第2章稳态导热（4）

47 2-7 本章小结与应用

2.7.1 本章小结

1. 教学目的与主要内容 本章的教学目的是使读者掌握导热问题的分析解法，亦即如何获

得物体温度场的方法。通过引入Fourier导热定律的一般形式，并将能量守恒原理与其相结

合，得到导热物体的温度分布必须满足的偏微分方程。为了对某个具体问题得出其温度分布，

还必须给出其边界上的热作用条件－边界条件。分析解法的重点在于一维导热问题以及肋片

这种特殊的一维导热。对于三种典型的几何形状在常物性、无内热源、第一类边界条件下的

温度场、热流量计算式、热阻以及肋片导热的分析解等汇总在表2－3中。

表2－3 一维稳态导热部分分析解汇总

No

导热

问题

温度场分析解

热流量计算式

热阻表达式

1 平

板导

热

121()x

tttt



12tt

A





R

A



2 圆

筒体

导热

1

121

21ln(/)

()

ln(/)rr

tttt

rr

12

212()

ln(/)ltt

rr



21ln(/)

2rr

R

l

3 球

壳导

热

2

121

121/1/

()

1/1/rr

tttt

rr





12

124()

1/1/tt

rr



 12111

()

4R

rr

4 等截

面直

肋

0[()]

()

()f

ftt

chmxH

tt

chmH





0()()

cfAttmthmH

1/21

()()

cR

AhPthmH

表2－3 显示，四种一维情况下温度场的解析表达式颇有类似之处。其中肋片的热阻计

算式是按热阻的一般定义写出的，在用热阻网络分析问题时，这个概念很有用。

2. 求解稳态导热问题的策略 在解决工程稳态导热问题时，建议按以下策略进行处理：

（1）对于一个多维的几何形状，首先研究可否简化成为一维的问题；尽管一维问题不能精

确地反映实际问题的情况，但是常常可以得出具有工程计算所需精确度的结果。正因为如此，

本章中的讨论的重点放在一维问题上； 48 （2）对于必须按多维处理的问题，参阅文献[27,36,37,39]等，确认是否已经存在精确解；

（3）对于目的在于确定导热量的问题，参阅文献[33，39～41]等，确认是否已经解出所需

的形状因子；

（4）对于既无精确解、亦无形状因子的复杂问题，采用数值方法。

2.7.2 本章应用举例

例题2-12 通过飞机双层窗的导热[47,48]

一飞机的座舱由多层壁结构组成，如图2－33所示。内壁是厚

为

1mm的铝美合金，

1160W/(m)K

；外壁（常称为蒙皮）是一

层

厚为2mm 的软铝，

4200W/(m)K

， 与蒙皮紧贴的是厚为

10mm 的超细玻璃棉，保温层与内壁之间是20mm 宽的空气夹层。

飞行时要求内壁内表面温度维持在20C

，当飞机座舱外边面温度

为－30C

时，每平方米面积上的散热量是多少？如果要求将散热

量减少一半，问保温层应增加到多厚?

题解

假设：（1）飞机座舱呈圆柱形，由于壁厚远小于座舱半径，按平壁处理；（2）不计接触热阻；

（3）稳态导热；（4）假设空气层中没有自然对流。

分析：超细玻璃棉的导热系数是温度的函数，这里需先假定平均温度，然后检验之；空气层

的导热系数也需要先假定平均温度后再确定。

计算：现假设超细玻璃棉及空气层的平均温度分别为-25C

及0C

，则有：



3

W/(mK)C

30.033+0.00023t

[0.0330.0002325]W/(mK)(0.0330.00575)W/(mK)=0.0273W/(mK)







;

30.0244W/(mK)

3124

1234[20(30)]K

0.001m0.02m0.01m0.002m

160W/(mK)0.0244W/(mK)0.0273W/(mK)200W/(mK)wiwott

q











-3-3-3-3250K

(6.2510819.710366.3101.3810)(mK)/W



2

41.9W/m

图2－33，例题2－12插图

49 由上述计算可见，内壁与蒙皮的热阻不到总热阻的1％， 因而验算平均温度时，可认

为其温度分别为20C

及－30C

。空气层及超细玻璃棉的平均温度为：

3(2041.90.8197/2)C(2017.2)C2.8C

mt

2(3041.90.3663/2)C(307.7)C22.3C

mt

上述两个温度与假定值很接近，计算有效。

在上述内外壁温下要使热损失减小一半，各层的平均温度会有所变化。近似地仍以上述

数据进行估算，则可得： 3124

3124wiwott

q





124

33

124()wiwott

q







2

350Km

0.0273W/(mK)[(6.25819.71.38)10]

20.75W



2

0.0273W/(mK)(2.410.827)mK/W0.0432m

讨论：（1）飞机座舱的散热量系由舱内的乘客以及飞机空调系统供给的热量来平衡的，在设

计时为安全起见，可以认为均有空调系统所提供；（2）单从导热系数看，空气层的值比超细

玻璃棉还小；但是要进一步减小散热损失，不能用加厚空气夹层的方法：这会导致夹层的自

然对流，使散热量增加。

例题2-13 带肋片晶体管的冷却

(a)

（b）

如图

2－34a所示，有一直径

1d

为4mm 高H为6mm

晶体管，其外表面套着带纵向肋片的铝圈，铝圈的厚

度为1mm、导热系数为200W/(mK)

,圈与肋片系整体

制造而成，肋片的高度与晶体管相同，肋片厚度均匀，0.7mm

。铝圈与晶体管之间存图2－34 带散热肋片的晶体管及导热

网络 50 在接触热阻，其值为32

,10mK/W

ActR



。平均温度为20C

的空气流过晶体管，表面传

热系数为252

W/(mK)

。运行中晶体管外表面温度维持为80C

，确定此时晶体管的功耗。

题解

假设：（1）略去从晶体管顶上与底面的散热量不计；（2）一维稳态导热，肋片按等截面直肋

看待，肋片顶端按绝热考虑，采用增加半个肋片厚的的方法来计算导热量；（3）不计辐射换

热。

分析：从晶体管表面温度

1t

到流体温度

ft

，导热阻力网络如图2－34b 所示，其中从肋片根

部温度

0t

到流体温度

ft

之间的两个并联的热阻分别是从根部向四周的散热阻力与从肋片的

散热阻力。

计算：四个环节的总面积热阻如下：

接触热阻：32

,

2

110mK/W

13.3K/W

0.0040.006mAct

ctR

R

A







铝圈导热热阻：21ln(/)ln(3/2)

0.054K/W

22200W/(mK)0.006maldd

R

H



(hP

等截面直肋的导热量为：

1/2

00()()()()()

cfcfAttmthmHAhPttthmH

肋片的特性也可以用热阻来表示[49]

，这个概念对于用热阻网络来分析问题特别有用。根

据热阻的基本定义， 由上式可得通过等截面直肋的导热阻力为： 0

1/21

()()f

f

ctt

R

AhPthmH





2

1/21/21/2

2

2

1/2-1

622()25W/(mK)2(0.0060.0007)m

()[][]

()200W/(mK)0.0060.0007m

25W/(mK)0.0134m

()20.0m

200W/(mK)4.210mchPhH

m

AH















1

20m(0.010.00.0007)m=0.207mH



1/26221/2

()(200W/(mK)4.210m25W/(mK)0.0134m)

0.0168W/KcAhP





()(0.207)0.204thmHth

故有： 1

292K/W

0.2040.0168W/KfR



12个肋片的热阻为：