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第十一章耦合电感和理想变压器

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11-27
习题1
(1)
j 10Ω
+ j 10Ω
j 20Ω
a
- 20 00V
-j5Ω
b
(2)
a
j5Ω
j 10Ω
j 15Ω
-j 20Ω
b
U ab (
)V
K=(
)
Zab (
K=(
)Ω
) 答案
习题1 答案
11-28
(1) -60 (2) j15
0.707 0.41
习题2
习题课
M R
L1
L2
C
11-29
（2 开路） 开路 1
-2＇
线圈Ⅱ
1＇ 线圈Ⅰ
11-8
φ12
i2
2
+
φs2
N2
-2＇
线圈Ⅱ
11 21 S1
22 12 S 2
当 S1、 S2 均为零时全耦合——耦合的上限，M的上限。
M N2 21 i1 M max N2
11
i1
N2 N1
L1
①
M N1 12 i2 M max N1
j20
0.707135
A
注意：区别
Z ref
Io和 I1；
的运用。
§3 理想变压器 典型电路的分析
11-16
(1)“理想”——该元件只对电压、电流、电阻、阻抗 等进行数值变换，过程中无能量损耗或储存等副作用(非 能、non-energic元件)。对实际变压器的理想追求。
i1
+
u1
i2
设变压器的匝数为N1、N2，令
I1
15
U S j10
j5Ω
耦合电感和理想变压器

耦合电感和理想变压器


延安大学
信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
变压器
延安大学 信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
变压器
延安大学
信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
整流器 调压器
牵引电磁铁
电流互感器
延安大学
信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
11－1 基本概念 一、互感
di1 的参考方向对同名端一致。 dt
di1 dt
di1 如果i1指向相反，则 M 的指向也必须相反 。 dt
uM M di1 dt
三、同名端的判别
1、已知绕向，则同名端是由设计者和制作者确定的。
2、不知绕向，可用实验法测的
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第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
+ -
R
用附加电压源法去耦，做出其相量模型 如图所示 对两回路分别列回路方程
耦合电感的VCR
延安大学 信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
练习
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 L2 M dt dt
延安大学
信息学院
第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
2.耦合电感的相量模型
由附加电压源法得到的耦合电感时 域模型如图所示，可得该电路正弦 稳态时的相量模型为
，jM 以平方形式出现，故无论 jM 符 1)对一次回路电流 I 1
号如何，结果相同。
符号随 jM 符号 ，以 jM 形式出现，I 2)对二次回路电流 I 2 2
第11章 耦合电感和理想变压器

第11章 耦合电感和理想变压器


11 22
证毕。
k = 1 称为全耦合 。 11 k 接近1 称为紧耦合 。 12
2212
k 较小 称为松耦合 。
i1
i2
k = 0 称为无耦合 。
2020/3/27
11.2 含耦合电感的电路
一. 耦合电感的串联
i 顺接串联：
L1 M L2
u1
u2
u
iL u
等效电感： LL 1L22M 证： 左边电路的VAR：
u1
2 2221
i2 u2
11、 22为自感磁通链，21、 12为互感磁通链。 L1、L2分别为线圈1和线圈2的自感，M21、 M12为耦 合电感的互感。可以证明M21＝M12＝M。
第1个线圈总的磁通链为 1＝ 11＋ 12＝L1 i1+M i2 第2个线圈总的磁通链为 2＝ 22＋ 21 ＝L2 i2+M i1
2020/3/27
二. 耦合电感的并联
同侧并联：
+i
M
u
u L 1d 1d i tM d2i dt u L 2d2i d tM d1d i t-
L1
i1
L2
i2
L
正弦稳态电路中，有
U j L 1I 1j M I 2
U j L 2I 2j M I 1
解得：
I 1j 2 M L 2 2 j2 L M 1 L 2 U ,I 22 jM L 2 1 j2 L M 1 L 2 U
理想变压器是人为定义的理想化的耦合元件。
一、 理想变压器的定义（VAR） i 1
i2
+
+
u2(t)nu1(t)
i2(t) (1n )i1 (t) u 1
第十一章 耦合电感和理想变压器

第十一章 耦合电感和理想变压器


相对位置，而且实际上的线圈都要包上绝缘层，有的还要经过浸
漆，甚至是密封的，所以线圈的实际绕向是看不出来的。电工技
术中，一般用标注同名端的方法来反映线圈的相对绕向和相对位
置。
7
三、同名端及其判别法
1、同名端的含义（定义）：
当两线圈中的电流都是从同名端流入时，产生的互感磁通与 自感磁通是同方向的。也就是说，分别从两线圈的某一端通同一 方向的电流，若两线圈建立（产生）的磁通互相加强，则该两端 为同名端。反之，若相互削弱，则该两端为异名端。
I2
●
– jωMI2 – ●
(b)
即
同侧并联等效电感为
L

L1L2 M2 L1 L2 2M
jωL2
+
●●
jωM(I1–I2)
–
14
﹡2、异名端并联（异侧并联）
电路如图(c) 所示，其等效相量模型如图(d) 所示。
M
●
由图(d) 列网孔方程为：
+ ●
u i1 L1 i2 L2
●
●
●
●
●
jωL1I1 – jωL1I2 – jωM I2 = U
+
●
●
+
u1 L1 L2 u2
–
–
(a)
i1 M
i2

u1 L1
–
M
d
i
+
2
dt –
L2
+
M
d
i1
– dt
u2
–
i1 (c)
i2
+
+
+
●
u1 L1 L2
耦合电感和理想变压器_OK

耦合电感和理想变压器_OK


+
M di2
－ dt－
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
U• 1 •
j
•
L1 I1
•
•
j M I2
•
U2 j L2 I2 j M I1
•
I1
+ L1
•
+
U1
•
－
j M I2 －
L2 i2 +
+
M di1
u2
－ dt －
•
I2
+
L2
+
•
U2
•
－ j M I1－
10
I2
••
1 H
4 H
2F
0.4K
•
求 U2
1 +
100
－
ZL为多少时可得最 大功率？
+
•
US －
•
I1
1 H
•
I2
+
•
•
3H
1 H•
2 U－2
1K j2K
•• j10K j10K Z2L2
§11－4 理想变压器
理想变压器与耦合电感元件的性质不同，耦合电感元 件是记忆元件，是一种贮能元件，而理想变压器是一种 无记忆元件，参数只有一个匝比n，它不贮能也不耗能。
15
M
•
•
L1
L2
M
•
L1
L2
•
M
• L1
L2
•
M L1-M
-M L1+M
电路分析第11章耦合电路和理想变压器

电路分析第11章耦合电路和理想变压器


M
i2
2H 1
+ u1 –
1H
M 0.5 2
列回路方程
I1
I2
j2 1 + jMI1 –
jI1 j0.5 2I 2 U (1 j 2 ) I2 j0.5 2I1 0
j 1.5 2 U ( ) I1 1 j 2 U j 1.5 2 I 1 j 2
R1 I1 jM
US
+ – jL1
1 jC
I 2 R2
解：回路法
( R1 jL1 1 ) I1 jMI 2 U S jC 1 ( R2 jL2 ) I 2 jMI1 0 jC
jL2 1 jC
R1 I1
US
jL1 – – jMI 2 + +
uM 2
di1 dt
uM 2 di1 M 21 dt
4
di M 21 1 dt
2.互电感 i1
+
Φ12
i2
+
自感电压
uL 2
di2 L2 dt
dt
u1
-
Φ 22 Φ22
u2
-
互感电压 u M di2 M1 12
uM 1 M 12 di2 dt
i2 流过第二个线圈产生自感磁通Φ22, 其磁链Ψ22=L2i2且 在第一个线圈产生互感磁通Φ12, 其磁链Ψ12=M12i2 M12=M21=M
M称为互电感，单位亨利（H)
5
2.互电感 i1
+
Φ12 i2
+ +
Φ21 i1
u2
-
第十一章 耦合电感和理想变压器

第十一章 耦合电感和理想变压器


§11-5 理想变压器的VCR
一.理想变压器的概念：实际铁心变压器的理想化模型。 1、理想变压器满足三个条件： １）变压器本身无损耗；这意味着绕线圈的金属导线无任何电 阻，做芯的铁磁材料的磁导率μ无穷大。 ２）耦合系数k＝１。 ３）L1，L2，M趋于无穷大,但L1/L2为常数。 2、理想变压器的电路符号：理想变压器的定义式（VCR）：
作业:P183 11-8
§11-4 耦合电感的去耦等效电路
对于在一个公共端钮相连接的一对耦合电感，如图(a)所示， 可以用三个电感组成的T形网络来作等效替换，如图(b)所示。 下面来推导这种网络等效替换的关系。 1.同侧连接——同名端相连时等效的推导:
图(a)所示耦合电感，其端钮的VCR为：
而在T形等效电路中，由KVL得：
比较 值应为
前面的系数，即可求得T形等效电路中各电感
2.异侧连接-异名端相连:
La L1 M L M b L L M 2 c
小结:上述的这种等效消除了原电路中的感应耦合——互 感，称为去耦等效。替换后的电路即可作为一般无互感电路 来分析计算，但使用范围有限，需记忆公式。
故得 由此可见，把电阻RL接在理想变压器的次级，变压器初级
端的输入电阻即为RL /n2。理想变压器起着改变电阻大小的作用， 把RL变换为RL/ n2 。
正弦稳态时，若次级所接阻抗为ZL(jω)，则初级的输入阻 抗，或次级ZL 对初级的折合阻抗为
因此，理想变压器有改变电阻或阻抗的性质。
二.阻抗变换性质的应用
3、掌握理想变压器的变压、变流、变阻抗的三个主要
性能，熟练求解含有理想变压器的电路。
磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测量仪 器等方面得到了广泛应用。为了得到实际耦合线 圈的电路模型，现在介绍一种动态双口元件—— 耦合电感，并讨论含耦合电感的电路分析。 在介绍耦合电感元件以前，下面先用示波
第十一章耦合电感和理想变压器

第十一章耦合电感和理想变压器


同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在要V根C据R电中流u参M1 考 方M向ddi和t2 同到名底端取来正确还定是：取负，
当自感磁链与互感磁链的参考方向一致时取正 号，不一致时取负号。或者说，根据同名端， 电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
N1Φ12 i2
M
2
所以：M max L1L2
耦合系数：实际的M值与全耦合时的M值之比。即：
M M k
M max
L1L2
0 k 1
k 0.5：紧耦合 k 0.5：松耦合
耦合系数反映了线圈之间耦合的强弱。
含互感M的两线圈L1和L2的储能为：
w
1 2
L1i12
1 2
L2i22
Mi1i2
当自感磁通与互感磁通的方向一致时取正号，否则 取负号。
（1）绕法相同的一对端钮；
a
b
a、b是同名端
（2）起的作用相同的一对端钮；
当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。 或者说，
<1>同名端就是当电流分别流入线圈时， 能使磁场加强的一对端钮；
<2>同名端就是当电流分别流入线圈时， 能使电压增加的一对端钮；
<3>产生自感电压与互感电压极性相同的一 对端钮。
（3）
顺接
U& (R1I& jL1I& jMI&) (R2I& jL2I& jMI&)
i R1 • L1
M R2
L2
•
u1
u2
电路分析基础11耦合电感和理想变压器

电路分析基础11耦合电感和理想变压器


互感的测量方法： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
二、含耦合电感电路的一般分析
I1 +
+ M + R1 + u1 * * u2 u L1 L2 – 时域模型 如上，列写VCR方程
R1 jL1
+
I2
U
U1 jL2
+
R2
R2
–
+ -
+ - -
U2
jMI2
jMI1
-
相量模型 U1 jL1 I1 jMI 2 U 2 jMI1 jL2 I 2 U R I
对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向及磁通方 向。这在电路分析中显得很不方便。
11
s
0
N1 i1 N2 N3
+
*
u11 –
+ u21 – + u31 –
*

di 1 u21 M 21 dt di 1 u31 M 31 dt
引入同名端可以解决这个问题。
专业基础课
电路分析基础
教师：张 荣
第十一章 耦合电感和理想变压器
耦合电感
互感 耦合电感的VCR 耦合系数 空心变压器 反映阻抗 理想变压器的VCR 理想变压器的阻抗变换
11. 1 互感和互感电压
一、 互感和互感电压
11
21
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
U1
–
U2
+
2. 理想变压器的功率性质： 理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。 i1
第11章 耦合电感

第11章 耦合电感


di1 dt di2 dt
M M
第十一章
耦合电感和理想变压器
§11-2耦合电感的VCR
自感电压正负号的确定
耦合系数 …. 电路分析基础
若uk与ik（k =1，2）为关联参考方向则取正号；.
（与同名端无关） 若uk与ik为非关联参考方向则取负号。 互感电压正负号的确定 若i2从L2的点( )端流入，则在L1的点端产生“+”极; 若i2从L2的非点端流入，则在L1的非点端产生“+”极，. 且若上述“+”极与u1的参考“+”极相同，则u1中互感 电压取正号，否则取负号。 u2中互感电压正负号的确定方法与上述类似。
第十一章 耦合电感和理想变压器
§11-1 §11-2 基本概念 耦合电感的VCR 耦合系数
电路分析基础
§11-3
§11-4
空心变压器的电路分析 反映阻抗
耦合电感的去耦等效电路
§11-5
§11-6 §11-7 §11-8
理想变压器的VCR
理想变压器的阻抗变换性质 理想变压器的实现 铁心变压器的模型
§11-2耦合电感的VCR
Z 11 R1 jL1
R1
US
jM
+
I1
jL1
. .
ZL
( R1 jL1 ) I 1 jMI 2 U S
jMI 1 ( R2 jL2 Z L ) I 2 0
第十一章
耦合电感和理想变压器
电路分析基础 §11-3 空心变压器电路的分析 反映阻抗…..
jMI 1 ( R2 jL2 Z L ) I 2 0
解方程组可求出 1和I 2 I
第十一章
11章：耦合电感和理想变压器

11章：耦合电感和理想变压器


M L1L2
0 k 1
耦合因数k的最小值为零，M=0，表示无互感的情况。
k 的最大值为 1，此时 M L1 L2 ，这反映一个线圈电流产生 的磁感应线与另一个线圈的每一匝都完全交链的情况。 k =1时，为全耦合， 1>k>0.5, 接近于1时，为紧耦合，
k<0.5时，为松耦合。
18/98
如，互耦电感L1=0.66mH，L2＝0.17mH，M＝0.26mH 则该耦合线圈的耦合系数为
21/98
反接串联的耦合电感之去耦等效变换
di di u1 L1 M dt dt di di u2 M L2 dt dt

di d i u u1 u2 ( L1 L2 2 M ) L dt dt
L = L1+L2 - 2M 表明: 反接串联的耦合电感，就端口特性而言，
i i1 i2
di di1 di2 dt dt dt
di2 L1 M di1 dt L2 M dt L1 L2 2M di1 L2 M dt di2 L1 M di 25/98 dt L1 L2 2M dt
di1 L2 M di dt L1 L2 2M dt
26/98
耦合电感的并联：同名端并接 续
di1 di2 u L1 M dt dt
di1 L2 M di dt L1 L2 2M dt di2 L1 M di dt L1 L2 2M dt
L1L2 M di d i u L L1 L2 2M dt dt
正弦稳态条件下，耦合电感的相量模型及其电压电流关系:
U1 jL1I1 jM I 2 U2 jM I1 jL2 I 2

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i2 u2
2、耦合电感的同名端
i1
•
• i2
i1 •
i2
u1
u2 u1
u2
•
同名端规定：
当电流i1 、i2分别从两个线圈对应的端纽流入时，磁通相互加强，则这两个端纽称作为同名端。
意 义：若电流i1由N1的“ • ”端流入，则在N2中产生的互感电压u21的正极在N2的“• ”端。
同名端判断：
1、已知线圈绕向判断
dt
U 1 U 2
jL1 I1 jL2 I2
jMI2 jMI1
耦合电感伏安关系中正负号的确定 请记下
1）自感电压的正负：
u与i是否关联，关联为正，否则为负; 2）互感电压的正负：
将同名端•重合，若i2与u1 （或i1 与u2 ）参考方向关联， 则互感为正，否则为负。
例11-1 试写出如图所示各耦合电感的伏安关系。
耦合系数k 154页
M
M
k
，它反映了两线圈耦合松紧的程度
M max
L1 L2
讨论： 0 k 1 :
k=1
全耦合
k=0
无耦合
k>0.5 紧耦合
k<0.5 松耦合
含互感M的两线圈L1 和L2，其储能为：
w
1 2
L1 i1 2
1 2
L2 i2 2
Mi1i2
当互感磁通与自感磁通方向一致时取正，否则取负
1、互感电压
i1
u11
d11
dt
L1
di1 dt
u1
u21
d 21
dt
M 21
di1 dt
M21: 互感系数
u22
d 22
dt

第11章 耦合电感和理想变压器


11 21
i1
N1
+ u11 –
N2 + u21 –
dΨ 21 di1 u21 M dt dt
dΨ 11 di1 u11 L1 dt dt
自感电压 互感电压
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两 端的电压均包含自感电压和互感电压。
11 12
21
N1 + u1 –
i1
i2
di1 di2 u1 L1 M dt dt di1 di2 u2 M L2 dt dt i1 M i 2 _ + * u1 L1 L2 u2 _ * +
写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
例 已知R1 10, L1 5H, L2 2H, M 1H, 求u(t )和u2 (t )
1’
2 * 2'
2 2’
+
V
1'
–
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di 0, dt
u22' M di 0 电压表正偏。 dt
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线 组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论 来加以判断。
五、互感线圈特性方程的列写
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就 不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考 方向即可。 M di1 * * u21 M dt i1 + u21 – M * i1 * – u21 +
三、互感线圈的同名端和异名端
1.规定 同名端：正值且为增长的电流流入端和互感电压的 高电位端为同名端。 异名端：正值且为增长的电流流入端和互感电压的 低电位端为异名端。 同名端统一用“· ”或“*”标识

电路(第十一章 耦合电感和理想变压器)10-11(1)


1 i1
L1
2 + M d i1 - dt 2′ 2
jωL2
L2
2′
用附加电压源来表示后， 线圈1和线圈2间没有互感作用。 1 1 若电流i1是角频率为ω的 I jωL1 正弦量，则互感电压u21也是 同频率的正弦量，因此可用相 量模型来表示。
1′
1′
+ 1 jMI 2′
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第十一章 耦合电感和理想变压器
26 245 0.721 56.3 A 51101 .3
i1(t ) 0.721cos(10t 56.3) A
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第十一章 耦合电感和理想变压器
di di ● ● u22 L2 u11 L1 u11 u22 dt dt u21 u12 di di u1 u2 u12 M u21 M dt dt u di di di u1 u11 u12 L1 M ( L1 M ) dt dt dt di di di u2 u22 u21 L2 M ( L2 M ) dt dt dt di di u u1 u2 ( L1 L2 2M ) L dt dt
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第十一章 耦合电感和理想变压器
§11-1 基本概念
耦合电感和理想变压器，与受控源一样，都属于 耦合元件。 耦合元件由一条以上的支路组成，其中一条支路 的电压、电流与其他的支路电压、电流直接有关。 但耦合电感和理想变压器是通过磁场耦合的若干 个电感的总称。
一对耦合电感是一个电路元件，其参数为两电感 的自感L1、L2和互感M。 若包含三个耦合电感时，一般就需用自感L1、L2、 L3和互感M12、M23、M31等六个参数来表征。

第十一章耦合电感和理想变压器解析


本章要求
1. 了解耦合电感元件、互感M、同名端的概 念和意义。
2. 了解理想变压器的基本结构、工作原理及 电路符号。
3. 掌握耦合电感和理想变压器的VCR。 4. 会分析空心变压器和理想变压器电路，掌
握变压器电压、电流和阻抗变换作用。
耦合元件：由一条以上支路组成，其中一条 支路的电压、电流与其他支路电压、电流直 接有关。
di 0, dt
u22'
M
di dt
0
电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端 线组，要确定其同名端，就可以利用上 面的结论来加以判断。
11.2 耦合电感的VCR 耦合系数
一、由同名端及u,i参考方向确定耦合电感的VCR方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不 再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即 可。
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
j M •
•
I1
I2
+ ** +
•
U1
jL1
j
L2
•
U
2
_
_
•
•
•
U 1 jL1 I 1 jM I 2
•
•
•
U 2 jM I 1 jL2 I 2
注意：
(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对 耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
(self-inductance
coefficient)
M 21
21 i1
，称M 21为线圈1对线圈2的互感系数，单位亨（H）。 (mutual inductance coefficient)

第11章耦合电感和理想变压器 共61页


j L 2R 2Z LZ 22——次级回路自阻抗
令
(M)2 Z22
Zref
—反映阻抗：次级回路对初级回路
I1

Z11
U S (M)2
Z22
I1

U S Z11 Zref
原边等效电路:(反映阻抗法)
+ U S_
Z11 I1
Zref

(M)2 Z22
R1
U
S
+ _
i20 .492c 8o 2 t s4 ( .7)6A
返回
11-3 空心变压器电路分析
一、空心变压器：
不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器。 其中一个线圈接电源，称为原边（或初级）； 另一线圈接负载，称为副边（或次级）。
二、空心变压器的电路分析 空心变压器——（松耦合）耦合电感
1）用耦合电感等效电路作为模型，再用相量法分析 2）反映阻抗法
jMUS
Z1 1Z2 2Zr efZ2 2
Z1
jMUS 1Z22(M)2
2） +
用 戴
U S_
R1 jM R2
jL1
+
jL2
U
_
OC
ZL
+
U OC
_
Z0 ZL
维 南 等
U OC jM I1jM R1U S jL
jM U Z11
S
效 求
Z0(ZM 1)12jL2R2
-j2 4 I 2 j6 I 2
(2 j4 j6 ) I1 j6 I2 4 j6 I1 (j6 j2 4 ) I2 0
解得:
I1 0.47 40.24 A
I2 0.498 4.76 A
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第11章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础
第十一章 耦合电感和理想变压器
本章介绍两种电路元件——耦合电感和理想变压器，与受控源 一样，属于多端元件，但是是通过磁场进行耦合。
耦合电感：通过磁场相互约束的若干个电感的总称。
耦合电感不同于单独的电感，有互感存在，为予以区别单个电 感称为自感。
耦合电感：动态元件，是储能元件
一、耦合电感的等效电路
1.耦合电感的时域模型
两线圈中均有电流，则均会对另外 的线圈产生互感电压，可用附加电 压源法去耦。
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
பைடு நூலகம்
耦合电感的VCR
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第11章 耦合电感和理想变压器
练习
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
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L1
L2
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练习 该电路正弦稳态时的相量模型为
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二、耦合系数
1、给定耦合电感L1、L2，互感M的上限值？？？
极限情况是，每一个线圈产生的磁通全部通过另一线圈，这
种情况称为全耦合。可得此时互感M的极限值为
uM
M
di1 dt
三、同名端的判别
1、已知绕向，则同名端是由设计者和制作者确定的。
2、不知绕向，可用实验法测的
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+
R S 1i i
1'
2
+
V
2'
–
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di dt
0
若电压表正偏，则
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第11章 耦合电感和理想变压器
磁场的耦合作用，每个线圈的磁链不仅与该线圈本身的电 流有关，也与邻近线圈的电流有关，即
1 f1(i1,i2 ) 2 f2 (i1,i2 )
在满足条件
（1）两个电感线圈都是线性时不变电感线圈；
（2）线圈周围媒质为非铁磁性物质；
（3）磁通与电流参考方向关联（符合右手螺旋定则）
可得
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1(t) L1i1(t) M12i2 (t) 2 (t) L2i2 (t) M21i1(t)
其中：M12、M21称为互感，单位为亨（H）。可以证明 M12=M21=M
当自磁通与互磁通参考方向一致（磁通相助）时，互感电压项 取正；
当自磁通与互磁通参考方向不一致（磁通相消）时，互感电压 项取负。自感电压总为正。
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
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第11章 耦合电感和理想变压器
2.耦合电感的相量模型 由附加电压源法得到的耦合电感时 域模型如图所示，可得该电路正弦 稳态时的相量模型为
U1 j L1I1 j MI2 U 2 j L2 I2 j MI1
正弦稳态耦合电感VCR的相量形式
附加电压源法，是处理耦合电感电路的基本方法。 耦合电感的影响是一个线圈电流的变化会在另外线圈中产生互 感电压。 可将互感电压作为附加电压源画在电路中，经过这样的等效处 理之后，即可用前面章节的知识分析耦合电感电路了。
需要注意互感电压的极性
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+
--
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第11章 耦合电感和理想变压器
11－2 耦合电感的VCR 耦合系数
若电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么，这个电
流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名
端指向另一端。
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这就是说：电流i1与
M
di1 dt
的参考方向对同名端一致。
uM
M
di1 dt
如果i1指向相反，则
M di1 dt
的指向也必须相反 。
电路分析基础
11－1 基本概念 一、互感
1、单个线圈的电感
设单个线圈的磁链为，它是电流i的函数 f (i)
若线圈匝数为N1，则磁链与磁通（）的关系为 N1 Li u d L di
dt dt
电压、电流 关联参考
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2、耦合电感 当两个线性时不变电感线圈L1与L2相距很近时，就有
手画练习
对相量模型可列网孔电流方程，也可列VCR的相量形式方程， 即可求得（前面内容）
2）M的极限值为 Mmax L1L2 41 2H
3）k=0.707，则 M k Mmax 0.707 2 2H
理想变压器：属于电阻元件，不储能也不耗能。
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变压器
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调压器 牵引电磁铁
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整流器
电流互感器
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L2i22
Mi1i2
自感磁通与互感磁通方向一致取正号，否则取负号。
例11-2：1）求网络函数
•
•
I1 和U 2
•
•
Us Us
2）求M的极限值；3）求k=0.707时稳态电流i1(t)
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电路分析基础
解1）求网络函数，首先用附 加电压源法得到电路的时域模 型，再相应做出相量模型。
电路分析基础
例：试确定开关打开瞬间，22’电压的真实极性。
解：同名端已知，且电流与互感电压 参考方向对同名端一致，则
uM
M
di dt
开关打开瞬间，di 0 ，则
dt di
uM M dt 0
故22’电压的真实极性为上“-”下“+”。
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四、附加电压源法
2、耦合系数
Mmax L1L2
反映耦合的强弱程度。实际互感M与Mmax的比值定义为耦合
系数，即
k M M max
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易得 0 k 1 k 0.5称紧耦合，k 0.5称松耦合
已证明，互感为M的两电感L1、L2其储能为：
w
1 2
L1i12
1 2
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电路分析基础
二、同名端
自磁通和互磁通参考方向是否一致，取决于线圈的绕向和电流的
方向，在电路中必须绘出。电工电子学中，有一种约定的标志。
在产生互感电压的电流参考方向的流入端标上“·”，在互感电 压参考方向的“+”端也标上“·”。 同标有“·”的这两端称为两互感线圈的同名端。