数理方程课后习题(带答案)

第二次作业

1.化下列方程为标准形式：

0yyxxyuu

解：根据题意可得ycba,0,1，则有yacb2。

（1）当0y时，0，方程为抛物型方程，标准形式为0xxu；

（2）当0y时，0，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为

022ydxdy

解得两条特征线为

Cixy2

选取变换xy,2，带入原方程可得

01uuu

（3）当0y时，0，方程为双曲型方程，对应的特征方程为

022ydxdy

解得两条特征线为

Cxy2

选取变换yxyx2,2，带入原方程可得

uuu21

2.确定下列方程的通解：

023yyxyxxuuu

解：根据题意可得2,23,1cba，0412acb，方程为双曲型方程，对应的特征方程为

02322dxdxdydy

解得两条特征线为 212CxyCxy

选取变换xyxy2,，可把原方程化简为

0u

此方程的通解是

gfu

其中是gf,关于,的任意二次可微的连续函数，

所以原方程的通解为

yxgyxfu2

作业中出现的问题：

第一题：

1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。

2.有的同学没有讨论0y时候的情况。

3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含yx,。此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。还有计算问题也出现了很多。

第二题：

1.到0u这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论gf,和性质。

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第一章 曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以 。 证毕

3. 证明

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 在区间上可导当且仅当数量函数

，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕

5.

证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕 精品资料

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6.

证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，，，和共面，于是 ，

其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。

竖立方程习题解答

习题一 1

习题二 3

习题三 5

习题四错误!未定义书签。习题五错误!未定义书签。

1

习题1.1.4

1.导出弦受阻力的波动方程 其中阻力与速度成正比,为常数. 解 我们考虑弦的一个微元。令为端点处的张力,如教材图1.1所示,沿锤直方向作用在这个微元上的力是,阻力为,由牛顿(Newton)第二定律1,此合力等于质量乘以加速度.因此

(1) 其中是密度,

是微元弦的弧长.因为运动弦的斜率是很小的,故有 s x Δ≈Δ.因角和也很小,所以我们有,

,于是(1)式变成

(2) 但由微积分学我们知道,在时刻,

,于是,方程(2)便可写成

令

取极限,我们求得 (3) 其中 2. 设长度为的均匀弹性杆的线密度为,杨氏模量为,试列出杆的微小纵振动方程。 解 考虑杆在无外力作用下的振动。取杆的一端为原点,干的方向为轴建立坐标系:

则杆上各点在时刻的位移是。

在杆上任取一段,其两端点静止时的坐标为

,此小杆段在时刻的相对伸长为:

,令得点在时刻的相对伸长为(,)x u x t ,由Hooke 定律知张力为

,再此小杆段上用Newton 第二定律得

两边同除并令得:

若杨氏模量为为常数则得:

。

1 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价,也可以用动量守恒定律来见方程,见《数学物理方程讲义》 (姜礼尚、陈亚浙)P1

习题1.2.4

3

习题1.2.4

1 设悬浮粒子由重力引起的沉淀速度是不变的,又假定在同一水平面上粒子的浓度是相同的,试给出悬浮粒子的浓度所满足的方程.

解 取竖直向下的方向为轴,考虑介于平面之间,截面积为常数的柱体。质量守恒关系为其中为这段时间内柱体内粒子质量的增加,而为这段时间内由于扩散作用经由柱体的上、下底面进入柱体内的粒子质量,是由于沉淀经柱体的上、下底面进入柱体的粒子质量。

其中

是扩散系数。

从而

注意到与的任意性,由上式立即得

2. 没有一厚为l 的无限平面板,在其表面与温度为的周围介质发生热交换,如果板的温度不随其厚度而变化(即在垂直于板面的直线上的点的温度均相同),试给出板冷却的初边值问题。

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§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以 。 证毕

3. 证明

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 在区间上可导当且仅当数量函数 ，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。 证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，，，和共面，于是 ， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕