3电磁学

α M ω
x
∵ B = Bi ,
v × B = − xω k × Bi = − xω Bj
13 - 2动生电动势 第十三章电磁感应 电磁场 §6.3 动生电动势和感生电动势第六章 电磁感应与暂态过程
∵ B = Bi ,
v × B = − xω k × Bi = − xω Bj
正电荷将向 M 点运动
rω B d r
.
dr N
B
1 2 2 = ω B ( R1 − R 2 ) 2 = 226 V
圆盘边缘的电势高于中 心转轴的电势。
M
B
ε 动 o'
..
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R1 = 1.2 m , d = 1.0 ×10−3 m , ω = 5× 2π rad⋅ s−1 已知 −3 R2 = 2.0×10 m , B = 10T
2R2
求
ε动 = ?
R1 o
M
.
N
（方法二） 解 取一虚拟的闭合 回路 MNOM 并去取其 绕向与 B 相同 。 则
. . o'
Φ= B
θ
1 2 = B ( R12 − R2 )θ 2
2π
π (R − R )
2 1 2 2
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一、动生电动势 动生电动势的非静电力场来源
洛伦兹力
Fl = (−e)v × B
相当于搬运 正电荷的非 静电力
Fl = − Fk = −eEk
+ + + b+ + + + ++ + + Fk + + + + + + + + -+ + + +
ε动 =
ε动
∫
L 0
ω lBdl
oω
1 = B ω L2 2
ε 动方向
O
P
（点 P 的电势高于点 O 的电势）
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例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均 匀磁场相垂直.在此矩形框上,有一质量为 m长为 l 的 可移动的细导体棒 MN ; 矩形框还接有一个电阻 R , 其值较之导线的电阻值要大得很多.若开始时,细导体 棒以速度 v0 沿如图所示的矩形框运动,试求棒的速率 随时间变化的函数关系. N 解 如图建立坐标 棒中 ε 动
f = q ( v + u ) × B = qv × B + qu × B
两力的功率分别为：
q ( v × B ) ⋅ u = qvBu, q ( u × B ) ⋅ v = − quBv
总洛伦兹力对载流子是不做功的。 洛仑兹力并不提供能量，只是传递能量。在这里， 外力克服洛仑兹力的一个分量 qu × B 所做的功，通过 另一个分量 qv × B 转换为感应电流的能量。这实质上表 示能量的转换和守恒。
已知 R1 = 1.2 m , d = 1.0 ×10 m ,
2R2
−3
ω = 5× 2π rad⋅ s
−3
−1
R2 = 2.0×10 m , B = 10T
ω
R1 r o
求
ε动 = ?
.
dr N
B
（方法一） 解 因为 d << R1 ， 所以不计圆盘厚度。 如图取线元 dr 则
M
B
ε 动 o'
..
13 - 2 动生电动势和感生电动势
第十三章电磁感应 电磁场
作业：6.2.2、6.2.3、6.3.1
§6.4 2感生电动势和感生电场 第六章 电磁感应与暂态过程 13 动生电动势和感生电动势 第十三章电磁感应 电磁场 一、感生电场 电磁炉上铁锅中的水被加热 显然是导体中有电流——涡流 ，说明导体内有电 场力 导体没有相对于磁场运动，而静止导体中的电荷只 有无规则的热运动，它们所受的洛仑兹力在方向上是杂 乱的，不会形成电荷沿导线的定向运动。 显然推动电荷作定向运动的非静电力不是洛仑兹 力。推动电荷运动的非静电力又是什么呢？ 实验表明，这种情况下产生的感应电动势完全与导 体的种类和性质及是否存在无关。（铁锅和报纸）
ε PQ
Q
ε QM
M
M 点电势高于 Q 点的电势。
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例4
圆盘发电机
−3
一半径为 R1 = 1.2 m 、厚
−1
度 d = 1.0 ×10 m的铜圆盘,以角速率ω = 5× 2π rad⋅ s , 绕通过盘心 垂直的金属轴
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀 磁场中,以角速度 ω 在与磁场方向垂直的平面上绕 棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势. 解
dε 动 = ( v × B ) ⋅ dl
= v B d l＝ ω lBdl
+ + + + + + + P + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
−3
oo ' 转动 ,
且 R2 = 2.0×10 m圆盘放在磁感强度 B = 10T 的均匀 磁场中,
轴的半径为 R2 ,
B
的方向亦与盘面垂直。
2R2
ω
R1 r o
有两个集电刷分别与圆盘的边缘 和转轴相连.试计算它们之间的电 势差,并指出何处的电势较高。
M
.
N
B
B
ε 动 o'
..
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2R2
ω
R1 o
1 2 2 Φ = B ( R1 − R2 )θ 2 设 dt 后圆盘因旋转
1 2 2 N B dΦ = 2 B ( R1 − R2 ) dθ θ 但 d θ = ω dt ，故 M dΦ ε 动 o' ε动 = − B dt 1 2 2 方向与回路 MNOM 绕向 = − B ( R1 − R 2 )ω 相反,即盘缘的电势高于中心. 2
13 - 2动生电动势 第十三章电磁感应 电磁场 §6.3 动生电动势和感生电动势第六章 电磁感应与暂态过程
引起磁通量变化的原因 1）稳恒磁场中的回路整体面积变化、取向变 化或回路部分导体运动， 动生电动势 2）回路不动，磁场变化 感生电动势 3）回路变化，磁场变化 动生、感生电动势 电动势
I
+
-
: 非静电力的电场强度 闭合电路的总电动势
α M ω
x
13 - 2动生电动势 第十三章电磁感应 电磁场 §6.3 动生电动势和感生电动势第六章 电磁感应与暂态过程 P I 解：2.求 PM 段的电势差 U PM ε PM 因导线闭合，线圈中有电流通过。
4εPM ε , I= = R 4 RPM U PM = −εPM + IRPM = −εPM εPM + RPM = 0 RPM
εQM = ∫
M Q
ε PM
(v × B)⋅ dl = ω Btgα ∫1 x
2
xM
M
xdx
M P I
⎛ 2 1 2⎞ 3 1 2 ⎟ ⎜ = ω Btgα ⎜ xM − xM ⎟ = ω Btgα xM ⎟ ⎜ ⎝ 2 4 ⎠ 8 εPM RPM 3 2 ∴ U QM = − kxM + ⋅ RPM 2 8 3 1 2 1 2 = − kx 2 M + kxM = − kxM < 0 8 4 4
§6.4 2感生电动势和感生电场 第六章 电磁感应与暂态过程 13 动生电动势和感生电动势 第十三章电磁感应 电磁场 麦克斯韦敏锐地感觉到由于磁场变化而产生的感 应电动势现象预示着有关电磁场的新效应 麦克斯韦尔假设 即使不存在导体回路，变化的磁 场在其周围也会激发一种电场，他称之为感生电场或 涡旋电场 。 正是这感生电场推动导体中的电荷作定向运 动。 产生感生电动势的非静电场 感生电场 二、感生电动势 由电源电动势定义，闭合回路中的感生电动势为：
例 3 一菱形线圈在均匀恒定磁场 B 中以匀角速 ω 绕其对角线转动，转轴与 B 垂直。当线圈平面转至 与 B 平行时，问： y 1. P 、M 两点中哪点的电势高？ B 2. 设 Q 为 PM 中点，Q 、 两点中哪点电 M 势高？ 解：1.求 PM 段的动生电动势 ε PM
P
x Q
dl
设坐标如图所示，在 PM 上距轴 x 取 一导线元 dl ，其速度为： = − xω k v
f = q ( v + u ) × B = qv × B + qu × B
第一项为非静电力将做正功；第二项是宏观上表现 为安培力形式的洛伦兹力的分力所作的功。
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二、动生电动势与洛伦兹力的关系：
dε 动 = ( v × B ) ⋅ dr