第7章 最优回归试验设计与分析
方差分析一章介绍的方差分析技术主要用于析因试验结果的分析。但在多处理情形下，虽然我们在理论上可以容易地将双因子方差分析的模型和方法推广到多因子方差分析的情况，但在实践中，做多个因子的完全试验会有实际的困难，因为完全试验所要求的试验次数太多，乃至无法实现。例如，假定要考虑5个三水平因子，则完全试验（重复数为1）要求做35=243次试验；假如再加一个四水平因子，则完全试验（同样重复数为1）要作972次试验，如果要能够分析全部交效应，同时还能够做平方和分解，则试验次次还需要加倍！显然，如此大的试验次数在实际中几乎是无法实施的。解决这个困难的技术之一是采取正交试验设计进行试验。
本章介绍的最优回归试验设计包括一般正交试验设计、正交回归、正交旋转组合设计及均匀设计的试验设计及其分析技术。
第1节 正交试验统计分析
1．概述
正交试验是解决科学试验中多因素、多水平试验，如按全面试验方法，试验处理个数急剧上升的问题。例如有6个因素，每个因素5个水平的试验，全面试验的试验数目是56＝15625个，一般是不可能完成这么多试验处理的。因此，统计学家发明了一类试验设计的方法－正交因子设计，或简单地称为“正交设计“。在这种试验设计中，可以安排许多因子，而试验次数远远小于完全试验所需的试验次数；同时统计分析具有分离各因子的主效应和一阶交互效应两优点。由于这个优点，正交设计在工、农业试验和科学试验中得到了广泛的应用，并发挥了巨大的作用。
2．分析前先编辑定义数据矩阵，数据矩阵的左边放正交表,右边输入试验结果(试验可是单个或有重复),一行一个正交试验组合。然后, 将正交表和试验结果一起定义成数据矩阵, 如有1个包含3个处理(A,B,C)和2个空闲因子、重复3次的试验,的其数据编辑定义格式为如图7－1。
然后进入菜单选择“一般正交试验”功能，系统提示用户输入试验因子(处理+空闲因子)的总个数(系统一般能自动识别出来,故一般只需回车)。 然后输入空闲因子所在的列的序号，本例中第3,4列为空闲列,故输入“3 4”,回车(如果没有空闲因子,则直接按回车即可)后系统立即输出分析结果。分析结果的解释同方差分析。
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均匀试验设计
唐 启 义
浙江大学农业与生物技术学院
均匀设计是中国统计学家方开泰教授和中科院院士王元首创，是处理多因素多水平试验设计的首选方法，可用较少的试验次数，完成复杂的科研课题和新产品的研究和开发。 均匀设计将试验点在高维空间内充分均匀分散，使数据具有更好的代表性，为揭示规律创造必要条件。变量和水平数少于4时，试验设计用户易于选择，适用的方法较多，如正交试验设计、回归正交试验设计、旋转设计、D－最优设计等，试验次数通常是十几个，用户能够接受。但当描述复杂自然现象和探讨复杂的规律，实验因素和水平在5个以上时，用上述方法试验次数会剧增，使得用户难于接受，用户只好简化条件或是取消试验考察。 均匀设计的最大特点是，试验次数可以等于最大水平数，而不是实验因子数平方的关系，试验次数仅与需要考察的x个数有关。但一般来说，试验次数选为实验因子个数的3倍左右为宜，有利于建模和优化。 目前，对于一般等水平均匀设计问题，方开泰的有关均匀设计的几部著作，特别是为均匀设计开辟的网页.hk/UniformDesign 可以得到大量的均匀设计表格。在该网页上，其均匀设计表是以中心化偏差作为均匀性度量指标，且精度较高，一般应用，如处理数量不大时可以使用该表。 当各个因素的水平不等时，一般是利用数量有限的混合水平均匀设计表，如方开泰教授的专著“均匀设计与均匀设计表”（科学出版社1994年出版）一书附录二；或采用拟水平方法将一般的均匀设计表变换为各个因素水平数不等的混合水平表。这种利用现成的混合水平均匀设计表进行试验，很多情况下都需要我们的设计方案“削足适履”，以符合表格的要求；而利用拟水平法来构造混合水平的均匀设计表，当因素比较多时，如何构造使得生成的混合水平均匀设计表的偏差更小，即更均匀又很难解决。 在DPS数据处理系统中，作者提出了一种新的定向优化算法，初步解决了一般均匀设计表和混合水平均匀设计表的构造问题。运用该方法可以求得设计矩阵优良性能较好，偏差也比较小的均匀试验设计方案。特别适用于构造试验因子和处理(水平)数较大的情形及混合水平的均匀试验设计需求，因为目前几乎所有的现成的均匀设计方案的因子数在30以下，处理（水平）数在31以下。下面介绍该方法的使用技术。同时，在DPS系统中，还提供了对现有的均匀设计进行优化的功能，以及混料均匀设计方案计算的功能等。
第1页 共3页 均匀设计试验
一、简介
均匀设计是基于试验点在整个试验范围内均匀散布的，从均匀性角度出发提出的一种试验设计方法。它是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，均匀设计也是如此。它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡分散，但仍能反映体系的主要特征。例如，正交设计是根据正交性来挑选代表点，它在挑选代表点时有两个特点：均匀分散、整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性，因此，即使在正交表中各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；“整齐可比”性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可分析各因素对指标影响的大小及指标的变化规律。但是，为了照顾“整齐可比”，正交设计的试验点并没有能做到充分“均匀分散”，而为了达到“整齐可比”，也使得其试验布点的数目比较多。它必须至少要做次试验（为因素的水平数）。而对于均匀设计，尤其在条件范围变化大而需要进行多水平试验的情况下，均匀设计可极大地降低试验的次数，它只需要与因素水平数相等次数的次试验即可达到正交设计的至少做次试验所能达到的试验效果。
均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”，因此试验的结果没有正交试验结果的整齐可比性，其试验结果的处理多采用回归分析方法。
二、原理
均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。均匀设计只考虑试验点在试验范围内均匀散布，挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验，任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。它着重在试验范围内考虑试验点均匀散布以求通过最少的试验来获得最多的信息，因而其试验次数比第2页 共3页 正交设计明显的减少，使均匀设计特别适合于多因素多水平的试验和系统模型完全未知的情况。例如，当试验中有m个因素，每个因素有n个水平时，如果进行全面试验，共有n∧m种组合，正交设计是从这些组合中挑选出n∧2个试验，而均匀设计是利用数论中的一致分布理论选取n个点试验，而且应用数论方法使试验点在积分范围内散布得十分均匀，并使分布点离被积函数的各种值充分接近，因此便于计算机统计建模。如某项试验影响因素有5个，水平数为10个，则全面试验次数为10∧5次，即做十万次试验；正交设计是做10∧2次，即做100次试验；而均匀设计只做10次，可见其优越性非常突出。
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
