概率,至少要配多少钥匙

2022-2023学年度九年级数学下册模拟测试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1．如图是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a重合的是（）A．d B．e C．f D．i2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值（）A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化D．都缩小一半3．在锐角三角形ABC中，若2,∠B=750,则tanC=（）A3B 3C2D．14．已知β为锐角，且tanβ=3.387 ,则β等于（）A．73033′B． 73027′C． 16027′D． 16021′5．张华的哥哥在西宁工作，今年“五．一”期间，她想让哥哥买几本科技书带回家，于是发短信给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0，2，8三个数字，则张华一次发短信成功的概率是（）A．16B．13C．19D．126．如图所示，是一个被分成等份的扇形转盘，小明转了 2 次结果指针都留在红色区域，小明第 3 次再转动，指针停留在红色区域的概率是（）A．1 B．0 C．23D．137．已知10xm =,10yn =,则2x 310y+等于（ ）A ．23m n +B ．22m n +C ．6mnD ．23m n8．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）9．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（ ） A ．12B ．9C ．4D ．310．下列说法中，不正确的是（ ） A ．两圆有且只有两个公共点，这两圆相交 B ．两圆有唯一公共点，这两圆相切 C ．两圆有无数公共点，这两圆重合 D ．两圆没有公共点，这两圆外离11．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与 x 轴相切于B ，与y 轴交于C （0，1），D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ） A ．35(,)22B ．3(,2)2C ．5(2,)2D ．53(,)2212．下列哪个图可以近似地反应上午9：10时，浙江某中学竖立的旗杆与其影子的位置关系 的是（ ）13．如果用□表示1个立方体，用 表示两个立方体叠加，•用■表示三个立方体叠加，那么下图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）B CA D14．下列各种现象中不属于中心投影现象是（）A．民间艺人表演的皮影戏B．在日常教学过程中教师所采用投影仪的图象展示C．人们周末去电影院所欣赏的精彩电影D．在皎洁的月光下低头看到的树影15．下面四幅图中，灯光与物体影子的位置最合理的选项是（）A．B．C．D．16．甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么所取出的两球是同色球的概率为（）A．2B．12C．13D．16评卷人得分二、填空题17．已知⊙O的半径为 4 cm，直线l与⊙O相切，则圆心0到直线l的距离为 cm．18．从1，2，3这三个数字中任取两个数字组成一个两位数，其中能被3整除的两位数的概率是．19．某校九年级二班50名学生的年龄情况如下表所示：年龄14岁15岁16岁17岁人数720167从该班随机地抽取一人，抽到学生的年龄恰好是15岁的概率等于________．20．Rt△ABC中，斜边与一直角边比为25：7，则较小角的正切值为．21．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=5,BD是中线，则BD= ．22．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是14，则任意摸出一个蓝球的概率是．23．已知圆的直径为13cm，直线与圆心的距离为d，当d cm=8时，直线与圆相离；当d cm=65.时，直线与圆．24．若两圆的半径分别为4和8，且两个圆没有公共点，则两圆的圆心距d 的取值范围是 .25． 在 l5m 高的屋顶A 处观测一高塔 CD ，测得塔顶 D 的仰角为 60。

2021-2022学年度九年级数学下册模拟测试卷考试范围：九年级下册数学；满分：100分；考试时间：100分钟；出题人；数学教研组题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分一、选择题1．如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．32 D ．61 2．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ） A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米3．如图，身高为1.6米的某学生想测学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子与学校旗杆的影子重合，并测得AC ＝2.0米，BC ＝8.0米，则旗杆的高度是（ ） A ．6.4米B ．7.0米C ．8.0米D ．9.0米下列图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）如图是一个正方体纸盒的平面展开图，每一个正方形内部都有一个单项式．当折成正方体后，“？”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“？”所表示的单项式是（ ） A ．bB ．cC ．dD ．e6．如图，⊙I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF ∠，则A∠的度数为（ ） A ．76B ．68C ．52D ．387．在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ） A ．23 B ．1 C ．2 D ．328．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cmB ．13cmC ．9 cm 或13cmD ．5cm 或13cm9． 如图：所示，AB 是⊙O 的直径，根据下列条件，不能判定直线 AT 是⊙O 的切线的是（ ） A ．∠TAC=45°,AB=AT B ．∠B=∠ATB C ．AB= 3，AT= 4 , BT= 5 D ．∠B= 52°,∠TAC= 52°10．袋中有 4 个除颜色外其余都相同的小球，其中 1 个红色， 1 个黑色，2 个白色，现随机从袋中摸取一球，则模出的球为白色的概卒为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1411．从一定高度掷一个瓶盖，落地后，下列判断中正确的是（ ） A ．盖面朝上的概率大 B ．盖面部下的概率大 C ．一样大D ．无法判断12．在拼图游戏中，从如图左边的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成如图右边的“小房子”的概率等于（ ） A ．1B ． 12C ．13D ．23评卷人 得分二、填空题13．如图所示，已知∠AOC = 60°，点 B 在OA上，且23OB=，若以 B为圆心，R 为半径的圆与直线 OC相离，则 R 的取值范围是．14．若100个产品中有95个正品，5个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是．15．某校九年级二班50名学生的年龄情况如下表所示：年龄14岁15岁16岁17岁人数720167从该班随机地抽取一人，抽到学生的年龄恰好是15岁的概率等于________．16．从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=k x+3的k值，则所得一次函数中y 随x的增大而增大的概率是．17．某人从地面沿着坡度为3:1=i的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．18．在体育达标跳绳项目测试中，1分钟跳160次为达标，小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145, 155, 140, 162, 164. 则他在该次预测中达标的概率是__________．19．若两圆的半径分别为4和8，且两个圆没有公共点，则两圆的圆心距d的取值范围是 .20．已知sinA =23，则cosA = ．tanA = ．21．若θ为锐角，且sinθ3tanθ= ．22．△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径画圆，与这个圆相切的直线是．23．如图，机器人从A点沿着西南方向，行了42个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为．（结果保留根号）．解答题24．若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______.25．如图，点0是△ABC 的内心，内切圆与各边相切于点 D．E、F，则图中相等的线段(除半径外 )是：，，．26．两圆的圆心距等于 1，半径R、r是方程27120x x-+=的两根，则这两圆的位置关系是．27．如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，∠OBA=52°，则∠AOB=_____°．28．一个正方体的每个面上都写一个汉字，这个正方体的平面展开图如图所示，则这个正方体中与“菏”字相对的面上的字为__________．29．一个夜晚，在马路上散步的人，经过一盏路灯时，他的影子的变化的情况是．30．如图是一个圆柱体，它的俯视图是 (填图形的名称即可）．31．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．32．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝．33．在△ABC 中，∠C= 90°，若2cos3A=，则tanA= ．评卷人得分三、解答题34．ABC△中，90C∠=°，43AC BC==，，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C 与线段AB有两个交点，求R的范围．BCAPO35．如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O•的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．36．如图，已知E 是AABC 的内心，∠A 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：∠DBE=∠DEB ；(2)若AD=8cm ，DF ：FA=1：3，求DE 的长．37．已知等腰三角形的底边长为20，面积为10033,求这个等腰三角形的三个内角度数及腰长.38．随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD ，如图所示，根据图中数据计算坝底 CD 的宽度. (结果保留根号)39．现有甲、乙两把不相同的锁，各配有 3 把钥匙，总共6把钥匙，从这 6 把钥匙中取2把，恰好能打开两把锁的概率是多少？要想打开甲、乙两把锁，至少取几把，至多取几把？40．甲、乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满 l00元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有 2 个红球和 2个白球，除颜色外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少见下表：球两红一红一白两白甲礼金券5元10 元 5 元乙礼金券10 元5元10 元如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？41．如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，BE=3AE ，求sin∠ECM的值．42．如图，∠PAQ 是直角，⊙O 与 AP 相切于点 T，与 AQ 交于B、C两点.(1)BT 是否平分∠OBA？说明你的理由.(2)若已知 AT=4，弦 BC=6，试求⊙O的半径R.43．曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线AD和直杆EC都与BC垂直，BC＝2.8米，CD＝1.8米，∠ABD＝40°，求斜杆AB与直杆EC的长分别是多少米？（结果精确到0.01米）44．路灯下站着小赵、小芳、小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．45．如图，在一间黑屋子里用一盏电灯照一个球：(1)如图①，球在地面上的阴影是什么形状？(2)如图②，当把球从灯的正下方移开一定距离时，阴影的形状会怎样变化？46．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成600角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC（如图所示）.(l）当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线直射入室内？(2）当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直射入室内？（结果精确到0.1米）47．把两块相同的含 30°角的三角尺如图放置，如果 AD =6，求三角尺各边的长.48．画出右图几何体的主视图、左视图和俯视图．主视图左视图俯视图49．某市在城市建设中，要折除旧烟囱AB（如图所示），在烟囱正西方向的楼CD的顶端C，测得烟囱的顶端A的仰角为45，底端B的俯角为30，已量得21mDB ．(1）在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．(2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．50．一场篮球比赛在：离比赛结束还有 1分钟时，甲队比乙队落后 5 分，在最后 1 分钟内估计甲队都投三分球的机会有 6 次，如果都投 2 分球只有 3 次机会，已知甲队投 3 分球命中平均概率为13，投 2 分球命中平均概率为23，则选择哪一种投篮，甲队取胜的可能性大？【参考答案】一、选择题1．A2．无3．C4．D5．D6．A7．B8．D9．B10．B11．B12．D二、填空题13．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无31．无32．无三、解答题34．无35．无36．无37．无38．无39．无40．无41．无42．无43．无44．无45．无46．无47．无48．无49．无。

概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。

3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。

每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。

设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。

试求)|(A B P 和)|(B A P4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。

问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。

今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。

试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。

试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。

试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。

求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。

第一章随机事件及概率第二部分一、一袋中有7个白球和5个红球，从中摸取二次，每次一球。

设表示“两次都取到红球”，表示“至少一次取到红球”。

请在（1）有放回抽样（2）不放回抽样条件下求。

（有放回抽样、不放回抽样）解：显然袋中有12个球。

（1）有放回抽样时，样本点总数为，中样本点数为，于是。

又设表示“恰有一次取到红球”，则且与不相容，而中样本点数为个，从而。

（2）不放回抽样时，样本点总数为，中样本点总数为，故。

又中样本点数为，故。

二、古典概型的典型例题1。

（例题、古典概型）从6双不同的鞋子中任取4只，问其中至少一双配对的概率是多少？解：这可有以下两种解法。

设A=“至少一双配对”，则＝“4只全不配对”。

法一：不考虑顺序，利用组合数来作。

样本点总数为，要发生，可以先从6双中取出4双，再每双取一只，故所求概率为。

法二：可以设想4只鞋子是一只一只地取出，要求有顺序，即12个元素每次取一个作不放回抽样的排列，样本点总数为，要发生，可以先从12只鞋子中取出一只，再从10只里选一只，再从8只里选一只，最后再从6只中选一只，故所求概率为。

注：本题的两种解法来自于对样本空间的不同理解，计算事件中所含样本点数必须在确定的样本空间中进行，否则容易发生错误。

三、古典概型的典型例题2。

（例题、古典概型）袋中有7只红球，5只白球，不放回地陆续取出3球，求：（1）顺序为红、白、红地概率；（2）有2只红球的概率。

解：（1）样本空间点数为12个球中取出3个的排列，以表示（1）所求事件，则要发生，应有种选择，故，（2）放回地抽取3次，每次一球，在不要求顺序条件下，与一次性取出3球等价，故可用超几何分布公式求解，所求概率为。

四、古典概型的典型例题3。

（例题、古典概型、对立事件、全排列）某市的电话号码是一个8位数，设0－9这10个数字在每位数种出现是等可能的，求以下概率：（1）8位数全不同的概率；（2）至少有两个数字相同的概率；（3）恰好有二个位置上号码相同而其它位置上号码各自不同的概率。

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

2022-2023学年度九年级数学下册模拟测试卷考试范围：九年级下册数学；满分：100分；考试时间：100分钟；出题人；数学教研组题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分一、选择题1．在“石头、剪子、布”的游戏中（剪子赢布，布赢石头，石头赢剪子），当你出“剪子”时，对手胜你的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．142． 四位学生用计算器求 cos27o 40′的值正确的是（ ） A ． 0.8857B ．0.8856C ． 0. 8852D ． 0.88513．下列说法正确的是（ ） A ．tan80°<tan70° B ．sin80°<sin70° C ．cos80°<cos70°D ．以上都不对4．如图, AP 为圆O 的切线, P 为切点, OA 交圆O 于点B , 若40A ∠=, 则APB ∠等于（ ） A ．25B ．20C ．40D ．355．河堤的横断面如图所示，堤坝 BC 高 5m ，迎水斜坡的长是 10 m ，则斜坡 AB 的坡度是（ ）A ．1：2B ．2：3C ．`13D ．1:36．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D= 90°，BC= 2，CD=3，则 AB=（ ）A．4 B．5 C．23D．8 37．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于A∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sin A的值越大，梯子越陡B．cos A的值越大，梯子越陡C．tan A的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与A∠的函数值无关8．文具盒中有 3 枝圆珠笔，2 枝铅笔， 1 枝钢笔，任取一枝，则是圆珠笔的概率是（）A．12B．16C．13D．239．王英同学从A地沿北偏西60方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，这时王英同学离A地的距离是（）A．150m B．503m C．100m D．1003m10．将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成右图的是（）11．如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达 H 点的概率是（）A．12B．14C．16D．1812．如图，已知 PA 为⊙O的切线，A 为切点，PBC 为过圆心0 的割线，DB⊥PC 于点B，DB=3 ㎝，PB=4cm，则⊙O的直径为（）A．10 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm13．视线看不到的地方称为（）A．盲点B．盲人C．盲区D．影子C14．下列哪个图可以近似地反应上午9：10时，浙江某中学竖立的旗杆与其影子的位置关系 的是（ ）15．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为,,a b c ，则,,a b c 正好是直角三角形三边长的概率是（ ） A ．1216B ．172C ．136D ．11216．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA=cosB B ．sinB=cosA C ．tanA=tanBD ．sin 2A+sin 2B=1评卷人 得分二、填空题17．在一个不透明的袋子中装有 2 个红球，3个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从 中摸出一球，记录下颜色后将它放回袋子中，充分摇匀后，再随机模出一球，则两次都摸到红球的概率是 ．18．ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =． 19．某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高．20．如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A 点测得D 点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为______米．21．设⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，且O 1在⊙O 2上，O 2在⊙O 1上，则∠AO 1B=_____度．22．若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是 ． 23．如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，则∠P = 度．24．在Rt △ABC 中，若∠C= 90°，AC=24，AB=25，则sinB= ． 25．已知sinA =23，则cosA = ．tanA = ． 26．Rt △ABC 中，∠C= 90°，根据下列条件填空： (1)若A=30°，c=8，则∠B= ，a= ，b= ．(2)若a=2，c=2，则∠A= ，∠B= ，b = ．27．已知正三角形的周长是 6，则它的面积为 .28．如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝．29．一个小组里有 4名女同学，6 名男同学，从中任取两人去参加一个晚会，选出的两人恰好是一男一女的概率是．30．如图，小亮在操场上距离杆AB的C处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为300，已知BC＝9米，测角仪的高CD为1.2米，那么旗杆AB的高为米（结果保留根号）．31．如图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动,并随机停留在某块瓷砖上,则蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是．32．已知两圆⊙O1与⊙O2的圆心距为 5，⊙O1与⊙O2的半径分别是方程29140-+=的x x两个根，则这两圆的位置关系为．33．如图，已知△ABC的一边BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，若BC=4，AB=5，则cosB= ．34．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面．．．涂色的小立方体共有个．35．在一间黑屋子里，用一盏白炽灯如图方式分别照射一个球，一个圆锥和一个空心圆柱，它们在地面上的影子形状分别是、、．36．如图是一几何体的三视图，那么这个几何体是．37．在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为米．38．将如图折成一个正方体形状的盒子，折好后与“迎”字相对的字是．39．如图所示，转动甲、乙两转盘，当转盘停止后，指针指向阴影区域的可能性甲乙(填“大于”、“小于”或“等于”).40．如图，一游人由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD等于 (结果用根号表示）41．已知sinA =2，则cosA = ．评卷人得分三、解答题42．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米．求路灯杆AB路的高度（精确到0.1米）．43．小华与小红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小华得1分；（图1）当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？44．如图所示，在Rt △ABC 中，∠B= 90°，AC=200， sinA=0.6，求BC 的长．45．一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？ (参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）46．袋中装有 6 只乒乓球，其中 4 只黄色，2 只白色. (1)求从中任取两个球均为白色的概率； (2)求取出两球，一只是白球，一只是黄球的概率.房子 电灯小山小人 （图2）BCDA47．现有甲、乙两把不相同的锁，各配有 3 把钥匙，总共6把钥匙，从这 6 把钥匙中取2把，恰好能打开两把锁的概率是多少？要想打开甲、乙两把锁，至少取几把，至多取几把？48．根据生物学家的研究，人体的许多特征都是由基因控制的，有的人是单眼皮，有的人是双眼皮，这是由一对人体基因控制的，控制单眼皮的基因f是隐性的，控制双眼皮的基因F是显性的，这样控制眼皮的一对基因可能是ff、FF或Ff，基因ff的人是单眼皮，基因FF或Ff的人是双眼皮.在遗传时，父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女，而且是等可能的，例如，父母都是双眼皮而且他们的基因都是Ff，那么他们的子女只有ff、FF或Ff三种可能，具体可用下表表示：你能计算出他们的子女是双眼皮的概率吗？如果父亲的基因是Ff，母亲的基因是ff呢？49．甲、乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满 l00元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有 2 个红球和 2个白球，除颜色外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少见下表：球两红一红一白两白甲礼金券5元10 元 5 元乙礼金券10 元5元10 元如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？50．在△ABC 中，∠C=900，∠A=300， BD 是∠B 的平分线，如图所示． (1）如果AD=2，试求BD 和BC 的长；(2）你能猜想AB 与DC 的数量关系吗，请说明理由．51．如图，小华家(点A 处)和公路(l)之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌(DE)．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路记为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离为40m ，求小华家到公路的距离．（精确到1m ）52．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分DAB ∠． (1）求证：AD CD ⊥； (2）若2AD =，6AC =，求⊙O 的半径R 的长．53．图l是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子(如图2)，侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角都是120º，该六棱校的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展开图．(1)制作这种底盒时,可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮,请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒?并请你说明理由；(2)如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为cm．(说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．)54．一天晚上，圆圆和小丽在路灯下玩耍，圆圆突然高兴地对小丽说：“我踩到了你的‘脑袋'了”. 请在图中画出小丽在路灯下的影子，并确定圆圆此时所站的位置.55．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成600角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC（如图所示）.(l）当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线直射入室内？(2）当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直射入室内？（结果精确到0.1米）56．身高 1.6m 的小明在课外数学活动小组的户外活动中，准备利用太阳光线和影子测旗杆AB的高度. 如图所示，在小亮的帮助下，小明圆满地完成了任务.(1)他们必须测出哪几条线段的长？(2)若旗杆的影长为 4m，小明的影长为1.2m，请你帮小明计算出旗杆的长.57．如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，大王不能让小明看见，请你画出小明的活动区域.58．如图，由山脚下的一点 A测得山顶D 的仰角是 45°，从点 A沿倾斜角为30°的山坡前进 1500米到达点 B，再次测得山顶 D 的仰角为60°，求山高 CD.59．如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：(1）三面涂有颜色的概率；(2）两面涂有颜色的概率；(3）各个面都没有颜色的概率．60．如图，在 Rt△ABC 中，∠C= 90°，斜边AB=8 cm,AC=4㎝．(1)以点 C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点 C为圆心，分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？【参考答案】一、选择题1．B2．A3．C4．A5．C6．D7．A8．A9．D10．C11．B12．B13．无14．C16．C二、填空题17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无31．无33．无34．无35．无36．无37．无38．无39．无40．无41．无三、解答题42．无43．无44．无45．无46．无47．无48．无50．无51．无52．无53．无54．无55．无56．无57．无58．无59．无60．无。

概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,及r ，试求)(),(),(B A P B A P AB P 及)(AB P2．若C B A ,,相互独立，试证明：C B A ,,亦必相互独立。

3．试验E 为掷2颗骰子观察出现的点数。

每种结果以),(21x x 记之，其中21,x x 分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。

设事件}10|),{(2121=+=x x x x A ， 事件}|),{(2121x x x x B >=。

试求)|(A B P 和)|(B A P4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。

问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 个白球、m 个红球，乙袋中装有N 个白球、M 个红球。

今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。

试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。

试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。

试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设B A ,为两随机变量，试求解下列问题：（1） 已知6/1)|(,3/1)()(===B A P B P A P 。

求：)|(B A P ； （2） 已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 。

生活中的概率问题[概率中的“至多“至少问题]【摘要】概率中涉及“至多”“至少”这一类型问题，如何处理，这里给出一种简单而快捷的处理办法。

【关键词】“至多”；“至少”；处理办法在概率的学习中，同学们经常会遇到“至多”“至少”问题，一时觉得难以处理，常常束手无策，怎么办？其实，我们完全可以利用对立事件来处理，至多至少问题它包含一系列事件，若一一去探讨，非常麻烦。

而它的对立事件则往往比较简单，如：例1：某人对靶板连续射击8次，他每次命中靶板的概率为0.8，他每次射击互不影响。

问：他至少命中一次的概率是多少？解：这包括8次命中8次，8次命中7次，8次命中6次，8次命中5次，8次命中4次，8次命中3次，8次命中2次，8次命中1次。

则P（A）=C（8∶8）p8+C（8∶7）p7（1-P）+C（8∶6）p6（1-P）2+C（8∶5）p5（1-P）3+C（8∶4）p4（1-P）4+C（8∶3）p3（1-P）5+C（8∶2）p2（1-P）6+C（8∶1）p（1-P）7=0.9999974 但是，我们把上述一系列事件看成一个整体事件A，它的对立事件就是：射击8次一次都没有打中A-，P（A）=1-P（A-）=1-（1-p）8=0.9999974 显然，这样比上面的解法简单的多。

例2：甲乙二人独立解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是多少？解：这包括甲解决乙没解决，乙解决甲没解决，甲乙同时都解决。

P（A）=P1+P2-P1P2 同样，我们把上述三个事件看成一个整体A，它的对立事件就是：甲乙都没有解决，于是有：P（A）=1-（1-P1）（1-P2）=P1+P2- P1P2。

例3：某人投球命中率为2/3，现连续投5次，则至多命中4次的概率为多大？解：直接做法，p （A）=C（5∶1）（2/3）（1/3）4+C（5∶2）（2/3）2（1/3）3+C（5∶3）（2/3）3（1/3）2+C（5∶4）（2/3）4（1/3）=211/243 间接做法，p （A）=1-C（5∶5）某（2/3）5 =211/243 即：连续投5次，则至多命中4次的对立事件就是投5次全命中。