§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型． 当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52， 所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
专题13指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义． 3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【考点梳理】考点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数(1)x y a a =>和幂函数(0)y x αα=>，通过探索可以发现，在区间()0,+∞上，无论α比a 大多少，尽管在x 的一定范围内，xa 会小于x α，但由于x a 的增长快于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有x a >x α．同样地，对于对数函数log a y x =增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x 可能会大于x α，但由于log a x 的增长慢于x α的增长，因此总存在一个0x ，当0x x >时，就会有log a x x α<．综上所述，在区间()0,+∞上，尽管函数(1)x y a a =>、(0)y x αα=>和log (1)a y x a =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)y x αα=>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log .x a x x a α<<三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：【微点拨】当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快． 考点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：(0)y kx b k =+>；（2）线性减少模型：(0)y kx b k =+<． （2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++<；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数2(0)y ax bx c a =++>．（3）指数函数模型()x f x ab c =+（a 、b 、c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1），当1b >时，为快速增长模型；当01b <<时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型()log a f x m x n =+（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a ≠1）；当1a >时，为平缓增长模型；当01a <<时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型(0)ky k x=≠．当0k >时，函数在区间(),0-∞和()0,+∞上都是减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较12log x ，12x ，12x⎛⎫⎪⎝⎭的大小．【解析】作出函数12log y x =，12y x =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为x=0.5，方程121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的近似解为x=0.64118574，方程1212log x x =的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.5时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当0.5＜x ＜0.587774756时，12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.587774756时，11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；当x=0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭；当x ＞0.64118574时，12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【总结】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x（0＜a ＜1）、y=log a x （0＜a ＜1）和y=x n（n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x（0＜a ＜1）与y=x n（n ＜0）的衰减速度．而y=a x（0＜a ＜1），y=a n（n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n（n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n＞a x＞log a x ．【变式1】 比较13x⎛⎫⎪⎝⎭、13x 、13log (1)x x >的大小．【答案】13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x >【解析】分别画出13131(),,log 3xy y x y x ===的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足9()nAf n a bt=+，其中232t -=，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩，解得a ＝1，b ＝8.所以9()18n A f n t =+⨯，其中223t =-.令f (n )＝8A ，得9818n A A t =+⨯，解得164nt =，即62122364n --==，所以n ＝9. 答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数223(01)2()32323(12)2t t S t t t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x ≤50；（2）50． 【解析】（1）由题意得23000(100)(1)1003000100xx -⨯+≥⨯，即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50．又∵x ＞0，∴0＜x ≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=AB Ox =t603000(1)300000100x a x -+++=，即223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++，0＜x ≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a ≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值． 当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增， ∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a ≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．【总结】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k ≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a ≠0）；幂函数型：12()h x ax b =+；指数函数型：m (x)=ab x+c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数．设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线()(0)f x kx b k =+≠，将B 、C 两点的坐标代入，有(2)2 1.2f k b =+=，(3)3 1.3f k b =+=，解得k=0.1，b=1，故()0.11f x x =+． 将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数2()(0)g x ax bx c a =++≠，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型12()h x ax b =+，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，(2)2 1.2h a b =+=．解得a ≈0.48，b ≈0.52．故12()0.480.52h x x =+． 将C 、D 两点的坐标代入，得(3)0.4830.52 1.35h =⨯+≈，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x+c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x+1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02． 比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x+1.4比较接近客观实际．选用y=a ·b x+c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为a ，则经过第一年增长后面积为(110.4%)a +，经过第二年增长后面积为2(110.4%)a +，…，经过x 年绿色植被的面积为(110.4%)xa +，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．【点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】1.2,[0,5] () 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x xf x x xx x∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【解析】由题意可知：①当x∈[0，5]时f（x）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x∈（5，6]时f（x）=1.2×5+（x－5）×3.6=3.6x－12③当x∈（6，7]时f（x）=1.2×5+1×3.6+（x－6）×6=6x－26.4∴1.2,[0,5] () 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x xf x x xx x∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩【总结】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330 【解析】（1）设每年还款x 元，则510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++，即510 1.510450.05x x ⨯=+⋅， 解得，105 1.512245()12.25x ⨯=≈元；（2）设每年还款y 元，则5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++，即105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-，则510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元． 【总结】上述公式(1r)xy a =+是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式； （2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润． 【答案】（1）(10080)(110%)(20) 1.1n n n y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即10n n y y +-≥且120n n y y ++-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件， 则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n；利润(10080)(110%)(20) 1.1n n n y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈． （2）令10n n y y +-≥，即1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n ≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10， 令120n n y y ++-≥，即12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥，解得n ≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=32时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ）5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）当10v =时，min 3202y c =-；当v c=时，min 50y c=． 【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：131||1022v c ⨯-+ 总的淋雨量为：10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦，5(103)c y v -∴=即5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩（Ⅱ）①当1030,c ->即1003c <≤时 y 在(]0,10v ∈上单调递减 10v ∴=时，y 最小，min 3202y c =-． ②当1030,c -<即1053c <≤时 y 在(0,)v c ∈上单调递减，在(,10)v c ∈上单调递增．当v c =时，y 最小，min 50y c =． 答：当雨速的分速度1003c <≤，10v =时，min 3202y c =-；当雨速的分速度1053c <≤，v c =时，min 50y c=． 专题训练1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是（ ） A ．y=50 B ．y=1000x C ．y=0.4·2x －1D ．11000xy e =【答案】D【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选D ． 2．y 1=2x，y 2=x 2，y 3=log 2x ，当2＜x ＜4时，有（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出三个函数的图象，在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应为y2=x2，y1=2x，y3=log2x，故y2＞y1＞y3．3．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=3000+20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台 B．120台 C．150台 D．180台【答案】C【解析】依题意有25x―(3000+20x―0.1x)2≥0，解得x≥150或x≤－200（舍）．故选C．4．如右图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A运动，设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，而函数S=f (x)的图象是下图中的（）【答案】D【解析】由题图知，P在BC上时，0≤x＜4，422xS x==，P在CD上时，4≤x≤8，4482S⨯==，∴选D．5．用计算器检验下列命题，其中真命题是（）A．lg xyx=在（1，+∞）上是单调函数B．lg xyx=，x∈（1，+∞）时，值域为lg30,3⎛⎤⎥⎝⎦C．lg xyx=，x∈（1，+∞）时，y有最小值D．lg xyx=（x＞1）随着x的增大而越来越接近于0【答案】D【解析】可用计算器检验，也可利用函数y=x与y=lgx的增长规律来判断：由于x（x＞1）增大时，函数y=x比y=lgx增长的速度快得多，因此函数lg xyx=随着x的增大而越来越接近于0．6．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）A ．321122y x x x =--B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 【答案】A【解析】由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为32()(0)y f x ax bx cx a ==++≠，则2'()32f x ax bx c =++，∴f ′（0）＝－1，f ′（2）＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1. 又32y ax bx cx =++过点（2，0），∴4a ＋2b ＝1， ∴12a =，12b =-，c ＝－1， ∴3211()22y f x x x x ==--.故选A ． 7．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0＜x ≤40）（克）的函数，其表达式为________．【答案】80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩【解析】在信件不超过20克重时，付邮资80（分）， 应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80（分）； 在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160（分）， 应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160（分）， 遂得分段函数．其表达式f （x ）为80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩．故答案为：80,020()160,2040x f x x <≤⎧=⎨<≤⎩．8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是 ．【答案】2400【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为318100(1)24003⨯-=．故填2400．9．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/100 kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：根据上表数据，Q 与上市时间t 的变化关系：Q at b =+，2Q at bt c =++，t Q a b =⋅，log b Q a t =⋅．利用你选取的函数，求：（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是__________； （2）最低种植成本是____________元/100kg ． 【答案】120；80．【解析】∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数2(120)Q a t m =-+描述，将表中数据代入可得22(60120)116,(100120)84,a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得0.0180a m =⎧⎨=⎩ ∴20.01(120)80Q t =-+，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg ．故填120；80．10．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g （t ）=80－2t （件），价格近似满足于115,(010)2()125,(1020)2t t f t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（Ⅱ）max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：1(15)(802),(010)(30)(40),(010)21(50)(40),(1020)(25)(802),(1020)2t t t t t t y t t t t t t ⎧+-≤≤⎪+-≤≤⎧⎪==⎨⎨--<≤⎩⎪--<≤⎪⎩22101200,(010)902000,(1020)t t t t t t ⎧-++≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩ （Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t ≤10时22101200(5)1225y t t t =-++=--+ 函数图象开口向下，对称轴为t =5，该函数在t ∈[0，5]递增，在t ∈（5，10]递减 ∴max 1225y =（当t =5时取得），min 1200y =（当t =0或10时取得） ②当10＜t ≤20时22902000(45)25y t t t =-+=--图象开口向上，对称轴为t =45，该函数在t ∈（10，20]递减，t =10时，y =1200，min 600y =（当t =20时取得）由①②知max 1225y =（当t =5时取得），min 600y =（当t =20时取得）点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．11．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为（0≤t ≤24）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ （2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧张现象．【答案】（1）从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨；（2）约有8小时供水紧张【解析】（1）设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，由40060y t =+-x =；则26x t =，即224001012010(6)40y x x x =+-=-+； ∴当x =6，即t =6时，min 40y =，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． （2）依题意24001012080x x +-<，得212320x x -+<解得，4＜x ＜8，即83248,33t <<<；即由328833-=，所以每天约有8小时供水紧张．。
