真题演练集训1．已知向量a ＝(1,m ),b ＝(3,－2),且(a ＋b )⊥b ,则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8答案：D解析：由向量的坐标运算,得a ＋b ＝(4,m －2),由(a ＋b ) ⊥b ,得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0,解得m ＝8,故选D.2．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线,则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案：B解析：∵ a ∥b ,∴ 2×6－4x ＝0,解得x ＝3.3．在下列向量组中,可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0),e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2) C ．e 1＝(3,5),e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2,－3),e 2＝(－2,3) 答案：B解析：解法一：若e 1＝(0,0),e 2＝(1,2),则e 1∥e 2,而a 不能由e 1,e 2表示,排除A ；若e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2),因为－15≠2－2,所以e 1,e 2不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量a ＝(3,2)表示出来,故选B.解法二：因为a ＝(3,2),若e 1＝(0,0),e 2＝(1,2),不存在实数λ,μ,使得a ＝λe 1＋μe 2,排除A ；若e 1＝(－1,2),e 2＝(5,－2),设存在实数λ,μ,使得a ＝λe 1＋μe 2,则(3,2)＝(－λ＋5μ,2λ－2μ),所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2,故选B.4．设向量a ,b 不平行,向量λa ＋b 与a ＋2b 平行,则实数λ＝________. 答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行,∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b ),即λa ＋b ＝t a ＋2t b ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.5．在△ABC 中,点M ,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →,则x ＝________,y ＝________.答案：12 －16解析：∵ AM →＝2MC →,∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →,∴ AN →＝12(AB →＋AC →),∴ MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →, ∴ x ＝12,y ＝－16.课外拓展阅读 向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征．而引入坐标后,就可以通过代数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时,坐标化是一种常见的思路,利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ,μ∈R ),则λμ＝________.设i ,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a ＝－i ＋j ,b ＝6i ＋2j ,c ＝－i－3j ,所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j ),根据平面向量基本定理得,λ＝－2,μ＝－12,所以λμ＝4.4给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x ,y ∈R ,求x ＋y 的最大值．以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A (1,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,设∠AOC ＝α,α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3,则C (cos α,sin α), 由OC →＝xOA →＋yOB →,得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α,y ＝233sin α, 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6,又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3,所以当α＝π3时,x ＋y 取得最大值2.方法探究典例2首先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了坐标法解决问题的优势．。
