附件5-1:
德州学院
本科课程教学大纲
课 程 名 称： 点集拓扑
英 文 名 称： Point set topology
课 程 编 号：
所属系（部）： 数学系
日 期： 2005.4
周学时 3 总学时 54 学分 3
教学对象（本课程适合的专业和年级）：数学系各专业本科三年级学生
预备知识：集合论的有关有关内容
课程的教育目标：
使学生通过本课程的学习，清楚拓扑学的中心任务，初步掌握点集拓扑学的基本概念、基本理论及其应用。主要掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念，连通空间、局部连通空间、弧连通空间、紧致空间、局部紧致空间、仿紧致空间和满足可数性公理、分离性公理的空间的概念、拓扑性质以及相互之间的关系。学习逻辑推理的方法，提高抽象能力与逻辑思维能力.
课程的性质和任务：
点集拓扑是本科数学与应用数学专业的专业理论课。属几何类课程，选修课。拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其它分支中有着广泛的应用，特别与分析学有着密切联系，是分析学相应内容的提高和深化。同时在物理、化学、生物和现代科学技术中得到越来越广泛的应用。 拓扑学已与近世代数、近代分析共同成为近代数学理论的三大支柱.开设该课程就是要学习这门课程的基本知识，学习逻辑推理的方法．
课程的基本要求：
（1）掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念及充要条件，拓扑空间的基和子基的概念、充要条件及作用。熟悉开集、导集、闭集等概念及其性质。
（2）熟悉子空间、有限积空间和商空间的拓扑结构。
（3）掌握连通性、理解局部连通、弧连通空间的概念、拓扑性质以及相互之间的区别与联系。
（4）掌握满足第一和第二可数性公理的空间、可分空间、林德洛夫空间的概念、性质以及相互之间的联系。
《数学系（点集拓扑学）》教学大纲
学时：51学时 学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
大纲执笔人：李伯权 大纲审定人：孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科。
本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。
2、课程教学的基本要求
（1） 通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应用拓扑学解决实际问题的能力。以便为以后进一步学习、研究现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
（2） 系统掌握点集拓扑的基本知识。其基本内容包括：拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的可积、可遗传等性质，基本群及其应用。掌握点集拓扑中的证
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第4章 连通性
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4.1 连通空间
本节重点:
掌握连通与不连通的定义；
掌握如何证明一个集合的连通与否；
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．
定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果
则称子集A和B是隔离的． 学习必备
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明显地，定义中的条件等价于和 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：
（l）X是一个不连通空间；
（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；
（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；
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拓扑学课程教学大纲
【课程编码】JSZX0500
【适用专业】 数学与应用数学
【课 时】54课时
【学 分】3学分
【课程性质、目标和要求】
本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。它系统而完整地介绍了点集拓扑
学的一些基本概念、基本理论和基本方法。其主要任务是使学生获得拓扑学的基本
思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽
象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等
学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论
和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问
题。从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】
本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：
章次 课程内容 课时 备注（教学形式）
1 集合论初步 4课时 讲授与讨论、作业、辅导
2 拓扑空间与连续映射 10课时 讲授与讨论、作业、辅导
3 子空间，乘积空间与商空间 6课时 讲授与讨论、作业、辅导
4 连通性 8课时 讲授与讨论、作业、辅导
5 有关可数性公理 6课时 讲授与讨论、作业、辅导
6 分离性公理 10课时 讲授与讨论、作业、辅导
7 紧致性 10课时 讲授与讨论、作业、辅导
合 计 54
【教学内容要点】
第一章 集合论初步
一、学习目的要求
本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议 2 由学生自学。关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。通
过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌
握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein
定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容
