创新设计2016_2017学年高中数学第2章函数2.3.2对数函数一课时作业

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数（I ）2.2.2.1 对数函数的图象及性质课时作业 新人教版必修11.函数y ＝2－x lg x的定义域为( ) A.{x |x ≤2}B.{x |0<x ≤2}C.{x |1<x ≤2}D.{x |0<x <1或1<x ≤2} 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，lg x ≠0，x >0，∴0<x <1或1<x ≤2.答案 D2.如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.c ＞b ＞aC.c ＞a ＞bD.a ＞c ＞b解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0，1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .答案 D3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ≤0），log 2x （x ＞0），那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( ) A.27 B.127 C.－27 D.－127解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. 答案 B4.若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________.解析 函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1).答案 (2，1)5.已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________.解析 设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32. 答案 －326.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0， 解得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2，3)∪(3，＋∞).(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4.∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).7.已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，求b 的值.解 当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a >0且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图象恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89， 若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1. 8.已知函数f (x )＝lg(x －1).(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)证明f (x )在定义域上是增函数.(1)解 要使函数有意义，则x －1>0，解得x >1.由于函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，则有u ＝x －1的值域是(0，＋∞)，那么函数f (x )的值域是R .(2)证明 设x 1，x 2为(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. ∵1<x 1<x 2，∴0<x 1－1<x 2－1.∴0<x 1－1x 2－1<1.∴lg x 1－1x 2－1<0.∴f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在定义域上是增函数.能 力 提 升9.函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，可得－13<x <1. 答案 D10.函数y ＝a x与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a >1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－log a x 是减函数，当0<a <1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除C 项和D 项，故选A.答案 A11.(2016·烟台高一检测)若函数y ＝log a 2x ＋1x －1＋3的图象恒过定点P ，则P 点坐标为________.解析 依题意，令2x ＋1x －1＝1，得x ＝－2，当x ＝－2时，y ＝log a 1＋3＝3.∴点P 的坐标为(－2，3).答案 (－2，3) 12.已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，值域为[0，1]，则m 的取值范围为________.解析 作出y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12x 的图象(如图)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1. 由题意结合图象知：1≤m ≤2.答案 [1，2]13.若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0).(1)求a 的值.(2)求函数f (x )＝log a (x ＋a )＋x 在x ∈[0，2]上的值域. 解 (1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1.因此a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝log 2(x ＋2)＋x ，x ∈[0，2] ∵y ＝log 2(x ＋2)与y ＝x 在[0，2]上都是增函数. ∴f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝log 22＋0＝1，f (x )max ＝f (2)＝log 24＋2＝4，故函数f (x )的值域为[1，4].探 究 创 新14.已知f (x )＝|log 3x |.(1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R )的解的个数.解 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象为：(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解. 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解.。

-1-42-252.2.2对数函数及其性质（一）授课教师：林加才班级：高一（1）时间：2017年10月22日教学目标：掌握对数函数的定义、图象和性质，会运用对数函数的定义域求函数的定义域.教学重点：掌握对数函数的定义、图象和性质.教学过程：一、引入课题：复习对数的概念。

二、新课教学：（一）对数函数的定义:函数：y=log2x，y=log3x，y=x21log,y=x31log表达式的共同点：解析式是对数式，真数是单自变量，函数值是对数。

定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数（logarithmic function）其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：(1)对数函数对底数的限制：0(a，且)1a;(2)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.（二）对数函数的图象和性质:1.对数函数的图象:y=log2x图象与y=x21log的图象：2.性质：①在同一坐标系中画出下列对数函数的图象并说明两个图象的对称性：y=log2x与y=x21log-2-2,.,2.2,1.)2,1.(DCBA②对数函数y=logax的性质:函数y=logax（a>1）y=logax(0<a<1) 图像定义域R+R+值域RR单调性增函数减函数过定点（1，0）（1，0）取值范围0<x<1时，y<0x>1时，y>00<x<1时，y>0x>1时，y<0(三)举例：例1、下列函数中，既没有奇偶性，又在定义域上单调递减的是___D____A.y=x1B.y=-xC.y=exD.y=x21log例2、求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1)(1)y=logax2(2)y=loga(4-x)(3)y=)9(log2xa(4)y=)23(log)12(xx说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．例3、(1)函数f(x)=xx132+lg(3x+1)的定义域是__B___A.(-31,+∞)B.(-31,1)C.(-31,31)D.(-∞,-31)（2）函数f(x)=)1(log21x的定义域是__B___(四)课堂练习：教材P73练习2(五)归纳小结，强化思想1、理解对数函数概念，掌握图象和性质.注意a>0,与0<a<1两种情况;2、利用对数函数，求简单的定义域.(六)作业布置:课本P74：(A组)第7题；(B组) 第5题．P82:(A组)第5题。

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3 函数的单调性时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题:（每小题5分，共5×6＝30分）1．下列函数中，在区间(0，2）上为增函数的是( )A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3答案:B解析:（排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数;选项C，y＝－x2在(0，＋∞）上是减函数,选项D，y＝x2－2x－3＝（x－1)2－4，当x≤1时y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在（0,2）上并不严格单调．故选B。

2．如图是函数y＝f（x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案:B解析：由图象，可知函数y＝f（x）的单调递减区间有2个．故选B。

3．下列函数中,在区间（0，k)(k∈（0，＋∞）)上单调递增的是( )A．y＝4－3x B．y＝2x2＋1C．y＝－5x2 D．y＝x2－2x＋2答案:B解析：因为y＝4－3x在（0，k）上单调递减，故A不满足题意；y＝2x2＋1在（0，＋∞)上单调递增，则在区间(0，k）（k∈（0，＋∞））上也单调递增，故B满足题意；y＝－5x2在(0，k）上单调递减，故C不满足题意；y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1在（0，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增,故D不满足题意．故选B。

1 / 7课时作业(十七) 对数函数的图象及性质[学业水平层次]一、选择题1．已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( ) A.12B ．－12C ．0D ．－1 【解析】 ∵f (x )＝1＋log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋log 212＝1－1＝0. 【答案】C2．已知函数f (x )＝log 3(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ∵f (a )＝log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，∴a ＝2.【答案】C3．(2013·某某高考)函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞)2 / 7 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －2）≠0，x －2>0，得x >2且x ≠3，故选C.【答案】C4．(2014·某某高一检测)对a (a ＞0，a ≠1)取不同的值，函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P 的坐标为() A ．(1，0) B ．(－2，0)C ．(2，0)D ．(－1，0)【解析】 根据log a 1＝0，故令2x ＋1x －1＝1，解得x ＝－2，故P 点的坐标为(－2，0)．【答案】B二、填空题5．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________．【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.【答案】 －326．函数f (x )＝log (2x －1)3x －2的定义域为________．3 / 7【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，2x －1≠1，3x －2＞0，解得x ＞23，且x ≠1，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞) 7．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22015)的值等于________．【解析】 ∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22015)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22015＝log a (x 1x 2x 3…x 2015)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2015)＝2f (x 1x 2x 3…x 2015)，∴原式＝2×8＝16.【答案】 16三、解答题8．求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg （x ＋1）－3； (2)y ＝log a （4x －3）(a ＞0，且a ≠1)．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1）－3≠0，x ＋1＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x ＞－1，4 / 7∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}．(2)log a (4x －3)≥0⇒log a (4x －3)≥log a 1.当a ＞1时，有4x －3≥1，x ≥1.当0＜a ＜1时，有0＜4x －3≤1，解得34＜x ≤1. 综上所述，当a ＞1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 9．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上． (1)写出y ＝g (x )的解析式．(2)求方程f (x )－g (x )＝0的根． 【解】 (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f （x ）＝log 2（x ＋1），y 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3， 则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12log 2(x ＋1)， 故g (x )＝12log 2(3x ＋1)． (2)由f (x )－g (x )＝0得，5 / 7 log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3x ＋1＞0，3x ＋1＝（x ＋1）2，解得，x ＝0或x ＝1.[能力提升层次]1．(2013·某某高一检测)函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，x ＞0，所以x ≥4且x ≠10，所以函数的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．【答案】D2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是()6 / 7【解析】 由lg a ＋lg b ＝0，得lg(ab )＝0，所以ab ＝1，故a ＝1b，所以当0＜b ＜1时，a ＞1；当b ＞1时，0＜a ＜1. 又因为函数y ＝－log b x 与函数y ＝log b x 的图象关于x 轴对称．利用这些信息可知选项B 符合0＜b ＜1且a ＞1的情况．【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________． 【解析】 ∵14＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3－2＝19. 【答案】194．(2014·某某高一检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－log a (2－x )，a ＞0且a ≠1.(1)求函数f (x )的定义域．(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．【解】 (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，2－x ＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}．(2)函数f(x)为奇函数．证明：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称．且f(－x)＝log a(－x＋2)－log a(2＋x)＝－log a(2＋x)＋log a(2－x)＝－[log a(2＋x)－log a(2－x)]＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．7 / 7。

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第21课时对数与对数的运算（1）课时目标1。

理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质．3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算．识记强化1．对数的概念．(1）定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N。

（2)指数式与对数式的关系。

式子名称a b N指数式a b＝N底数指数幂对数式log a N＝b底数对数真数2。

对数的基本性质．设a＞0，且a≠1,则(1）零和负数没有对数;（2)1的对数为零,即log a1＝0；（3）底的对数等于1，即log a a＝1.课时作业（时间：45分钟，满分：90分)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．若log a N＝b(a＞0且a≠1),则下列等式正确的是（）A．N＝a2b B．N＝2a bC．N＝b2a D．N2＝a b答案：A解析:把log a N＝b写成错误!＝a b，∴N＝(a b)2＝a2b.2．若a〉0，且a≠1，c〉0，则将a b＝c化为对数式为（）A．log a b＝c B．log a c＝bC．log b c＝a D．log c a＝b答案：B解析：由对数的定义直接可得log a c＝b.3．方程lg(x2－1）＝lg(2x＋2）的根为( )解：(1)①log21024＝10；②log0.30.027＝3；③ln1＝0。

课时作业(二十) 对数函数的图象及性质一、选择题1．如图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取5，53，45，18，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.18，45，53， 5 B.5，53，45，18C.53，5，45，18D.5，53，18，45答案：B2．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )答案：C 解析：函数的定义域为(－∞，1)且在定义域上单调递减，故选C.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3x 2－，x ≥2，则f (f (2))＝( )A ．2B ．3C ．9D ．18答案：A 解析：由题意可知，f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1. 所以f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.4．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c答案：D 解析：∵log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，又1<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27， 即a >b >c ，故选D. 5．函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21＋x －1的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．x 轴对称D ．直线y ＝x 对称答案：A 解析：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21＋x －1＝lg 1－x 1＋x 的定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－－x 1＋－x ＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称．6．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，则a ，b 满足的关系式是 ( )A ．a >1，且b >1B ．a >1，且0<b <1C ．b >1，且0<a <1D ．0<a <1，且0<b <1答案：C 二、填空题7．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________．答案：(1,5] 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，5－x ≥0，解得1<x ≤5.8．设函数f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·lg x ＋1，则f (10)＝________. 答案：1 解析：令x ＝10，得f (10)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋1，①令x ＝110，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝f (10)·(－1)＋1，② 由①②，得f (10)＝1.9．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 又f (x )＝log 2a (x ＋1)＞0， ∴0＜2a ＜1，则0＜a ＜12.10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 解析：由已知条件可得函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，>0，0，x ＝0，－－x ，x <0，其图象如图所示．由函数图象可得，不等式f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 三、解答题11．求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x 2＋4)； (2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．解：(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R ， ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2. ∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4. ∵u ＞0，∴0＜u ≤4，又∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 12 u ≥log 124＝－2，∴y ＝log 12 (3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}． 12．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．解：(1)∵函数f (x )＝log a 1＋x 1－x (a ＞0，且a ≠1)，可得1＋x1－x ＞0，即(1＋x )(1－x )＞0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由于函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 且f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．13．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图①.第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②.第三步：将log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③.第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图④.尖子生题库14．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围； (3)求函数g (x )的递减区间．解：(1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，∴0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。

3．2.2 对数函数(一)课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质一、选择题1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N是( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1) 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数f (x )＝|log 3x |的图象是( )5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝4xB ．g (x )＝2xC ．g (x )＝9xD ．g (x )＝3x6．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．给出函数，则f (log 23)＝________. 三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( ) A ．a 4<a 3<a 2<a 1 B ．a 3<a 4<a 1<a 2 C ．a 2<a 1<a 3<a 4 D ．a 3<a 4<a 2<a 113．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系．当0<n <m <1时，如图①；当1<n <m 时，如图②；当0<m <1<n 时，如图③.2．由于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．3．2.2 对数函数(一)知识梳理2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴 作业设计1．D [由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －2≥0，x >0.解得x ≥4.]2．C [M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]．]3．B [α＋1＝2，故α＝1.]4．A [y ＝|log 3x |的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．]5．D [由题意得：log a 9＝2，即a 2＝9，又∵a >0，∴a ＝3.因此f (x )＝log 3x ，所以f (x )的反函数为g (x )＝3x.]6．D [由log a 23<1得：log a 23<log a a .当a >1时，有a >23，即a >1；当0<a <1时，则有0<a <23.综上可知，a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．]7．(1,2)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<3－a <1，0<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1，a >1， 解得1<a <2. 8．(4，－1)解析 y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，则x ＝4； 令y ＋1＝0，则y ＝－1. 9.124解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝2log 2412⎛⎫⎪⎝⎭＝2log 242-＝21log 242＝124. 10．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R .又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)．11．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6， f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )，①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.12．B [作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3<a 4<a 1<a 2.] 13.解 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝14log m m .∴12≤14m ，即116≤m .又0<m <1， ∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是[116，1)．。

2.3.2 对数函数(二)课时目标1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．1．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ≤0ln x x >0，则g (g (12))＝________.2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)①y ＝x 2和y ＝(x )2；②|y |＝|x |和y 3＝x 3；③y ＝log a x 2和y ＝2log a x ；④y ＝x 和y ＝log a a x.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是________．4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为________．5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点________．一、填空题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系为________．2．已知函数y ＝f (2x)的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________． 3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则下列不等关系判断正确的为________．(填序号)①f (2)>f (－2)；②f (1)>f (2)；③f (－3)>f (－2)； ④f (－3)>f (－4)．4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________.6．函数y ＝3x(－1≤x <0)的反函数是________．7．函数f (x )＝lg(2x－b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________． 8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________． 9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 二、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝12log 1－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是________．13．已知log m 4<log n 4，比较m 与n 的大小．1．在对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，底数a 对其图象的影响无论a 取何值，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．3.2 对数函数(二)双基演练 1.12解析 ∵g (12)＝ln 12<0，∴g (ln 12)＝1ln 2e ＝12，∴g (g (12))＝12.2．④解析 y ＝log a a x＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．3．[116，14]解析 由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14. 4．(0，＋∞)解析 ∵3x ＋1>1，∴log 2(3x＋1)>0. 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值， 只要a >0且a ≠1，都有y ＝1. 作业设计 1．b <a <c解析 因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c . 2．[2，4]解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4. 3．③解析 ∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)． 4.12解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.5．－b解析 f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故f (－a )＝－f (a )＝－b .6．y ＝log 3x (13≤x <1)解析 由y ＝3x(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)．7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1.又2x≥2，∴b ≤1.8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1，变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1，则有log a 2＝1或log a 2＝－1，∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数，则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2. 10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0，故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax，解得a ＝－1或a ＝1(舍)． (2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋xx －1＋12log (x －1) ＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1. 12．(1，2)解析 已知函数f (x )有最小值，令y ＝x 2－ax ＋12，由于y 的值可以趋于＋∞，所以a >1，否则，如果0<a <1，f (x )没有最小值．又由于真数必须大于0，所以y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，即Δ＝a 2－4×1×12<0，∴－2<a < 2.综上可知1<a < 2.13．解数形结合可得0<n <m <1或1<n <m 或0<m <1<n .。

3.2习题课课时目标　1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．1．已知m ＝0.95.1，n ＝5.10.9，p ＝log 0.95.1，则这三个数的大小关系是________．2．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则1，m ，n 的大小关系为________．3．函数y ＝＋的定义域是________．x －11lg (2－x )4．给定函数①y ＝，②y ＝(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上12x 12log 单调递减的函数序号是________．(填序号)5．设函数f (x )＝log a |x |，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是________________．6．若log 32＝a ，则log 38－2log 36＝________.一、填空题1．下列不等号连接正确的是________．(填序号)①log 0.52.7>log 0.52.8；②log 34>log 65；③log 34>log 56；④log πe>log e π.2．若log 37·log 29·log 49m ＝log 4，则m ＝________.123．设函数f (x )＝Error!若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b ＝________.4．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调增区间12为_____________________________．5．若函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f ()＝0，则不等式13f (x )<0的解集为________．18log 7．已知log a (ab )＝，则log ab ＝________.1p ab 8．若log 236＝a ，log 210＝b ，则log 215＝________.9．设函数f (x )＝Error!若f (a )＝，则f (a ＋6)＝________.18二、解答题10．已知集合A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)>0的解集．13．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，其中a >1.(1)比较[f (0)＋f (1)]与f ()的大小；1212(2)探索[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (－1)对任意x 1>0，x 2>0恒成立．12x 1＋x 221．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．2．指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝a x(a>0，且a≠1)和y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．习题课双基演练1．p<m<n解析　0<m<1，n>1，p<0，故p<m<n.2．1<n<m解析　∵0<a<1，∴y＝log a x是减函数．由log a m<log a n<0＝log a1，得m>n>1.3．(1,2)解析　由题意得：Error!解得：1<x<2.4．②③x解析　①y＝在(0,1)上为单调递增函数，∴①不符合题意，②，③符合，④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数．5．f(a＋1)>f(2)解析　当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)上递减；又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．综上可知，f(a＋1)>f(2)．6．a－2解析　log38－2log36＝log323－2(1＋log32)＝3a－2－2a＝a－2.作业设计1．①②③解析　对①，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．对②，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．对③，由log 34＝1＋log 3>1＋log 3>1＋log 5＝log 56可知正确．436565对④，由π>e>1可知，log e π>1>log πe 错误．2.22解析　左边＝··＝，lg 7lg 32lg 3lg 2lg m2lg 7lg mlg 2右边＝＝－，－lg 22lg 212∴lg m ＝lg ＝lg ，12222∴m ＝.223．0解析　∵f (3)＝2，∴log a (3＋1)＝2，解得a ＝2，又f (－2)＝0，∴4－4＋b ＝0，b ＝0.4．(－∞，－)12解析　令y ＝2x 2＋x ，其图象的对称轴x ＝－<0，14所以(0，)为y 的增区间，所以0<y <1，又因f (x )在区间(0，)内恒有f (x )>0，所以0<a <1.1212f (x )的定义域为2x 2＋x >0的解集，即x >0或x <－，12由x ＝－>－得，(－∞，－)为y ＝2x 2＋x 的递减区间，141212又由0<a <1，所以f (x )的递增区间为(－∞，－)．125．(－1,0)∪(1，＋∞)解析　①若a >0，则f (a )＝log 2a ，f (－a )＝a ，12log ∴log 2a >a ＝log 2，12log 1a ∴a >，∴a >1.1a ②若a <0，则f (a )＝(－a )，12log f (－a )＝log 2(－a )，∴(－a )>log 2(－a )＝(－)，12log 12log 1a ∴－a <－，1a∴－1<a <0，由①②可知，－1<a <0或a >1.6．(，1)∪(2，＋∞)12解析　∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f ()＝0，13在(0，＋∞)上f (x )<0⇒f (x )<f ()18log 18log 13⇒0<x <⇒1<x <⇒<x <1；18log 1318log 18log 18log 1318⎛⎫ ⎪⎝⎭12同理可求f (x )在(－∞，0)上是增函数，且f (－)＝0，得x >2.13综上所述，x ∈(，1)∪(2，＋∞)．127．2p －1解析　∵log ab a ＝p ，log ab b ＝log ab ＝1－p ，ab a ∴log ab ＝log ab a －log ab b a b ＝p －(1－p )＝2p －1.8.a ＋b －212解析　因为log 236＝a ，log 210＝b ，所以2＋2log 23＝a,1＋log 25＝b .即log 23＝(a －2)，log 25＝b －1，12所以log 215＝log 23＋log 25＝(a －2)＋b －1＝a ＋b －2.12129．－3解析　(1)当a ≤4时，2a －4＝，18解得a ＝1，此时f (a ＋6)＝f (7)＝－3；(2)当a >4时，－log 2(a ＋1)＝，无解．1810．解　由log 4(x ＋a )<1，得0<x ＋a <4，解得－a <x <4－a ，即B ＝{x |－a <x <4－a }．∵A ∩B ＝∅，∴Error!解得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．11．解　设至少抽n 次才符合条件，则a ·(1－60%)n <0.1%·a (设原来容器中的空气体积为a )．即0.4n <0.001，两边取常用对数，得n ·lg 0.4<lg 0.001，所以n >.lg 0.001lg 0.4所以n >≈7.5.－32lg 2－1故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.12．解　设u (x )＝x 2－2x ＋3，则u (x )在定义域内有最小值．由于f (x )在定义域内有最小值，所以a >1.所以log a (x －1)>0⇒x －1>1⇒x >2，所以不等式log a (x －1)>0的解集为{x |x >2}．13．解　(1)∵[f (0)＋f (1)]＝(log a 1＋log a 2)＝log a ，12122又∵f ()＝log a ，且>，由a >1知1232322函数y ＝log a x 为增函数，所以log a <log a .232即[f (0)＋f (1)]<f ()．1212(2)由(1)知，当x 1＝1，x 2＝2时，不等式成立．接下来探索不等号左右两边的关系：[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]＝log a ，12x 1x 2f (－1)＝log a ，x 1＋x 22x 1＋x 22因为x 1>0，x 2>0，所以－＝≥0，x 1＋x 22x 1x 2(x 1－x 2)22即≥.又a >1，x 1＋x 22x 1x 2所以log a ≥log a ，x 1＋x 22x 1x 2即[f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (－1)．12x 1＋x 22综上可知，不等式对任意x 1>0，x 2>0恒成立．。

第一课时对数函数的图象及性质[选题明细表]基础巩固1.下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=log a x2(a>0,且a≠1);③y=lo x;④y=log3x;⑤y=log x(x>0,且x≠1);⑥y=lo x.其中是对数函数的为( D )(A)③④⑤(B)②④⑥(C)①③⑤⑥ (D)③⑥解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.2.(2019·云南玉溪一中高一上期中)函数y=log a(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( A )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(2,3) (D)(,2)解析:令3x-2=1,得x=1,又log a(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.3.(2019·吉林舒兰一中高一上学期期中)设ln b>ln a>ln c,则a,b,c的大小关系为( A )(A)b>a>c (B)a>b>c(C)c>b>a (D)c>a>b解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>lna>ln c,所以b>a>c,故选A.4.(2019·辽宁实验中学高一上期中)已知函数f(x)=log2(1+2-x),函数的值域是( B )(A)[0,2) (B)(0,+∞)(C)(0,2) (D)[0,+∞)解析:因为2-x+1>1,所以log2(1+2-x)>log21,故f(x)>0.故选B.5.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,故选A.6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( A )(A)x2<x3<x1(B)x1<x3<x2(C)x1<x2<x3(D)x3<x2<x1解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,log3x3=-1,故x1=,x2=,x3=,则x1>x3>x2.选A.7.(2019·陕西安康市高一上期中)若函数y=log0.5(a-2x)的定义域为(-∞,2),则a等于( D )(A)(B)(C)2 (D)4解析:由已知得a-2x>0,2x<a,x<log2a=2,a=4,故选D.8.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)log a x,则f(9)= .解析:由对数函数定义知故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=log3x,故f(9)=log39=2.答案:2能力提升9.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a的值为( C )(A)-e (B)-(C)(D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.10.(2019·湖南岳阳一中高一上期中)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( A )(A)(,10) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(,1) (D)(0,1)∪(10,+∞)解析:因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是减函数,又f(lg x)>f(1),即f(|lg x|)>f(1),则|lg x|<1,故-1<lg x<1,解得<x<10.故选A.11.若函数f(x)=log5(3x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的取值集合是.解析:因为x≥1,所以3x-b≥3-b.又f(x)=log5(3x-b)的值域是[0,+∞),所以3-b=1,故b=2.答案:{2}12.若直线y=t(t>0)与f(x)=|ln x|有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,则x1x2= .解析:由题意知|ln x1|=|ln x2|,假设x1<1<x2,则-ln x1=ln x2,即ln x1+ln x2=0,故ln x1x2=0,因此x1x2=1.答案:113.已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A;(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值. 解:(1)要使函数有意义,则即解得≤x≤4,即集合A=[,4].(2)因为x∈A,所以-1≤log2x≤2,g(x)=(log2x)2-2log2x-1=(log2x-1)2-2.当log2x=1,即x=2时,g(x)取最小值为-2,当log2x=-1,即x=时,g(x)取最大值为2.探究创新14.若定义一个区间[m,n]的长度为n-m,当函数f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值为[0,1]时,该区间的长度的最小值为.解析:依题意知f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],如图,当f(x)=0时,x=1,当f(x)=1时,x=4或,因此定义域为[,1]时,区间长度最小,故b-a的最小值为.答案:。

2.2.2.2 对数函数及其性质的应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b解析：因为0＝log 0.51<a ＝log 0.50.9<log 0.50.5＝1，b ＝log 1.10.9<log 1.11＝0，c ＝1.10.9>1.10＝1，所以b <a <c ，故选B. 答案：B2．若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1)解析：当a >1时，log a 34<0<1，成立．当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数． 由 log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.综上所述，0<a <34或a >1.答案：B3．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( ) A ．(0,2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．[2，＋∞)解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4>0，则0<－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0.4x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．答案：B4．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是( )解析：∵a>1，∴函数y＝a－x的图象过点(0,1)且递减，函数y＝log a x的图象过点(1,0)且递增，故选A.答案：A5．如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的大致图象如图所示．所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1<x≤1}．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由4x－x2>0得0<x<4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．又∵y＝log3u是增函数，∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案：(0,2]7．已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2 a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x，a 2＝1， 因为a ≠－1， 所以a ＝1. 答案：18．如果函数f (x )＝(3－a )x与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1，a >1，则1<a <2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<3－a <1，0<a <1，无解．答案：(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求函数y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解析：利用换元法，转化为二次函数问题来解决． 由y ＝log 12x 在区间[2,4]上为减函数知，log 122≥log 12x ≥log 124，即－2≤log 12x ≤－1.若设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，且y ＝t 2－12t ＋5.而y ＝t 2－12t ＋5的图象的对称轴为t ＝14，且在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上为减函数，而[－2，－1]⊆⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.所以当t ＝－2，即x ＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t ＝－1，即x ＝2时，此函数取得最小值，最小值为132.10．已知log a (2a ＋3)<log a 3a ，求a 的取值范围． 解析：(1)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2a ＋3<3a ，2a ＋3>0，解得a >3.(2)当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a ＋3>3a ，3a >0，解得0<a <1.综上所述，a 的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．[能力提升](20分钟，40分)11．若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(1，＋∞)解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.在[0,1]上，随着x 的增大，u ＝2－ax 减小，要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必须是增函数，故a >1.综上可知，1<a <2. 答案：B12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a 2－a ，解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，求a 的取值范围．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 14．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围． 解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )， 则x ＝a t，且f (t )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a t －1a t ， 所以f (x )＝aa 2－1(a x－a －x)(x ∈R )；(2)因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x) ＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a >1时，a x－a －x为增函数， 并且注意到aa 2－1>0，所以这时f (x )为增函数；当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数；(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数， 所以f (1－m )<f (2m －1)． 因为f (x )在(－1,1)上为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<2m －1<1，1－m <2m －1.解之，得23<m <1.即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.。

2．2.1 对数与对数运算第1课时 对 数课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a＝________. 三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( ) A ．15 B ．75C ．45D ．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2) log a Na ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数知识梳理1．以a 为底N 的对数 x ＝log a N 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式．] 2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确； ∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误；由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误．] 3．C [由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.]4．A [∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.]5．A [由log a 5b ＝c ，得a c＝5b ，∴b ＝(a c )5＝a 5c.]6．C [(12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)12log 4＝2×4＝8.]7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1， 即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8， ∴128-＝1218＝18＝122＝24. 8．3解析 由题意得：log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3， 又∵x >0，∴x ＝3. 9.110解析 依据a x＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1)，有a ＝102.431 0，b ＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 10．解 (1)①lg 11 000＝－3；②log 0.50.125＝3；③log 2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3. 11．解 A ＝12x ·(122x y-)16＝51213x y .又∵x ＝a 4，y ＝a 5，∴A ＝3535a a＝1.12．C [由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.]13．解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582.②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a3.③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a.。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数（I ）2.2.2.2 对数函数及其性质的应用课时作业 新人教版必修11.若0＜x ＜y ＜1，则( ) A.3y＜3xB.log x 3＜log y 3C.ln x ＜ln yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y解析 A 中，y ＝3x 是增函数，故3y ＞3x；B 中，利用换底公式转化为1log 3x 和1log 3y，前者大于后者；C 中，y ＝ln x 是增函数，故ln x ＜ln y ；D 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12y.答案 C2.点(2，4)在函数f (x )＝log a x 的反函数的图象上，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A.－2B.2C.－1D.1解析 因为点(2，4)在函数f (x )＝log a x 的反函数图象上，所以点(4，2)在函数f (x )＝log a x 的图象上，所以2＝log a 4，即a 2＝4，得a ＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.答案 C3.若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) 解析 由log a 23<1得：log a 23<log a a .当a >1时，有a >23，即a >1；当0<a <1时，则有0<a <23，综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞).答案 D4.函数y ＝log 2(x 2－2x ＋3)的值域是________.解析 令u ＝x 2－2x ＋3，则u ＝(x －1)2＋2≥2，因为函数y ＝log 2u 在(0，＋∞)上是增函数，所以y ≥log 22＝1，所以y ∈[1，＋∞). 答案 [1，＋∞)5.若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则a 的取值范围是________.解析 因为－1<x <0，所以0<x ＋1<1，由对数函数的图象知，当真数大于0小于1时，只有底数也大于0小于1，对数的值才是正值，所以0<2a <1，得0<a <12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 6.设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，求实数a 的值.解 因为a >1，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数. 所以最大值为f (2a )，最小值为f (a ). 所以f (2a )－f (a )＝log a 2a －log a a ＝12.即log a 2＝12，所以a ＝4.7.已知函数f (x )＝log 2(2＋x 2). (1)判断f (x )的奇偶性 (2)求函数f (x )的值域.解 (1)易知f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2[2＋(－x )2]＝log 2(2＋x 2)＝f (x )， ∴f (x )＝log a (2＋x 2)为偶函数.(2)对任意x ∈R ，t ＝2＋x 2≥2，又y ＝log 2t 在[2，＋∞)上是增函数，∴1≤y ，故f (x )的值域为[1，＋∞).8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，求满足f (x )＞0的x 的取值范围.解 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x ＞0），0 （x ＝0），－lg （－x ） （x ＜0）.由f (x )＞0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，lg x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－lg （－x ）＞0，∴－1＜x ＜0或x ＞1.故满足f (x )＞0的x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0或x ＞1}.能 力 提 升9.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A.y ＝log 12(x ＋1)B.y ＝log 2x 2－1 C.y ＝log 21xD.y ＝log12(x 2－4x ＋5)解析 选项A ，C 中函数为减函数，(0，2)不是选项B 中函数的定义域.选项D 中，函数y ＝x 2－4x ＋5在(0，2)上为减函数，又12<1，故y ＝log12(x 2－4x ＋5)在(0，2)上为增函数. 答案 D10.已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A.bB.－bC.1bD.－1b解析 由1－x1＋x ＞0得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，所以－1＜x ＜1.故f (x )的定义域为(－1，1)，其关于原点对称，而f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .故选B. 答案 B11.已知函数f (x )＝lg(2x－b )(x ≥1)的值域是[0，＋∞)，则b 的值为________. 解析 由于f (x )＝lg(2x －b )在[1，＋∞)上是增函数，又f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴f (1)＝lg(2－b )＝0，∴2－b ＝1.∴b ＝1. 答案 112.已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )＜0的解集是________.解析 由题意可知，f (log 4x )＜0⇔－12＜log 4x ＜12⇔log 44－12＜log 4x ＜log 4412⇔12＜x ＜2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜213.已知函数f (x )＝log 3（4x －1）＋16－2x的定义域为A . (1)求集合A ；(2)若函数g (x )＝(log 2x )2－2log 2x －1，且x ∈A ，求函数g (x )的最大值、最小值和对应的x 值.解 (1)要使f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －1≥1，16－2x≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤4，所以12≤x ≤4，所以集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤4. (2)设t ＝log 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，所以t ∈[－1，2]，所以y ＝t 2－2t －1，t ∈[－1，2].因为y ＝t 2－2t －1＝(t －1)2－2的对称轴为t ＝1∈[－1，2]， 所以当t ＝1时，y 有最小值－2. 所以当t ＝－1时，y 有最大值2. 所以当x ＝2时，g (x )的最小值为－2. 当x ＝12时，g (x )的最大值为2.探 究 创 新14.(2016·石家庄期中测试)已知函数f (x )＝lg(3x－3). (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设函数h (x )＝f (x )－lg(3x＋3)，若不等式h (x )>t 无解，求实数t 的取值范围. 解 (1)由3x－3>0得x >1，所以定义域为(1，＋∞)，因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以值域为R .(2)因为h (x )＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝lg 3x－33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0).若不等式h(x)>t无解，解得t≥0.故实数t的取值范围是[0，＋∞).。

2.2.2.1 对数函数的图象及性质[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数是对数函数的是( )A．y＝2＋log3xB．y＝log a(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝log a x2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.答案：A3．设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( ) A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D4．函数y＝e x的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝x e解析：易知y＝f(x)是y＝e x的反函数，所以f(x)＝ln x.答案：C5．已知a＞0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是下图中的( )解析：由函数y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x为增函数，所以图象B 适合．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________.解析：由对数函数的定义可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a －5＝0a >0a ≠1，∴a ＝5.答案：5 7．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝________. 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋f (15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3. 答案：38．函数f (x )＝log a (2x －3)(a ＞0且a ≠1)，的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________． 解析：令2x －3＝1，解得x ＝2，且f (2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f (x )的图象恒过定点P (2,0)．答案：(2,0)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3(1－x )；(2)y ＝1log 2x； (3)y ＝log 711－3x. 解析：(1)∵当1－x >0，即x <1时，函数y ＝log 3(1－x )有意义，∴函数y ＝log 3(1－x )的定义域为(－∞，1)．(2)由log 2x ≠0，得x >0且x ≠1.∴函数y ＝1log 2x的定义域为{x |x >0且x ≠1}． (3)由11－3x >0，得x <13. ∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13. 10．求出下列函数的反函数：(1)y ＝log 16x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (3)y ＝πx.解析：(1)对数函数y ＝log 16x ，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x ； (2)同理，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 的反函数是对数函数y ＝log 1ex ； (3)指数函数y ＝πx的反函数为对数函数y ＝log πx . [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )解析：由y ＝a x 解得x ＝log a y ，∴g (x )＝log a x .又∵g (2)<0，∴0<a <1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 答案：A12．函数f (x )＝x ＋1－2x 的定义域是________．解析：∵f (x )＝x ＋1－2x ，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>01－2x >0，即－3<x <0.答案：(－3,0) 13．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？解析：y ＝log 2x ―――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)．14．已知函数f (x )＝log 2x －的定义域为A ，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (－1≤x ≤0)的值域为B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围． 解析：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，log 2x －⇒x ≥2，所以A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{2}．(2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，若要使B ⊆C ，则有a －1≥2，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．。

课时作业20 对数函数的图象与性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( C )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象过定点( B ) A ．(0，23) B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(23，0)解析：根据对数函数过定点(1,0)，令3x －2＝1，得x ＝1，∴过定点(1,0)． 3．函数f (x )＝log 2(x 2＋8)的值域为( C ) A ．R B ．[0，＋∞)C ．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：设t ＝x 2＋8，则t ≥8，又函数y ＝log 2t 在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥log 28＝3.故选C.4．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值X 围分别是( C )A ．m >0,0<n <1B ．m <0,0<n <1C．m>0，n>1 D．m<0，n>1解析：由图象知函数为增函数，故n>1.又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.解析：6．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为( C )解析：由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，则g(x)的图象由y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C满足．二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 5x 的定义域为(0，5]． 解析：由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，直线y ＝a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点，则a 的取值X 围是(0,1]．解析：函数f (x )的图象如图所示，要使直线y ＝a 与f (x )的图象有两个不同的交点，则0<a ≤1.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值X 围是(1,2]．解析：∵当x ≤2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴当x >2时，3＋log a x 的值域为[4，＋∞)的子集． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2.三、解答题10．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 24x －3； (2)y ＝log 5－x (2x －2)．解：(1)要使函数有意义，必须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21，即1≤4x －3⇒x ≥1， ∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>0，5－x >0，5－x ≠1.解得1<x <5且x ≠4，∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5)．11．设定义域均为[2，8]的两个函数f (x )和g (x )，其解析式分别为f (x )＝log 2x －2和g (x )＝log 4x －12.(1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域． 解：(1)因为y ＝log 2x 在[2，8]上是增函数．所以log 22≤log 2x ≤log 28，即log 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 故log 2x －2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 即函数y ＝f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. (2)G (x )＝f (x )·g (x )＝(log 2x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4x －12 ＝(log 2x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x －12＝12[(log 2x )2－3log 2x ＋2]． 令t ＝log 2x ，x ∈[2，8]，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 则y ＝12(t 2－3t ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－18，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3， 故当t ＝32时，y 取最小值，最小值为－18；当t ＝3时，y 取最大值，最大值为1.所以函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1.——能力提升类——12．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( D )解析：A 图中，由直线图象可知，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的下方，所以0<a <1，指数函数与对数函数都应是减函数，而两函数图象都是单调递增的，故不合题意；B 图中，由直线图象可知，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方，所以a >1，指数函数与对数函数都应是增函数，而两函数图象都是单调递减的，故不合题意；C 图中，指数函数与对数函数图象不关于直线y ＝x 对称，故不合题意；D 图中，由直线图象可知，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方，所以a >1，指数函数与对数函数都应是增函数，且图象关于直线y ＝x 对称，故满足条件．选D.13．y ＝log a (3a －1)恒为正值，则a 的取值X 围为( D ) A ．a >13B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23，或a >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<3a －1<1，即13<a <23时，y ＝log a (3a －1)恒正；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3a －1>1，即a >1时，y ＝log a (3a －1)恒正．解析：二次函数y ＝x 2－ax ＋3a 的图象的对称轴为直线x ＝a 2，由已知，应有a2≤2，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4.15．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，某某数m 的取值X 围． 解：(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，所以f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －17－x恒成立，所以x ＋1x －1>m x －17－x>0 因为x ∈[2,6]，所以0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， 所以0<m <7.。