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2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．设X的分布函数F(x)为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31318.0114.010)(x x x x x F , 则X 的概率分布为（ ）。
分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x 是离散型的随机变量[答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]2．设X ~U(0,2),则Y=2X 在(0,4)内的概率密度=)(y f Y （ ）。
[答案填：y41]解：X ~U(0,2)1,02()20,x f x others⎧≤≤⎪∴=⎨⎪⎩，2(){}{}{()Y F y P Y y P X y P X f x dx=≤=≤=≤≤=，求导出=)(y fY (X X f f =y41 （04y <<）3．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。
已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。
（10分） 解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，B 表示误期到达。
则222241(|)()(|)(|)()()(|)i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1⨯=⨯+⨯+⨯+⨯答：此人乘坐火车的概率为0.209。
4．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,,2, 1, 0A,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.6P A =，10021X X X ，，， 相互独立。
令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（B ）。
A. )(y ΦB.Φ C.(60)y Φ- D.60()24y -Φ5．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=others x x x f 0102)( 求：（1）X 的分布函数F(x) ；（2）P{0.3<X<2}（同步45页三.3）2．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。
A. )23(21---y f X B. )23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )23(21+-y f X 3．设)(x Φ为标准正态分布函数，,,2, 1, 0A,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独立。
令1nii Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y ΦB.Φ C.()y np Φ- D.()(1)y np np p -Φ-4．已知随机向量（X,Y ）的协差矩阵V 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9664V 计算随机向量（X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X ＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV （X ＋Y, X －Y ）=DX-DY=-5故（X ＋Y, X －Y ）的协差矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--155255．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,,2, 1, 0A,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.7P A =，10021X X X ，，， 相互独立。
令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y ΦB.Φ C.(70)y Φ- D.70()21y -Φ6．若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（D）。
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知随机变量X ～N （0，1），求随机变量Y ＝X 2的密度函数。
解：当y ≤0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝)(y X y P ≤≤-＝dxedx ex yx yy2/02/2221221---⎰⎰=ππ因此，f Y (y)＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0. 0,0, , 2)(2/y y y e y F dy d y Y π2．若事件321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。
A. 321,,A A A 相互独立B.321,,A A A 两两独立C.)()()()(321321A P A P A P A A A P =D.321,,A A A 相互独立3．连续型随机变量X 的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。
A. 0() 1B.C. () 1D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==⎰在定义域内单调不减4．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。
A. )23(21---y f X B. )23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )23(21+-y f X 5．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则=)(XY E （ A ）。
A. 3B. 6C. 10D. 126．已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 1 11 4⎛⎫ ⎪⎝⎭－－ 求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -32133*73)()(),(,-=-=+-+-=+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -3-3 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和⎛⎪⎪⎭求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．已知随机变量X ～N （0，1），求随机变量Y ＝X 2的密度函数。
解：当y ≤0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝)(y X y P ≤≤-＝dxedx ex yx yy2/02/2221221---⎰⎰=ππ因此，f Y (y)＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0. 0,0, , 2)(2/y y y e y F dy d y Y π2．某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。
今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x =10.48cm 。
假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常? 0.050.050.025((16)=2.12, (15)=2.131, 1.960 )t t U =已知：解： 待检验的假设为0:H 10.5μ=选择统计量x U =当0H 成立时， U ～()0,1N0.025{||}0.05P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}由已知10.4810.580.5330.151541.960U U -====< 接受H ，即认为切割机工作正常。
3．7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1已知方差不变。
问在0.05α=显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？0.050.050.025((15)=2.131, (14)=2.145, 1.960 )t t U =已知：解：待检验的假设是0:15H μ= 选择统计量X U =在0H 成立时~(0,1)U N0.025{||}0.05P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}经计算 919114.967i i x x ===∑14.967150.330.3/3U -=== 1.960U <接受0H ，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．设随机向量（X ，Y ）联合密度为f(x, y)=⎩⎨⎧≤≤≤.,0; 10 ,6其它y x x（1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由。
解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x ≤1时，fX (x)＝).1(66),(1x x xdy dy y x f x-==⎰⎰+∞∞-因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度fX (x)＝⎩⎨⎧≤≤-.,0,10 ,662其它x x x当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y ≤1时，fY (y)＝.3|36),(2020y x xdx dx y x f yy===⎰⎰+∞∞-因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度fY (y)＝⎩⎨⎧≤≤.,0,10 ,32其它y y（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X 与Y 不独立。
2．已知连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。
解：(1) lim () 1 2lim ()02A 1/2, 1/ x x F x AB F x A B B πππ→+∞→-∞=+==-===221() ()(1)f x F x x π'==+（）(3) P （0<X<2）=F(2)—F(0)=2arctan 1π3．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。
（课本117页41题）4．设系统L 由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1.L2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。
求系统L 的寿命Z 的密度函数。
解：令X.Y 分别为子系统L1.L2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝max (X, Y)。
显然，当z ≤0时，F Z (z)＝P (Z ≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z ≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝P (X ≤z, Y ≤z)＝P (X ≤z)P (Y ≤z)＝dye dx ezy zx⎰⎰--0βαβα＝)1)(1(zz e e βα----。
因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为f Z (z)＝⎩⎨⎧≤>+-+=+---00,0 ,)()()(z z e e e z F dz dz z z Z βαβαβαβα5．若A.B 相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。
A. )()()(B P A P B A P =B. 0)(=AB PC. )|()|(A B P B A P =D.)()|(B P B A P =6．设总体X 服从参数为λ的指数分布，123,,,,nx x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。
解：似然函数11niii nx x nn i L ee λλλλ=-∑-==∏=1ln ln nii L n x λλ==-∑1ln 0ni i d L nx d λλ==-∑=11ˆnii nxx λ===∑7．0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。
求μ的置信度为0.95的置信区间。
0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：.解：由于零件的长度服从正态分布,所以~(0,1)x U N =0.025{||}0.95P U u <=所以μ的置信区间为0.0250.025(x u x u -+ 经计算91916ii x x===∑μ的置信度为0.95的置信区间为 1133(6 1.96,6 1.96)-⨯+⨯ 即(5.347，6.653)8．一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：16.10, 2.10x cm s cm ==。
设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差2σ的置信度为0.95的置信区间。
22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=-220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2σ的置信度0.95的置信区间为228 2.108 2.10,17.535 2.180⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 即()2.012,16.1839．7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1已知方差不变。
问在0.05α=显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？0.050.050.025((15)=2.131, (14)=2.145, 1.960 )t t U =已知：解：待检验的假设是 0:15H μ= 选择统计量X U =在0H 成立时~(0,1)U N0.025{||}0.05P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}经计算 919114.967i i x x ===∑14.967150.330.3/3U -=== 1.960U <接受0H ，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。
10．某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。
今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x =10.48cm 。
假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常?0.050.050.025((16)=2.12, (15)=2.131, 1.960 )t t U =已知：解： 待检验的假设为0:H 10.5μ=选择统计量x U =当0H 成立时， U ～()0,1N0.025{||}0.05P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}由已知10.4810.580.5330.151541.960U U -====< 接受H ，即认为切割机工作正常。
11．正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为（次/分）：12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=others x x x f 0102)( 求：（1）X 的分布函数F(x) ；（2）P{0.3<X<2}（同步45页三.3）13．设X的分布函数F(x)为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31318.0114.010)(x x x x x F , 则X 的概率分布为（ ）。
分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x 是离散型的随机变量[答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]14．设随机变量X 的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。
[答案：当x ＜1时，F(x)=0; 当1≤x ＜2时，F(x)=0.2;当2≤x ＜3时，F(x)=0.5;当3≤x 时，F(x)=115．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。
已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。
（10分） 解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，B 表示误期到达。
则222241(|)()(|)(|)()()(|)i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1⨯=⨯+⨯+⨯+⨯答：此人乘坐火车的概率为0.209。
16．设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。
Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ.1)(=AB P17．设随机事件A.B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。
A. q p )1(- B. pqC. qD.p18．若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。
A. X 和Y 相互独立B. X 与Y 不相关C. )()()(Y D X D XY D =D.)()()(Y D X D Y X D +=+19．下列事件运算关系正确的是（ A ）。
A. A B BA B +=B. A B BA B +=C. A B BA B +=D. B B -=120．若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ B ）。
A. )()(B P A P +B. )()()()(B P A P B P A P -+C. )()(B P A PD.)()(B P A P +21．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.2P A =，10021X X X ，，， 相互独立。
令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y ΦB.20()4y -Φ C.(1620)y Φ- D.(420)y Φ-22．设X 与Y 相互独立，且X 服从3=λ的指数分布，Y 服从4=λ的指数分布，试求： （1）),(Y X 联合概率密度与联合分布函数；（2）)1,1(<<Y X P ； （3）),(Y X 在{}343,0,0),(<+>>=y x y x y x D 取值的概率。
解:（1）依题知⎩⎨⎧>=-其他,00,3)(3x e x f x X⎩⎨⎧>=-其他,00,4)(4y e y f y Y 所以),(Y X 联合概率密度为 ⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,12),(43y x e y x f y x 当0,0>>y x 时，有)1)(1(12),(43043y x x ys t e e ds e dt y x F ------==⎰⎰所以),(Y X 联合分布函数⎩⎨⎧>>--=--其他,0;0,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x （2）)1)(1()1,1()1,1(43----==<<e e F Y X P ； （3）()314330434112),(-----==∈⎰⎰e dy e dx D Y X P xy x23．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
