基于最小二乘法的相位展开

相位偏移gamma矫正方法的结构光三维视觉测量技术陆军;张艺竞;王成成;邵强【摘要】为补偿结构光三维测量过程中的非线性gamma误差,提出基于相位偏移的gamma误差矫正算法,对三维结构光视觉测量与重构技术进行了研究.首先,对结构光测量的基本原理和基于正弦条纹光栅的结构光测量方法做了介绍;其次研究了基于相位偏移方法的gamma矫正方法,通过实验对矫正方法的有效性进行了验证;最后通过三维重构实验得到被测量的物体矫正前后的三维重构图像,并且对其进行分析对比.实验结果表明,设计的矫正算法有效降低了三维测量中gamma畸变造成的相位误差的均方根值,提高了测量精度,具有实用价值.%To compensate for the nonlinear gamma error in the process of structured light 3D( three-dimensional) measurement, the gamma correction method based on the phase shift method is proposed in this paper. The technologies of structured light measurement and the 3D reconstruction are studied. Firstly, introduce the basic principles of structured light measurement and structured light measurement method based on sinusoidal fringe image. Secondly, the gamma correction method based on the phase shift method is studied, and the validity of the method is verified by experiments. Finally, the 3D reconstruction images before and after correction of the measured object are obtained through reconstruct experiment, and the analysis and comparison are made. The experimental results show that the correction algorithm designed in this paper can effectively reduce the RMS( root-mean-square) value of the phase error caused by gamma distortion inthree-dimensional measurement. This method improves the measurement accuracy and has practical value.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2017(046)009【总页数】7页(P182-188)【关键词】结构光三维测量;gamma畸变;gamma矫正;相位偏移;三维重构【作者】陆军;张艺竞;王成成;邵强【作者单位】哈尔滨工程大学自动化学院,哈尔滨150001;哈尔滨工程大学自动化学院,哈尔滨150001;中兴通讯股份有限公司南京研发中心,南京210000;哈尔滨工程大学自动化学院,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】TP391三维视觉测量技术指的是测量物体表面各点的三维分布，计算各点的深度和轮廓信息的点云数据，最后通过平面拟合来重构物体表面的三维轮廓信息[1]. 随着科技进步，三维测量技术在精度和速度方面都有了很大程度的提高，在工业自动化、汽车飞机制造、医学等领域具有广阔的应用前景[2]. 光学三维测量方法主要分被动式三维测量和主动式三维测量两种，前者测量设备本身不发出信号，通过被测物体辐射信号或者光反射回来的信号来实现测量，具有结构简单、成本低、受测量环境影响小等优点，但是测量精度低[3]. 而后者，测量系统主动将光信号投射到被测物体上，接收从物体表面反射回来的光信号，经过一系列的解码来完成测量，具有测量精度高，测量范围大等优点，不过测量设备复杂，受测量环境影响较大，存在gamma畸变[4].典型的gamma畸变矫正方法有gamma值预编码法、投影仪散焦法、相位迭代法、排除误差法、双三步相移法、高次谐波消除法等[5]，其中，gamma值预编码法[6]和投影仪散焦法[7]过程复杂，精度提高有限，相位迭代法的收敛条件有待解决[8]，而排除误差法受实时性制约. 本文为进一步提高光结构三维测量的精度，减小算法的计算量，提出了一种基于相位偏移的gamma误差补偿与矫正算法，该算法通过引入初始相位偏移，对相位角进行补偿，采取四步相移法求取包裹相位的平均值，来消除由测量设备的非线性所引起的gamma误差，并对矫正前后的三维重构点云图进行了对比分析.结构光法指的是使用投影仪等投射设备把光点、光栅或网格等已知的光模式投射到被测量的物体表面，然后被测量的物体会对这些图像进行调制，再用摄像机等装置捕获经被测物体的表面调制的图像，然后对这些图像进行解码操作，就可以把被测量物体的深度信息根据三角原理给求取出来. 结构光测量系统一般由图像投射装置、图像捕获装置(如摄像机)、图像处理装置(如计算机)等组成，图1为结构光测量系统示意图[9].基于三角形原理的结构光法测量系统如图2所示. 其中，投影仪分别在P1和P2进行光线的入射和出射，而摄像机分别在I1和I2进行光线的入射和出射. 由测量原理图可知，假设摄像机的成像光轴是垂直于参考面的，而投影仪的投射光轴和摄像机的捕获光轴在参考平面上的O点相交，则参考平面上各个点的相位值相对于点O是唯一的，而且是保持单调的[10].首先用投影仪将已知光模式投射到标准平板上，然后用摄像机捕获图像，再对图像进行相位展开，求取平板上各像素点的绝对相位值. 对于参考面上的一点A，在相机捕获的图像中该点的相位值为φA；对于参考面上的一点C，在相机捕获的图像中与C点相对应的点为E，且该点的相位值为φC. 然后，将被测量的物体放置到参考平面前面，则摄像机捕获的图像中的E点在这里对应的是被测量的物体表面的D点，此时E点的相位值就是φD. 根据已经知道的点C、点O和点A的坐标位置可以把两个像素点之间的距离和给求取出来，从而进行计算能够求出然后，利用三角形的相似原理，则点D的深度H的计算公式为式中：h为被测量的物体表面D点相对于参考平面的高度，L0和d为该测量系统的参数.相机从被测量的物体表面捕获的点E的对应相位为φD，而相机从参考平面上捕获的点E的对应相位为φC，由此可以把该像素点在被测量的物体放置前后的相位差值Δφ(x,y)给求取出来，然后就可以把被测量的物体在该像素点处的深度信息h(x,y)求出，即基于正弦条纹光栅图像的结构光三维测量方法，关键在于根据三角形原理和正弦条纹光栅的相位特性求取被测物体表面各点的深度信息和该点所对应的相位值之间的关系. 根据测量原理，求取摄像机捕获的条纹光栅图像的相位，便可得到被测量物体的深度信息. 下面对该方法中的相位提取和相位解包裹运算步骤进行介绍.1.2.1 相位提取常用的相位提取方法主要有相移法、傅里叶变换法、卷积解调法等. 使用傅立叶变换法和卷积解调法对相位进行提取均要把被测场景中的背景光强和噪声给最大程度地滤除掉，测量精度受当前滤波技术水平的限制并不是很高，两者应用范围都比较小[11]. 在使用结构光法进行三维测量时，通常会采用相移法，即向被测量的物体表面投射多幅正弦条纹光栅图像，然后用相机捕获这些光栅图像，最后对其进行处理计算得到其绝对相位的方法，如图3所示. 该方法计算时可以跳过某些深度信息比较低的点，分辨率较高，鲁棒性相对较好，测量精度高[12].相机捕获图像的光强分布为式中：a(x,y)为测量环境中的背景光强，b(x,y)为调制的正弦条纹光栅图像的幅值，φ(x,y)为被测量的物体表面像素点(x,y)处的相位值，δ(t)为根据计算的方法和相移的步数确定的相位偏移角度.式(3)中只有相移角度δ(t)为已知变量. 相机捕获的条纹光栅图像中像素点的相位值φ(x,y)包含被测量的物体的深度信息. 因此，向被测量物体表面投射3幅以上不同相位角度的条纹光栅图像，求出未知变量，然后计算出捕获图像中各个像素点相位值的分布，获得被测量的物体的深度信息，便可获得被测物体的三维轮廓信息[13]. 使用投影仪投射N幅等相位差的条纹光栅图像时的相移法称为N步相移法. N步相移法的相位分布为δi=.式中δi为在不同的相移步数下确定的相位角度值，i=1、2、3、…、N，N≥3.使用最小二乘法对N步相移算法的相位分布进行计算，得到的包裹相位为1.2.2 相位解包裹本文使用反正切函数提取相位，通过计算得出的相位值为包裹相位值，它与真实相位值存在2kπ的相位差(k为任意整数). 对求得的包裹相位值进行加减2kπ的解包裹计算，求得的连续的真实相位值就是绝对相位，整个求取过程就被称作相位解包裹或相位展开. 通常选包裹相位图中的某一点作起始位置，按照特定的展开路径进行相位展开，便可求出绝对相位图[14]如图4所示.若利用四步相移法求取包裹相位图，比较图中相邻两点的相位值. 任意连续的两个相位点，它们相位的差值不会超过±π. 当相邻两个像素点不连续时，相位值差值的绝对值会大于π，此时通过加上或者减去2π的整数倍的方法来使得这两个像素点的相位连续[15].受背景光强，gamma畸变以及光强饱和程度等因素的干扰，正弦条纹光栅的实际测量会产生一定误差. 由相机和投影仪等硬件设备产生的非线性畸变叫gamma畸变，会使经相机捕获的条纹光栅投影不能很好的满足正弦性质，产生非正弦波形[16]. 相较于更换硬件设备解决gamma畸变，选择从软件角度来解决畸变具有成本小、受测量局限性影响小等优点.gamma值预编码法的优点是理论简单，但需要计算系统的gamma值，由于gamma值与区域分布有关，计算复杂，纠正误差能力不高；投影仪散焦法具备低通滤波的效果，能滤除高次谐波，可往往会忽略测量中的其他噪声影响，提高的测量精度有限；相位迭代法通过多次迭代得到更为理想的相位值，虽能提高一定的测量精度，可收敛条件有待深入考虑；排除误差法、双三步相移法、高次谐波消除法、基于梯度相移的二次谐波保留法、基于神经理论的矫正法等，均需要投射5或6幅以上的条纹光栅图像，影响了算法的实时性[17]. 而本文提出的基于相位偏移的gamma矫正法具有精度高、计算量小的优势.2.2.1 无gamma畸变时的包裹相位无gamma畸变时，正弦条纹光栅的强度和包裹相位φ可表示为[18]φ=-arctan.式中为光栅强度，Ap为测量环境中背景光的强度值，Bp为光强的幅值，f为正弦条纹光栅的频率，n为相移的指数，N为总的相移图案的数量，相位φ和像素横坐标xp的关系为φ=2πfxp.根据求取出来的相位值φ，及与该相位所对应的相机捕获的条纹光栅图像的坐标(xp,yp)，通过三角测量的原理求取被测量物体的三维轮廓信息，从而实现被测量物体的三维重构.2.2.2 gamma模型的建立当考虑gamma畸变影响时，相机捕获的非线性条纹光栅图像强度表达式[19]为式中为相机捕获的带gamma畸变的条纹光栅图像的强度值，α∈[0,1]为被测量的物体的反射率，M和N分别为规范化的平均强度及调制强度，γ为照相机-投影仪系统的gamma值(γ≥1). 式(9)还可表示为式中p=N/M为调制强度与平均强度的比值. 对于式(10)，当γ=1.0时，就相当于不存在gamma畸变的情况. 将式(10)进行傅立叶级数展开、简化，得到gamma 畸变的数学模型为].式中k为所有非负的整数，而且2.2.3 相位误差分析本文用四步相移方法对包裹相位进行相位展开来求取误差. 将式(7)代入式(8)中求出理想相位φi，将式(11)代入式(8)中求出实际相位φ. 相位误差通过Δφ=φ-φi求取. 根据二项式级数的特点，如果γ为整数，而且γ≥1，那么当满足k>γ的条件时，Bk=0. 而如果γ不为整数，那么Bk就是收敛的无限级数的和. 通过实验数据得知，不管P取何值，Bk的值会随着k值的增大而迅速的减小.为了更精确分析相位误差的模型，利用三角函数的公式对Δφ进行展开操作时，只考虑8次谐波以内的谐波分量，更高次谐波因数值过小，可以忽略不计. 相位误差Δφ可表示为Δφ≈-arctan.式中：q=B3/B1，r=B5/B1，s=B7/B1.然后，根据泰勒公式展开的性质，对等式进行泰勒公式展开，可得公式Δφ≈ (-q+r+rs)sin 4φ+(--s)sin 8φ+qssin 12φ+sin 16φ.由于r≪q，s≪q，式(16)可以简化为2.2.4 相位偏移算法的原理本文设计了一种新算法来减少由测量设备的gamma非线性所引起的相位误差，由式(17)可知，该误差是由相位φ和参数q共同决定的，若在相位偏移条纹图案中引入一个初始相位偏移，那么相位误差也会相应变化. 引入3组初始相位偏移分别为-π/4，-3π/8，3π/8的条纹光栅图像，其各自对应的包裹相位图的相位误差将会变为Δφ2=Δ(φ-3π/8)=-qcos 4φ-sin 8φ，Δφ3=Δ(φ+3π/8)=qcos 4φ-sin 8φ.相位误差满足Δφ+Δφ1+Δφ2+Δφ3=0的特点. 因此，如果分别投影4组具有0，-π/4，-3π/8，3π/8初始相位偏移、相角差为90°的正弦条纹光栅图像，然后用四步相移法将它们的包裹相位值分别求取出来，并将这四组的包裹相位值相加，求出相位平均值，这样便可以消除由于测量设备的gamma非线性引起的相位误差，实现矫正.2.3.1 结构光三维测量系统的组成本文实验的测量系统由投影仪、摄相机、计算机、人脸头像雕塑等组成. 采用戴尔M110微型投影仪，设备分辨率为1 024像素×768像素. 通过使用计算机进行软件编程，可以生成不同波长的具有不同相位角度值的正弦条纹光栅图像. 采用大恒DH-HV2051UC数字摄像机，设备分辨率为1 600像素×1 200像素. 使用笔记本电脑保存相机捕获的变形条纹光栅图像和投影仪投射的标准正弦条纹光栅图像，用MATLAB程序进行图像处理.2.3.2 正弦条纹光栅图像的生成实验采用四步相移法，需投射四组初始相位偏移角分别为0°、-45°、-67.5°和67.5°的正弦条纹光栅图像，而每组又包含4幅图像，其相角差为90°. 表1为4组4幅正弦条纹光栅图像所对应的相位角.2.3.3 包裹相位的求取与矫正相机捕获的初始相位为0°偏移的包裹相位图如图5所示，4幅图像的相位分别为0°、90°、180°、270°，条纹宽度为32像素.对相机捕获的图像使用四步相移法进行相位展开，本文在求取包裹相位图是用正弦竖条纹光栅图像，这些条纹光栅图像在被测物体表面会发生变形，假设，由相机捕获的4幅经过被测物体表面调制的变形的条纹光栅图像分别为I1、I2、I3、I4，那么在像素点(i,j)处，当相位初始偏移角度为0°时有x=I1(i,j)-I3(i,j).当相位初始偏移角度为-45°时有x=I1(i,j)+I2(i,j)-I3(i,j)-I4(i,j).当相位初始偏移角度为-67.5°时有y=(I1(i,j)-I3(i,j))+(I4(i,j)-I2(i,j))，x=(I2(i,j)-I4(i,j))+(I1(i,j)-I3(i,j)).当相位初始偏移角度为67.5°时有y=(I3(i,j)-I1(i,j))+(I4(i,j)-I2(i,j))，x=(I4(i,j)-I2(i,j))+(I1(i,j)-I3(i,j)).在像素点(i,j)处，求得的包裹相位值为经过简单的处理，将得到的结果变换到[0,2π)，最终得到包裹相位的波形图，如图6(a)所示. 通过把包裹相位与理想相位进行比较计算，求出包裹相位的相位误差，如图6(c)所示. 使用基于相位偏移法的gamma矫正法对相位误差进行矫正，矫正后的相位波形如图6(b)、6(d).2.3.4 矫正结果分析本文实验采用基于相位偏移法的gamma矫正方法和基于相位迭代法的gamma 矫正方法分别对条纹宽度为32像素、48像素和90像素的条纹光栅图像的包裹相位进行了误差矫正. 表2为本文提出的相位偏移法矫正前后的相位误差RMS比较，表3为相位迭代法矫正前后的相位误差RMS的比较，通过对比可知，相位偏移矫正方法能较为有效地降低gamma畸变所引起的相位误差，精度较相位迭代方法高.为了验证本文中介绍的gamma矫正方法，选用上文提到的矫正方法实验测量系统里的人脸头像雕塑作为三维测量实验的对象.首先，用投影仪向被测量物体表面投射条纹宽度为16像素的正弦条纹光栅图像，并用相机捕获经过被测量的物体表面调制的变形的条纹光栅图像. 然后，用四步相移方法将相机捕获图像的包裹相位图给求取出来，根据相位解包裹的方法原理把被测量的物体的绝对相位图给求取出来. 最后进行三维重构，获得被测量物体的三维数据.按上述步骤，先用普通三维测量方法，没有对gamma畸变造成的相位误差进行矫正操作，投影仪投射的正弦条纹光栅的图像的相位角度值为0°、90°、180°、270°，图7为未进行矫正的情况下得到的三维重构点云图，从该图可知，被测量的物体在三维重构之后会出现比较明显的波浪形畸变现象，该现象产生的原因正是条纹光栅图像的gamma畸变.采用本文设计的基于相位偏移法的gamma矫正方法来对gamma畸变造成的相位误差进行矫正，用投影仪投射4组初始相位偏移分别为0°、-45°、-67.5°、67.5°的正弦条纹光栅图像，将矫正后的包裹相位求取出来，得到的包裹相位图如图8(a)所示，完成对被测量物体的三维重构操作，得到的三维重构点云图像如图8(b)所示.根据得到的重构结果，通过与图7进行对比可以发现，之前人脸头像雕像中存在的波浪形畸变在经过基于相位偏移法的gamma矫正方法矫正后畸变程度明显减小，从而可以验证该矫正方法的有效性.1)利用四步相移方法对包裹相位进行计算，针对相机和投影仪产生的gamma畸变的影响提出了基于相位偏移法的gamma误差矫正方法.2)所设计的误差矫正方法提高了正弦条纹光栅的测量精度，为获得准确的物体表面信息奠定了基础.3)通过与基于相位迭代法的gamma矫正方法的实验比较说明所设计的矫正方法稳定可靠，精度高，能较好地消除波浪形畸变现象，具有一定的可行性.【相关文献】[1] 孙宇臣，葛宝臻，张以谟.物体三维信息测量技术综述[J]. 光电子·激光, 2004, 15(2):248-254.DOI: 10.3321/j.issn:1005-0086.2004.02.031.SUN Yuchen, GE Baozhen, ZHANG Yimo. Review for the 3D information measuring technology[J]. Journal of Optoelectronics·Laser, 2004, 15(2):248-254.DOI:10.3321/j.issn:1005-0086.2004.02.031.[2] CHEN F, BROWN G M, SONG M. Overview of three-dimensional shape measurement using optical methods [J]. Optical Engineering, 2000, 39(1):10-22.[3] 冯宇.基于计算机立体视觉的三维重建系统研究[D]. 青岛:青岛科技大学,2009. DOI:10.7666/d.y1456702.FENG Yu. Study on the system of three-dimensional reconstruction based on computer stereo vision[D]. Qingdao:Qingdao University of Science & Technology, 2009.DOI:10.7666/d.y1456702.[4] 董欢.基于傅里叶变换轮廓术的光学三维形貌测量技术的研究[D]. 辽宁:辽宁师范大学,2012. DOI: 10.7666/d.Y2233507DONG Huan.3D shape measurement studies based on fourier transform profilometry[D]. Liaoning:Liaoning Normal University,2012. DOI: 10.7666/d.Y223350.[5] 陈晓波.结构光三维测量系统误差分析、控制及补偿技术的研究[D]. 上海:上海交通大学,2009. CHEN Xiaobo. Error analysis, control and compensation for a structured light measurement system[D]. 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特别策划1 研究背景随着我国经济社会的快速发展，铁路已成为沟通城市和居住地的重要经济命脉，与人们的出行和经济的正常运行息息相关。

由于铁路地理跨度大，尤其在西南复杂山区，地形地势条件复杂，鉴于自然和人类活动的共同影响，自然灾害多发，运营铁路沿线发生自然地质灾害的可能性大大增加，给铁路的安全运营带来潜在危害，不仅会导致运输物流暂时瘫痪[1]，而且直接威胁人们的生命财产安全。

故此，如何快速准确地对西部山区铁路沿线形变及灾害监测显得尤为重要。

应用卫星遥感空间信息技术监测西部复杂山区铁路沿线自然灾害状况，具有重要的研究意义和工程价值[2]。

采用定期常规的地面人工测量，如GPS 和水准测量，能提供高精度形变数据，但由于其成本高、重复观测周期长、复杂地形人力无法到达等特性制约了其实时监测能力[3]。

另外，基于点观测的特性使得该技术容易遗漏部分观测区域。

星载合成孔径雷达干涉测量（InSAR）技术是一种全新的形变监测方法[4]，可以全天候、全天时的获取大范围、高精度的微小形变信息[5]。

然而在对长时间缓慢形变及其规律进行分析时，传统基于DS-InSAR 的复杂山区铁路沿线形变监测研究李冠楠1，2，谭衢霖1，2，谢酬3，蔡小培1（1. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044；2. 北京交通大学 线路工程空间信息技术研究所，北京 100044；3.中国科学院 遥感与数字地球研究所，北京 100094）基金项目：中国铁路总公司科技研究开发计划项目（2017G002- H）；国家重点研发计划项目（2016YFB0502504）第一作者：李冠楠（1993—），女，硕士研究生。

E-mail：*********************通信作者：谭衢霖（1975—），男，副教授，博士。

E-mail：**************.cn摘 要：选用穿透性较好的长波段高分辨率卫星雷达数据，对渝怀铁路重庆彭水段沿线进行地表形变监测研究。

相位展开的6种算法比较杨锋涛;罗江龙;刘志强;吕晓旭【摘要】相位展开算法主要可以分为路径跟踪算法和全局展开算法.为了比较这些算法的性能,采用计算机模拟斜面和高斯面,并加入不同程度噪声产生包裹相位;从两大类中各选取3种比较典型的算法分别对其进行相位展开,计算它们的均方根误差;最后对实验数据进行比较和理论分析.结果表明,基于网络规划的最小费用流算法和基于贝叶斯推断的ZπM算法是较为有效的算法,在实际应用中值得选择和改进.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2008(032)003【总页数】4页(P323-326)【关键词】信息光学;相位展开;算法比较;计算机模拟【作者】杨锋涛;罗江龙;刘志强;吕晓旭【作者单位】九江学院,理学院,九江,332005;九江学院,理学院,九江,332005;九江学院,理学院,九江,332005;华南师范大学,信息光电子科技学院,广州,510631【正文语种】中文【中图分类】O438引言二维相位展开是从包裹相位ψ中恢复出原始相位φ信息的技术。

随着光学干涉计量技术(散斑干涉、全息干涉、莫尔干涉等)，磁共振成像技术，尤其是合成孔径雷达干涉技术的发展和应用，相位展开技术逐渐成为了一项重要的技术，引起了人们广泛的重视。

对于理想的包裹相位图，只要利用ITOH[1]提出的方法对包裹相位梯度进行线积分即可，但是实际得到的包裹相位图却可能包含噪声、阴影，以及欠采样等，致使相位展开问题变得非常困难。

近20年来，各种相位展开的算法层出不穷，各种算法的优劣和适用条件都有待于进一步的考察。

总体上说，这些算法可以分为两大主流。

一类是路径跟踪算法，通过某些途径，如设置枝切或建立质量图，以质量图为导向等，寻找合适的积分路径来进行相位展开。

这类算法中有代表性的主要有：枝切法[2-3]，质量图导向法[4-5]和基于网络规划的最小费用流算法[6-7]。

另一类是全局展开算法，通过引入目标函数，并附以一定的约束条件，将相位展开问题转化为求解最优化的问题。

一种新的正弦波频率估计算法张刚兵;钱显毅【摘要】研究了高斯白噪声条件下大样本点单一正弦波信号的频率估计方法.首先利用离散傅里叶变换确定频率粗估计,然后以该值为参考频率构造本地信号,将原信号下变频至基带,对基带信号分段求和,能得到一个新的正弦波信号,该信号的频率为真实频率与参考频率之差,最后利用最小二乘法估计新信号的载频,修正粗估计值就能得到原信号频率的最优估计.推导了算法的渐近方差与克拉美-罗限之间的关系.仿真结果表明,本算法能适用于整个频段范围,频率估计的精度接近正弦波频率估计的克拉美-罗限.%A novel algorithm for frequency estimation of sinusoid with many samples in the complex white Gaussian noise was proposed. A coarse frequency estimate was obtained through discrete Fourier transform and a sequence was constructed with the coarse frequency estimate being a reference frequency. Then the original sequence was converted into baseband by down-conversion. A new sinusoid was acquired after correlation accumulation, of which the frequency was the difference between the original frequency and reference one. Linear regression made it possible to get the optimal frequency difference estimate. The relationship between the asymptotic error variance (AEV) and the Cramer-Rao lower bound(CRLB) was derived. Simulation results show that the performance of the proposed algorithm approaches the CRLB of the sinusoidal signal when the signal-to-noise ratio(SNR) is higher than the SNR threshold.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(046)001【总页数】5页(P40-44)【关键词】大样本;离散傅里叶变换;相关积累;频率估计【作者】张刚兵;钱显毅【作者单位】常州工学院电子信息与电气工程学院,江苏常州231002;常州工学院电子信息与电气工程学院,江苏常州231002【正文语种】中文【中图分类】TN911正弦波频率估计算法广泛应用于雷达、通信以及电子对抗等信号处理领域.Rife［1］最先提出了被加性复高斯白噪声污染的正弦波信号频率估计算法——最大似然（Maximum Likelihood，ML）估计，虽然其性能接近正弦波频率估计的克拉美－罗限（Cramer－Rao Lower Bound，CRLB），但需要进行一维频率搜索，计算量太大，不利于工程采纳.多位学者对正弦波信号频率估计问题作了进一步研究，相继提出了多种频率估计算法.这些算法大致可分为两类，一类是基于谱线插值，另一类是基于相位信息.文献［2］利用信号的最大两根谱线插值进行频率估计，即Rife算法.当信号频率位于量化频率附近时，由于插值方向错误，会导致频率估计性能下降.针对这一问题，文献［3］先对信号进行频移，使新信号的频率位于两个相邻量化频率点的中心区域，提出了修正Rife算法，再以该算法的估计值为初始值进行一次牛顿迭代（Sinusoid Frequency Estimation Based on Newton's Method，SFENM）.当初始值位于收敛区域时，迭代收敛，其性能稳定，否则会导致频率估计精度下降.文献［4］提出了基于DFT相位的正弦波频率和初相估计方法（Based on Phase of DFT，BPDFT），利用分段DFT频谱的相位差消除了初相对频率估计的影响且避免了相位测量模糊问题.文献［5］指出，当信号真实频率与DFT量化频率差为某一范围时Rife算法精度不高，并研究了噪声背景中插值FFT估计正弦信号频率估计的问题.文献［6］利用与最大谱线对应的量化频率点相差半个量化频率的两根谱线进行插值，提出了一种迭代插值（（Iterative Frequency Estimation by Interpolation on Fourier Coefficients，IFEIFC））频率估计算法，性能接近克拉美－罗限.Tretter［7］将加性复测量噪声等效为加性实相位噪声，利用最小二乘法对展开的相位估计信号的频率.高斯噪声条件下的最小二乘估计等价于最大似然估计，因此，文献［7］的算法在高斯噪声条件下的性能接近正弦信号频率估计的克拉美－罗限，但该算法模型成立的信噪比门限约为10dB，降低了其在低信噪比条件下的性能.为了避免相位展开，文献［8］利用相位平均和相位加权平均提出了基于相位差分的频率估计算法，在高信噪比条件下的性能与最小二乘法相当，也接近克拉美－罗限，但该算法也不适用于信噪比低于10dB的场合.文献［9－11］相继提出了3种基于信号自相关函数的频率估计算法，虽然改善了信噪比门限附近的性能，使之不会急剧恶化，但高信噪比条件下的性能却无法接近克拉美－罗限，甚至还会缩小频率估计范围［11］.文献［12］反复利用低通滤波、抽取，线性预测以及数字差拍变频进行频率估计（Iterative Lin－ear prediction，ILP），大大降低了算法的信噪比门限，信噪比门限以上的性能最多超过克拉美－罗限0.7dB.文献［13］多次利用自相关函数进行频率估计（Autocorrelation－based algorithm，AA），当信号样本长度为1 024时，其频率估计的均方根误差比克拉美－罗限大0.14dB.当信号样本点数较大时，受硬件条件的限制，难以一次性对全部接收信号进行处理.如果先将信号分成等长的L段，再对每段信号分别进行频率估计，最后对各频率估计值取算术平均，那么只能得到非相干频率估计值，其估计方差仅为各段方差的L分之一，与整段信号频率估计的克拉美－罗限（为各段频率估计方差的L3分之一）相差甚远，此时的估计精度可能难以满足系统的性能指标.为了能估计大样本点信号的频率参数，同时保证参数估计的精度满足系统设计要求，必须研究新的频率估计方法.受文献［3－6］的启发，本文利用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的信噪比增益作用降低信噪比门限，结合高斯噪声条件下最小二乘等价最大似然的特性，提出了一种正弦波频率估计算法.首先利用离散傅里叶变换得到频率粗估计值，然后以该值作为参考频率将原信号下变频至基带，分段求和后能得到一个新的正弦波信号.以该正弦波的频率修正参考频率就能得到原信号的频率估计值.与基于相位信息的算法相比，本算法的信噪比门限更低、均方误差更接近克拉美－罗限，与基于谱线插值的算法相比，计算效率更高.设信号模型为式中，A为信号的幅度，φ0为初始相位，f为信号的频率，ts为采样间隔，N为信号样本点数.ε是均值为0、方差为σ2的复高斯白噪声，定义信号的信噪比（signal－to－noise ratio，SNR）为SNR＝A2／σ2.对式（1）定义的正弦波采样序列x（n），假定已得到信号频率f的粗估计值＾f0，现构造序列将（1）式和（2）式共轭相乘式中，ε′是均值为0、方差为σ2的复高斯白噪声，Δf0 ＝f－为粗估计的误差.将式（3）表示的信号z（n）按M点分为一组并求和，能得到一个点数为L＝N／M的新序列，假设N／M为整数，有式（4）中的S（m）是一个频率为Δf0、采样间隔为Mts、样本点数为L点的正弦波序列，对S（m）进行频率估计可得到频偏Δf0的估计值Δ＾f0，修正粗估计能得到信号频率f的精确估计.无模糊估计频率要求频偏Δf0满足奈奎斯特采样定理，即序列S（m）的信噪比SNRout≃MA2／σ2＝M×SNR，与正弦波采样序列x（n）相比，此时的信噪比增益提高了10lg MdB.累加点数M越多，信噪比增益越大，频偏Δf0估计的信噪比门限越低.Tretter在文献［7］中指出，当复正弦序列的输入信噪比远远大于1时，加性复测量噪声可近似为等效的加性实相位噪声，且相位噪声的方差为正弦波输入信噪比倒数的一半.当原测量信号信噪比不太小、信号样本点数较大时，经过求和积累后，式（4）的信噪比SNRout有可能远远大于1.因此，式（4）可近似为式中，ζm是均值为0、方差为1／（2SNRout）的实高斯白噪声.高斯白噪声条件下的最小二乘估计等价于最大似然估计，如果能得到序列S（m）无模糊的相位值φm，就能用最小二乘估计得到频偏Δf0的最优估计.设式（8）中X的最小二乘估计为利用频偏的估计值修正频率粗估计就能得到信号频率的精确估计，综合以上分析，本算法的实现步骤为1）确定最大谱线对应的量化频率点，得到粗估计；2）按照公式（2）、（3）、（4）得到序列S（m），m＝0，1，…，L－1；3）利用文献［7］的算法对S（m）进行载频估计，得到频偏Δf0的估计值Δ4）利用频偏Δf0的估计值得到频率估计值5）以频率估计值作为粗估计值，重复2）、3）、4）进行一次迭代，可以得到更精确的频率估计值＾f.现从渐近方差（Asymptotic Error Variance，AEV）以及计算量对本算法进行定量分析.利用最大谱线对应的量化频率点作为频率粗估计，在不出现频率模糊的条件下，粗估计误差满足对式（3）表示的信号z（n）进行M 点累加以后，新序列的信噪比增加了10lg （M）dB，M 越大，信噪比增益越大，影响频偏估计的信噪比门限就越低.累加之后要求信号S（m）有两个以上的样本点，M 的取值必须满足M ≤N／2，利用式（10），有因此，累加之后能满足式（5）对无模糊频率估计的要求.频率估计的精度由频偏Δf0的估计精度决定，而频偏估计是无偏估计，估计的均方误差为［7］式中，E（·）表示取数学期望.正弦波信号频率估计＾f的克拉美－罗限（CRLB）为［1］由式（12）和式（13）有从式可以看出，累加点数M越大，性能损失越大，当M＝N／2时，性能下降最严重，此时的性能与克拉美－罗限相差1.25dB.但当M分别为N／4和N／8时，累加求和后的信号样本分别为4点和8点，性能相对克拉美－罗限分别下降0.28dB和0.07dB.在M≪N的条件下，本算法的均方误差与克拉美－罗限相等.现分析本算法需要的计算量，假设N是2的整数次幂.在频率粗估计时利用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）确定信号的频谱，需要N／2·log2N次复数乘法、Nlog2N次复数加法，确定最大谱线的位置需要N次复数乘法，式（4）需要N次复数乘法，式需要N（M－1）／M复数加法，获得相位需要N／M次反正切运算、N／M次相位展开，估计频偏则需要N／M次实数乘法和N／M－1次实数加法，作一次迭代需要N次复数乘法、N（M－1）／M复数加法、N／M 次反正切运算、N／M 次相位展开、N／M次实数乘法和N／M－1次实数加法.为了验证本算法的测频性能，对其进行计算机仿真，信号样本点数为1 024，采样频率为100MHz，信噪比为0dB，累加点数M为128，信号频率从25MHz开始，到25MHz＋1／（2 NΔt）结束，将频率变化范围等分20份，每个离散频率点上各仿真2 000次.其均方根误差与克拉美－罗限之比随频率变化的性能曲线如图1所示.图1的仿真结果表明，基于自相关函数相位信息的频率估计算法的均方根误差最大，基于谱线迭代插值和以修正Rife算法估计值为初值进行一次牛顿迭代的频率估计算法性能相当，都能在整个频段范围内进行频率估计.下面验证本算法在不同信噪比条件下的性能.采样频率为100MHz，信号的频率为f＝21.123 42MHz，信号样本点数N为1 024，累加点数M为128.对本算法的性能进行仿真，给出了各算法在相同条件下的性能对比，每种条件下各进行2 000次独立的仿真.均方根误差（RMSE）与信噪比（SNR）之间的关系如图2所示.图中给出了各算法的均方根误差及克拉美－罗限，图中横轴为线性坐标，纵轴为对数坐标.图2的仿真结果表明，本算法与文献［6］算法一样，具有相同的信噪比门限，且都低于文献［3－4－12－13］算法.因此，本算法对信噪比要求更低，能估计较低信噪比条件下信号的频率.在较低信噪比条件下，牛顿迭代的初始值位于收敛区域之外，迭代不收敛，此时的估计性能不如本算法.随着信噪比的增加，初始值进入收敛区域，迭代后的性能接近克拉美－罗限.文献［12－13］都是基于迭代自相关函数估计信号的频率，其信噪比门限均高于基于DFT的频率估计算法.在整个信噪比变化区间内，本算法的均方根误差都接近克拉美－罗限，表明本算法性能稳定，对信噪比变化不敏感.本文提出了一种适用于单一信号的频率估计算法，本算法具有较低的信噪比门限，其性能均匀分布在整个测频范围内.当累加求和后的信号样本点数为8时，频率估计的均方误差相对克拉美－罗限下降0.07dB.当累加后的信号样本点数远小于原测量信号样本点数时，本算法的均方误差与克拉美－罗限相同.考虑信噪比门限、测频范围以及估计性能，本算法都优于基于相位和自相关函数的频率估计器，因此，本算法具有一定的工程应用价值.【相关文献】［1］Rife D C，Boorstyn R R.Single－tone parameter estimation from discrete－time observations［J］.IEEE Trans on Information Theory，1974，20（5）：591－598.［2］Rife D C，Bowstyn R R.Multiple tone parameter estimation from discrete rime observation［J］.Bell Syst Tech J，1976，55（9）：1389－1410.［3］邓振淼，刘渝.正弦波频率估计的牛顿迭代方法初始值研究［J］.电子学报，2007，35（1）：104－107.［4］齐国清，贾欣乐.基于DFT相位的正弦波频率和初相的高精度估计方法［J］.电子学报，2001，29（9）：1164－1167.［5］齐国清，贾欣乐.插值FFF估计正弦信号频率的精度分析［J］.电子学报，2004，32（4）：625－629.［6］Aboutanios E，Mulgrew B.Iterative frequency estimation by interpolation on Fourier coefficients［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2005，53（4）：1237－1242.［7］Tretter S.Estimating the frequency of a noisy sinusoid by linear regression［J］.IEEE Trans on Information Theory，1985，31（6）：832－835.［8］Kay S M.A fast and accurate single frequency estimator［J］.IEEE Trans on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1989，37（12）：1987－1990.［9］Fitz M P.Further results in the fast estimation of a single frequency［J］.IEEE Trans Communications，1994，42：862－864.［10］Luise M，Reggiannini R.Carrier frequency recovery in alldigital modems for burst－mode transmissions［J］.IEEE Trans Communications，1995，43：1169－1178.［11］Fowler M L，Johnson J A.Extending the threshold and frequency range for phase－based frequency estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1999，47（10）：2857－2863.［12］Brown T，Wang M M.An iterative algorithm for singlefrequency estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2002，50（11）：2671－2682.［13］Xiao Yang－Can，Wei Ping，Tai Heng－Ming.Autocorrelation－based algorithm for single－frequency estimation［J］.Signal Processing，2007：1224－1233.。

基于边界探测的InSAR最小二乘整周相位解缠方法陈强;杨莹辉;刘国祥;程海琴;刘伟堂【期刊名称】《测绘学报》【年(卷),期】2012(041)003【摘要】为解决最小二乘相位解缠方法一直存在收敛性差和非整周性相位解算问题，提出基于解缠边界探测并搜索整周相位值的解缠方法，采用最小二乘次优解与最优解的阈值判别准则，预测解缠趋势并逐步推进相位解缠边界，并在解缠迭代计算中附加相位搜索增量以提取相位整周值。

试验分别基于噪声干扰的模拟图和香港、深圳地区的ERS-1／2卫星SAR影像干涉图，采用边界探测算法进行相位解缠计算，试验结果表明，本文解缠方法对附加强噪声的模拟干涉图能正确解缠出99．5％的相位值，真实SAR影像干涉图的解缠精度达到±0．12rad。

【总页数】8页(P441-448)【作者】陈强;杨莹辉;刘国祥;程海琴;刘伟堂【作者单位】西南交通大学遥感信息工程系,四川成都610031;西南交通大学遥感信息工程系,四川成都610031;西南交通大学遥感信息工程系,四川成都610031;西南交通大学遥感信息工程系,四川成都610031;西南交通大学遥感信息工程系,四川成都610031【正文语种】中文【中图分类】P237【相关文献】1.一种残差点退化的四向最小二乘InSAR相位解缠算法 [J], 王正勇;朱挺;何小海;罗代升2.InSAR相位解缠最小二乘算法的研究 [J], 孙龙;胡茂林;张长耀3.InSAR最小二乘相位解缠算法 [J], 刘保伟;张廷新;欧祥荣4.InSAR最小二乘相位解缠权重确定的一种新方法 [J], 刘伟科;刘国林5.基于克里金插值和Chan-Vese模型边界探测的InSAR相位解缠方法 [J], 王升; 朱煜峰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一种基于最小一乘法的相位展开评估方法
黄航;李金龙;莫靖杰;柴瑞青;江海波;段帆
【期刊名称】《信息技术》
【年(卷),期】2015(39)3
【摘要】相位展开是基于相位的三维光栅投影测量的关键环节.为了评估相位展开算法的优劣,需要用全面系统的方法对算法进行综合评价.基于范数理论,以最小一乘法为基础,以DCT(离散余弦变换法)为代表进行讨论,以一乘不连续点数定量描述相位展开的稳定性和细节还原性,以弥补仅用均方根误差和残差点数等方法的评估盲区,从而更全面地评估相位展开算法.给出了该评估方法的基本原理及仿真,对仿真结果进行评价,对相位展开算法的评估方法研究起到抛砖引玉的作用.
【总页数】4页(P121-124)
【作者】黄航;李金龙;莫靖杰;柴瑞青;江海波;段帆
【作者单位】西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756;西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756;西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756;西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756;西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756;西南交通大学物理科学与技术学院,成都611756
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
【相关文献】
1.OCR中一种基于最小一乘法的连通域去噪方法 [J], 刘渝;张彦铎;鲁统伟
2.一种基于多基线组合频率估计的相位展开方法 [J], 谢先明;皮亦鸣
3.一种基于UPF的干涉SAR相位展开方法 [J], 谢先明;皮亦鸣;彭保
4.一种基于枝切法和有限元法的干涉SAR合成相位展开方法 [J], 武楠;冯大政;刘宝泉
5.介绍一种新的回归方法一最小一乘法 [J], 苗利;程素梅
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