初三数学九上概率初步所有知识点总结和常考题型测验题

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

一、选择题1．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红色与蓝色能配成紫色)游戏，配得紫色的概率是( )A．12B．13C．14D．16D解析：D【分析】先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，然后利用概率公式即可得．【详解】由题意，画树状图如下：由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，则配得紫色的概率是16P ，故选：D．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．2．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．14B．34C．12D．38D解析：D【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】根据图示，∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，∴小球最终停留在黑色区域的概率是：63=168．故选D．【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=黑色区域的面积与总面积之比．3．下列说法正确的是（）A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B．数据2.0，﹣2，1，3的中位数是﹣2C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生A解析：A【解析】分析：根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识进行判断即可．详解：A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确；B、数据2.0，-2，1，3的中位数是1，错误；C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误；D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000，错误；故选A．点睛：此题考查概率的意义，关键是根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识解答．4．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14C解析：C【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．圆的直径正好是大正方形边长，∴，∴，2=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.5．“明天的降水概率为90%”的含义解释正确的是()A．明天90%的地区会下雨B．90％的人认为明天会下雨C．明天90%的时间会下雨D．在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨D解析：D【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得，在100次类似于明天的天气条件下，大约有90次会下雨，正确；故选：D．【点睛】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．6．某校食堂每天中午为学生提供A、B两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（）A．12B．13C．14D．23A解析：A【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】根据题意画图如下：所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种，则甲乙两人选择同款套餐的概率为：21 42 ；故选：A．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．如图，随机闭合开关1S，2S，3S中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．23B．12C．13D．16C解析：C【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.【详解】根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴()21 = 63P两盏灯泡同时发光，故选C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.8．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。

九年级数学上册第二十五章概率初步全部重要知识点单选题1、有4张分别印有实数0，-0.5，−√2，-2的纸牌，除数字外无其他差异。

从这4张纸牌中随机抽取2张，恰好抽到2张均印有负数的纸牌的概率为（ ）．A ．12B ．34C ．35D ．23答案：A分析：利用画树状图的方法计算即可．解：画树状图如下：一共有12种等可能性，其中同时负数的等可能性由6种，故恰好抽到2张均印有负数的纸牌的概率为612=12，故选：A ．小提示：本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法计算概率是解题的关键．2、某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12答案：C分析：用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，即甲和乙从同一节车厢上车的概率是39=13，故选：C ．小提示：本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是( )A ．13B ．16C ．19D ．127答案：B分析：根据题意, 分析可得三个只有颜色不同的有盖茶杯,将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共3×2×1=6种情况,结合概率的计算公式可得答案.解: 根据题意, 三个只有颜色不同的有盖茶杯, 将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共3×2×1=6种情况,而三个茶杯颜色全部搭配正确的只是其中一种;故三个茶杯颜色全部搭配正确的概率为16.故选B.小提示：本题主要考查概率的计算，用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.4、A 、B 、C 、D 四个人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红桃和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色扑克牌的两个人为游戏搭档，若A 、B 两人各抽取了一张扑克牌，则两人恰好成为游戏搭档的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．34 答案：B分析：利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．解：根据题意画图如下：共有12种情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色有4种可能，所以两人恰好成为游戏搭档的概率=412=13． 故选：B小提示：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．5、小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）A ．12B ．23C ．16D ．56答案：C分析：利用列表法或树状图即可解决．分别用r 、b 代表红色帽子、黑色帽子，用R 、B 、W 分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是16． 故选：C ．小提示：本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．6、不透明袋中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．b a+bB ．b aC ．a a+bD ．ab答案：A分析：根据概率公式直接求解即可．∵共有(a +b)个球，其中红球b 个∴从中任意摸出一球，摸出红球的概率是b a+b ．故选A ．小提示：本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．7、如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）．A ．425B ．45C ．35D ．925 答案：A分析：根据题意列表，然后根据表格即可求得所有等可能的结果数与两个指针同时落在偶数上的情况数，再根据概率公式求解即可求得答案．解：列表得：∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，∴两个指针同时落在偶数上的概率是425． 故选：A ．小提示：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（ ）A ．10B ．15C ．20D ．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B ．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．9、如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，随机地往⊙O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A ．3√32πB ．√32πC ．√34πD ．以上答案都不对答案：A分析：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得△OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =60°，∵OA =OB =r ，∴△OAB 是等边三角形，∴AB =OA =OB =r ，∠OAB =60°，在Rt △OAH 中，OH =OA ⋅sin∠OAB =r ×√32=√32r ， ∴S △OAB =12AB ⋅OH =12r ×√32r =√34r 2， ∴正六边形的面积=6×√34r 2=3√32r 2， ∵⊙O 的面积=πr 2， ∴米粒落在正六边形内的概率为：3√32r 2πr 2=3√32π， 故选：A ． 小提示：本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△OAB 的面积是解决问题的关键．10、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．23 答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13.故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．填空题11、如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．答案：13 分析：利用阴影部分面积除以总面积=投掷在阴影区域的概率，进而得出答案．解：由题意可得，投掷在阴影区域的概率是：39=13． 所以答案是：13． 小提示：此题主要考查了几何概率，求出阴影部分面积与总面积的比值是解题关键．12、小明将飞镖随意投中如图所示的正方体木框中，那么投中阴影部分的概率为_____．答案：518 分析：根据题意，设每个小正方形面积为1，观察图形并计算可得阴影部分的面积与总面积之比即为所求的概率．设小正方形面积为1，观察图形可得，图形中共36个小正方形，则总面积为36，其中阴影部分面积为：2+2+3+3=10，则投中阴影部分的概率为：1036=518.故答案为5.18小提示：本题考查几何概率，解题的关键是熟练掌握几何概率的求法.13、在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．答案：6分析：球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．红球个数为：40×15%＝6个，所以答案是：6．小提示：本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14、小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方_____．（填“公平”或“不公平”）．答案：公平分析：根据题意画出符合要求的树状图，列出所有等可能的结果，并由此计算出两人各自获胜的概率进行比较，即可得到结论.详解：根据题意画出树状图如下：由图可知：共有四种等可能结果出现，其中小明获胜的有两种，小亮获胜的也有两种，∴P（小明获胜）=24=12，P（小亮获胜）=24=12，∴P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴该游戏是“公平”的.故答案为公平.点睛：本题的解题要点有两点：（1）能够画出符合题意的树状图；（2）在一个游戏中，当游戏双方获胜的概率相等时，游戏是公平的；当游戏双方获胜的概率不等是，游戏是不公平的.15、为减轻“新冠”带来的影响，西城天街商场决定在国庆期间开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、20元．商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的3倍，摸到白球次数为上午的2倍，摸到红球次数为上午的4倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的4倍，摸到红球次数为上午的2倍，三个时间段返现总金额共为5020元，晚上返现金额比上午多840元，则下午返现金额为_______元．答案：2460分析：根据题意表示出上午、下午、晚上摸到黑、白、红的次数，列数返现的金额式子，确定出a，b，c的值代入计算即可；设上午黑、白、红摸到的次数分别是a，b，c，则下午摸到黑、白、红的次数是3a，2b，4c，晚上摸到黑、白、红的次数是a，4b，2c，晚上返现金额比上午多840，∴3b×60+c×20=840，∴180b+20c=840，总返现为：500a+420b+140c=5020，根据题意：a，b，c是大于零的正整数，当b=4时满足条件a，b，c为正整数，∴b=4，c=6，a=5，即下午返现的金额为15×100+8×60+24×20=2460元；故答案是2460．小提示：本题主要考查了三元一次方程的应用，理解题意，找准题目间数量关系，准确分析计算是解题的关键．解答题16、据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：(1)设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值．(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．答案：(1)200，7.2(2)3360(3)35分析：（1）先用“基本了解”的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数，再求出“非常了解”的人数，进而得到“不太了解”的人数，最后用“不太了解”的人数所占的百分比乘以360°，即可求解；（2）用12000乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可求解；（3）根据题意，列出表格，可得一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，再根据概率公式，即可求解．（1）解：根据题意得：m=40÷20%=200人，∴“非常了解”的人数为200×28%=56人，∴“不太了解”的人数为200−56−100−40=4人，∴“不太了解”所对应扇形的圆心角4200×360°=7.2°，即n=7.2；（2）解：“非常了解”的人数有12000×28%=3360人；（3）解：根据题意，列出表格，如下：∴恰好抽到一男一女的概率为1220=35．小提示：本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．17、盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案：(1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件；(2)“摸到红球”是必然事件；(3)“摸到两个黄球”是随机事件；(4)“摸到两个黄球”是确定事件．答案：(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）；(2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）；(4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）．分析：（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可；（2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球；（3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球；（4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球．（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件；（2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件；（3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件；（4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件．小提示：本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间．18、某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)①此次调查一共随机抽取了________名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α=________度；(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；(3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．答案：(1)①200；②见解析；③54(2)1120(3)16分析：（1）①由B组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除C组的人数即可得到C组的人数；③用360°乘以C组人数所占比例即可；（2）用3200乘以D组人数所占比例即可；（3）根据题意列出树状图即可求解（1）解：（1）①50÷25%=200；②C组人数=200−30−50−70−20=30，补全的条形统计图如图所示：③360°×30200=54°；（2）解：3200×70200=1120；（3）解：画树状图如下：从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种，因此，P（恰好抽中甲、乙两人）=212=16．小提示：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。

九年级数学上册第二十五章概率初步知识点总结全面整理单选题1、抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上答案：A分析：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，故选：A．小提示：本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．2、如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．6m2B．7m2C．8m2D．9m2答案：B分析：本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．假设不规则图案面积为x ，由已知得：长方形面积为20，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x 20 ， 当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：x 20=0.35，解得x =7．故选：B ．小提示：本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．3、有4张分别印有实数0，-0.5，−√2，-2的纸牌，除数字外无其他差异。

一、概率基础知识1.随机事件的定义：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。

2.必然事件的定义：在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件。

3.不可能事件的定义：在一定条件下一定不发生的事件叫做不可能事件。

4.概率的定义：一个事件发生的可能性叫做这个事件的概率，用0到1之间的实数表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

二、概率计算方法1.直接计算法：如果一个事件包含的样本点数是有限的，可以直接计算每个样本点发生的可能性，然后求和得到事件的概率。

2.间接计算法：如果一个事件不包含所有样本点，可以通过计算不发生这个事件的概率，然后用1减去这个概率得到事件的概率。

3.条件概率：在条件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做A 在B条件下的条件概率，用P(A|B)表示。

4.独立事件的概率：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A 发生的条件下事件B发生的概率等于事件B发生的概率，即P(B|A)=P(B)。

三、典型题型及解题方法1.求一个事件的概率：直接根据定义计算，或者利用间接计算法。

例1：抛一枚硬币，求正面向上的概率。

解：因为硬币只有正反两面，所以正面向上和反面向上的概率都是1/2。

2.求条件概率：利用条件概率的定义，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。

例2：抛两枚硬币，求第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上的条件概率。

解：第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上的样本点有(正，反)和(反，正)，总共4个样本点，所以P(A∩B)=2/4=1/2。

第一枚硬币正面向上的概率是1/2，所以P(B)=1/2。

所以P(A|B)=(1/2)/(1/2)=1。

3.求独立事件的概率：利用独立事件的定义，即P(A∩B)=P(A)P(B)。

例3：抛两枚硬币，求第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上同时发生的概率。

解：第一枚硬币正面向上的概率是1/2，第二枚硬币反面向上的概率是1/2，所以P(A∩B)=1/2×1/2=1/4。

北师版初三数学上册第三章概率知识点讲解附作业九年级（上册）第三章概率的进一步认识一．频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

即 频数频率总次数概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。

必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。

频率与概率的区别：随着实验次数的增加，实验结果出现的频率逐渐趋于一个常数，则把这个常数看做实验结果的概率。

注意：①频率就是频率，频率不是概念②频率是通过实验得到的，概率就通过计算得到的③通过频率估计概率时，只看最多实验次数一项的频率，此项的频率即等于概率，而不是求所有频率的平均值二．通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

三．利用画树状图或列表法求概率（重难点）①树状图的画法有两钟，可以横画也可以竖着画，其中树状图在画法上要写“开始”然后是“第一次”“第二次”“结果”②列表法的使用必须保证是两个元素的才方便使用，因为表格最方便的是使用两个轴向。

其中表格的类型有三种，一种是标准型，第二种是中间有一条斜线型，第三种是中间加数据型，比如和，奇数，偶数等四．概率题型①公平题②方程题③用频率估计概念④画树状图列表求概率（重点）⑤游戏设定1、在抛一枚质地均匀的硬币的实验中，如果没有硬币，则下列实验不能作为替代物的是（）A、一枚均匀的骰子，B、瓶盖，C、两张相同的卡片，D、两张扑克牌2、密码锁的密码是一个四位数字的号码,每位上的数字都可以是0到9中的任一个,某人忘了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开的概率是______．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开的概率是______．3、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是．4、从一个装有2黄2黑的袋子里有放回地两次摸到的都是黑球的概率是 .5、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是……( )A．1925； B．1025； C．625；D．5 256、为了估计湖里有多少条鱼，我们从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，通过这种调查方式，我们可以估计出这个湖里有______条鱼.7、在一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为了估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A、28个B、30个C、36个D、42个8、有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。

九年级数学上册第二十五章概率初步知识点总结归纳完整版单选题1、小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字答案：D分析：根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．根据拆线图知：概率在0.2左右，，不符合题意；A：抽出的是“朝”字的概率是720，不符合题意；B：抽出的是“长”字的概率是720，不符合题意；C：抽出的是独体字的概率是920=20%，符合题意，D：抽出的是带“氵”的字的概率为420故选：D．小提示：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2、分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可． 解：A 、小球落在阴影部分的概率为14； B 、小球落在阴影部分的概率为12； C 、小球落在阴影部分的概率为59；D 、小球落在阴影部分的概率为39=13； 小球落在阴影部分的概率最小的是A ， 故选：A ．小提示：题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．3、孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD 、Dd 、dd 三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D 的概率是（ ）A ．14B ．38C ．12D ．34 答案：D分析：画出遗传图解，即可得到答案． 解：画图如下：共有4种情况，而出现高茎的有3种结果， ∴子二代豌豆中含遗传因子D 的概率是34，故选：D小提示：本题主要考查了求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．4、《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金． 小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：D分析：通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，然后利用概率公式求出事件发生的概率进行判断即可． 解：画树状图如图所示，从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有18种等可能的情况，其中田忌能赢有3种情况， P 田忌赢=318=19． 故选：D ．小提示：本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．5、某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n 次，正面朝上有m 次，若正面朝上的频率是P =mn ，则下列说法正确的是( )A ．P 一定等于0.5B ．多投一次，P 更接近0.5C ．P 一定不等于0.5D ．投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近 答案：D分析：大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案．解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近， 故选：D ．小提示：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．6、在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29D ．19答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A ．小提示：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．7、如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，随机地往⊙O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A ．3√32πB ．√32πC ．√34πD ．以上答案都不对 答案：A分析：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得△OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB =60°， ∵OA =OB =r ，∴△OAB 是等边三角形， ∴AB =OA =OB =r ，∠OAB =60°，在Rt △OAH 中，OH =OA ⋅sin∠OAB =r ×√32=√32r ， ∴S △OAB =12AB ⋅OH =12r ×√32r =√34r 2， ∴正六边形的面积=6×√34r 2=3√32r 2， ∵⊙O 的面积=πr 2，∴米粒落在正六边形内的概率为：3√32r 2πr 2=3√32π， 故选：A ．小提示：本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△OAB 的面积是解决问题的关键．8、如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C ，都可使小灯泡发光．任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．34答案：C分析：让小灯泡发光的情况数除以总情况数即为发光的概率． 解：共有4个开关，闭合其中一个开关，有4种情况， 只有闭合D 才能使灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率=14． 故选：C ．小提示：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23答案：C分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率． 解：列表如下：3种， 则P （配成紫色）=36=12， 故选：C ．小提示：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．10、从−√2，0，√4，π，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45答案：B解：这里的无理数有−√2，π，共2个， ∴P (抽到无理数)=25． 故选：B ．小提示：本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法． 填空题11、现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程x 2−2x +a2=0有实数根，且关于x 的分式方程1−ax x−2+2=12−x有解的概率为______．答案：16分析：根据一元二次方程有实数根，求出a 的取值范围，再根据分式方程有解，求出a 的取值范围，综合两个结果即可得出答案．一元二次方程x 2−2x +a2=0有实数根，∴4−4×a2≥0. ∴a ≤2， ∴a =0，1，2， 关于x 的分式方程1−ax x−2+2=12−x的解为：x =22−a，且2−a ≠0且x ≠2， 解得：a ≠2且a ≠1， ∴a =0，∴使得关于x 的一元二次方程，x 2−2x +a2=0有实数根，且关于x 的分式方程1−axx−2+2=12−x 有解的概率为：16. 所以答案是：16小提示：本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键．12、盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则x和y满足的关系式为 __．答案：y=53x分析：根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可．解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴袋中共有（x+y）个棋，∵黑棋的概率是38，∴可得关系式xx+y =38，∴x和y满足的关系式为y=53x．所以答案是：y=53x．小提示：此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．13、小林掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6，他把第一次掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点A(x,y)恰好在直线y=−2x+8上的概率是______．答案：112分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的情况，再利用概率公式求得答案．解：列表如下：），（2，4），（3，2），∴点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的概率是：336=112．所以答案是：112．小提示：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．14、口袋里装有红球和白球共10个，这些球除颜色外其余均相同．每次将球搅拌均匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回口袋里，摸了100次，其中发现有69次摸到白球，则白球的个数约为___________个．答案：7分析：利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，再用口袋里球的总个数乘以摸到白球的频率即可得出答案．解：∵共摸了100次球，发现有69次摸到白球，∴摸到白球的概率为0.69，∴口袋中白球的个数大约10×0.69≈7（个）．所以答案是：7．小提示：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．15、现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回．．，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．答案：316分析：画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，所以点P（m，n）在第二象限的概率＝316．所以答案是：316．小提示：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．解答题16、2019年第六届世界互联网大会在桐乡乌镇召开，现从全校学生中选出15名同学参加会议相关服务工作，其中9名男生，6名女生．（1）若从这15名同学中随机选取1人作为联络员，求选到男生的概率．（2）若会议的某项服务工作只在A，B两位同学中选一人，准备用游戏的方式决定谁参加．游戏规则是：四个乒乓球上的数字分别为1，2，3，6（乒乓球只有数字不同，其余完全相同），将乒乓球放在不透明的纸箱中，从中任意摸取两个，若取到的两个乒乓球上的数字之和大于6则选A，否则选B，从是否公平的角度看，该游戏规则是否合理，用树状图或表格说明理由．答案：（1）35；（2）该游戏规则合理；理由见解析.分析：（1）直接根据概率公式计算；（2）先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于6所占的结果数，计算出选A的概率和选B的概率，然后比较两概率大小判断该游戏规则是否合理．（1）选到男生的概率=915=35；(2)画树状图：共有12种等可能的结果数，其中两个数字之和大于6占6种，所以选A的概率=612=12，则选B的概率=1−12=12，由于选甲的概率等于选乙的概率，所以该游戏规则合理．小提示：本题考查列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.17、根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x<40”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______；（3）在这50人中女性有______人；（4）若从年龄在“x<20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．答案：（1）10；（2）180°；（3）18；（4）P（恰好抽到2名男性）=16．分析：（1）用50-4-25-8-3可求出m的值；（2）用360°乘以年龄在“30≤x<40”部分人数所占百分比即可得到结论；（3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；（4）年龄在“x<20”的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A1，A2表示男性，用B1，B2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可.解：（1）m=50-4-25-8-3=10；所以答案是：10；（2）360°×2550=180°；所以答案是：180°；（3）在这50人中女性人数为：4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%）=2+4+10+2+0=18；所以答案是：18；（4）设两名男性用A1,A2表示，两名女性用B1,B2表示，根据题意：可画出树状图：或列表：2种，故P（恰好抽到2名男性）=212=16．小提示：此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18、从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．答案：(1)13(2)12分析：（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．（1）解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是13.（2）列表如下：所以一定有乙的概率为：612=1 2 .小提示：本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．。

一、选择题1．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥，⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．452．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（ ）A ．两个转盘转出蓝色的概率一样大B ．如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性变小了C ．游戏者配成紫色的概率为16D ．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同 3．下列事件中，必然事件是（ ）A ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．366人中至少有2人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数 4．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率B ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率C ．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率D ．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率5．某市环青云湖竞走活动中，走完全部行程的队员即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被等分成16个扇形，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三等奖，奖品分别为自行车、雨伞、签字笔．小明走完了全程，可以获得一次摇奖机会，小明能获得签字笔的概率是（ ）A ．116B ．716C ．14D ．186．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1107．现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （,x y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．168．在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次抽卡试验后发现，抽到绿卡的概率稳定在75%附近，则箱中卡的总张数可能是（ ） A ．1张 B ．4张 C ．9张 D ．12张9．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。

中考数学复习《概率》考点及经典题型知识点一：概率 1. 概率及公式（1）定义：表示一个事件发生的可能性大小的数． （2）概率公式：P (A )＝mn(m 表示试验中事件A 出现的次数，n 表示所有等可能出现的结果的次数)． 2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为( ) A. 47 B. 37 C. 34 D. 13【解析】B 因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是37.变式练习2：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是14.2. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 会稳定在某个常数p 附近，那么事件A 发生的概率P (A )＝p ＝m n. 变式练习1：一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为( ) A. 47 B. 37 C. 34 D. 13【解析】B 因为布袋里有3个红球和4个白球，共7个球，所以从中任取一个，摸出的球是红球的概率是37.注意：（1）在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

（2）在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

变式练习2：在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为13，则袋中白球的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 12【解析】B 由已知得4个黄球占总球的13，所以共有12个球，则白球的个数为12－5－4＝3(个)．变式练习3：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概率为0.7.3. 事件的类型及其概率 1)确定事件和随机事件 （1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

概率初步一、随机事件与概率1.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示。

2.确定事件（1）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然事件。

（2）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。

3.概率（1）概率的意义：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数据，称为随机事件A 发生的概率。

（2）概率的表示：一般地，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=nm 。

由m,n 的含义可知，n m ≤≤0，进而有10≤≤nm，因此1)(0≤≤A P 。

特别地，当A 为必然事件时，P(A)=1；当A 为不可能事件时，P(A)=0。

二、列表法求概率1.列表法：在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举实验结果的方法，求出随机事件发生的概率。

2.树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

3.例题：例1：把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当2张牌的牌面数字相同时，小王赢；当2张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：游戏规则不公平.理由如下：列表,由表可知，所有可能出现的结果共有9种，并且每种结果出现的可能性相等。

所有可能结果中，2张牌牌面数字相同（记为事件A）的结果有三种，所以P(A)=3193=。

2张牌牌面数字不同（记为事件B）的结果有六种，所以P(B)=3296=。

一、选择题1．甲、乙、丙三个小朋友玩滑梯，他们通过抽签的方式决定玩滑梯的先后顺序，则顺序恰好是甲→乙→丙的概率是（）A．13B．14C．15D．162．从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax2+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程211x a ax x++--＝3有正数解，则符合条件的概率是（）A．15B．25C．35D．453．做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1 000次，经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为( )A．0.50 B．0.21 C．0.42 D．0.584．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．游戏者配成紫色的概率为1 6D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同5．下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查6．某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组7．国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张卡片依次写有一“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），现从四张卡片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是（）A．12B．13C．23D．148．下列事件中，属于必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．三角形任意两边之差小于第三边C．一个三角形三个内角之和大于180°D．在只有红球的盒子里摸到白球9．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A．14B．34C．12D．3810．有一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）A．415B．15C．13D．21511．下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A．经过任意两点画一条直线B．任意画一个五边形，其外角和为360°C．过平面内任意三个点画一个圆D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形12．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）个．A．20 B．16 C．12 D．1513．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝12S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP．（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（）A．1个B．3个C．14D．3414．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四种汽车标志，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是()A．12B．14C．34D．115．在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4的概率为（）A．12B．13C．23D．16二、填空题16．从﹣8，﹣2，1，4这四个数中任取两个数分别作为二次函数y＝ax2+bx+1中a、b的值，恰好使得该二次函数当x＞2时，y随x的增大而增大的概率是_____．17．已知一元二次方程23m0x x-+=，从m=-1，1，0，2，3的值中选一个作为m的值，则使该方程无解的m值的概率为_________18．在3*4的正方形网格中，有三块小正方形被涂黑色，其余均为白色（如图），先任选一个白色的小正方形涂黑，使黑色部分所构成的图形是轴对称图形的概率是：_______.19．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．20．有两组牌，每组三张，牌面上的数字分别是1，2，3，且除数字外均相同，若从每组摸出一张牌，那么两张牌面数字和是4的概率是________．21．如图所示的转盘分成8等份，若自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是_______．22．同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是____________ 23．若一个袋子中装有形状与大小均完全相同有4张卡片,4张卡片上分别标有数字2-,1-,2,3,现从中任意抽出其中两张卡片分别记为x,y,并以此确定点()P x,y,那么点P落在直线y x1=-+上的概率是____.24．有如图四张卡片，除卡片上的图案不同其余完全相同，现把这些卡片有图案的一面朝下搅匀，随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是________．25．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m＝__．26．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，摇匀后随机摸出一个球，则摸出红球的概率为_____．三、解答题27．有4张分别标有数字1，2-，3-，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片上的数字记为n．（1）用列表法或者树状图法中的一种方法，把(),m n所有可能的结果表示出来．（2）求点(),m n落在第一象限或第三象限的概率．28．“十一期间”，美美家电商场举行了买家电进行“翻牌抽奖”的活动其规则为：现准备有4张牌，4张牌分别对应100，200，300，400（单位：元）的现金．（1）如果某位顾客随机翻1张牌，那么这位顾客抽中200元现金的概率为______．（2）如果某位顾客随机翻2张牌，且第一次翻过的牌需放回洗匀后再参加下次翻牌，用列表法或画树状图求该顾客所获现金总额不低于500元的概率．29．我市为了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本市九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：等级A（优秀）B（良好）C（合格）D（不合格）人数200400280（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是；（3）若我市九年级共有50000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为人；（4）若甲校体育教师中有3名男教师和2名女教师，乙校体育教师中有2名男教师和2名女教师，从甲乙两所学校的体育教师中各抽取1名体育教师去测试学生的身体素质，用树状图或列表法求刚好抽到的体育教师是1男1女的概率．30．将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）。

九年级数学上册第二十五章概率初步考点大全笔记单选题1、做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②③答案：C分析：根据概率公式和图表给出的数据对各项进行判断，即可得出答案．解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在什么数值附近摆动，才能用频率估计概率，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；正确；③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．正确；故选：C．小提示：本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．2、有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．24答案：B分析：先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1-15%-45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选B ．小提示：本题考查了利用频率求频数的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．3、不透明袋中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．b a+bB ．b aC ．a a+bD ．a b答案：A分析：根据概率公式直接求解即可．∵共有(a +b)个球，其中红球b 个∴从中任意摸出一球，摸出红球的概率是b a+b ．故选A ．小提示：本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．4、如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）A ．38B ．12C ．58D ．1答案：A分析：根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的38，即这个点取在阴影部分的概率是38，故选：A ．小提示：本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．5、某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．抛一枚硬币，出现正面朝上B ．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C ．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D ．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7答案：C分析：分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．解：A 中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;B 中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误;C 中的概率为13,符合这一结果,故此选项正确;D 中的概率为16,不符合这一结果,故此选项错误.故选C .小提示：本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键．6、小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位，后三位由 5，2，0 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16答案：D分析：首先根据题意可得：可能的结果有：502，520，052，025，250，205；然后利用概率公式求解即可求得答案．解：∵她只记得号码的前5位，后三位由5，0，2，这三个数字组成，∴可能的结果有：502，520，052，025，250，205；∴他第一次就拨通电话的概率是：16．故选：D ．小提示：此题考查了列举法求概率的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．7、掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）A ．1B ．56C ．23D ．16 答案：D分析：根据概率的意义进行解答即可．解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时，不会受前3次的影响，掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，所以掷第4次时6点朝上的概率是16，故选：D ．小提示：本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．8、下列说法正确的是（ ）A ．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是13B ．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为13C ．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”D ．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是12 答案：D分析：根据概率公式可对A 、D 进行判断；利用画树状图法求概率可对B 进行判断，根据概率的意义可对C 进行判断．解：A 、摸到红球的概率＝13+2+1=16，所以A 选项错误；B 、画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝14，故B 选项错误；C 、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C 选项错误；D 、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝12，故D 选项正确． 故选：D ．小提示：本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．9、为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A ，B 两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从A 通道入校的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34答案：A分析：先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可． 解：列表如下：所以该校同学王明和李强均从A 通道入校的概率是14.故选A小提示：本题考查的是利用列表的方法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是解本题的关键．10、把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．112答案：A分析：用A 、a 表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B 、b 表示“雪融融”图片被剪成的两半，然后利用树状图展示所有可能的结果数；找出2张图片恰好组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的结果数，然后根据概率公式求解．解：用A 、a 表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B 、b 表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，∴P =412=13． 故选：A ．小提示：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．填空题11、小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方_____．（填“公平”或“不公平”）．答案：公平分析：根据题意画出符合要求的树状图，列出所有等可能的结果，并由此计算出两人各自获胜的概率进行比较，即可得到结论.详解：根据题意画出树状图如下：由图可知：共有四种等可能结果出现，其中小明获胜的有两种，小亮获胜的也有两种，∴P（小明获胜）=24=12，P（小亮获胜）=24=12，∴P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴该游戏是“公平”的.故答案为公平.点睛：本题的解题要点有两点：（1）能够画出符合题意的树状图；（2）在一个游戏中，当游戏双方获胜的概率相等时，游戏是公平的；当游戏双方获胜的概率不等是，游戏是不公平的.12、如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为__cm2．答案：2.8分析：求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．∵正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，所以答案是：2.8．小提示：求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．13、经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________．答案：34分析：可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式计算可得．解：由题意画出“树状图”如下：∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况，∴至少有一辆向左转的概率是3．4．所以答案是：34小提示：此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．14、从−1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是___________．答案：23分析：从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=−x+3是y随x增大而减小的，函数y=x+3和y=2x+3都是y随x增大而增大的，所以符合题意的概率为2．3解：当k＞0时，一次函数y=kx+3的图象y随x的增大而增大，∴k=1或k=2∴所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是2，3所以答案是：23． 小提示：本题考查概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数的比例系数大于0，y 随x 的增大而增大．15、科研人员对某玉米种子在相同条件下的发芽情况进行试验，统计结果如下表：0.01）．答案：0.95分析：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种油菜籽发芽的概率． 解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，则这种油菜籽发芽的概率是0.95，所以答案是：0.95．小提示：本题考查利用频率估计概率，从表格中数据确定出这种油菜籽发芽的概率是解题的关键． 解答题16、从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．答案：（1）13；（2）图表见解析，16 分析：(1)小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物的可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可．（1）13；（2）列出树状图如图所示：由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，所以，P（选化学、生物）=212=16．答：小明同学选化学、生物的概率是16．小提示：本题考查了等可能概率事件，以及通过列表法或画树状图法判断可能情况概率，根据概率公式事件概率情况，解题关键在于要理解掌握等可能事件发生概率．17、为了解“停课不停学”期间，学生对线上学习方式的喜好情况，某校随机抽取40名学生进行问卷调查，其统计结果如表：(2)根据调查结果估计该校1000名学生中，最喜欢“线上答疑”的学生人数；(3)在最喜欢“资源包”的学生中，有2名男生，3名女生，现从这5名学生中随机抽取2名学生介绍学习经验，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．答案：(1)a=17；(2)喜欢“线上答疑”的学生人数为200人；(3)35分析：（1）根据四种学习方式的人数之和等于40可求出a的值；（2）用总人数乘以样本中最喜欢“线上答疑”的学生人数所占比例可得答案；（3）列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．（1）解：a=40−(10+5+8)=17；（2）解：最喜欢“线上答疑”的学生人数为1000×840=200（人）；（3）解：设3个女生分别为女1，女2，女3，2个男生分别为男1，男2，所有可能出现的结果如下表：1名男生和1名女生的结果有12种，所以抽到1名男生和1名女生的概率为1220=35．小提示：本题考查统计图、列表法或树状图法：利用列表法或画树状图展示所有等可能的结果，再从中选出符合条件的事件数目，利用概率公式求概率．18、致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是，其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有个．（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1）．答案：（1）B；（2）1021人，15；（3）90后”大约有1.2万人分析：（1）根据题意列式计算即可得到正确的选项；（2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体，可得到“90后”大约有1.2万人．解：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为38478﹣7381=31097（人），故选B；（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是997+1045=1021（人）；其中医务2人员人数超过1000人的省（区、市）共有15（个）；所以答案是：1021人，15；（3）42000×404+103+83≈11800（人），1614+338+148答：“90后”大约有1.2万人．小提示：本题考查了频数（率）分布直方图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键．。

第三章 概率的进一步认识一、本章知识结构图1． 生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， 必然事件：在一定条件下，有些事件事先能肯定它一定发生。

不可能事件：在一定条件下，有些事件事先能肯定它一定不会发生。

2、不确定事件：我们事先无法肯定它会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件。

不确定事件发生的可能性是有大小的。

注：、① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0<P(A)<1二、用树状图或列表法求概率1、频率与概率的含义：在实验中，每个对象出现的频繁程度不同，每个对象出现的次数叫频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=频数／总次数。

把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率。

注：频率是指在一次实验中某个对象出现的次数与总次数的比，概率是通过大量重复实验中频率的稳定性而得到的一个0～1之间的常数，它反映了事件发生可能性的大小。

2、利用稳定的频率估计某一事件发生的概率在进行试验时，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近，可以通过多次试验用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

注：可以用稳定的频率估计某一事件发生的概率，但不能说频率等于概率，其区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性。

试验时应主要试验的随机性，要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的波动就会越小，即趋于相对稳定状态，得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值。

3、用树状图或列表法求概率 定义：当出现的结果的可能性相同时，将所有结果展示出来，符合条件的结果与所有结果的比值即为这一事件的概率。

列表法求概率：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。