下载文档原格式
2019-2020学年北京市人大附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设z=1−i(i为虚数单位)，则z2+2的共轭复数是()zA. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.若二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则y=f(x)的图象的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线y=−3lnx的一条切线的斜率为−，则切点的横坐标为()A. 3B. 2C. 1D.4.点P在函数y=lnx的图象上，若满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则实数a的值为()A. 1B. −3C. 2D. −2√25.设函数f(x)=x2，则()e xA. x=0为f(x)的极大值点B. x=2为f(x)的极大值点C. x=1为f(x)的极小值点D. x=1为f(x)的极大值点6.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量(万辆)比上年同期增长(%)销量(万辆)比上年同期增长(%) 2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.45月9.685.610.2125.66月8.631.78.442.97月953.68.447.78月9.93910.149.59月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61--12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.6138 2月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是()A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆7.已知定义在R上的函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，且x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立，(其中f′(x)是f(x)的导函数)，a=(30.3)f(30.3)，b=(logπ3).f(logπ3)，c=(log319)f(log319)则a，b，c的大小关系是()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b8.下列函数中，随着x的增大，增大速度最快的是()A. y=50B. y=1000xC. y=lgxD. y=11000e x9.若y=(x+1)(x+2)(x−1)，则y′=()A. x3+2x2−x−2B. 3x2+4x−1C. 3x2+4x−2D. 3x2+4x−310.根据广安市环保部门的空气质量监测资料表明，广安市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.若广安市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A. 0.45B. 0.6C. 0.75D. 0.8二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知区间(0,+∞)为函数f(x)=ax+bx(a,b∈R,b≠0)的单调递增区间，则a，b满足的条件是______．12.在复平面内，复数i、1、4+2i所对应的点分别为A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的中点所对应的复数为______．13.已知f′(x)为函数f(x)=2x+sinx的导函数，则f′(0)=______．14.函数f(x)(x∈R)满足f(1)=2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)−3>0，则不等式f(log3x)<3log3x−1的解集为______ ．15.命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为______ ．三、解答题（本大题共3小题，共35.0分）16.已知函数，R.(1)求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．17.在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一，象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34(1)求抛物线C的方程；(2)若点M的横坐标为√2，直线l：y=kx+1与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个4≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．不同的交点D，E，求当1218.设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z=1−i，∴z2+2z =(1−i)2+21−i=−2i+2(1+i)(1−i)(1+i)=−2i+2(1+i)2=1−i，∴z2+2z的共轭复数是1+i．故选：D．把z=1−i代入z2+2z，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：设二次函数y=f(x)=ax2+bx，利用它的导数y=f′(x)=2ax+b是经过第一、二、三象限的一条直线，可得a>0，b>0，y=f(x)的图象顶点(−b2a ,−b24a)在第三象限．本题考查求函数的导数的方法，直线在坐标系中的位置与斜率、截距的关系，二次函数的性质．解：由题意可知可设二次函数y=f(x)=ax2+bx，它的导数y=f′(x)=2ax+b，由导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，∴a>0，b>0，y=f(x)的图象顶点(−b2a ,−b24a)在第三象限，故选C．3.答案：B解析：由y=−3lnx，得，设斜率为的切线的切点为(x0,y0)，则，由，解得：x0=−3或x0=2，∵函数的定义域为(0,+∞)，∴x0=2．故选B．4.答案：B解析：解：过函数y=lnx的图象上点P(x0,y0)作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，又y′=1x ，于是1x0=1，则x0=1，y0=0，∴P(1,0)，当点P到直线y=x+a的距离为√2时，则满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，∴d=√1+1=√2，解得a=1或a=−3，又当a=1时，函数y=lnx的图象与直线y=x+1没有交点，只有两个点到直线距离为√2，所以不满足条件，故a=−3．故选：B．要满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y=lnx的图象相交，而且点P在函数y=lnx的图象上满足在直线一侧有一个点到直线距离为√2，另外一侧两个点到直线距离为√2，于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点，进一步求出实数a的值．本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的转化能力，属于中档题．5.答案：B解析：解：函数f(x)=x2e x ，则函数f′(x)=x(2−x)e x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2，当f′(x)>0，解得0<x<2，∴函数f(x)在(0,2)单调递增；由f′(x)<0，解得x>2或x<0，∴函数f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递减．∴函数f(x)在x=0取得极小值，f(0)=0；在x=2取得极大值，f(2)=4e2．故选：B．先求出函数的导数，令f′(x)=0，求出可能的极值点，分别得到单调区间，从而求出函数的极值．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，属于中档题．6.答案：D解析：解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为： 6.81+1.05≈3.32，所以选项A 正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：125.61+0.617≈77.67，所以选项B 正确； 由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C 正确； 由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25=2.4，所以选项D 错误， 故选：D ．由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A ，B 正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出． 本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．7.答案：C解析：解：∵当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立 即：(xf(x))′<0，∴xf(x)在(−∞,0)上是减函数．又∵函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称， ∴函数y =f(x)的图象关于点(0,0)对称， ∴函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数 ∴xf(x)是定义在R 上的偶函数 ∴xf(x)在(0,+∞)上是增函数．又∵30.3>1>log π3>0>log 3 19=−2， 2=−log 3 19>30.3>1>log π 3 >0．∴(−log 319)⋅f(−log 319)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3)即(log 319)⋅f(log 319)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3) 即：c >a >b 故选C ．由“当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立”知xf(x)是减函数，要得到a ，b ，c 的大小关系，只要比较30.3,log π 3,log 3 19的大小即可．本题考查的考点与方法有：1)所有的基本函数的奇偶性；2)抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3)导数的运算法则：(uv)′=u′v+uv′；4)指对数函数的图象；5)奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出ℎ(x)是正确解答的关键所在．8.答案：D解析：解：根据题意，依次计算4个选项中函数的导数：对于A，y=50，其导数为y′=0，对于B，y=1000x，其导数y′=1000，对于C，y=lgx，其导数为y′=1x，对于D，y=11000e x，其导数为y′=e x1000，分析可得，当x增大时，增大速度最快的是y=11000e x；故选D．根据题意，依次计算4个选项中函数的导数，由导数的几何意义分析可得答案．本题考查函数的导数的几何意义，注意利用导数的几何意义进行分析．9.答案：B解析：解：∵y=(x+1)(x+2)(x−1)，∴y′=(x+2)(x−1)+(x+1)(x−1)+(x+1)(x+2)=3x2+4x−1，故选B．利用导数运算法则直接运算即可．本题考查了导数的简单运算，属于基础题．10.答案：D解析：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为x，则0.75x=0.6，解得x=0.8．故选：D．设随后一天的空气质量为优良的概率为x，相互独立事件发生的乘法公式，解方程可得所求值．本题考查相互独立事件发生的乘法公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：a≥0，b<0解析：解：区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +bx (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间， f′(x)=a −bx 2=ax 2−b x 2≥0．①a =0时，f′(x)=−bx 2>0，解得b <0． ②a ≠0时，f′(x)=a(x 2−b a)x 2，a >0，b <0时，f′(x)>0.满足条件． a <0，b >0时，f′(x)<0.不满足条件． a >0，b >0时，f′(x)=a(x+√b a)(x−√b a)x 2.在区间(0,√ba )内单调递减，不满足条件，舍去．a <0，b <0时，f′(x)=a(x+√ba )(x−√ba )x 2.在区间(√ba,+∞)内单调递减，不满足条件，舍去．综上可得：a ≥0，b <0时，满足条件． 故答案为：a ≥0，b <0．区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +bx (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间，可得f′(x)=a −b x 2=ax 2−b x 2≥0.对a ，b 分类讨论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.答案：2+32i解析：解：由题意可知，A(0,1)，C(4,2)， 则AC 的中点坐标为(2,32)，由平行四边形的对角线互相平分，可得BD 的中点为(2,32)， 则BD 的中点所对应的复数为2+32i ． 故答案为：2+32i ．由已知求得A ，C 的坐标，进一步求得AC 的中点坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查中点坐标公式的应用，是基础题．13.答案：ln2+1解析：解：∵f′(x)=2x ln2+cosx ， ∴f′(0)=ln2+1． 故答案为：ln2+1．可求出导函数，然后即可得出f′(0)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：(0,3)解析：令g(x)=f(x)−3x，求出g(1)=−1，问题转化为g(log3x)<g(1)，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及对数函数的性质，是一道中档题．解：令g(x)=f(x)−3x，则g′(x)=f′(x)−3>0，可得g(x)在R上递增，由f(1)=2，得g(1)=f(1)−3=−1，f(log3x)<3log3x−1，即g(log3x)<g(1)，故log3x<1，解得：0<x<3，故不等式的解集是：(0,3)．15.答案：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．故答案为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变换，基本知识的考查．16.答案：(1)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.(2)存在，范围为解析：试题分析：(1)函数的定义域为，．①当时，，∵∴，∴函数单调递增区间为②当时，令得，即，．(ⅰ)当，即时，得，故，∴函数的单调递增区间为．(ⅰ)当，即时，方程的两个实根分别为，．若，则，此时，当时，．∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．(2)由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，∴有极大值，其值为，其中．∵，即，∴．设函数，则，∴在上为增函数，又，则，∴．即，结合解得，∴实数的取值范围为．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X 轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．17.答案：解：(1)由题意可知F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，因为抛物线C 的准线方程为y =−p 2，所以3p 4=34，即p =1，因此抛物线C 的方程x 2=2y;(2)点M 的横坐标为√2，∴M(√2,1)，∵F (0,12)，∴直线FM ：y =√24x +12， ∴直线FM 的中垂线为y =−2√2x +114， ∵Q 既在直线y =14上又在y =−2√2x +114上， ∴Q(5√28,14)，⊙Q 的半径为：r =(5√28)(14)=3√68， 所以⊙Q 的方程为(x −5√28)2+(y −14)2=2732． 由{y =12x 2y =kx +14，整理得2x 2−4kx −1=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由于△=16k 2+8>0，x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−12，所以|AB|2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2); 由{(x −5√28)2+(y −14)2=2732y =kx +14，整理得(1+k 2)x 2−5√24x −116=0， 设D ，E 两点的坐标分别为(x 3,y 3)，(x 4,y 4)，由于△=k 24+278>0，x 3+x 4=5√24(1+k 2)，x 3x 4=−116(1+k 2)，所以|DE|2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2−4x 3x 4]=258(1+k 2)+14，因此|AB|2+|DE|2=(1+k 2)(4k 2+2)+258(1+k 2)+14，令1+k 2=t ，由于12≤k ≤2，∴54≤t ≤5，所以|AB|2+|DE|2=t(4t −2)+258t +14=4t 2−2t +258t +14，设g(t)=4t 2−2t +258t +14，t ∈[54,5]，因为g′(t)=8t −2−258t 2=64t 3−16t 2−258t 2，令ℎ(t )=64t 3−16t 2−25，则ℎ′(t )=192t 2−32t ，则t ∈[54,5]，ℎ′(t )>0，ℎ(t )单调递增，∴g′(t)≥g′(54)=6，即函数g(t)在t ∈[54,5]是增函数， 所以当t =54时，g(t)取最小值132，因此当k =12时，|AB|2+|DE|2的最小值为132．解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于较难题．(1)通过F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，推出求出p =1，推出抛物线C 的方程．(2)点M 的横坐标为√2时，求出⊙Q 的方程．利用直线与抛物线方程联立方程组，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，求出|AB|2.同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值． 18.答案：解：(1)f′(x)=2a(x −5)+6x ，依题意，f′(1)=6−8a =2，得a =12．(2)由(1)知，f(x)=12(x −5)2+6lnx(x >0)，f′(x)=x −5+6x =(x−2)(x−3)x ．令f′(x)=0，得x =2或3．x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调增区间为(0,2)和(3,+∞)，单调减区间为(2,3)．f(x)的极大值f(2)=92+6ln2，极小值f(3)=2+6ln3．解析：(1)依题意，f′(1)=2，解得a．(2)由(1)知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0)，f′(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令f′(x)=0，得x=2或3.可得x，f′(x)，f(x)的变化情况列出表格，即可得出函数f(x)的单调区间与极值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
通过理想变压器向定值电阻R供电，电路如消耗的功率为P。
若发电机线圈的转速变为雨色映日而为虹”，从物是彩虹成因的简化示意图，其中a、b是给出了光子与静止电子碰撞后，电子的运动方向，则碰后A．1、变长B．1、变短C．3、变长D．2、不变．在存放放射性元素时，若把放射性元素①置于大量水中；②密封于铅盒中；③与轻核元素结合成化合物。
则（）A．措施①可减缓放射性元素衰变B．措施②可减缓放射性元素衰变C．措施③可减缓放射性元素衰变D．上述措施均无法减缓放射性元素衰变8．如图6所示为氢原子能级的示意图，下列有关说法正确的是（）A．处于n＝2能级的氢原子不可能吸收能量为4.5eV的光子B．大量处于n＝4能级的氢原子向低能级跃迁时，最多可辐射出3种不同频率的光C．用n＝4能级跃迁到n＝1能级辐射出的光，照射逸出功为6.34eV的金属铂产生的光电子的最大初动能为6.41eV D．若用从n＝3能级跃迁到n＝2能级辐射出的光，照射某金属时恰好发生光电效应，则用从n＝4能级跃迁到n＝3能级辐射出的光，照射该金属时一定能发生光电效应9．图7甲中的三个装置均在水平面内且处于竖直向下的匀强磁场中，足够长的光滑导轨固定不动，图②中电容器在vt=0时刻不带电。
现使甲图中的三个导体棒ab均以水平初速度向右运动，若导体棒ab在运动过程中始终与导轨垂直，且接触良好。
某同学定性画出了导体棒ab的v-t图像，如图7乙所示。
则他画出的是（）A．图①中导体棒ab的v-t图像B．图②中导体棒ab的v-t图像C．图③中导体棒ab的v-t图像D．图②和图③中导体棒ab的v-t图像10．利用所学物理知识，可以初步了解常用的公交一卡通（IC卡）的工作原理及相关问题．IC卡内部有一个由电感线圈L和电容C构成的LC的振荡电路．公交卡上的读卡机（刷卡时“嘀”的响一声的机器）向外发射某一特定频率的电磁波．刷卡时，IC卡内的线圈L中产生感应电流，给电容C充电，达到一定的电压后，驱动卡内芯片进行数据处理和传输．下列说法正确的是（）A ．IC 卡工作场所所需要的能量来源于卡内的电池B ．IC 卡只能接收读卡器发射的电磁波，而不能向读卡机传输自身的数据信息C ．仅当读卡器发射该特定频率的电磁波时，IC 卡才能有效工作D ．若读卡机发射的电磁波偏离该特定频率，在线圈L 中不会产生感应电流二.多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共计12分。
北京市人大附中2019-2020学年高二下学期期末考试练习化学试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16闭卷部分（20小题，共40分）选择题（每小题只有一个选项符合题意。
每小题2分，共40分）1.对于反应3A(g)＋B(g)2C(g)＋3D(g)，下列各数据表示不同条件下的反应速率,其中反应进行得最快的是A. v(A)＝0.9 mol·L－1·min－1B. v(B)＝0.2mol·L－1·min－1C. v(C)＝0.5mol·L－1·min－1D. v(D)＝1.0mol·L－1·min－1【答案】D【详解】不同物质表示的反应速率与其化学计量数的比值越大，表示的反应速率越快，对于反应3A(g)+B(g)⇌2C(g)+3D(g)，A．()3Av=0.3mol•L-1•min-1；B．()1Bv=0.2mol•L-1•min-1；C．()v C2=0.25mol•L-1•min-1；D．()3Dv≈0.33mol•L-1•min-1；因此反应速率：v(D)＞v(A)＞v(C)＞v(B)，故选D。
2.下列化学变化中，属于吸热反应的是（）A. 锌粒与稀硫酸的反应B. Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl晶体的反应C. 乙炔在空气中燃烧D. NaOH与醋酸的反应【答案】B【详解】A．金属与酸置换出氢气的反应为放热反应，故A不符合题意；B．Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl晶体的反应为吸热反应，故B符合题意；C．燃烧均为放热反应，故C不符合题意；D．中和反应为放热反应，故D不符合题意；故答案为B。
3.下列措施中，一定能使化学平衡移动的是（）A. 改变温度B. 改变压强C. 使用催化剂D. 改变容器体积【答案】A【解析】【详解】A.任何化学反应都伴随能量变化，改变温度一定能使化学平衡移动；B.对于没有气体参与或反应前后气体物质的量相等的反应，改变压强化学平衡不移动，即改变压强化学平衡不一定发生移动；C.使用催化剂，化学平衡不移动；D.改变容器体积相当于改变压强，对于没有气体参与或反应前后气体物质的量相等的反应，改变压强化学平衡不移动，即改变容器体积化学平衡不一定发生移动；答案选A。
2020北京人大附中高二（上）期末语文一、古诗词基础（每题3分，共24分）1．（3分）下列词语中字形或加点字注音全部正确的一项是（）A．渔樵．（jiāo）雾霾．（mái）踯躅玉盘珍羞B．逶迤．（yí）挟．持（xiá）褥暑青枫浦C．悲怆．（chuāng）倚．靠（yī）晌午衣袂飘飘D．手腕．（wàn）巨擘．（bò）坼裂纵横驰骋2．（3分）下列选项中加点词的解释不正确．．．的一项是（）A．大漠穷秋塞草腓．腓：茂盛B．两朝开济．老臣心济：扶助C．斗酒十千态欢谑．谑：玩笑D．危．樯独夜舟危：高的3．（3分）下列关于作家作品的表述．．不正确的一项是（）A．鲍照，字明远，南朝宋文学家。
他的诗歌气骨劲健，语言精练，词采华丽，常常老概不平的思想情感，七言诗对唐代作家颇有影响。
B．温庭筠，唐代词人，字飞卿，时号“温八叉”，他的词自成一家，对晚唐五代词和宋词影响很大，有“词中之冠”“词中老杜”之称。
C．李煜，字重光，被称为南唐后主或李后主。
他的词前期主要写宫廷生活和男女之情，后期主要写对昔日生活的怀念和因徒生活的痛苦。
D．苏轼，字子瞻，号“东坡居士”，道号“文忠”，北宋著名文学家，豪放派词人代表，与其父苏洵、弟苏辙都是散文家，并称为“三苏”。
4．（3分）下列与古诗有关的说法中不正确．．．的一项是（）A．“懒起画蛾眉”中的“蛾眉”是飞蛾触须般细弯的眉毛，多指美人之眉，也写作“娥眉”。
“宛转娥眉马前死”中则以“娥眉”代指美人。
B．古诗中常以“鱼雁”指书信。
“鸿雁长飞光不度”“驿寄梅花，鱼传尺素”“尺素在鱼肠，寸心凭雁足”中的鱼、雁都是传书的信使。
C．“玉箸应啼别离后”中用玉制的筷子形容妇女双流的眼泪，“梨花一枝春带雨”写贵妃脸上带泪，如带雨的梨花。
两句都用了比喻手法。
D．“月”是古诗词中常见的意象，它有很多别称。
诗句“千里共蝉娟”中的“蝉娟”、“露脚斜飞湿寒兔”中的“寒兔”都是指月亮。
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期末复习（二）数学试题一、单选题1．设复数，是z 的共轭复数，则（ ）3i1i z +=-z z z ⋅=A ．-3B ．-1C ．3D ．5【答案】D【分析】先利用复数的除法化简，进而得到共轭复数，再利用复数的乘法运算求解.【详解】解：∵，()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===++-+∴，．12i z =-()()2212i 12i 125z z ⋅=+-=+=故选：D ．2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）．(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥m A ．4B ．C ．2D ．4-2-【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，(),2,1a m =()1,0,4b =-a b ⊥ 所以，解得.40a b m ⋅=-+=4m =故选：A3．抛物线的准线方程是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12x =-18y =18y =-【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.【详解】抛物线的方程可化为x 2y12=故128p =其准线方程为y 18=-故选：D4．已知双曲线C ：有相等的焦距，则22221x y a b -=2215x y +=C 的方程为（ ）A ．B ．2213x y -=2213y x -=C ．D ．22193x y -=22139x y -=【答案】B【分析】根据椭圆的焦距可得双曲线C ：的焦距，根据双曲线C ：2215x y +=22221x y a b -=2c求得，即可得出答案.22221x y a b -=ba =222c ab =+22,a b【详解】解：因为双曲线C ：22221x y a b -=所以，ba =b =椭圆的焦距为，2215x y +=4所以双曲线C ：的焦距，即，22221x y a b -=24c =2c =又因，解得，所以，2222234c a b a a =+=+=21a =23b =所以C 的方程为.2213y x -=故选：B.5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（ ）米．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把B （x 0，﹣3）代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A （2，﹣2）代入x 2＝my ，得m ＝﹣2∴x 2＝﹣2y ，B （x 0，﹣3）代入方程得x 0，=故水面宽为．故选：B ．6．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60︒与所成角的余弦值为（ ）．AC BFA ．B ．CD 1412【答案】A【分析】根据题目条件可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，将异面直EBC ∠ABCD ABEF 线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.AC BF 【详解】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以EBC ∠ABCD ABEF ，60EBC ∠= 设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，AC BF θ，，AC AB BC =+ BF BE EF =+EF BA ==- 所以()))(()(BF BE E AC AB BC AB BC F BE AB +==++- 即210(1)11cos 6002BF BE B AC AB AB BC BC E AB =-+-=+-+⨯⨯-=-所以；4c os 1,A A BF BF B C AC C F==-= 即，1cos cos ,4F AC B θ==所以，异面直线与所成角的余弦值为.AC BF 14故选：A.7．对于直线：（），现有下列说法：l 10ax ay a +-=0a ≠①无论如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；a ②无论如何变化，直线l 一定不经过第三象限；a ③无论如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；a ④当取不同数值时，可得到一组平行直线．a 其中正确的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．1234【答案】C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率l 10ax ay a +-=0a ≠210x y a +-=21y x a =-+为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故1-135︒y 210a >②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；a 1-故选：C8．已知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的12F F ，22:18x y C m +=C P 1290F PF ∠=︒m 取值范围是（ ）A ．B ．(][)0,216,+∞ (][)0,416,+∞ C ．D ．(][)0,28,+∞ (][)0,48,+∞ 【答案】B【分析】利用圆的直径所对圆周角为，将椭圆上存在点满足，转化为以90︒C P 1290F PF ∠=︒为直径的圆与椭圆有交点，即可求解.12F F 【详解】解：若椭圆上存在点满足，只需满足以为直径的圆与椭圆有交点，C P 1290F PF ∠=︒12F F即,即，122F F b c ≤=22b c ≤当时,椭圆的焦点在轴上,此时，则，解得：，8m <x 2228,,8a b m c m ===-8m m ≤-4m ≤当时，椭圆的焦点在轴上，此时，则，解得：.8m >y 222,8,8a m b c m ===-88m ≤-16m ≥综上，.(][)0,416,m ∈+∞ 故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于较易题。
2023-2024学年北京市中国人民大学附中高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．椭圆C ：2x 2+y 2＝2的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0） B ．（0，﹣1），（0，1） C ．（−√3，0），（√3，0）D ．（0，−√3），（0，√3）2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ） A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（1，﹣1） B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1）5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ） A ．2B ．3C ．√5D ．√108．已知双曲线C ：x 2−y 2b2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．99．设动直线l 与⊙C ：（x +1）2+y 2＝5交于A ，B 两点．若弦长|AB |既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（ ） A ．x +2y ＝aB ．ax +y ＝2aC ．ax +y ＝2D ．x +ay ＝a10．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为 ．12．如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ﹣ABC 的棱AB ，DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．13．经过点A （0，1）且与直线l ：x +2y ﹣1＝0垂直的直线方程为 ．14．作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．如图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为 cm 3．15．已知四边形ABCD 是椭圆M ：x 22+y 2=1的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为−13，给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形； ②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得∠AOD ＝91°；④存在四边形ABCD 使得|AC|2+|BD|2=645； 其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（10分）已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝r 2（r ＞0）与y 轴相切． （Ⅰ）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（Ⅱ）直线l ：3x ﹣4y ﹣1＝0与圆C 交于两点A ，B ，求|AB |．17．（10分）已知直线l ：y ＝kx +1经过抛物线C ：x 2＝2py 的焦点F ，且与C 的两个交点为P ，Q ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）将l 向上平移5个单位得到l ′，l ′与C 交于两点M ，N ．若|MN |＝24，求k 值．18．（10分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，AE ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，过AD 的平面分别与棱EB ，EC 交于点M ，N ． （Ⅰ）求证：AD ∥MN ；（Ⅱ）记二面角A ﹣DN ﹣E 的大小为θ，求cos θ的最大值．19．（10分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个顶点分别为A （﹣2，0），B （2，0），离心率e =12，P （x 0，y 0）（y 0≠0）为椭圆上的动点，直线P A ，PB 分别交动直线x ＝t 于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）HC →⋅HD →是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．四、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0 C ．∀x ∈R ，2x ＞0 D ．∀x ∈R ，2x ≤02．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）4．“a ＞b ，c ＞d ”是“a+c ＞b+d ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A （﹣1，0），右焦点为F 2（，0），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±xD ．y=±x6．如图，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，则f ′（4）=（ ）A ．B ．3C ．4D ．57．函数f （x ）=2x 3﹣3x 2+a 的极大值为6，那么a 的值是（ ）A ．5B ．0C ．6D ．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P ．若=2，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为______．12．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是______．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|=______；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为______．19．（I ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2），则f ′（0）=______；（II ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2）…（x+100），则f ′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0C ．∀x ∈R ，2x ＞0D ．∀x ∈R ，2x ≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，2x ＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A ．（x 3）'=3x 2 故A 错误；B ．（lgx ）'= 故B 正确；C ．（e x ）'=e x 故C 错误；D ．（cosx ）'=﹣sinx 故D 错误；故选B3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k ＜1．∴实数k 的取值范围是（0，1）．故选：A ．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．（，0），则双曲线的渐5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．（，0），【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f （x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y 轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故xB =﹣c，yB=，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x 轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）= ． 【考点】导数的运算． 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】解：f （x ）=sinx ， 则f ′（x ）=cosx ，则f ′（）=cos =，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF 2的周长为4a ，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2，则△ABF 2的周长l=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是 （2，+∞） ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f （x ）=（x ﹣3）e x 求导，可得f ′（x ）=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解可得答案．【解答】解：f ′（x ）=（x ﹣3）′e x +（x ﹣3）（e x ）′=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＞2． 故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|= 8 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点∴|AB|=x 1+x 2+2，又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是 ①④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x ）＜0，在x ∈（﹣2，+∞）时，f'（x ）≥0则函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确∵函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴y=f （x ）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 的方程；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0，即可求线段AB 的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0）由点M （3，﹣6）在抛物线C 上可得：（﹣6）2=2p ×3=6p ，∴p=6．故所求抛物线C 的方程为y 2=12x ；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2，通过求导得出f ′（x ）＜0，解出即可；（Ⅱ）f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2∴f ′（x ）=﹣3x 2+6x+9．令f ′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，∴函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f （﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f （2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f （2）＞f （﹣2）．∵x ∈（﹣1，3）时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f （x ）max =20，f （x ）min =﹣7．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出椭圆D 的标准方程．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．与椭圆方程联立可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得： •=0，即x 1x 2+y 1y 2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D 的标准方程为： +y 2=1．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．联立，化简整理可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m 2﹣1）=40﹣8m 2＞0，可得：＜m ＜．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得：OP ⊥OQ ．从而•=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0．∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+=3x 1x 2+（x 1+x 2）+m 2=3×+m ×（﹣）+m 2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m 的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|= 6 ；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为 54 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I ）求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=6，进而可得所求；（II ）由双曲线的对称性，可设A 在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I ）双曲线C ：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F 1（﹣6，0），F 2（6，0），∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M ，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）= 2 ；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）= 1×2×3×…×100 ．（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为： =1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y）．则x0==，y=kx+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有kMN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，，∴a≤g（x）min易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）=g（1）=﹣1．min∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。
市中国人民大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝39，则a3+a4＝（）A．31B．12C．13D．523．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A．B．C．D．4．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关6．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）A．B．C．D．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]8．已知函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n＝，b n＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．93510．若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是（）A．B．[0，e3﹣4]C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是（用数字作答）．12．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n＝；S5＝．13．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为 .（精确到0.1%）14．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．15．已知数列{a n}满足不等式2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{a n}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{a n}的通项公式可以是a n＝nlnn．以上结论正确的有．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，2sin A＝sin C．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．20．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设等差数列{a n}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n t；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n1的取值集合．参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．解：∵函数y＝sin x的最小正周期为2π，故排除A；∵函数y＝sin x的最小正周期为＝4π，故排除B；∵函数y＝cos（x+）的最小正周期为2π，故排除C；∵函数y＝tan x的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝39，则a3+a4＝（）A．31B．12C．13D．52解：由等差数列的性质及其S6＝39，可得＝3（a3+a4）＝39，则＝13．故选：C．3．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）解：根据题意，甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，则甲乙两户都没有获得扶持资金的概率P1＝（1﹣）×（1﹣）＝，而“甲乙两户都没有获得扶持资金”和“至少有一户获得扶持资金”互为对立事件，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率P＝1﹣P1＝，故选：C．4．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种解：根据题意，分2种情况讨论：①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法，则有4+2＝6种不同的种法，故选：C．5．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：＝（x1+x2+x3+x4+x5），＝（++++）＝且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选：A．6．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝2，则tan（β﹣2α）＝（）解：因为tan（α﹣β）＝2，所以tan（β﹣α）＝﹣2．所以tan（β﹣2α）＝tan（（β﹣α）﹣α）＝．故选：C．7．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）ln2＞0，f（1）＝4，则不等式的解集为（）A．[1，2]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（0，1]解：令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（1）＝，∴⇔g（x）≥g（1），故x≥1，故选：B．8．已知函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，则“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：首先考虑充分性，函数f（x）＝cos2x，x∈[a，b]，b−a≥，举反例如下：取a＝﹣，b＝，满足，b−a≥，但是，f（x）的值域为[0，1]，不是[﹣1，1]，所以，“b−a≥”不是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的充分条件，故AC不对；再考虑必要性，由“f（x）的值域为[﹣1，1]”，可得f（x）＝cos2x的一个相邻的最大值与最小值间的距离，即半个周期≤b﹣a，即，故“”是“f（x）的值域为[﹣1，1]”的必要不充分条件．故选：B．9．根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n＝，b n＝n+5，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．935解：（1）∵a n＝，，b n＝n+5∴a1＝5×14+15＝20，a2＝5×24+15＝95，a3＝5×34+15＝420，a4＝﹣10×4+470＝430，b1＝1+5＝6，b2＝2+5＝7，b3＝3+5＝8，b4＝4+5＝9，∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4＝20+95+420+430＝965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4＝6+7+8+9＝30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30＝935．故选：D．10．若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a，（，e为自然对数的底数）与y＝x2﹣3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是（）A．B．[0，e3﹣4]C．D．解：根据题意，若函数y＝x3﹣x2﹣1﹣a（x，e为自然对数的底数）与y＝x3﹣3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程x3﹣x2﹣1﹣a＝﹣x2+3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数，又由，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点．分析可得：当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3，比较可得g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3．故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[]上有两组解，必有1≤a+1≤+3，则有0≤a≤+2，则a的取值X围是[0，+2]．故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．在（2﹣x）5的展开式中，x3项的系数是﹣40 （用数字作答）．解：在（2﹣x）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r，令r＝3，得展开式中x3项的系数是（﹣1）3••25﹣3＝﹣40．故答案为：﹣40．12．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若，则a n＝2n﹣3；S5＝．解：根据题意，数列{a n}是公比为2的等比数列，若，则a1＝＝，则a n＝a1×q n﹣1＝2n﹣3，S5＝＝＝故答案为：2n﹣3，13．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占70%，甲品牌的电脑中，优质率为80%；乙品牌的电脑中，优质率为90%．从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为0.83 ，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为67.5% .（精确到0.1%）（1）从该电脑卖家中随机购买一台电脑，为甲品牌优质电脑的概率为70%×80%＝0.56，解：为乙品牌优质电脑的概率为（1﹣70%）×90%＝0.27，所以买到优质电脑的概率为0.56+0.27＝0.83；（2）买到的是甲品牌电脑的概率为＝67.5%．故答案为：0.83；67.5%．14．若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则常数φ的一个取值为．解：因为函数f（x）＝sin2x+cos2x＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数为，所以函数g（x）的图象关于y轴对称，则有，解得，因为φ＞0，所以当k＝0时，φ＝，则常数φ的一个取值为．故答案为：．15．已知数列{a n}满足不等式2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），对于数列{a n}给出下列五个结论：①a2﹣a1≤a3﹣a2；②a2+a7≤a3+a6；③a2+a3≥a6+a7；④a5≥4a2﹣3a1；⑤数列{a n}的通项公式可以是a n＝nlnn．以上结论正确的有①④⑤．解：①由条件可知：2a2≤a1+a3，即a2﹣a1≤a3﹣a2，故①正确；②由条件可知：a n﹣a n﹣1≤a n+1﹣a n，即a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4≤a6﹣a5≤a7﹣a6，于是，a3﹣a2≤a7﹣a6，即a3+a6≤a2+a7，故②错误；③设数列a n＝n，满足2a n≤a n﹣1+a n+1，此时a2+a3＝5，a6+a7＝13，此时a2+a3＜a6+a7，不满足a2+a3≥a6+a7，故③错误；④a2﹣a1≤a3﹣a2≤a4﹣a3≤a5﹣a4，即a2﹣a1≤a3﹣a2，a2﹣a1≤a4﹣a3，a2﹣a1≤a5﹣a4，将这三个式子相加可得：3（a2﹣a1）≤a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4＝a5﹣a2，即a5≥4a2﹣3a1，故④正确；⑤由2a n≤a n﹣1+a n+1（其中n∈N*，n≥2），联想到当a+b＝2c时，由，可得出函数f（x）是凹函数，如图所示：由于数列也是特殊的函数，故可判断函数y＝xlnx（x＞1）是否是凹函数，由图象可知，曲线上每点的切线斜率即导数是单调递增的，且y'＝lnx+1，设g（x）＝lnx+1，则＞0满足已知条件，故⑤正确．故答案为：①④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①f（0）＝﹣2；②最大值为2；③；④最小正周期为π．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的单调递增区间与最小值．解：（Ⅰ）确定f（x）的三个条件是②，③，④．当A＞0且时，A sinφ＞0．若函数f（x）满足条件①，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，与A sinφ＞0矛盾，所以f（x）不能满足条件①．所以能确定f（x）的三个条件是②，③，④．由条件④，得，又ω＞0，所以ω＝2．由条件②，得|A|＝2，又A＞0，所以A＝2．由条件③，得，又，所以．所以．经验证，符合题意．（Ⅱ）函数y＝sin x的单调递增区间为．由，得．又因为，所以f（x）在区间上的单调递增区间为．因为，所以，所以f（x）在区间上的最小值为．17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，2sin A＝sin C．（Ⅰ）求c的长；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）锐角△ABC中，a＝2，2sin A＝sin C，由正弦定理得，＝，∴c＝＝＝4；（Ⅱ）若，则2cos2C﹣1＝﹣，∴cos2C＝，又△ABC为锐角三角形，∴0＜C＜，解得cos C＝，解法一：∴sin C＝＝；又2sin A＝sin C，∴sin A＝，cos A＝，∴sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴△ABC的面积为S△ABC＝ac sin B＝．解法二：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即b2﹣b﹣12＝0，解得b＝2或b＝﹣（不合题意，舍去），∴△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝．18．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得﹣12分）．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3．每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为P＝．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3P（Ⅱ）设“第i盘游戏获得”为事件A i（i＝1，2），则．所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为．因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为．（Ⅲ）设每盘游戏得分为Y．由（Ⅰ）知，Y的分布列为：Y﹣12 15 120PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝x2﹣lnx﹣，且f（1）＝，∴f′（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣；（Ⅱ）由f′（x）＝x2﹣lnx﹣，设g（x）＝x2﹣lnx﹣，＜x＜e，∴g′（x）＝x﹣＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴当＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴当1＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0，∴f′（x）≥0，在（，e）上恒成立，∴f（x）在（，e）上单调递增，∴f（x）＜f（e）＝e3﹣e，∴a≥e3﹣e，∴a的最小值e3﹣e．20．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解x＞e，∴函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）证明：等价于，即证，由（1）知，，当x＝e时取等号，令，则，易知函数m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴，当x＝1时取等号，∴f（x）＜m（x）对一切x∈（0，+∞）都成立，则对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜成立．21．设等差数列{a n}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6．（Ⅰ）若a2•a10＞0，求d的值；（Ⅱ）若a3＝2，且（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n t；（Ⅲ）若（5＜n1＜n2＜…＜n t＜…）成等比数列，求n1的取值集合．【解答】（Ⅰ）解：因为等差数列{a n}的各项均为整数，所以d∈Z．（1分）由a2•a10＞0，得（a5﹣3d）（a5+5d）＞0，即（3d﹣6）（5d+6）＜0，解得．注意到d∈Z，且d≠0，所以d＝﹣1，或d＝1．（Ⅱ）解：由a3＝2，a5＝6，得，从而a n＝a3+（n﹣3）d＝2+（n﹣3）×2＝2n﹣4，故．由，成等比数列，得此等比数列的公比为，从而．由2n t﹣4＝2•3t+1，解得n t＝3t+1+2，t＝1，2，3，…（Ⅲ）解：由，得．由，成等比数列，得．由，化简整理得．因为n1＞5，从而a3＞0，又n1∈Z且d≠0，从而a3是12的非6的正约数，故a3＝1，2，3，4，12．①当a3＝1或a3＝3时，，这与{a n}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠1且a3≠3．②当a3＝4时，由，但此时，这与{a n}的各项均为整数相矛盾，所以，a3≠4．③当a3＝12时，同理可检验a n2∉Z，所以，a3≠12．当a3＝2时，由（Ⅱ）知符合题意．综上，n1的取值只能是n1＝11，即n1的取值集合是{11}．。
