【湘教版】九年级数学上册：第三章 图形的相似 章末检测卷(含答案)

第3章图形的相似检测题（时间:90分钟,满分：100分）1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（）2. 已知四条线瓯,b, c ,提成比例线段，即舒务下列说法错误的是3. 在比例Kl ： 6 000 000的地图上，量得两地的距离是15叫则这两地的实际距离是（）A. 0.9 kmB. 9 kmC. 90 kmD. 900 km4. 若- = - = 且3a —2b+c =3,则2a+4b —3c 的值是（）5 7 8 A. 14B. 42C. 7D.—35. 如图，在△百孔中，点6 E 分别是朋、M 的中点，则下列结论：①B一.选择（每小题3分，共30分）A ・ ad = bec.A AC = 2DE;②、ADE S/\ABC；群| =签；其中正确的有（）第10題图6. 如图,AB //CD ,AE //FD ,AE . FD 分别交况于点乐乩则图中共有相似三角形（）A B C D7. 己知毗如图所示,则下列4个三角形中，与△4EC 相似的是（ ）8. 下列说法中正确的是（）① 在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多 边形相似；② 如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似； ③ 有一个角对应相等的平行四边形都相似； ④ 有一个角对应相等的菱形都相似.A.①②B.②③C.③④D.②®9. 己知,如图，点C 是线段W 的黄金分割点UO5C ）,则下列结论中正确BC第5题因A.3个B.2个C. 1个6 / \6R --------------------L C 第了题因D.0个A.4对D.7对HB.5对C. 6对A A第10題图的是（ ）A. A3Z = AC 2+BC 2 C.EC _ 岳 AC 2B ・ BC 2 = AC^BA D.—旦c第曬因10•如图，在Rt△磁中，ZACF=90笃BC = 3、4C = 4,朋的垂直平分线DE 交毗的延长线于点E,则CE的长为（）11.己知a：& = 3:2,且仇+b二迪则b二_______ 12•己知a, b, C是成比例线段，即中壬,其中0 da. = 3 cm, b = 2 cm, c = 6 cm,贝血= _____ cm.13•如图，在△朋£中,DE//BC,AD = 2, HE = 3, BD = 4,贝|J/1C = ______15.如图,C是丽的黄金分割点、，BG =筋,以C4为边的正方形的面积为S"以EC、EG为边的矩形的面积为足，则几 _______________ S2（填“>” “二”）16.五边J^ABCDE s五边形ZA = 120% Zy=130°, ZC = 105°, ZZT =85°,则ZE = ___________ .17.如图，在△A B£中,D、E分别是AC、43边上的D. 2二填空（每小题3分，共24分）14 •若= 则h d J3a -2c + e3b — 2d +f26点，ZAED 二6, AI>= 4, AC=5,贝l iAE = _________ ・18.如图，ZU比三个顶点的坐标分别为』（2, 2）, 3（4, 0）, C（6, 4）,以原点为位似中心，将△且毗缩小，位似比为i : 2,则线段处的中点P变换后对应点的坐标为_________ .三•解答题（共46分）19. （5分）如图,在平行四边形AFCD中,E为边4D延长线上的一点，且D为如的黄金分割点，即AD = '^AE, BE交DC于点F,己知A* =苗十1,求CF的长.第⑴题圈20. （4分）如图，在△個?中，朋二北平分ZABJDE//BC.求证:DE=EC.第23题国（1）求证煜AE BC(2)若GE=2,BF = 3,求线段EF 的长.22. （8分）如图，梯形妬CD 中，舫〃CD,点F 在ECj 匕连接DF 并延长与初的 延长线交于点G.（1）求证：4CDF S £\BGF;（2 ）当点F 是毗的中点时，过点F 作EF // CD 交AD 于点E ,若AB = 6 cm, EF = 4 cm,求CD 的长.23. （8分）如图，在梯形佔CD 中，肋〃EC,点E 是边AD 的中点，连接EE 交 处于F,咙的延长线交CD 的延长线于G.21. （5 分）已知:如图，D 是AC±—^9BE//AC 9BE = AD,血分别交ED 、BCD第22题图24. （8分）己知:如图，在△ABC中,AB = AG DE//BC,点F在边4C上,M与恥相交于点G,且ZEDF= AABE.求证：HDEF S^BDE；⑵ DG・DF = DB・EF.25. （8分）如图,在正方形血CD中/ F分别是边肋、CD上的点,AE =ED, DF= ^DC,连接册并延长交眈的延长线于点G,（1）求证：MBEMDEF ；（2）若正方形的边长为4,求BG的长.第25题图参考答案1.D 解析：根据相似图形的定义知,A. B. C项都为相似图形,D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.2. C 解析：由比例的基木性质知A. B. D项都正确,C项不正确.3. D 解析：15 x 6 000 000 = 90 000 000(cm) = 900{km).4. D 解析：设-= - = - = x, 则5 7 8a. = 5场b= 7” c = 8禺又因为3a ~2b+ c = 3, 所以15x-14r + 8x=3,冃卩3龙=i,月f 以2a + 4b 一3<?= 10无+ 28戈一24% = 14尤=目.35. A 解析：因为点D、E分别是AB、M的中点，所以DE是△個?的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.6. C 解析：/\CEG s “CDH s /\BFHs “BAG.7. C 解析：由AB = AC, ZB = 75。

第三章图形的相似单元检测题（时间：120分钟 满分：120分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.在比例尺为1 ： 5000的地图上，量得甲.乙两地的距离为25 cm,则甲•乙两地间的实际距离是（,b 5 … t a~\~b f ,，亠戸 z2•气肓则R 的值是（D. -43.如图，点尸是^ABCD 的边G?上一点，直线 疔交肋的延长线于点E 、CD, AB// CD 、AB=2 m, CD=5 m,点 P 到 CD 的距离为 3 m,则点 P 到M 的距离是（ 6 10C. T m D ・〒m □ 35.如果两个相似三角形的而积之比为9 : 4,那么这两个三角形对应边 上的高之比为（ ）A. 1250 kmB. 125 kmC. 12. 5 kmD. 1. 25 kmC. 4 第3题图4•如图，电灯尸在横杆D第4题图AB 的正上方，肋在灯光下的影子为5 A-6 mB.y mA. 1个则下列结论正确的有（B.2个①咔.②卷竺. 」EA AE 一 BC FBD.4个A. 9 ： 4B. 3 ： 2C. 2 ： 3D. 81 : 166.某学习小组在讨论“变化的三角形”时，知道大三角形与小三角形 是位似图形（如图所示）.则小三角形上的顶点@,方）对应大三角形的 顶点坐标为（ ）C. （―2勺 一2曰）D. （ —2a,—方）7. 如图，△磁中,尸为力方上一点,在下列四个条件中：①ZACP="；②ZAPC= ZACB ；③AC = AP ・AB ；④佃• CP= AP・CB,能满足 △件C 和△力伪相似的条件是（）A.①②④B.①③④C.②③④8. 如图，在口ABCD 中，E 为G?的中点，胚交劭于点0、S®=\2 cm ［则9. 如图，将△宓的三边缩小为原来的老下列说法：①△宓与△妙 是位似图形；②△宓与△妙 是相似图形； ③△宓与△冊'的周长之比为2 : 1；④与△刀'的面积之 比为4 ： 1.其中正确的个数是（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，把△遊沿M 边平移到△才B 1C 的位置，它们的重叠部 分（即图中的阴影部分）的面积是△宓的面积的一半，若佃=翻, 则此三角形移动的距离曲'是（ ）A. （―2日，一2方）B. （2曰,26）A. 24 cm 2B. 36 cm'C. 48 cnTD. 60 cnTD.①②③第9题图第8题图二.填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11. 已知2, 3, 5, x 是成比例线段，则x= ___ .12. 如图，在ZXABC 中，点 D, E 分别在 AB, AC 上,DE 〃BC.若 AD=4, DB =DE2,则娱的值为—• 13. 如图，在切磁中，尸是AD 延长线上一点，连接矿交％于点E,在 不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：14. 如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米小明站在距甲楼10米的力处目测得点力与甲，乙楼顶B, C 刚好在同一直线上，若小明的身 高忽略不计，则乙楼的高度是—米.AR RC AC 斤15. 在△宓和△妙中，若且△力庞与△妙的周长之Ut Lr Ur 6差为10 cm,则的周长为 ___________ cm.16. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感，某女老师上身长约61. 80 cm,下身长约93. 00 cm,她要穿约—cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果.（精确 到 0.01 cm ）1±V12A. 9 ： 4B. 3 ： 2C. 2 ： 3D. 81 : 1617.如图，'ABC中，点D在边AB上，满足ZACD= ZABC,若川7=2, AD=1,则％=.O B NA M18. 如图，△宓与△才B' C 是位似图形，且顶点都在格点上，则位 似中心的坐标是 三•解答题（共66分）19. （6分）如图，△宓以点0为位似中心的图形是△才B' C' ,己知点灯 的位置如图所示，求点F 和点C 的坐标.20. （8分）课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，己知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=\5 m,人的眼睛与地而的高度 EF=\. 6 m,人与标杆G?的水平距离DF=2 m （如图所示），求旗杆初的高度.笔一・石--77777777777777777777F D B21. （10分）如图，矩形ABCD 为台球桌面,AD = 260 wAB=130的球目前在E 点位置,AE=60阿如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去, 经过反弹后，球刚好弹到D 点位置.X（1）求证：ABEF^ACDF；O B NA M⑵求CF 的长.22. （10分）如图，是一个照相机成像的示意图.⑴如果像高妙是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度肋是 4.9 m,拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少?23. （10分）如图，ZC=90。

第3章 图形的相似一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 1．以下列数据为长度的线段中，能成比例的是( ) A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm B ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，A ′D ′分别是对应边BC ，B ′C ′上的高，且BC ＝10 cm ，B ′C ′＝6 cm ，AD ＝7 cm ，则A ′D ′为( )A.163 cm B ．12 cm C.215cm D ．以上都不正确 3．在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为( ) A.12 B.13 C.14 D.164．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，根据下列条件，能判定△ABC 和△DEF 相似的是( )A.AB DE ＝AC DFB.AB DE ＝BC EF C ．∠A ＝∠E D ．∠B ＝∠D 5．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图1，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF .以点F 为圆心，以FD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点G .作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图1A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH6．如图2，已知△ABC ，任取一点O ，连接AO ，BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.A ．1B ．2C ．3D ．4图2 图37．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4 m ，如图3所示．已知小丽同学的身高是1.54 m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm ，则旗杆DE 的高度为( )A ．10 mB ．12 mC ．12.4 mD ．12.32 m二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 8．已知ab ＝3，则a －b b＝________．9．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，需添加一个条件是________．(写出一种情况即可)10．如图4，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小得到△A ′B ′C ′，若AA ′＝2OA ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为________．11．如果两个相似三角形的面积比是16∶9，那么它们对应的角平分线的比是________．图4 图512．如图5，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB 与△A ′OB ′是以原点O 为位似中心的位似图形，且OA OA ′＝32，点A ，B 都在格点上，则点B ′的坐标是________．13．如图6，为了测量一水塔的高度，小强用2 m 长的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m ，与水塔相距32 m ，则水塔的高度为________m.图614．如图7，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．图7三、解答题(本大题共3小题，共37分)15．(10分)已知：如图8，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－2，－2)，B (－5，－4)，C (－1，－5)．(1)在网格中画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在网格中画出△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．图816．(13分)如图9(示意图)，小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部和顶部．如果小明的手臂长l＝40 cm，小尺的长a＝20 cm，点D到旗杆底部的距离AD＝25 m，求旗杆BA 的高度．图917．(14分)如图10，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，EF交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EF A；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．图101．[答案] D 2．[答案] C 3．[答案] C 4．[答案] B5．[解析] D 设正方形ABCD 的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1.在直角三角形DCF 中，DF ＝CF 2＋CD 2＝12＋22＝5，∴FG ＝5，∴CG ＝5－1，∴CGCD ＝5－12，∴矩形DCGH为黄金矩形．故选D.6．[解析] C 根据位似的性质得出①△ABC 与△DEF 是位似图形，②△ABC 与△DEF 是相似图形．∵△DEF 是将△ABC 的三边缩小为原来的12得到的，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1，故③错误．根据面积比等于相似比的平方，可知④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.故选C.7．[解析] B 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，则ABDE ＝BC DC ，即1.5DE ＝0.54，解得DE ＝12(m)．故选B. 8．[答案] 29．[答案] ∠A ＝∠D (答案不唯一) 10．[答案] 3∶1[解析] 由题意可知△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∵AA ′＝2OA ′，∴OA ＝3OA ′， ∴AC A ′C ′＝OA O ′A ′＝31，∴C △ABC C △A ′B ′C ′＝AC A ′C ′＝31. 故答案为3∶1. 11．[答案] 4∶3 12．[答案] (－2，43)[解析] 由题意得OA OA ′＝32.又∵B (3，－2)，∴点B ′的横坐标是3×(－23)＝－2，点B ′的纵坐标是－2×(－23)＝43，即点B ′的坐标是(－2，43)．故答案为(－2，43)．13．[答案] 1014.154或307 [解析] 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝10.应分情况讨论：①当AQ ＝PQ ，∠QPB ＝90°时．设AQ ＝PQ ＝x .由题意，得PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ， ∴BQ BA ＝PQ CA ，∴10－x 10＝x 6， ∴x ＝154，∴AQ ＝154.②当AQ ＝PQ ，∠PQB ＝90°时．设AQ ＝PQ ＝y . 由题意，得△BQP ∽△BCA ，∴PQ AC ＝BQ BC ，∴y 6＝10－y 8，∴y ＝307. ③当AQ ＝AP ，∠PQB ＝90°时．设AQ ＝z . 由题意，得△BQP ∽△BCA ，BQ ＝10－z . BQ BC ＝BP BA ，10－z 8＝BP 10，BP ＝12.5－1.25z . 在Rt △ACP 中，AC ＝6，AP ＝z ，BP ＝12.5－1.25z ，∴CP ＝8－(12.5－1.25z )＝1.25z －4.5.由勾股定理，得(12.5－4.5z )2＋62＝z 2，解得z ＝10，∴此情况不存在．综上所述，满足条件的AQ 的值为154或307.15．解：(1)(2)画图如下图所示，B 2(10，8)．16．解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交EF 于点P ，则CH ＝AD ＝25 m ，CP ＝40 cm ＝0.4 m ，EF ＝20 cm ＝0.2 m.由题意，得EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CBA ，∴EFBA＝CPCH，即0.2BA＝0.425，解得BA＝12.5(m)．答：旗杆BA的高度为12.5 m.17．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EF A.(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝12.∵F是AM的中点，∴AF＝FM＝6.5.∵△ABM∽△EF A，∴BMF A＝AMEA，即56.5＝13EA，∴EA＝16.9，∴DE＝EA－AD＝4.9.。

小专题(五) 相似三角形的基本模型(教材变式型)模型1 X 字型及其变形模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ； (2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO ∽△CDO.教材母题(教材P102T5)：如图，AE 与BD 相交于点C ，已知AC ＝5，BC ＝3，EC ＝10，DC ＝6.求证：AB ∥DE.证明：∵AC EC ＝510＝12，BC DC ＝36＝12，∴AC EC ＝BC DC. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. ∴∠A ＝∠E. ∴AB ∥DE.变式训练：1．(恩施中考)如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC 等于(D)A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶22．已知：如图，∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE ＝∠ACB ， ∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF2. ∴DF ＝4.模型2 A 字型及其变形模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE ∽△ABC ； (2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE ∽△ACB.教材母题(教材P82T2)：如图，点B ，C 分别在△ADE 的边AD ，AE 上，且AC ＝6，AB ＝5，EC ＝4，DB ＝7.求证：△ABC ∽△AED.证明：∵AC AD ＝12，AB AE ＝12，∴AC AD ＝AB AE. 又∵∠CAB ＝∠DAE ， ∴△ABC ∽△AED.变式训练：3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝ACAD.证明：∵AB ＝AD ， ∴∠ADB ＝∠ABE. 又∵∠ADB ＝∠ACB ， ∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵∠BAE ＝∠CAB ， ∴△ABE ∽△ACB. ∴AB AC ＝AE AB . ∴AB AE ＝AC AB . ∴AB AE ＝AC AD.4．如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF .证明：∵AB ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB. ∴EF AB ＝DF DB. 又∵EF ∥CD ， ∴△BEF ∽△BCD. ∴EF CD ＝BFBD. ∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BD BD ＝1. ∴1AB ＋1CD ＝1EF.模型3 旋转型模型展示：如图，若∠BAD ＝∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成A 字型的相似三角形．教材母题(教材P89T3)：如图，∠1＝∠2，AB·AD ＝AC·AE.求证：△ABC ∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC ＝∠BAC ， ∠2＋∠EAC ＝∠EAD ， ∴∠BAC ＝∠EAD. 又∵AB·AD ＝AC·AE ， 即AB AE ＝ACAD， ∴△ABC ∽△AED.变式训练：5．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠C ＝∠E ，∠1＝∠2，AC ＝AD ＝2AB ＝6，求AE 的长．解：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD. 又∵∠C ＝∠E ， ∴△ABC ∽△ADE. ∴AC AE ＝AB AD. ∵AC ＝AD ＝2AB ＝6， ∴AB ＝3. ∴6AE ＝36. ∴AE ＝12.模型4 双垂型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC ∽△CBD.教材母题(教材P104T12)：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证： (1)AC 2＝AD·AB ； (2)CD 2＝BD·AD.证明：(1)∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝90°. ∴∠CDA ＝∠BCA. 又∵∠BAC ＝∠CAD ， ∴△ACB ∽△ADC. ∴AB AC ＝ACAD，即AC 2＝AD·AB. (2)∵∠ACD ＋∠A ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.又∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD. ∴AD CD ＝CDBD，即CD 2＝BD·AD.变式训练：6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形有(C) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对7．如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，D 为垂足，且AD ＝3，AC ＝35，则斜边AB 的长为(B) A ．3 6 B ．15 C ．9 5 D ．3＋3 5模型5 M 字型模型展示：如图，Rt △ABD 与Rt △BCE 的斜边互相垂直，则有△ABD ∽△CEB.教材母题(教材P80T2)：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE.已知ED ＝1，BD ＝4，求AB 的长．解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∠ACB ＋∠A ＝90°. ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠A ＝∠ECD. ∴△ABC ∽△CDE. ∴AB CD ＝BCDE. 又∵C 是线段BD 的中点，ED ＝1，BD ＝4， ∴AB ＝4.变式训练：8．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且CF ＝3FD ，∠BEF ＝90°. (1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4.∵CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵E是AD的中点，∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF，∴DECG＝DFCF，即2CG＝13.∴CG＝6.∴BG＝BC＋CG＝10.小专题(六)线段等积式、比例式的证明方法1三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形．1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ABC ∽△ADE ， ∴AB AD ＝AC AE， 即AB·AE ＝AC·AD.2．如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上，且∠ABD ＝∠C ，求证：AB 2＝AD·AC.证明：∵∠ABD ＝∠C ，∠A 是公共角， ∴△ABD ∽△ACB. ∴AB AC ＝ADAB. ∴AB 2＝AD·AC.3．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，交BC 延长线于F.求证：CD 2＝DE·DF.证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠A ＋∠B ＝90°，CD ＝AD. ∴∠A ＝∠DCE. 又∵DF 垂直平分AB ， ∴∠BDF ＝90°. ∴∠B ＋∠F ＝90°. ∴∠DCE ＝∠F. 又∵∠CDE ＝∠FDC ， ∴△CDE ∽△FDC. ∴CD FD ＝DEDC，即CD 2＝DE·DF.4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B.求证：BD·CD ＝BE·CF.证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠B ＋∠BDE ＋∠DEB ＝180°，∠BDE ＋∠EDF ＋∠FDC ＝180°，∠EDF ＝∠B ， ∴∠FDC ＝∠DEB. ∴△BDE ∽△CFD. ∴BD CF ＝BECD， 即BD·CD ＝BE·CF.方法2 等线段代换法从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形．5．已知：如图，在▱ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，DE 交AB 于F.求证：AD·AB ＝AF·CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，AD ∥BC. ∴∠ADF ＝∠E. ∴△ADF ∽△CED. ∴AD CE ＝AFCD. ∴AD CE ＝AFAB，即AD·AB ＝AF·CE.6．如图，在△ABC 中，点D ，E 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形，∠BAC ＝120°，求证：DE 2＝BD·CE.证明：∵△ADE 是等边三角形， ∴DE ＝AD ＝AE ，∠ADE ＝∠AED ＝60°. ∴∠ADB ＝∠AEC ＝120°， ∠B ＋∠BAD ＝60°. 又∵∠BAC ＝120°， ∴∠B ＋∠C ＝60°. ∴∠BAD ＝∠C. ∴△ABD ∽△CAE. ∴BD AE ＝ADCE . ∴BD DE ＝DE CE， 即DE 2＝BD·CE.7．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点．求证：BP 2＝PE·PF.证明：连接PC.在△ABC 中，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点， ∴AD 垂直平分BC. ∴PB ＝PC. ∴∠PBC ＝∠PCB.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB ， 即∠ABP ＝∠ACP.∵CF ∥AB ，∴∠ABP ＝∠F.∴∠ACP ＝∠F.又∵∠EPC ＝∠CPF ，∴△PCE ∽△PFC. ∴PC PE ＝PF PC. ∵PC ＝PB ， ∴PB PE ＝PFPB，即PB 2＝PE·PF.方法3 等比代换法(找中间比)要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．8．如图，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P.求证：DP BQ ＝PEQC .证明：在△ABQ 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ. ∴DP ∶BQ ＝AP ∶AQ. 同理△AEP ∽△ACQ ， ∴PE ∶QC ＝AP ∶AQ.∴DP ∶BQ ＝PE ∶QC ，即DP BQ ＝PEQC .9．如图，在▱ABCD 的对角线BD 上任取一点P ，过P 点引一直线分别与BA 、DC 两边的延长线交于E 、G ，又与BC 、AD 两边交于F 、H ，求证：PE PG ＝PFPH.证明：在▱ABCD 中， ∵AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴PE PG ＝PB PD ，PF PH ＝PB PD.∴PE PG ＝PF PH.10．如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形．其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F.求证： (1)△ACE ≌△BCD ； (2)AG CG ＝AF EF.证明：(1)∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠DCE ＋∠ACD ＝∠ACB ＋∠ACD ， 即∠ACE ＝∠BCD. ∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(2)∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形， ∴AB ＝AC ，CD ＝ED ，∠ABC ＝∠DCE ＝60°. ∴AB CD ＝ACED，AB ∥DC. ∴∠ABG ＝∠CDG ，∠BAG ＝∠DCG . ∴△ABG ∽△CDG. ∴AG CG ＝AB CD .同理AF EF ＝AC ED ，∴AG CG ＝AF EF.方法4 等积代换法(找中间积) 常用到基本图形的结论找中间积．11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠DAE ＝∠BAD ， ∴△ADE ∽△ABD. ∴AD AB ＝AEAD，即AE·AB ＝AD 2. 同理，△ADF ∽△ACD ， ∴AF·AC ＝AD 2. ∴AE·AB ＝AF·AC.12．(崇明中考)如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，连接AG .求证：BG AB ＝AB BE.证明：∵∠BGD ＝∠C ，∠DBG ＝∠EBC ， ∴△BGD ∽△BCE. ∴BG BC ＝BD BE， 即BG·BE ＝BC·BD.又∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ， ∴△ABD ∽△CBA. ∴AB CB ＝BDBA，即BC·BD ＝AB 2. ∴BG·BE ＝AB 2，即BG AB ＝ABBE .13．如图，在△ABC 中，AD 、BF 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 的延长线于H ，求证：DE 2＝EG·EH.证明：∵AD 、BF 分别是BC 、AC 边上高，DE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE. ∴∠EBD ＝∠EDA. ∴△AED ∽△DEB. ∴DE 2＝AE·BE.又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ， ∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°， ∴△BEG ∽△HEA. ∴EG AE ＝BEHE，即EG·EH ＝AE·BE. ∴DE 2＝EG·EH.章末复习(三) 图形的相似01 基础题知识点1 比例及比例线段1．下列各线段的长度成比例的是(D) A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cm B ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm 2．已知5x －8y ＝0，则x ∶y ＝8∶5． 知识点2 平行线分线段成比例3．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，BD ∶DF ＝2∶5，那么下列结论正确的是(D)A ．AC ∶AE ＝2∶5B ．AB ∶CD ＝2∶5C ．CD ∶EF ＝2∶5 D ．CE ∶EA ＝5∶7知识点3 相似图形和位似图形4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为(A)A ．(3，2)B ．(3，1)C ．(2，2)D ．(4，2)5．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝125°，m ＝12.知识点4 相似三角形的判定6．如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的三等分点，AE ＝23AD ，连接BE ，交AC 于点F ，AC ＝12，则AF 为(B)A ．4B ．4.8C ．5.2D ．67．(海南中考)如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是(C) A ．∠ABD ＝∠C B ．∠ADB ＝∠ABCC.AB BD ＝CB CDD.AD AB ＝AB AC知识点5 相似三角形的性质8．(云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B ，如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为(D)A ．15B ．10 C.152D ．59．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若△ABC ∽△BDC ，则CD ＝(D) A ．2 B.32C.43D.94知识点6 相似三角形的应用10．如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲，乙楼顶B 、C 刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是60米．11．如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点，使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5 m ，AD ＝15 m ，ED ＝3 m ，则A 、B 两点间的距离为20m.02 中档题12．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有(B) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个13．(安顺中考)如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为32．14．在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD·DC ，则∠BCA 的度数为65°或115°． 15．如图，已知四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC.(1)请你补充一个条件，使△ABD ∽△DCB ，并证明你补充的条件符合要求； (2)在(1)的条件下，如果AD ＝6，BD ＝43，求DC 的长． 解：(1)补充条件为：∠BDC ＝90°. 证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC. ∵∠A ＝∠BDC ＝90°， ∴△ABD ∽△DCB. (2)∵△ABD ∽△DCB ， ∴AD DB ＝BD CB ，即643＝43BC.解得BC ＝8. 在Rt △BDC 中，DC ＝BC 2－BD 2＝4.16．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步．小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A 点(距N 点5块地砖长)时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B 点(距N 点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6米，MN ⊥NQ ，AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长．(结果精确到0.01米)解：由题意得∠CAD ＝∠MND ＝90°，∠CDA ＝∠MDN. ∴△CAD ∽△MND. ∴CA MN ＝ADND. ∴1.6MN ＝1×0.8（5＋1）×0.8. ∴MN ＝9.6.又∵∠EBF ＝∠MNF ＝90°，∠EFB ＝∠MFN ， ∴△EBF ∽△MNF.∴EB MN ＝BFNF. ∴EB 9.6＝2×0.8（2＋9）×0.8. ∴EB ≈1.75.答：小军的身高约为1.75米．03 综合题17．(益阳中考改编)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.BE ＝2，BC ＝6. (1)求证：△ABD ∽△CBE ； (2)求AE 的长度；(3)设AD 与CE 交于F ，求△CFD 的面积．解：(1)证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC. ∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴AB∶CB＝BD∶BE.∴AB∶6＝3∶2.解得AB＝9.∴AE＝7.(3)在Rt△BEC中，由勾股定理得CE＝4 2. ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ECB＝∠ECB，∴△CDF∽△CEB.∴CD∶CE＝DF∶EB.∴3∶42＝DF∶2.解得DF＝34 2.∴S△CFD＝12×342×3＝98 2.。