第2章 稳态热传导

第 1 页 共 12 页 第2章 稳态热传导

课堂讲解

【2-5】对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？

【解】两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。

【2-12】在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40

W/(m2•K)。同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板的另一面维持在温度t1=30℃。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度t0应为60℃，试确定辐射热流密度q应为多大？薄膜的导热系数λf=0.02W/(m∙K)，基板的导热系数λf=0.06W/(m∙K)。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对60℃的热辐射是不透明的。

【解】由薄膜与基板结合面向基板另一面的稳态导热的热流密度为：

211mW0081001.0306006.0Δtq

由于薄膜对60℃的热辐射是不透明的，则从薄膜与基板的结合面通过薄膜向冷却气流传热，无辐射换热

23222mW1142.8640102.0102.020601Δhtq

辐射热流密度q应为

221mW2942.8686.11421800qqq

课后作业

【2-4】一烘箱的炉门由两种保温材料A及B组成，且δA=2δB（见附图）。已知λA=0.1W/(m∙K)，λB=0.06W/(m∙K)，烘箱内空气温度tf1=400℃，内壁面的总表面传热系数h1=50W/(m2•K)。为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度tf2=25℃，外表面总传热系数h2=9.5W/(m2•K)。

【解】炉门外表面向环境散热的热流密度为

2fw2tthq

烘箱内空气到炉门外表面的热流密度为 第 2 页 共 12 页 BAB1wf1BBAB1wf1BBAA1wf1121211htthtthttqBA1wf1B121hqtt

BA12fwwf12BA12fw2wf1B1211121htttthhtthtt

12fw2ff12fw2fw2ff12fw2fw2fwwf12fwwf1tttttttttttttttttttttt

BA12fw2ff12B12111htttth wBtf是单调减函数

由于要求tw≤50℃，则

BA12f2ff12B1211C501httth

m0.039606.011.025011255025400951B m0.07930396.022BA

【2-11】提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。为了使发动机的叶片能承受更高的温度而不至于损坏，叶片均用耐高温的合金制成，同时还提出了在叶片与高温燃气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法，如附图所示，叶片内部通道则由从压气机来的空气予以冷却。陶瓷层的导热系数为1.3W/(m•K)，耐高温合金能承受的最高温度为1250K，其导热系数为25W/(m•K)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻为10-4m2•K/W。如果燃气的平均温度为1700K，与陶瓷层的表面传热系数为1000W/(m2•K)，冷却空气的平均温度为400K，与内壁间的表面传热系数为500W/(m2•K)，试分析此时耐高温合金是否可以安全地工作？

【解】热流密度为

qhRhtthRhttqiAof2f1i22A11of2f11111

q′为可能的最大热流率。设耐高温合金与粘结材料界面的温度为t2，在此热流率下的的温差为

A11o2f11Rhqtt

2Aof1A11of1211tRhqtRhqtt

所以，t2′为耐高温合金可能的最高温度。 第 3 页 共 12 页 K1250K1238.7111AoiAof2f1f12RhhRhtttt

从而，此时耐高温合金可以安全地工作。

【2-17】一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发受热面管壁受到温度为1000℃的烟气加热，管内沸水温度为200℃，烟气与受热面管子外壁间的复合换热表面传热系数为100W/(m2•K)，沸水与内壁间的表面传热系数为5000W/(m2•K)，管壁厚6mm，管壁λ=42W/(m•K)，外径为52mm。试计算下列三种情况下受热面单位长度上的热负荷：

(1) 换热表面是干净的；

(2) 外表面结了一层厚为1mm的烟灰，其λ=0.08W/(m•K)；

(3) 内表面上有一层厚为2mm的水垢，其λ=1W/(m•K)。

【解】 mm26252or；mm20626oirr

(1)

iiiooof2f1iiiooof2f11ln12212ln21hrrrhrttlhlrlrrhlrtt

W12539.35000020.01422026ln100026.01200100021ln12iiiooof2f1hrrrhrttll

(2) mm27126oorr

iiioooooof2f1iiioooooof2f11lnln12212ln2ln21hrrrrrhrttlhlrlrrlrrhlrtt

W5855.95000020.01422026ln08.02627ln100027.01200100021lnln12iiioooooof2f1hrrrrrhrttlll

(3) mm18220iirr

iiiiiiioooooof2f1iiiiiioooooof2f11lnlnln12212ln2ln2ln21hrrrrrrrhrttlhlrlrrlrrlrrhlrtt

W5209.75000018.0111820ln422026ln08.02627ln100027.01200100021lnlnln12iiiiiioooooof2f1hrrrrrrrhrttll

【2-24】颗粒状散料的表观导热系数常用圆球导热仪来测定。如附图所示内球内安置有一电加热器，被测材料安装在内外球壳间的夹套中，外球外有一水夹层，其中通以进口温度恒定的冷却水。用热电偶测定内球外壁及外球内壁的平均温度。在一次实验中测得以下数据：第 4 页 共 12 页 di=0.15m；do=0.25m；ti=200℃，to=40℃，电加热功率P=56.5W。试确定此颗粒材料的表观导热系数。

如果由于偶然的事故，测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏，但又急于要获得该颗粒表观导热系数的近似值，试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。球壳内用铝制成，其厚度约为3～4mm。

【解】根据题意

oi21114rrttKmW0.14987402004225.01215.015.5641121oittrr

如果电偶损坏，可近似测量水的出入口温度，取其平均值代替球外壳温度计算。

【2-34】设一平板厚为δ，其两侧表面分别维持在温度t1及t2。在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线关系式btt10来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式，并对b>0、b=0及b<0的三种情况画出温度分布的示意性曲线。

【解】根据题意：

【2-42】一具有内热源Φ外径为r0的实心圆柱，向四周温度为t∞的环境散热，表面传热系数为h。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并对Φ为常数的情形进行求解。

【解】由圆柱坐标系中的导热微分方程，得

ztztrrtrrrtc211

01rtrrr 0dddd1rtrrr 0ddddrrtrr

边界条件为：0r，0ddrt；0rr，fddtthrt

设λ为常数，则

0ddddrrtrr

对于为常数的情形，积分一次，得：

1221ddCrrtr

根据r=0处的边界条件，得01C，则

021ddrrt 或 rrt21dd 第 5 页 共 12 页 再积分一次，得

2241Crt

由r=r0处的边界条件，得

f22004121tCrhr

f22004121tCrhr

f20024121trhrC

从而，温度场为

f0220f20022141412141thrrrtrhrrt

【2-45】一厚为δ的大平板具有均匀内热源，x=0及x =δ处的表面分别与温度为tf1、tf2的流体进行对流换热，表面传热系数分别为h1及h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此导出温度最高点的位置。对于h1=h2、tf1=tf2及h1=h2、tf2

【解】由直角坐标系中的导热微分方程，得

ztzytyxtxtc

0xtx0ddddxtx

由于

fwwddtthnt

其中，n为换热表面外法线。从而边界条件为：

0x，f11ddtthxtf11ddtthxt (a)

x，f22ddtthxt (b)

设λ为常数，则

0ddddxtx0dd22xt