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第4章 连通性
本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．
§4.1 连通空间
本节重点:
掌握连通与不连通的定义；
掌握如何证明一个集合的连通与否；
掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．
定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果
则称子集A和B是隔离的． 学习必备
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明显地，定义中的条件等价于和 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．
应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．
又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．
定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．
显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．
定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：
（l）X是一个不连通空间；
（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；
（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；
！！！！！！！！！！！！
######################## 第3章 子空间（有限）,积空间，商空间
在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．
§3.1 子空间
本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．
讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．
考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：
定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×YX×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 2 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的
n维单位球面:
n维单位开、闭球体:
以及n维单位开、闭方体 和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．
陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
- 186 -
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号
课程名称 点集拓扑
课程类别 综合选修
教材名称 点集拓扑
制 订 人 陈冬梅
审 核 人 杨和平
2005年4月修订 陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
- 187 - 一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课
2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）
3．开设学期：每学期
4．学时安排：周学时3，总学时54
5．学分分配：3学分
（二）开设目的
《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构，进而又讨论了在这一框架下空间的性质。拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。它在许多数学分之中有广泛的应用。现在，点集拓扑已经发展成为一门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析、微分流形等有很大帮助；另一方面，通过本课程的学习，还可以提高学生的数学素养，扩大学生的数学知识面。
（三）基本要求
掌握拓扑学中比较有应用价值的基础概念和基本方法，并在此基础上，使学生掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决。
（四）主要内容
本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等概念。重点介绍拓扑、基、次基的构成，几种分离性的关系，紧致性的特征、乘积空间拓扑的组成和性质等。
（五）先修课程
数学分析
（六）后继课程
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