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《 材料力学 》综合复习资料第一章 绪论一、什么是强度失效、刚度失效和稳定性失效？二、如图中实线所示构件内正方形微元，受力后变形 为图中虚线的菱形，则微元的剪应变γ为 D ？ A 、 α B 、 α-090 C 、 α2900- D 、 α2三、材料力学中的内力是指（ C ）。
A 、 物体内部的力。
B 、 物体内部各质点间的相互作用力。
C 、 由外力作用引起的各质点间相互作用力的改变量。
D 、 由外力作用引起的某一截面两侧各质点间相互作用力的合力的改变量。
四、为保证机械和工程结构的正常工作，其中各构件一般应满足 强度 、 刚度 和 稳定性 三方面的要求。
五、 截面上任一点处的全应力一般可分解为 轴向 方向和 截面 方向的分量。
前者称为该点的 正应力 ，用 表示；后者称为该点的 切应力 ，用 表示。
第二章 拉伸与压缩一、概念题1、画出低碳钢拉伸时εσ-曲线的大致形状，并在图上标出相应地应力特征值。
2、a 、b 、c 三种材料的应力～应变曲线如图所示。
其中强度最高的材料是 ；弹性模量最小的材料是 ；塑性最好的材料是 。
答案：a 、c 、c3、延伸率公式()%100/1⨯-=l l l δ中1l 指的是 D ? 答案： A 、断裂时试件的长度； B 、断裂后试件的长度； C 、断裂时试验段的长度； D 、断裂后试验段的长度。
4、影响杆件工作应力的因素有（ ）；影响极限应力的因素有（ ）；影响许用应力的因素有（ ）。
A 、载荷B 、材料性质C 、截面尺寸D 、工作条件5、对于 材料，通常以产生0.2%的 时所对应的 作为屈服极限，称为材料的屈服强度，并用记号 表示。
二、图示为简易悬臂式吊车简图，斜杆由两根50×50×5的等边角钢组成，横截面面积为961mm 2；水平杆由两根10号槽钢组成，横截面面积为2548mm 2。
材料都是A3钢，许用应力[]MPa 120=σ。
不计两杆的自重，求允许的最大起吊重量G 。
从图在该段中的变线段(T即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
* /）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。
而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。
b点相对立白 勺应力第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。
♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图5-1所示。
陶度箓n------- 搬面设计为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,物出射和 （力与姻（美系）* 变形外力 T ］表小，即临界前载应力力布1£配IX没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它 1故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因m max对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限（T该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。
的滑移线，这是由于试 件材料在45。
的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故（7S 是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
第五章习题5-1一矩形截面梁如图所示，试计算I-I截面A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。
5-2一外伸梁如图所示，梁为16a号槽刚所支撑，试求梁的最大拉应力和最大压应力，并指明其所作用的界面和位置。
5-3一矩形截面梁如图所示，已知P=2KN,横截面的高宽比h/b=3;材料为松木，其许用应力为。
试选择横截面的尺寸。
5-4一圆轴如图所示，其外伸部分为空心管状，试做弯矩图，并求轴内的最大正应力。
5-5一矿车车轴如图所示。
已知a=0.6cm,p=5KN,材料的许用应力，试选择车轴轴径。
5-6一受均布载荷的外伸刚梁，已知q=12KN/m,材料的许用用力。
试选择此量的工字钢的号码.5-7图示的空气泵的操纵杆右端受力为8.5KN,截面I-I和II-II位矩形，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力。
试求此二截面的尺寸。
5-8图示为以铸造用的钢水包。
试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水所允许的总重量，已知材料的许用应力，d=200mm.5-9求以下各图形对形心轴的z的惯性矩。
5-10横梁受力如图所试。
已知P=97KN,许用应力。
校核其强度。
5-11铸铁抽承架尺寸如图所示，受力P=16KN。
材料的许用拉应力。
许用压应力。
校核截面A-A的强度，并化出其正应力分布图。
5-12铸铁T形截面如图所示。
设材料的许用应力与许用压应力之比为，试确定翼缘的合理跨度b.5-13试求题5-1中截面I-I上A、B、C、D各点处的切应力。
5-14制动装置的杠杆，在B处用直径d=30mm的销钉支承。
若杠杆的许用应力，销钉的，试求许可载荷和。
5-15有工字钢制成的外伸梁如图所示。
设材料的弯曲许用应力，许用且应力，试选择工字钢的型号。
5-16一单梁吊车由40a号工字钢制成，在梁中段的上下翼缘上各加焊一块的盖板，如图所示。
已知梁跨长=8m,=5.2m,材料的弯曲许用应力，许用且应力。
试按正应力强度条件确定梁的许可载荷，并校核梁的切应力。
⼯程⼒学--材料⼒学（北京科⼤、东北⼤学版）第4版第五章习题答案第五章习题5-1⼀矩形截⾯梁如图所⽰，试计算I-I截⾯A、B、C、D各点的正应⼒，并指明是拉应⼒还是压应⼒。
5-2⼀外伸梁如图所⽰，梁为16a号槽刚所⽀撑，试求梁的最⼤拉应⼒和最⼤压应⼒，并指明其所作⽤的界⾯和位置。
5-3⼀矩形截⾯梁如图所⽰，已知P=2KN,横截⾯的⾼宽⽐h/b=3;材料为松⽊，其许⽤应⼒为。
试选择横截⾯的尺⼨。
5-4⼀圆轴如图所⽰，其外伸部分为空⼼管状，试做弯矩图，并求轴内的最⼤正应⼒。
5-5 ⼀矿车车轴如图所⽰。
已知 a=0.6cm,p=5KN,材料的许⽤应⼒，试选择车轴轴径。
5-6 ⼀受均布载荷的外伸刚梁，已知q=12KN/m,材料的许⽤⽤⼒。
试选择此量的⼯字钢的号码.5-7 图⽰的空⽓泵的操纵杆右端受⼒为8.5KN,截⾯I-I和II-II位矩形，其⾼宽⽐为h/b=3，材料的许⽤应⼒。
试求此⼆截⾯的尺⼨。
5-8 图⽰为以铸造⽤的钢⽔包。
试按其⽿轴的正应⼒强度确定充满钢⽔所允许的总重量，已知材料的许⽤应⼒，d=200mm.5-9 求以下各图形对形⼼轴的z的惯性矩。
5-10 横梁受⼒如图所试。
已知P=97KN,许⽤应⼒。
校核其强度。
5-11 铸铁抽承架尺⼨如图所⽰，受⼒P=16KN。
材料的许⽤拉应⼒。
许⽤压应⼒。
校核截⾯A-A的强度，并化出其正应⼒分布图。
5-12 铸铁T形截⾯如图所⽰。
设材料的许⽤应⼒与许⽤压应⼒之⽐为，试确定翼缘的合理跨度b.5-13 试求题5-1中截⾯I-I上A、B、C、D各点处的切应⼒。
5-14 制动装置的杠杆，在B处⽤直径d=30mm的销钉⽀承。
若杠杆的许⽤应⼒，销钉的，试求许可载荷和。
5-15 有⼯字钢制成的外伸梁如图所⽰。
设材料的弯曲许⽤应⼒，许⽤且应⼒，试选择⼯字钢的型号。
5-16 ⼀单梁吊车由40a号⼯字钢制成，在梁中段的上下翼缘上各加焊⼀块的盖板，如图所⽰。
已知梁跨长=8m,=5.2m,材料的弯曲许⽤应⼒，许⽤且应⼒。
![材料力学习题解答[第五章]](https://uimg.taocdn.com/5c357285a0116c175f0e48fd.webp)
5-1构件受力如图5-26所示。
试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。
c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。
d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
10题5-2图解：a)1σ=50 MPa,2σ=3σ=0,属于单向应力状态AAT （a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c) 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得 ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++==45MPaατασστα2cos 2sin 2x yx +-== -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。
材料⼒学复习题第⼀章绪论 1. 试求图⽰结构m-m 和n-n 两截⾯上的内⼒，并指出AB 和BC 两杆的变形属于何类基本变形。
2. 拉伸试样上A ，B 两点的距离l 称为标距。
受拉⼒作⽤后，⽤变形仪量出两点距离的增量为mm l 2105-?=?。
若l 的原长为l ＝100mm ，试求A 与B 两点间的平均应变m ε。
第⼆章轴向拉伸和压缩与剪切⼀、选择题１.等直杆受⼒如图，其横截⾯⾯积Ａ＝１００2mm ，则横截⾯ｍｋ上的正应⼒为（）。
（Ａ）５０ＭＰａ（压应⼒）；（Ｂ）４０ＭＰａ（压应⼒）；（Ｃ）９０ＭＰａ（压应⼒）；（Ｄ）９０ＭＰａ（拉应⼒）。
2.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中哪种得到提⾼( )：（Ａ）强度极限；（Ｂ）⽐例极限；（Ｃ）断⾯收缩率；（Ｄ）伸3.图⽰等直杆，杆长为3a ，材料的抗拉刚度为EA ，受⼒如图。
杆中点横截⾯的铅垂位移为（）。
（Ａ）0；（Ｂ）Pa/(EA);（Ｃ）2 Pa/(EA);（Ｄ）3 Pa/(EA)。
4.图⽰铆钉联接，铆钉的挤压应⼒bs σ是（）。
（A ）2P/（2d π）；（B ）P/2dt;(C)P/2bt; (D)4p/(2d π)。
5.铆钉受⼒如图，其压⼒的计算有（）（A ）bs σ=p/(td);(B)bs σ=p/(dt/2);(C)bs σ=p/(πdt/2);(D)bs σ=p/(πdt/4)。
6.图⽰A 和B 的直径都为d,则两⾯三⼑者中最⼤剪应⼒为（）(A)4bp/(2d απ); (B)4(αb +)P/(2d απ); (C)4(a b +)P/(2b d π);(D)4αP/(2b d π).7.图⽰两⽊杆（I 和II ）连接接头，承受轴向拉⼒作⽤，错误的是( ).（A ）1-1截⾯偏⼼受拉；（B ）2-2为受剪⾯；（C ）3-3为挤压⾯；（D ）4-4为挤压⾯。
⼆、填空题 1.低碳钢的应⼒⼀应变曲线如图所⽰。
试在图中标出Ｄ点的弹性应变e ε、塑性应变p ε及材料的伸长率（延伸率）δ。
材料力学第五章-弯曲应力注：由于本书没有标准答案，这些都是我和同学一起做的答案，其中可能会存在一些错误，仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝，弹性模量为E ，现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d ／D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在：固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁，受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN ／m ，跨长l ＝3，截面高度=h 24cm ，宽度=b 8cm 。
材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。
试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。
解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。
试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。
图中之C点为截面形心。
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN其力偶即为弯矩M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m1-4 板件的变形如图中虚线所示。
试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。
解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。
解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。
5-1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4m ，h/b=2/3，q=10kN/m ，[σ]=10MPa ，试确定此梁横截面的尺寸。
解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：22max ql M =（2）计算抗弯截面模量96326332h hbh W ===（3）强度计算mmb mm ql h h ql h ql WM 277416][29][12992323232maxmax ≥=≥∴≤⋅===σσσ5-2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160MPa ，试求许可载荷。
解：（1）画梁的弯矩图qNo20aql 2x由弯矩图知：32max P M =（2）查表得抗弯截面模量3610237m W -⨯=（3）强度计算kNW P P WW PW M 88.562][3][3232max max =≤∴≤⋅===σσσ 取许可载荷kN P 57][=5-3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。
试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。
解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 （2）计算危险截面上的最大正应力值x1.34kNmxC 截面：MPa d MW M CC C C C 2.63323max ===πσ B 截面：MPa D d D M W M BB BBB B B 1.62)1(32443max =-==πσ （3）轴内的最大正应力值MPaC 2.63max max ==σσ5-8. 压板的尺寸和载荷如图所示。
材料为45钢，σs =380MPa ，取安全系数n=1.5。
试校核压板的强度。
解：（1）画梁的弯矩图由弯矩图知：危险截面是A 截面，截面弯矩是Nm M A 308=（2）计算抗弯截面模量3633210568.1)1(6m Hh bH W -⨯=-=（3）强度计算许用应力A-AxMPa nS253][==σσ强度校核][196max σσ MPa WM A==压板强度足够。
第五章弯曲应力5-1 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
解：5-2 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。
试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数取极大值，为此令(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令5-3 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量E =200GPa ，a =1m 。
解：梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见：5-4 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若[]MPa 160=σ，试求许可载荷F 。
5-5 图示结构中，AB 梁和CD 梁的矩形截面宽度均为b 。
如已知AB 梁高为1h ，CD 梁高为2h 。
欲使AB 梁CD 梁的最大弯曲正应力相等，则二梁的跨度1l 和2l 之间应满足什么样的关系？若材料的许用应力为[σ]，此时许用载荷F 为多大？5-6 某吊钩横轴，受到载荷kN 130F =作用，尺寸如图所示。
已知mm 300=l ，mm 110h =，mm 160b =，mm 75d 0=，材料的[]MPa 100=σ，试校核该轴的强度。
5-7 矩形截面梁AB，以固定铰支座A及拉杆CD支承，C点可视为铰支，有关尺寸如图所示。
设拉杆及横梁的[]MPaσ，试求作用于梁B端的许可载荷F。
=1605-8 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，M e=70kN·m，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。
试校核梁的强度。
解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版第五章习题答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第五章习题5-1一矩形截面梁如图所示，试计算I-I截面A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。
5-2一外伸梁如图所示，梁为16a号槽刚所支撑，试求梁的最大拉应力和最大压应力，并指明其所作用的界面和位置。
5-3一矩形截面梁如图所示，已知P=2KN,横截面的高宽比h/b=3;材料为松木，其许用应力为。
试选择横截面的尺寸。
5-4一圆轴如图所示，其外伸部分为空心管状，试做弯矩图，并求轴内的最大正应力。
5-5 一矿车车轴如图所示。
已知 a=,p=5KN,材料的许用应力，试选择车轴轴径。
5-6 一受均布载荷的外伸刚梁，已知q=12KN/m,材料的许用用力。
试选择此量的工字钢的号码.5-7 图示的空气泵的操纵杆右端受力为,截面I-I和II-II位矩形，其高宽比为h/b=3，材料的许用应力。
试求此二截面的尺寸。
5-8 图示为以铸造用的钢水包。
试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水所允许的总重量，已知材料的许用应力，d=200mm.5-9 求以下各图形对形心轴的z的惯性矩。
5-10 横梁受力如图所试。
已知P=97KN,许用应力。
校核其强度。
5-11 铸铁抽承架尺寸如图所示，受力P=16KN。
材料的许用拉应力。
许用压应力。
校核截面A-A的强度，并化出其正应力分布图。
5-12 铸铁T形截面如图所示。
设材料的许用应力与许用压应力之比为，试确定翼缘的合理跨度b.5-13 试求题5-1中截面I-I上A、B、C、D各点处的切应力。
5-14 制动装置的杠杆，在B处用直径d=30mm的销钉支承。
若杠杆的许用应力，销钉的，试求许可载荷和。
5-15 有工字钢制成的外伸梁如图所示。
设材料的弯曲许用应力，许用且应力，试选择工字钢的型号。
5-16 一单梁吊车由40a号工字钢制成，在梁中段的上下翼缘上各加焊一块的盖板，如图所示。
材料力学（土）笔记第五章 梁弯曲时的位移1．梁的位移——挠度及转角为研究等直梁在对称弯曲时的位移取梁在变形前的轴线为x 轴，梁横截面的铅垂对称轴为y 轴而xy 平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面梁发生对称弯曲变形后，其轴线将变成在xy 平面内的曲线1AC B度量梁变形后横截面位移的两个基本量是挠度：横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移ω转角：横截面对其原来位置的角位移θ 梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线，且横截面仍与该曲线保持垂直因此横截面的转角θ也就是曲线在该点处的切线与x 轴之间的夹角度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率梁的变形还受到支座约束的影响通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况梁轴线弯曲成曲线后，在x 轴方向也将发生线位移 但在小变形情况下，梁的挠度远小于跨长，梁变形后的轴线是一条平坦的曲线横截面形心沿x 轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不记因此在选定坐标后，梁变形后的轴线可表达为()f x ω=式中，x 为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；ω为该点的挠度梁变形后的轴线称为挠曲线，在线弹性范围内，也称为弹性曲线上述表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程由于挠曲线为一平坦曲线，故转角θ可表达为''tan ()f x θθω≈== 称为转角方程即挠曲线上任一点处的切线斜率'ω可足够精确地代表该点处横截面的转角θ 由此可见，求得挠曲线方程后，就能确定梁任一横截面挠度的大小，指向及转角的数值 正值的挠度向下，负值的挠度向上正值的转角为逆时针转向，负值的转角为顺时针方向2．梁的挠曲线近似微分方程及其积分为求得梁的挠曲线方程，利用曲率κ与弯矩M 间的物理关系，即 1M EIκρ== 式中曲率κ为度量挠曲线弯曲程度的量，是非负的这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩M 外尚有剪力S F 但工程用梁，其跨长l 一般均大于横截面高度的10倍剪力S F 对于梁位移的影响很小，可略去不计，故该式子依然适用式中的M 和ρ均为x 的函数，即1()()()M x x x EIκρ== 在数学中，平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有'''23/21()(1)x ωρω=±+ 取x 轴向右为正，y 轴向下为正时曲线凸向上时''ω为正，凸向下时为负而按弯矩的正、负号规定，梁弯曲后凸向下时为正，凸向上为负，符号相反于是得到 '''23/2()(1)M x EIωω=-+ 由于梁的挠曲线为一平坦曲线，因此，'2ω与1相比十分微小可以略去不计故上式可近似的写为 ''()M x EIω=-上式略去了剪力S F 的影响，并略去了'2ω项 故称为梁的挠曲线近似微分方程若为等截面直梁，其弯曲刚度EI 为一常量，上式可改写为''()EI M x ω=-对于等直梁，上式进行积分，并通过由梁的变形相容条件给出的边界条件确定积分常数 即可求得梁的挠曲线方程当全梁各横截面上的弯矩可用单一的弯矩方程表示时，梁的挠曲线近似微分方程仅有一个 将上式的两端各乘以dx ，经积分一次，得'1()EI M x dx C ω=-+⎰再积分一次，即得12[()]EI M x dx dx C x C ω=-++⎰两式子中积分常数1C 、2C 可通过挠曲线的边界条件确定例如在简支梁中，左右铰支座处的挠度均等于零在悬臂梁中，固定端处的挠度和转角均等于零确定积分常数1C 、2C 后，就分别得到梁的转角方程和挠曲线方程从而可以确定任一横截面的转角和挠度1C 和2C 的几何意义 由于以x 为自变量，在坐标原点即0x =处的定积分恒等于零因此，积分常数'100x C EI EI ωθ===，20C EI ω=式中，0θ和0ω分别表示坐标原点处截面的转角和挠度若梁上的荷载不连续即分布荷载在跨度中间的某点处开始或结束，以及集中荷载或集中力偶作用处梁的弯矩需分段写出，各段梁的挠曲线近似微分方程也随之不同在对各段梁的近似微分方程积分时，均将出现两个积分常数为确定这些积分常数，除需利用支座处的约束条件外还需利用相邻两段梁在交界处位移的连续条件例如左、右两段梁在交界处的截面应具有相等的挠度和转角不论是约束条件和连续条件，均发生在各段挠曲线的边界处故均成为边界条件，即弯曲位移中的变形相容条件遵循两个原则①对各段梁，都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的外力列出弯矩方程所以后一段梁的弯矩方程包括前一段的弯矩方程的新增的()x a -项②对()x a -项的积分，以()x a -作为自变量于是由x a =处的连续条件，就能得到两段梁上相应的积分常数分别相等的结果 对于弯矩方程需分为任意几段的情况，只要遵循上述规则同样可以得到各梁段上相应的积分常数分别相等的结果从而简化确定积分常数的运算3．按叠加原理计算梁的挠度和转角梁在微小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系 在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比当挠度很小时，曲率与挠度间呈线性关系梁的挠度和转角均与作用在梁上的荷载成线性关系在这种情况下梁在几项荷载（如集中力、集中力偶或分布力）同时作用下某一横截面的挠度或转角 就分别等于每项荷载单独作用下该截面的挠度或转角的叠加，即为叠加原理 已知梁在每项荷载单独作用下的挠度和转角表则按叠加原理来计算梁的最大挠度和最大转角将较为方便4．奇异函数·梁挠曲线的初参数方程5．梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施5.1 梁的刚度校核对于梁的挠度，其许可值通常用许可挠度与跨长之比值[]l ω作为标准 梁的刚度条件可表达为 max[]ll ωω≤ max []θθ≤ 一般土建工程中的构件，强度要求是主要的刚度要求一般处于从属地位但当对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时刚度条件也可能起控制作用5.2 提高梁的刚度的措施由梁的位移表可见梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关还与其弯曲刚度EI 成反比，与跨长l 的n 次幂成正比减小梁的位移，可采取下列措施①增大梁的弯曲刚度EI②调整跨长和改变结构5．梁内的弯曲应变能当梁弯曲时，梁内将积蓄应变能梁在线弹性变形过程中弯曲应变能V ε在数值上等于作用在梁上的外力所作的功W梁在纯弯曲时各横截面上的弯矩M 为常数，并等于外力偶矩e M当梁处于线弹性范围内e EI EI θρ=== θ与e M 呈线性关系直线下的三角形面积就代表外力偶所作的功W ，即12e W M θ=从而得纯弯曲时梁的弯曲应变能 12e V M εθ=即得2222e M l M l V EI EIε== 横力弯曲时，梁内应变能包含两个部分：与弯曲变形相应的弯曲应变能和与切应变形相应的剪切应变能对于弯曲应变能，取长为dx 的梁段，其相邻两横截面的弯矩应分别为()M x 和()()M x dM x +在计算微段的应变能时，弯矩的增量为一阶无穷小，可略去不计 计算器弯曲应变能为2()2M x dV dx EIε= 全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为2()2l M x V dx EIε=⎰ 式中，()M x 为梁任一横截面上的弯矩表达式 当各段梁的弯矩表达式不同时，积分需分段进行梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可略去不计。
第五章材料力学主讲：钱民刚第一节概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸和形状，以达到安全与经济的设计要求。
◆一、材料力学的基本思路（一）理论公式的建立理论公式的建立思路如下：（二）分析问题和解决问题分析问题和解决问题思路如下：◆二、杆的四种基本变形杆的四种基本变形如表5−1 所列。
表5−1 杆的四种基本变形◆三、材料的力学性质在表5−1 所列的强度条件中，为确保构件不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力σmax不超过材料的某个限值。
显然，该限值应小于材料的极限应力σu，可规定为极限应力σu的若干分之一，并称之为材料的许用应力，以［σ］或［τ］表示，即式中n 是一个大于1 的系数，称为安全系数，其数值通常由设计规范规定；而极限应力σu则要通过材料的力学性能试验才能确定。
这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力学性能。
（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的σ—ε曲线如图5−1 所示。
从图5−1 中拉伸时的σ—ε曲线可看出，整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
1. 弹性阶段（Ob 段）在该段中的直线段（Oa）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E，对应的最高应力值σP为比例极限。
在该段应力范围内，即σ≤σP，虎克定律σ=Eε成立。
而ab 段，即为非线性弹性段，在该段内所产生的应变仍是弹性的，但它与应力已不成正比。
b 点相对应的应力σe称为弹性极限。
2. 屈服阶段（bc 段）该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点σS称为屈服极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成45°的滑移线，这是由于试件材料在45°的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故σS是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
对于无明显屈服阶段的其他塑性材料，工程上将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用σ0.2表示。
3. 强化阶段（ce 段）在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。
该段中的最高点e 所对应的应力乃材料所能承受的最大应力σb，称为强度极限，它是衡量材料强度（特别是脆性材料）的另一重要指标。
在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，并发生“冷作硬化”的现象。
4. 局部变形阶段（ef 段）在应力到达e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达e 点后，试件的变形就开始集中于某一较弱的局部范围内进行，该处截面纵向急剧伸长，横向显著收缩，形成“颈缩”；最后至f 点试件被拉断。
试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。
（1）延伸率式中 l0——试件原长；l1——拉断后的长度。
工程上规定δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜5%的称为脆性材料。
（2）截面收缩率式中 A0——变形前的试件横截面面积；A1——试件拉断后的最小截面积。
低碳钢压缩时的σ—ε曲线与拉伸时对比可知，低碳钢压缩时的弹性模量E、比例极限σP和屈服极限σS与拉伸时大致相同。
（二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质铸铁拉伸与压缩时的σ—ε曲线如图5−2 所示。
图5−2 铸铁拉伸、压缩的力学性质从铸铁拉伸时的σ—ε曲线中可以看出，它没有明显的直线部分。
因其拉断前的应变很小，因此工程上通常取其σ—ε曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它没有屈服阶段，也没有颈缩现象（故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力σb），在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁是一种典型的脆性材料。
铸铁压缩时的σ—ε曲线与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉能力强得多，其塑性变形也较为明显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因τmax 的作用而剪坏的。
综上所述，对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限σS（或名义屈服极限σ0.2）作为极限应力σu的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度极限σb作为极限应力σu的值。
第二节轴向拉伸与压缩◆一、轴向拉伸与压缩的概念（一）力学模型轴向拉压杆的力学模型如图5−3 所示。
（二）受力特征作用于杆两端外力的合力，大小相等、方向相反，并沿杆件轴线作用。
（三）变形特征杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短）。
◆二、轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力（一）内力由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。
图5−3 轴向拉压杆的力学模型P—轴向拉力或压力（二）截面法截面法是求内力的一般方法，用截面法求内力的步骤如下。
（1）截开。
在需求内力的截面处，假想地沿该截面将构件截分为二。
（2）代替。
任取一部分为研究对象，称为脱离体。
用内力代替弃去部分对脱离体的作用。
（3）平衡。
对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。
截面法的示意图如图5−4 所示。
图5−4 截面法的示意图（三）轴力轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以N 表示。
轴力N 规定以拉力为正，压力为负。
（四）轴力图轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。
例5−1 试作图5−5（a）所示等直杆的轴力图。
解：先考虑外力平衡，求出支反R=10kN显然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=−5kN，NDE=20kN由图5−5（b）可见，某截面上外力的大小等于该截面两侧内力的变化。
图5−5 例5−1图（a）外力图；（b）轴力图◆三、轴向拉压杆横截面上的应力分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力，且正应力在整个横截面上均匀分布，如图5−6 所示。
正应力公式式中 N ——轴力，N；A ——横截面面积，m2。
应力单位为N/m2，即Pa，也常用1MPa=106Pa=1N/mm2。
◆四、轴向拉压杆斜截面上的应力斜截面上的应力均匀分布，如图5−7 所示，其总应力及应力分量如下。
总应力式中α——由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；Aα——斜截面mm 的截面积；σ0 ——横截面上的正应力。
σα拉应力为正，压应力为负。
τα以其对截面内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。
轴向拉压杆中最大正应力发生在α=0°的横截面上，最小正应力发生在α=90°的纵截面上，其值分别为最大剪应力发生在α=±45°的斜截面上，最小剪应力发生在α=0°的横截面和α=90°的纵截面上，其值分别为◆五、强度条件（一）许用应力材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。
塑性材料脆性材料式中σS ——屈服极限；σb ——抗拉强度；nS、nb ——安全系数。
（二）强度条件构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。
轴向拉压杆的强度条件为◆六、轴向拉压杆的变形虎克定律（一）轴向拉压杆的变形杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短，见图5−8；而在轴向压缩时，轴向缩短，横向伸长。
第三节剪切和挤压◆一、剪切的实用计算（一）剪切的概念力学模型如图5−9 所示。
（1）受力特征。
构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近，且与构件轴线垂直的力作用。
（2）变形特征。
构件沿两力的分界面有发生相对错动的趋势。
（3）剪切面。
构件将发生相对错动的面。
（4）剪力Q。
剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。
（二）剪切实用计算（1）名义剪应力。
假定剪应力沿剪切面是均匀分布的，若AQ为剪切面面积，Q 为剪力，则图5−9 剪切的力学模型（2）许用剪应力。
按实际构件的受力方式，用试验的方法求得名义剪切极限应力τ0，再除以安全系数n。
（3）剪切强度条件。
剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力（二）挤压实用计算（1）名义挤压应力。
假设挤压力在名义挤压面上均匀分布，即式中 Abs——名义挤压面面积。
当挤压面为平面时，名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压面为曲面时，则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积。
（2）许用挤压应力。
根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力，再除以安全系数。
（3）挤压强度条件。
挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力，即◆三、剪应力互等定理与剪切虎克定律（一）纯剪切若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，称为纯剪切。
纯剪切引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。
（二）剪应力互等定理在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线（见图5−10），即图5−10 纯剪切单元体（三）剪切虎克定律当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ式中 G——材料的剪切弹性模量。
对各向同性材料，E、G、μ间只有两个独立常数，即第四节扭转◆一、扭转的概念（一）扭转的力学模型扭转的力学模型，如图5−11 所示。
（1）受力特征。
杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。
（2）变形特征。
杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
（3）扭转角ϕ。
杆件任意两横截面间相对转动的角度。
（二）外力偶矩的计算轴所传递的功率、转速与外力偶矩（kN·m）间有如下关系图5−11 扭转力学模型式中 P ——传递功率，kW；n ——转速，r/min。
◆二、扭矩和扭矩图（1）扭矩。
受扭杆件横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用T 表示，见图5−12，其值用截面法求得。
（2）扭矩符号。
扭矩T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。
图5−12 中所示扭矩均为正号。
◆三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件（一）横截面上的剪应力（1）剪应力分布规律。
横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图5−13图5−12 扭矩及其正负号规定图5−13 圆杆扭转时横截面上的剪应力◆四、圆杆扭转时的变形刚度条件第五节截面图形的几何性质◆一、静矩与形心显然，若z 轴过形心，yc=0，则有Sz=0，反之亦然；若y 轴过形心，zc=0，则有Sy=0，反之亦然。
◆二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积图5−15 截面图形（5−40）◆三、平行移轴公式若已知任一截面图形（图5−16）形心为c，面积为A，对形心轴zc和yc的惯性矩为Izc和Iyc、惯性积为Iyczc，则该图形对于与zc轴平行且相距为a 的z 轴及与yc轴平行且相距为b 的y 轴的惯性矩和惯性积分别为显然，在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中，以形心轴的惯性矩为最小。
