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第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。
二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。
对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。
判据2：对于线性定常系统，若B 的秩为r ，则系统完全能控的充要条件是：rank[B ，AB ，A 2B ，…A n-r B]=n例：设试判断系统的能控性解：系统是不完全能控的。
若考虑到rankB=2，只需计算rank[B ，AB]=2，说明系统不能控。
例：图示电路，判断系统能控性条件。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 2121110010101121110],,[2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankQ B A AB B Q解：选取状态变量x 1=i L ，x 2=u C ，得系统的状态方程为：2432114342122243321114343212111111111x R R R R C x R R R R R R C x u L x R R R R R R L x R R R R R R R R L x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-==4342124343212121011],[R R R R R R LC R R R R R R R R L LAb b Q C当（R 1R 4=R 2R 3）时，系统能控。
否则系统不能控。
定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。
证：判据3：线性定常系统（A 、B 、C ），若A 的特征值λ1、λ2、…λn 互不相同，则一定可以通过非奇异变换P 把A变换成对角阵，即： 此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。
如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。
证明见何p196{16}434212R R R R R R +=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n AP P A λλλ211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nr n n r r r r r r r r r r r B P B 2122221112111BB例：判断系统的能控性解： 系统不能控。
判据4：一般情况下，当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，如果对应A 的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。
（证见何p199） 例：判据5：设n 维线性定常系统状态方程：当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，若λ1、λ2、…λm 为其m 个互异特征值，对应与某个特征值λi 可以找到r （i ）个独立的特征向量，则与λi 相对u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=011012 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--011002101111b P b AP P A P B Bu Ax x+= ⎤⎡===-ii ir i i i m A A A diag A A A A diag AP P A λ1),,(),,()(21211应的约当块A i 中有r （i ）个约当块，即： 相应地，设：系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m ，矩阵B i l 的各行在复数域上线性无关，其中：例：系统能控的充分必要条件是向量组{b l11、b l12、b l13}线性无关以及{b l21}线性无关（即不为零）。
判据6：PBH 判别法 线性定常系统完全能控的充分必⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-lij ijij ij i ir i i i m b b b B B B B B B B B B P B 21)(21211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(11i lir li li li b b b B 211312112211111100111100211010001000111l l l l b b b b ux x ←←←←⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλ要条件是n ×（n+r ）矩阵[λI-A ，B]对A 的所有特征值λi 之秩为n 。
即：rank[λi -A ，B]=n ，（i=1、2、…n ）三：线性时变系统的能控性判据定义：设线性时变系统状态方程为：对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t 0，t 1)，使x(t 1)=0，则称系统在t 0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。
定理一：线性时变系统在t 0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵： 为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。
证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。
由于非奇异，令：⎰=10),()()(),(),(0010t t T T d t B B t t t W ττφτττφ),(0t t φ),(10t t W ),(10t t W )(),(),()()(01010t x t t W t t t B t u T T --=φu t B x t A x)()(+=),(10t t W )(),(0t B t t φ0)(),(0=t B t t αφ则：说明系统是能控的。
必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。
由于是奇异的，故的行向量在[t 0,t 1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t 0,t 1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t 0)= αT ,则:说明α=0,矛盾。
)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(0101100100101010001001010101001100111110=-=-=-=+=---⎰⎰⎰t x t t W t t W t t t x t t d t x t t W t B B t t t t x t t d t x t t W t B B t t x t t d u B t t x t t t x t t T T t t T T t t φφττφτττφφφττφτττφφττττφφ),(10t t W 0)()(),()()(),()()(),(),()()()(),()(),(0)()(),()(),()(111110001100100110011=-=-=-=-==+=⎰⎰⎰⎰⎰t t Tt t Tt t t t t t d u B t d u B t d u B t t t t x d u B t t x t t d u B t t x t t t x τττταφααττττφαττττφφττττφφττττφφ)(),(0t B t t φ),(0t t φBe At -● 线性定常系统(A 、B 、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵： 或为非奇异矩阵。
定理二：线性时变系统在t 0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t 0,t 1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。
● 线性定常系统(A 、B 、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t 0,t 1]上线性无关。
定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t 1>t 0，使得： 则系统在t 0是能控的。
其中：本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。
四：线性定常系统的输出能控性⎰--=1)()(),(0010t t T T d t BB t t t W ττφτφ⎰⎰--=--=111)()(),0(t A T A t T T d e BB e d BB t W Tτττφτφττnt M t M t M rank n =-)](),(),([111110 )()()()()()(10t M dtdt M t A t M t B t M k k k +-==+设线性定常系统动态方程为：如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间t f -t 0内，使得由任一初始输出y(t 0)，能够转移到任意输出y(t f )，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。
系统输出完全能控的充分必要条件是下列 m ×(n+1)r 矩阵满秩，即：控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。
例： 由于：该系统状态不能控而输出能控。
对于本例，若设则系统输出不能控。
⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x mD BCA B CA CAB CB rank n =-][12 []xy u x x 01112110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= []1011],,[11111],[=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=d cAb cb rank rank Ab b rank []xy 11=[]0000],,[==d cAb cb rank3-2 能观测性及其判据 一：能观测性的概念定义：设n 维线性定常系统的动态方程为：如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t 0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
