， 若,0αα>，则称α为类空向量；,0αα=，则称α为类光向量； ,0αα<，则称α为类时向量．我们规定零向量为类空向量．2.1.3 n 维Minkowski 空间中的标架由于Minkowski 空间中向量的特殊性，所以在Minkowski 空间中有两种常用的标架：正交标架和伪正交标架． 定义2.3 正交标架{}i e ：11,2,,1,01.i j ij ij i j n e e g i ji j n δ==−⎧⎪==±=≠⎨⎪−==⎩L伪正交标架{}i e :()12,,1;1,;,1,0,2,,101,.i j ij i j n i j n i n j e e g i j i j n i j n ==−====⎧⎪==≠=−⎨⎪==⎩L L2.2 三维Minkowski 空间中向量的运算及Frenet 标架2.2.1 三维Minkowski 空间中向量的内积和外积任取向量31,E αβ∈，设{}123,,x x x α=，{}123,,y y y β=，其中,i i x y R ∈，(1,2,3i =)．定义2.4 31E 中向量的内积定义如下： 在正交标架{}i e 下，112233,x y x y x y αβαβ==+−；在伪正交标架{}i e 下，132231,x y x y x y αβαβ==++．若向量,αβ的内积为零，则称,αβ正交．性质2.1 31E 中不存在两两正交的类时向量．证明 设{}123,,x x x α=，{}123,,y y y β=，为两个任意的类时向量，则有2221230x x x +−<， 2221230y y y +−<，即 222123x x x +<， 222123y y y +<． 假设向量α与β正交，则有112233,0x y x y x y αβ=+−=．于是 112233x y x y x y +=． 对上式两边平方，得()()()22222221122331212x y x y x y x x y y +=>++，化简，得()212210x y x y −<．由此得出矛盾，所以不存在两两正交的类时向量．定义2.5 31E 中向量的外积定义如下： 在正交标架{}i e 下，233121233121,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 在伪正交标架{}i e 下，312312312312,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 若向量,αβ的外积为零向量，则称,αβ平行．性质2.2 若31E 中的一个类空向量和一个类时向量正交，则它们的外积为类空向量．证明 设{}123,,x x x α=为任一类空向量，{}123,,y y y β=为任一类时向量， 则有2221230x x x +−>， 2221230y y y +−<，即 222123x x x +>， 222123y y y +<． 由向量α与β正交，应有112233,0x y x y x y αβ=+−=．于是 112233x y x y x y +=．由外积定义 233121233121,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 下面计算向量αβ×的内积,αβαβ××()()()222233231132112x y x y x y x y x y x y =−+−−−222222222222233231132112232313131212222.x y x y x y x y x y x y x x y y x x y y x x y y =+++−−−−+由 112233x y x y x y += 整理上式，得()()()222233231132112x y x y x y x y x y x y −+−−−()()222222123321x x x y y y =+−−−．由 222123x x x +>， 222123y y y +<，知 ,0αβαβ××>，可见 αβ× 为一类空向量．性质2.3[]10在三个向量构成的标架中，若有一个是类光向量，则该标架中至少应包含两个类光向量．性质2.4[]1031E 中若两个类光向量正交，则这两个向量必线性相关．注意：无论取正交标架还是伪正交标架，设{}123,,z z z γ=，都有123123123,x x x y y y z z z αβγ×=， 此种运算与欧氏空间相同，称为向量的混合积．这说明 αβ× 与,αβ所生成平面中的任一向量(),λαμβλμ+是任意实数都是正交的，这是外积定义的思想．在文献[10]中有如下三个定理：定理 2.1 设,,αβγ是31E 中的任意三个向量，则有,,,,,,αβγβγαγαββαγγβααγβ×=×=×=−×=−×=−×．定理2.2 设,,αβγ是31E 中的任意三个向量，则有 (),,αβγβγααγβ××=−．定理2.3 设,,,αβγδ是31E 中的任意四个向量，则有 ,,,,,βγβδαβγδαγαδ××=， 特别地，当 ,αγβδ== 时，有 2,,,,αβαβαβααββ××=−．由上面的三个定理可以看出，对于向量的混合积，31E 空间和三维欧氏空间有相同的结论；对于向量的二重外积和Lagrange 恒等式，它们的结论是有很大差别的．2.2.2 三维Minkowski 空间中的曲线定义2.6 设()r r s =是31E 中曲线的参数方程，与欧氏空间类似，设,,αβγ分别为曲线的切向量，主法向量和副法向量． 若曲线()r r s =的切向量α满足：,0αα>，则称()r r s =为类空曲线；,0αα<，则称()r r s =为类时曲线； ,0αα=，则称()r r s =为类光曲线．定义 2.7 设()r r s =是31E 中的类空曲线，,,αβγ分别为曲线的切向量，主法向量和副法向量．若曲线()r r s =的主法向量β满足：,0ββ>，则称()r r s =为第一类类空曲线； ,0ββ<，则称()r r s =为第二类类空曲线； ,0ββ=，则称()r r s =为第三类类空曲线．2.2.3 三维Minkowski 空间中曲线的Frenet 公式设()r r s =是31E 中曲线的参数方程，对于曲线()r r s =，令α表示曲线的切向量()r s &，这样便可以引入曲线的主法向量β和副法向量γ．{},,αβγ构成了31E 中曲线的Frenet 标架．定理2.4 在31E 空间中，当曲线的Frenet 标架含有类光向量时，标架{},,αβγ一定由两个类光向量和一个类空向量组成．即曲线的Frenet 标架只有下面三种情况：（一）α为类光向量，β为类光向量，γ为类空向量； （二）α为类光向量，β为类空向量，γ为类光向量； （三）α为类空向量，β为类光向量，γ为类光向量． 三种标架对应的Frenet 公式分别为：（1）;k k αγβτγγταβ=⎧⎪=⎨⎪=−−⎩&&& （2）;k k αββταγγτβ=⎧⎪=−−⎨⎪=⎩&&& （3）.k k αγτββαγτα=−−⎧⎪=⎨⎪=⎩&&&证明 （1）在标架(一)下，由α是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量．选取β作为另一个类光向量，则有,,0ααββ==，,1αβ=．令 γαβ=× ，于是 ,,0αγβγ==，,,γγαβαβ=××2,,,αβααββ=−1=．因为γ是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s αγ=&， ()s βτγ=&． 由γαβ=× 有 γαβαβ=×+×&&& k γβατγ=×+×．其中 ()γβαββ×=××,,ββααββ=−β=−，()αγααβ×=××()αβα=−××α=−．所以 k γβτα=−−&．综上，可以得到公式 （1）.k k αγβτγγταβ=⎧⎪=⎨⎪=−−⎩&&& （2） 在标架(二)下，由α是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量． 选取γ作为另一个类光向量，则有,,0ααγγ==，,1αγ=．令 βαγ=×，于是 ,,0αββγ==，,,ββαγαγ=××2,,,αγααγγ=−1=．因为β是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s αβ=&， ()s γτβ=&． 由βαγ=×, 有 βαγαγ=×+×&&& k βγατβ=×+×．其中 ()βγαγγ×=××,,γγααγγ=−γ=−，()αβααγ×=××()αγα=−××α=−．所以 k βγτα=−−&． 综上，可以得到公式 （2）.k k αββταγγτβ=⎧⎪=−−⎨⎪=⎩&&&（3） 在标架(三)下，由β是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量． 选取γ作为另一个类光向量，则有,,0ββγγ==，,1βγ=．令 αβγ=×，于是 ,,0αβαγ==，,,ααβγβγ=××2,,,βγββγγ=−1=．因为α是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s βα=&， ()s γτα=&．由αβγ=× 有 αβγβγ=×+×&&& k αγβτα=×+×．其中 ()αγβγγ×=××,,γγββγγ=−γ=−，()βαββγ×=××()βγβ=−××β=−．所以 k αγτβ=−−&． 综上，可以得到公式 （3）.k k αγτββαγτα=−−⎧⎪=⎨⎪=⎩&&&定理2.5 在31E 中不考虑类光向量，且只考虑非直线的情况，曲线的 Frenet 标架{},,αβγ只能由两个类空向量和一个类时向量组成．即曲线的Frenet 标架只有下面三种情况：（四）α为类空向量，β为类空向量，γ为类时向量； （五）α为类空向量，β为类时向量，γ为类空向量； （六）α为类时向量，β为类空向量，γ为类空向量． 三种标架对应的Frenet 公式分别为：（4）;k k αββατγγτβ=⎧⎪=−+⎨⎪=⎩&&& （5）;k k αββατγγτβ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩&&& （6）.k k αββατγγτβ=⎧⎪=+⎨⎪=−⎩&&&证明 （4）在标架(四)下，有,,1ααββ==，,1γγ=−，,,,0αγαββγ===．类似于欧氏空间对主法向量的定义，令αβα=&&，再令k α=&，这里α&表示α的导数的模，则有 k αβ=&．。
