第三章 控制系统的能控性和能观测性
3-1能控性及其判据 一：能控性概念
定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据
设系统动态方程为：
x 2不能控
y
2则系统不能控
，若2121,C C R R ==⎩⎨
⎧+=+=Du
Cx y Bu Ax x
设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：
即：
由凯莱-哈密尔顿定理：
令 上式变为：
对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：
⎰-+=f
t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-f
f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0
1)()()()()()()0(τ
ττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1
)()(n k k
k A A e
τατφτ
∑⎰⎰∑-=-=-=-=1
01
)()()()()0(n k t k k t n k k k f
f d u B A d Bu A x τ
τταττταk
t k u d u f
=⎰
)()(ττταU
Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k
k -=⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121
],,,[)0(
能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
判据2：对于线性定常系统，若B 的秩为r ，则系统完全能控的充要条件是：rank[B ，AB ，A 2B ，…A n-r B]=n
例：设
试判断系统的能控性
解：
系统是不完全能控的。
若考虑到rankB=2，只需计算rank[B ，AB]=2，说明系统不能控。
例：图示电路，判断系统能控性条件。
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 2
121110010101121110],,[2=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankQ B A AB B Q
解：选取状态变量x 1=i L ，x 2=u C ，得系统的状态方程为：
2
4321143421222433211143432121111111
11x R R R R C x R R R R R R C x u L x R R R R R R L x R R R R R R R R L x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= ⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-
==434212
4343212
121011],[R R R R R R LC R R R R R R R R L L
Ab b Q C
当
（R 1R 4=R 2R 3）时，系统能控。否则
系统不能控。
定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。 证：
判据3：线性定常系统（A 、B 、C ），若A 的特征值λ1、λ2、…λ
n 互不相同，
则一定可以通过非奇异变换P 把A
变换成对角阵，即： 此时系统
能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果中某一行
的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。 证明见何p196{16}
434
212R R R R R R +=
+⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡==-n AP P A λλλ
2
1
1⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nr n n r r r r r r r r r r r B P B 2
1
22221
112111
B
B
例：
判断系统的能控性
解： 系统不能控。
判据4：一般情况下，当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，如果对应A 的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。（证见何p199） 例：
判据5：设n 维线性定常系统状态方程：
当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，若λ1、λ2、…λ
m 为其
m 个互异特征值，对应与某个特
征值λi 可以找到r （i ）个独立的特征向量，则与λi 相对
u x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0110
12 ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--==⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=--011002
10
11
1
1
b P b AP P A P B Bu Ax x
+= ⎤⎡===-i
i ir i i i m A A A diag A A A A diag AP P A λ1
)
,,(),,()(21211
