离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。

离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。

离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。

其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。

离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。

2. 取值之间具有间隔或间距。

3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。

4. 概率之和为1。

离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。

3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。

总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。

掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

离散型随机变量及其分布列知识点一.随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。

随机变量常用大写字母X,Y …、也可用希腊字母ξ、η等表示，知识点二. 离散型随机变量随机变量X 只能取有限个数值1x ，2x ，…n x 或可列无穷多个数值1x ，2x ，…n x …则称为X 离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量X 取有限个数值的情形.知识点三、 用随机变量表示随机事件例：写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1） 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X 是随机变量． （2） 一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．（3）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：{}4>ξ表示的试验结果是什么？知识点四.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的___________，简称________．有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．2.离散型随机变量的分布列具有的性质：（1） ； （2）题型一 离散型随机变量的分布列的性质例1：一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列。

X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n例2：在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_________．例3：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. 求ξ的分布列；例4：设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎫ξ≥35＝________.1．设随机变量X 的分布列如下：X 12 3 4 P16 13 16p则p ＝________.2.若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P9c 2－c3－8c则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516 5．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1 Pa bc 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.16B.13C.12D.236.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．知识点五：两点分布若随机变量X 的分布列如右表， 则这样的分布列称为 ． 如果随机变量X 的分布列为_ ，就称X 服从两点分布， 而称_ 为成功概率．例1. 在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ⎧=⎨⎩，针尖向上；，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布.练习：设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．X0 1Pp-1p知识点六：超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．例2.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．变式2. 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取3个球.(1) 求得分X 的分布列； （2）求得分大于4分的概率.例3.已知随机变量ξ的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 112 14 13 112 16 112(1)求112Y X =+1的分布列; (2)求22Y X =-2X 的分布列.§2.1 离散型随机变量的分布列课后巩固1.下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（ ） X -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 A BX -1 0 1 P0.30.40.3C D 2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则概率等于6123735C C C 的是( ) ． A.(2)P X = B.(3)P X = C.(2)P X ≤ D.(3)P X ≤3．若()1P X n a ≤=-，()1P X m b ≥=-，其中n m <，则()P m X n ≤≤等于（ ）．A.)1)(1(b a --B.)1(1b a --C.)(1b a +-D.)1(1a b --4．随机变量X 所有可能的取值为1,2,3,4,5,且()P X k ck ==,则常数c = ,(24)P X ≤≤= . 5．随机变量X 的分布列如下： a ，b ，c 成等差数列，则()1P X == ．其中6．已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，…，10，则X 的取值为 ．7．设随机变量X 的分布列P （5kX =）=ak ，（1,234,5k =）（1）求常数a 的值； （2）求P （35X ≥）； （3）求P （171010X <<）；8.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．9.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示分数，求X 的分布列.X 1 2 3 P 0.4 0.7 -0.1 X 1 2 3 P0.20.40.5X －1 0 1 Pabc。