随机模拟寓于概率统计教学中的探索与实践

2009年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2009文章编号：1007-9831（2009）05-0090-04随机模拟寓于概率统计教学中的探索与实践代金辉（山东工商学院 数学系，山东 烟台 264005）摘要：探讨了随机模拟试验在概率统计教学中的意义与重要性，分别举例给出了在概率论教学中可构造的随机模拟试验以及在数理统计教学中的随机数的产生，Monte Carlo法以及用随机模拟求近似解等若干问题的随机模拟试验．关键词：随机模拟；概率统计；教学实践中图分类号：O242.4文献标识码：A概率论和数理统计都是研究随机现象统计规律的学科，二者虽然有共性，但个性也相当突出，概率论偏重于基础理论，数理统计则偏重于研究应用[1-2]．概率论的特点是先提出数学模型，然后再去研究它的性质、特征和规律性；数理统计则是以概率为基础，通过对随机现象的观察并利用概率运算所得的数据去建立数学模型，从而作出分析．所以概率论与数理统计教学中的统计实验的出发点和目的是不相同的． 高等院校概率论与数理统计课程教学的目标是以培养学生应用统计方法解决实际问题的能力为出发点，使学生掌握概率论的基本知识，理解统计方法的基本思想，具有一定的统计应用能力，并能借助于计算机及统计软件完成统计计算，分析统计结果，做出统计推断．因此，应改变传统的数学教学以三基——基本知识、基本理论、基本方法为目的的训练方式，把教学的重点转到对学生应用统计方法解决实际问题的能力和意识的培养上来．本文探讨了随机模拟试验在概率统计教学中的意义与应用，构建了一些概率统计实验，以此丰富课堂教学，使学生更易理解概念和方法，掌握概率论的基本知识和理解统计方法的基本思想，具有一定的统计应用能力，增加学习兴趣．1 概率论教学中的随机模拟实验在概率论的课堂教学中，教师在讲授数学概念和方法时，应尽可能地“回归”到实际背景，设置适宜的问题情景，提供观察、实验、操作、猜想、归纳、验证等方面的丰富直观的背景材料，引导学生参与教学活动，这将有助于培养学生的应用能力．例如：在讲授概率的统计定义时，例举一些生活中的偶然性现象的例子，然后借助数学软件（如MATLAB）、统计软件（如SAS）或者用微软的VB等软件演示随机实验，让学生直接观察并参与到实验中，可编制演示实验:例1（投掷硬币）（1）一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面的频率，并同时计算出现正面的频率，分析频率的变化规律．（2）利用图形动态演示频率的稳定性规律：随着投掷硬币的次数增加，出现正面的频率振幅越来越小，逐渐地稳定于0.5．例2（投掷骰子） （1）投掷一颗质地均匀的骰子，令X表示其出现的点数，分析各点数出现的频率的稳定性及变化规律．（2）利用统计的方法，根据“频率的稳定性”规律求投掷一枚质地不均匀的骰子出现某点数的概率．（3）演示随机变量X的数学期望的统计意义．收稿日期：2009-04-19基金项目：山东工商学院教学研究项目（2008G29）作者简介：代金辉（1981-），女，黑龙江齐齐哈尔人，讲师，硕士，从事金融统计及数理统计研究．E-mail：dai111111111@又如在讲授中心极限定理时，为了更直观体现中心极限定理描述随机现象统计规律性的重要结论，可以用数学软件MATLAB作为工具，用Monte Carlo算法，给出形象直观的解释及说明，使这个抽象的结论变得易于理解和记忆．2 数理统计教学中的随机模拟试验在数理统计的课堂教学中，根据数理统计的特点，教师在讲授统计推断的概念和方法时，应尽可能地把数据的实际背景阐述清楚，适当拓展课本内容，吸取现代科学技术和社会经济生活的背景与热点问题，使课堂教育跟上时代步伐，培养学生的数据处理能力．例如在讲授双因素方差分析（无交互作用）时， 先对模型进行介绍，然后进行平方和分解，给出方差分析表的结构，最后借助统计软件SAS，教会学生如何将这些理论应用到实际生活中去．尤其方差分析中的数据读取也有讲究，要现场给予指导．2.1 随机数的产生在统计领域里，统计计算技术近年来发展很快．这些技术使得从前解决不了的问题得以解决，如计算概率、各阶矩等均可利用随机模拟近似计算解决．在数理统计里的两大类问题极大似然估计以及Bayes计算利用随机模拟得以广泛发展．在各种统计计算中常需要产生各种概率分布的随机数，介绍几种产生各种分布随机数的方法．2.1.1 逆变换法 设随机变量X 的分布函数为)(X F ，定义)10(})(:inf{)(1≤≤≥=−Y Y X F X Y F ，则分布随机数可产生：（1）产生随机数)1 ,0(~U X ，即由)1 ,0(U 抽取X ；（2）计算)(1X F Y −=，产生分布随机数Y ．例3 设) ,(~b a U X ，则其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤−−<=bx b x a ab a x a x x F 1 0)(，从而)10 ()()(1≤≤−+=−y y a b a y F ，若由)1 ,0(U 抽得u ，则u a b a )(−+是来自) ,(b a U 的一个随机数．2.1.2 合成法 合成方法的应用最早见于文献[3]，合成方法的基本思想是：如果X 的密度函数)(x p 难于抽样，而X 关于Y 的条件密度)(y x p 以及Y 的密度函数)(Y g 均易于抽样，则X 的随机数可产生：（1）由Y 的分布)(y g 抽取y ；（2）由条件分布)(y x p 抽取x ．可以证明[4]，得到的X 服从)(x p ．2.1.3 取舍法 若随机变量ξ在有限区间) ,(b a 内取值，其密度函数)(x f 具有任意形式（甚至没有解析表达式），无法用前面的方法产生时，可用取舍法，其步骤为：Step1 产生) ,(~b a U Y 和)1 ,0(~U X ．Step2 记)(max x f c b x a ≤≤=．若Y f X )(≤，则取Y =ξ；否则，舍去并返回到Step1. 2.2 Monte Carlo 法有了各种分布变量的随机数的产生方法以后，就可以进行随机模拟计算，随机模拟方法也称为Monte Carlo 法，为介绍随机模拟计算的思想，就对如何计算x x f d )(10 ∫进行讨论． 设1)(0≤≤x f ，则当n 较大时，) ,(i i y x （n i , ,2 ,1L =，且10≤≤i x ）中满足)(i i x f y ≤的点出现的频率n k 就可以作为x x f d )(10 ∫的近似. 设随机变量ξ的密度函数为))((b x a x p ≤≤，则)(ξζf =的数学期望（如果存在的话）为 x x f x p Ef b a d )()()( ∫=ξ．若)1 ,0(~U ξ，则x x f Ef d )()(10 ∫=ξ，故只要产生随机数)1 ,0(~U x i ) , ,2 ,1(n i L =， 当n 很大时，由大数定律，∑=n i i n x f 1/)(是)(ξf 的相合估计．这样得到了另一种近似积分x x f d )(10 ∫的方法，且此法对)(x f 的大小没有特别的限制.2.3 用随机模拟求近似解对一些求概率的问题，用随机模拟求近似解往往更直观明了.例4 从南郊某地乘车前往北区的火车站有2条践线可走，第1条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：min）服从正态分布)100 ,50(N ，第2条路线沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布)16 ,60(N ．假如有70 min可用，应走哪条路线；若只有65 min可用，又应走哪条路线?这个问题可由计算能及时到达的概率解出，在计算概率时，需查正态分布表．可用随机模拟试验，重复试验500次，用频率估计概率，这样，更加直观明了.例5 甲在12点50分从合肥火车站打电话告知芜湖的乙，他所乘的火车大约在13点从合肥开出，实际离开合肥的时间η分布见表1．火车从合肥到芜湖的运行时间ξ（单位：h）服从正态分布)0.01 ,5.1(N ．乙接到电话后1 h乘汽车到芜湖火车站接甲，汽车到达火车站所运行时间ς（单位：h）的分布见表２．求乙能及时接到甲的概率.此问题用全概率公式和正态分布表可算出，但较麻烦．若用频率估计概率则更加简洁．3 随机模拟寓于概率统计教学中的意义结合目前社会形势，加强概率统计的应用实践环节，是改变学生对数学课呆板枯燥的认识，提高学生概率统计兴趣的有效途径，同时也是弥补概率统计理论知识教学不足的有效途径．利用概率统计讨论课，分析数据建模中的一些经典示例，再次强化了数据建模的思想方法，使学生进一步熟悉了数据建模步骤．通过发动学生参与社会实践活动，深入实际、调查研究，收集实验数据的素材， 并鼓励他们通过建立相应的概率统计模型来解决一般性实际问题或社会热点问题，在概率统计教学中应跟时代背景，注重实际应用，使学生领悟到学习这门课是有实际作用的．引入统计实验，把概率统计教学与统计实验有机地结合起来，能使学生主动应用概率统计概念和推理方法去观察、分析、解决实际生活中的许多问题，并掌握一种实用的技能，为成为复合型人才打下基础．4 不足之处在现实教学中，种种因素制约了数学实验课教学活动的开展．首先是教师本身的水平及知识面有限，在组织实验课及设计实验时会受到影响．第二，教师精力有限，科研压力大，教学改革受到了冲击；第三是在实践等方面受到限制，需要方方面面人员的支持；第四是设备、经费等方面的限制．面对这些问题，首先教师应该积累资料，努力做好教学研究，拓宽知识面，积极参与具体的教学内容、方法的改革，探索出真正能提高学生数学能力和素质的教学内容、教学方法．其次院校各部门应积极配合做好设备的配备，给予教育经费上的支持．参考文献：[1] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2003：401-450．[2] 顾光同， 张香云，徐光辉．统计实验寓于概率统计教学的探索与实践[J]. 统计与决策，2007（21）：165-167．[3] Bulter J W ．Machine sampling from given probabolity distributions[C]// Meyer M A ．Symposium on Monte Carlo Methods ，NewYork ：Wiley ，1958．[4] 高惠璇．统计计算[M]．北京：北京大学出版社，1995．Probe and practice of stochastic simulation in the teaching ofprobability and mathematical statisticsDAI Jin-hui（Department of Mathematics ，Shandong Institute of Business and Technology ，Yantai 264005，China ）Abstract ：Discussed the meaning and importance of stochastic simulation experiment in the teaching of probability and statistics ，then given random simulation experiment which can be constructed in the teaching of probability theory, and also showed some examples of the random number generation in mathematical statistics teaching ，Monte Carlo method and stochastic simulation experiment to seek the approximate solution using stochastic simulation. Key words ：s tochastic simulation ；probability and mathematical statistics ；teaching practice从课本资源开发谈数学创新思维的培养李平通过研究不等式的一些推广、证明、应用，探讨教师应如何开发课本知识资源，带动、引导、点拨学生，使学生的创新思维得到提高，让学生感受发现、创新的乐趣，认识到创新并不神秘．课本中有2个类似不等式：（1）4)/1/1)((≥++b a b a ;（2）9)/1/1/1)((≥++++c b a c b a ． 由此展开推广．例1 已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：4)/1/1(≥+b a ．此不等式可用多种方法证明．除由不等式4)/1/1)((≥++b a b a 直接得结论外，还可由差值比较法、综合法、三角代换、中值代换法（令x a +=5.0，x b −=5.0，5.00≤≤x ）等方法证明．例2 已知a ，b ，c 为正数，且1=++c b a ，求证：9)/1/1/1(≥++c b a此不等式可由不等式9)/1/1/1)((≥++++c b a c b a 直接得结论．由例1、例2推广到n 个正数的情形：例3 已知121=+++n a a a L ，且0>i a , 求证: 221/1/1/1n a a a n ≥+++L ．进一步推广有例４～例６，这里只给出例４的证明，例５及例６类似可得．例４ 已知a ，b ，c 为正数，且1=++c b a , 求证:（1）2/9)/(1)/(1)/(1≥+++++a c c b b a ；（2） 3/9)2/(1)2/(1)2/(1≥+++++a c c b b a ；（3） 2/9)2/(1)2/(1)2/(1≥−++−++−+b a c a c b c b a证明 （1）因为9)]/(1)/(1)/(1)][()()[(≥++++++++++a c c b b a a c c b b a ，所以9)]/(1)/(1)/(1)[(2≥+++++++a c c b b a c b a ，即2/9)/(1)/(1)/(1≥+++++a c c b b a ．同理证明（2） 、（3）例５ 已知a ，b ，c 为正数，且1=++c b a , n ，m ，k 为整数，0>++k m n ．求证：++++++)/(1)/(1ka mc n kc mb na )/(9)/(1k m n kb ma nc ++≥++．例６ n 个正数n a a a , , ,21L 的和为s 2(≥n ），求证：)1/()/()/()/(221−≥−++−+−n n a s s a s s a s s n L例1、例2是关于倒数和的不等式，可考虑能否推广到关于平方和的不等式．让学生实验、观察、分析探讨，得出结论： 例７ 已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：2/1)/1/1(22≥+b a ．例８ 已知a ，b ，c 为正数，且1=++c b a , 求证：3/1222≥++c b a ．证明 因为1)()()()()(32222222≥−+−+−+++=++a c c b b a c b a c b a ，所以3/1222≥++c b a ．例７、例８的结论可推广到n 个元素的情形：121=+++n a a a L ，且0>i a , 则 n a a a n /122221≥+++L ．例９ 已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：2/25)/1()/1(22≥+++b b a a ．证法1 因为a ，b 为正数，且1=+b a ，所以4)/1/1(≥+b a ，又由平均值不等式得：≥+++22)/1()/1(b b a a 2/25)/1/1(5.02≥+++b b a a ．证法2 因为a ，b 为正数，且1=+b a ，所以2/122≥+b a ，16)/(12≥ab ，所以=+++22)/1()/1(b b a a 2/2542/174])/(11)[(222=+≥+++ab b a ．再分析例1，考虑能否推广到关于b a +大于或小于某个定值．例10 已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：2≤+b a ．证明 由平均值不等式得2/12/)(2/)(=+≤+b a b a ，从而有2≤+b a ．学生可根据自己的理解、探讨，派生得出更多的变形不等式．参考文献：[1] 张祖寅，戴顺芳．轮换对称不等式的证明技巧[J]．中学数学教学参考，2003（4）：36-38.[2] 王家明．影响学生“问题发现”的因素分析[J]．中学数学教学参考，2002（5）：9-10．[3] 郭璋，杨之．MM 教育方式与数学创新教育[J]．数学通报，2001（4）：3．（作者单位：安康职业技术学院，陕西 安康 72500）。