现代控制理论课后答案(俞立)第五章
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《现代控制理论》第5章习题解答5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x =+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。
答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的闭环系统结构图为闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。
答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为u Fy =−+v ()x A BFC x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为后案网 ww w.kh d5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。
输出反馈不改变系统的能控性和能观性。
5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。
答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为()x A BK x Bv y Cx=−+=开环系统的能控性矩阵为0S 1[,][]n c A B BAB A B −Γ="闭环系统K S 的能控性矩阵为 1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B −Γ−=−−"由于222()()()()(A BK B AB BKBA BKB A ABK BKA BKBK B)A B AB KB B KAB KBKB −=−−=−−+=−−−#以此类推，总可以写成的线性组合。
因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得()m A BK B −1,,,m m A B A B AB B −[(),][,]cK c A BK B A B U Γ−=Γ由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ−也有个线性无关的列向量，故n rank([(),])cK A BK B n Γ−=5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。
答：状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。
其缺点是，不能保证系统的能观性，状态x 必须可测，成本高。
输出反馈的优点是：保持系统的能控性和能观性不变，结构简单，只用到外部可测信号。
其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系统的稳定性。
5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。
然而，对以下系统课后答案网 ww w .kh da w .c o m[]01023131x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦= 可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。
答：对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性，在题5.4中已经证明。
开环系统的能观性矩阵为[]031,20C A C CA ⎡⎤⎡⎤Γ==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。
设[]12K k k =，引入状态反馈u Kx v =−+后，闭环系统的状态矩阵是120123A A BK k k ⎡⎤=−=⎢⎥−−−−⎣⎦闭环系统的能观性矩阵为012312C A C k k CA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤Γ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−−⎣⎦⎣⎦ 取[]20K =−，则可得03100A C ⎡⎤⎡⎤Γ=⎢⎥⎣⎦⎣⎦该矩阵不是满秩的，故系统是不能观的。
这个例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系统变得不能观了。
5.7 证明定理5.1.2。
证明：先证能控性。
对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。
由定理5.1.1知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。
设被控系统的状态空间模型为：0S x Ax Bu y Cx=+=引入状态反馈后，闭环系统的状态空间模型为：F S ()x A BFC x Bv y Cx=−+=系统和的能观矩阵分别为0S F S 01n C CA Q CA −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦# ， 01()()F n C C A BFC Q C A BFC −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦# 可以看出，(C A BFC )−每个行均可表为,TT T TC A C ⎡⎤⎣⎦各行的线性组合，同理有是各行的线性组合，如此等等。
据此可以导出：2()C A BFC −2,,()TT T T T T C A C A C ⎡⎣⎤⎦oF o rankQ rankQ ≤课后答案网 ww w .kh da w.c o m由于又可以看成为的输出反馈系统，因而有o S F S o o rankQ rankQ F ≤由以上两式可得o o rankQ rankQ F =因此，系统完全能观测等价于完全能观测。
F S 0S5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。
5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵K 的行数和列数如何确定，计算方法有几种？答：状态反馈增益矩阵K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。
计算方法有：1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。
5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在复平面的适当位置上就可以保证系统具有一定的性能。
因此，为了得到期望的系统性能，可以通过改变闭环系统极点位置的方式来实现，这就是极点配置的思想。
解决极点配置问题的思路如下： 1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。
因此，从能控系统入手来分析系统的求解问题；2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开始，即从三阶的能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到阶能控标准型模型； n3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第2步的方法得到极点配置问题的解。
解决极点配置问题的具体方法和步骤如下：（1）直接法：1、检验系统的能控性。
如果系统是能控的，则继续第2步。
2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为11211()()()n n n n b b λλλλλλλλλ−−0b −−−=+++""+3、系统矩阵A BK −的特征多项式111det[()]n n n 0I A BK a a a λλλ−−−−=++++"λ4、两个多项式相等即等号两边λ同次幂的系数相等，导出关于K 的分量的一个线性方程组，求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵1,n k k "K 。
（2）变换法：1、检验系统的能控性。
如果系统是能控的，则继续第2步。
2、利用系统矩阵A 的特征多项式111det()n n n 0I A a a λλλλ−−−=++++"a确定的值。
011,,,n a a a −"3、确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵T 。
若给定的状态方程已经是能课后答案网 ww w .kh da w .c o m控标准形，那么T I =。
非奇异线性变换矩阵T 可由下式决定：1[,](c cB [,])T A A B −=Γ 0b Γ 4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为11211()()()n n n n b b λλλλλλλλλ−−−−−=+++""+5、确定极点配置状态反馈增益矩阵K ：[]00112211n n n n K b a b a b a b a T −−−−=−−−−"5.11 已知系统状态方程111011x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为2−和3−，并画出反馈系统的结构图。
答：由 ，，得能控性矩阵为 1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[]12(,)11c A B B AB ⎡⎤Γ==⎢⎥⎣⎦det((,))10c A B Γ=−≠所以系统是能控的。
由于211det()2101I A λλλλλ−−⎡⎤−==−+⎢⎥−⎣⎦ 系统的能控标准形矩阵对是0112A ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦ ，01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故状态变换矩阵为：1[,]([,])c c T A B A B −=ΓΓ 01121211−⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦1110−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为：212()()(2)(3)5λλλλλλλλ−−=++=++6因此，状态反馈增益矩阵是[]57K T =[]125=−结构图为课后答案网 ww w .kh da w .c o m5.12 给定系统210011x x u −⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦（1） 画出模拟结构图；（2） 画出单位阶跃响应曲线。
若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？ （3） 若指定闭环极点为－3和－3，求状态反馈增益矩阵，并画出单位阶跃响应曲线。
答：（1）模拟结构图（2）其单位阶跃响应曲线如图所示Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e2System: gSettling Time (sec): 4.6系统的能控性矩阵为：[]01(,)11c A B BAB ⎡⎤Γ==⎢⎥−⎣⎦课案网 h da w .c o m而，故系统是能控的。
因此，若系统性能不满足要求，可以通过配置闭环系统极点来改善系统性能。
det((,))10c A B Γ=−≠（3）设状态反馈增益矩阵[]12K k k =，可得()I A BK λ−−12211k k λλ+−⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦2212det(())(3)22I A BK k k k λλλ−−=+++++由指定的闭环极点3−和，可得期望的闭环特征多项式为：3−22(3)6λλλ9+=++由此可得：，即121,3k k ==[]13K =极点配置后的闭环系统为：210()141x A BK x Bv x v −⎡⎤⎡⎤=−+=+⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦它的单位阶跃响应曲线为：Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e对比两图可以发现，系统的动态性能大大改善。
5.13 已知系统的传递函数为2(1)()(3s G s s s +=)+，根据其能控标准形实现设计一个状态反馈控制器，将闭环极点配置在－2，－2和－1处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否能观。
