上海市位育中学学年高二数学上学期期中试题

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略 （2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。

上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。

上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

2021-2022年上海市位育中学高二上期中 一. 填空题1. 分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是2. 点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的 心3. 边长为12的正三角形直观图的面积为4. 如果平面α外有两点A 、B 到平面α的距离相等，则直线AB 和平面α的位置关系为5. 已知一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则此球的表面积与圆柱的表面积之比为6. 在30︒二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm ，则这个点到二面角的棱的距离为7. 已知长方体的表面积为24cm 2，过同一顶点的三条棱长之和为6cm ，则它的对角线的长为 cm8. 已知一个圆锥的高为1，底面半径为3，则过圆锥顶点的截面面积的最大值是9. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，点E 为AB 上的动点，则1D E CE +的最小值为10. 如图所示，空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，四边形CDEF 是矩形，且AD ⊥平面CDEF ，2AB AD DE ===，2AB AD DE ===，则空间几何体ADE -BCF 的体积为11. 正三棱锥P -ABC 242PA AB ==E 在棱P A 上，且3PE EA =，已知点P 、A 、B 、C 都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为12. 已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 折起，得到四棱锥1A DMBC -，设1A C 的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题：① BN ∥平面1A DM ，且BN 5；② 三棱锥N DMC -的最大体积为223；③ 在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中所有正确命题的序号为 二. 选择题13. “直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. 已知a 、b 为异面直线，则下列命题正确的是（ ）A . 过直线a 、b 外一点P 一定可以作一条与a 、b 都平行的直线B . 过直线a 、b 外一点P 一定可以作一个与a 、b 都平行的平面C . 过直线a 一定可以作一个与直线b 平行的平面D . 过直线a 一定可以作一个与直线b 垂直的平面15. 给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（ ）A . 五棱柱、七面体B . 五棱柱、六棱锥C . 六棱锥、七面体D . 以上答案都不正确16. 正方体1111ABCD A B C D -中，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π，且直线l 与直线1BC 所成角为4π，则满足条件的直线l 的条数为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4三. 解答题17. 在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，矩形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱，如图所示，矩形ABCD 绕AB 顺时针旋转2π至11ABC D ，线段1DD 的中点为M ，求异面直线CM 与AD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等. 在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下右图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面 内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把右图补充完整并写出球的体积公式的证明.19. 在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如下左图所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度，其中小雨（＜10mm）、中雨（10mm~25mm）、大雨（25mm~50mm）、暴雨（50mm~100mm），勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如下右图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由.20. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11C D 与AB 的中点.（1）求11A B 与截面1A ECF 所成角的大小；（2）求点B 到截面1A ECF 的距离.21. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ，异面直线1BC 与1AB 互相垂直.（1）求证：平面1A DC ∥平面11BD C ；（2）已知116AC AB ==，设1CC 到平面11ABB A 的距离为x ，试问x 取何值时， 三棱柱111ABC A B C -的体积最大？并求出最大值.参考答案一. 填空题1. 平行或异面2. 外心3.4. 平行或相交5. 2:36. 207.8.9. 10. 203 11. 3π 12. ①②二. 选择题13. C 14. C 15. A 16. B三. 解答题17. 6 18. 略19.（1dm 2；（2）中雨20.（1）；（221.（1）1A D ∥1D B ，CD ∥11C D ，证明略；（2）2223636V x x =≤+-=，当x =x =时，体积最大为36。

2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共42分）1．（3分）若=（﹣1，）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为．【解答】解：∵=（﹣1，）是直线l的一个法向量，∴可知直线l的一个方向向量为（，1），直线l的倾斜角为α得，tanα=∴α=故答案为：．2．（3分）若=（3，4），则的负向量的单位向量的坐标是．【解答】解：=（3，4），可得=5，则的负向量的单位向量的坐标是：．故答案为：．3．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，则AB=．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=，∴AB==．故答案为：．4．（3分）三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．5．（3分）已知A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，则点P的坐标为．【解答】解：设P（x，y），A（1，2），B（2，3），且点P满足=2，可得（x﹣1，y﹣2）=2（2﹣x，3﹣y），，解得x=，y=，P的坐标：．故答案为：．6．（3分）直线l1：x﹣y+2=0与直线l2：x﹣y+3=0的夹角的大小是．【解答】解法一：由直线l1：x﹣y+2=0，设斜率为k1，夹角为θ1那么：k1==tanθ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为k2，夹角为θ2那么：k2==tanθ2=1设两直线的夹角为θ由tanθ=tan（θ1﹣θ2）=2故θ=．解法二：解：由直线l1：x﹣y+2=0，设夹角为θ1那么：tanθ1=故：θ1=直线l2：x﹣y+3=0，设斜率为θ2，那么：故：θ2=所以：两条直线的夹角为：θ1﹣θ2==．故答案为：．7．（3分）已知点P为直线x+y﹣4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是．【解答】解：∵原点O（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为：，∴直线x+y﹣4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为：．故答案为：：．8．（3分）若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点的坐标是（，﹣）．【解答】解：∵a+2b=1，∴a=1﹣2b，∴（1﹣2b）x+3y+b=0，即（1﹣2x）b+x+3y=0，依题意知，，解得：，故答案为：（，﹣）．9．（3分）若直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：a2x﹣2y+4=0与直线l2：6x﹣3y+a+4=0平行，∴∴a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（3分）已知=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．【解答】解：=（m+4，2m+2）.=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．||=，||==2，∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，解得m=2．故答案为：2．11．（3分）垂直于直线3x﹣4y﹣7=0，且与两坐标轴所构成的三角形的周长为10的直线l的方程为4x+3y±10=0．【解答】解：设要求的直线方程为：4x+3y+m=0，可得与坐标轴的交点，．∴++=10，解得m=±10．故答案为：4x+3y±10=0．12．（3分）设P、Q为△ABC内的两点，且=+，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．【解答】解：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故故答案为：13．（3分）已知O为△ABC的外心，且||=6，||=2，则•的值为﹣16．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴====2﹣18=﹣16．故答案为：﹣16．14．（3分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2+2x+=，有下列命题：①﹣≥0；②﹣＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①因为存在实数x满足关系式x2+2x+=，，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴，∴﹣==≥0，正确；②由①可知：②不正确；③由x2+2x+=，变形为，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，因此③正确；④由③可知：④不正确；⑤由③可知：，∴点B是线段AC的中点．正确．综上可知：只有①③⑤正确．故答案为：①③⑤．二、选择题（每题3分，共12分）15．（3分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，【解答】解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，即，符合题意，故选：D．16．（3分）有命题：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，其中所有正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【解答】解：（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数或相等，不正确；（2）根据代数余子式的意义，可知三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和正确；（3）根据代数余子式与该行的元素值无关，可得如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零，正确．故选：C．17．（3分）在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线（）A．不存在B．有且只有一条C．有多于一条的有限条D．有无穷多条【解答】解：在两坐标轴上截距相等且倾斜角为45°的直线有且只有一条：y=x．故选：B．18．（3分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a﹣5b=3故选：A．三、解答题（共46分）19．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵是，若该线性方程组有无穷多组解，求λ的值．【解答】解：由线性方程组有无穷多组解，得：D=D x=D y=0由，得：λ=1或λ=2当λ=2时，D x≠0，D y≠0，不合题意当λ=1时，D=D x=D y=0，符合题意故：λ=1．20．（8分）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB的倾斜角α的取值范围为．21．（10分）如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，﹣1），∠B的内角平分线方程是x﹣4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y﹣59=0．求顶点B的坐标和直线BC 的方程．【解答】解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x﹣4y+10=0得a﹣4b+10=0，①…（2分）又AB中点（）在过点C的中线上，6×（）+10×=59，②由①②可得a=10，b=5，∴B点坐标为（10，5）…（5分）则直线AB的斜率K AB==又∠B的内角平分线的斜率k=…（6分）所以得⇒=解得K BC=﹣…（10分）∴直线BC的方程为y﹣5=﹣（x﹣10）⇒2x+9y﹣65=0综上，所求点B的坐标为（10，5），直线BC的方程为2x+9y﹣65=0…（12分）22．（10分）已知、是两个不共线的非零向量，（1）设=，=t（t∈R），=（+），当A，B，C三点共线时，求t的值；（2）如图，若=，=，、的夹角为120°，且||=||=1，点P是以O 为圆心的圆弧上的一个动点，设=x+2y（x，y∈R），求x+y的最大值．【解答】解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设，（2分）∵，（t∈R），，∴，，∴=∴k=﹣3，t=．（6分）（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（﹣，）．设∠POD=α（0≤α），则P（cosα，sinα），由，得cosα=x﹣y，sinα=，于是y=，x=cosα+，（10分）于是x+y=cosα+=2sin（α+），故当α=时，x+y的最大值为2．（14分）23．（10分）对于一个向量组，，，…，（n≥3，n∈N*），令=+++…+，如果存在（p∈N*），使得||≥|﹣|，那么称是该向量组的“长向量”（1）若是向量组，，的“长向量”，且=（n，x+n），求实数x的取值范围；（2）已知，，均是向量组，，的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．【解答】解：（1）由题意，得：，且；∴；∴解得：﹣2≤x≤0；∴实数x的取值范围为[﹣2，0]；（2）由题意，得：，，即；即，同理，；三式相加并化简，得：；即，；∴．。

2022-2023学年上海市位育中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面【答案】B【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B 项.【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.2．下列命题正确的个数是（ ）①若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 共面；③若a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，则a ，b ，c 共面；④若a ，b 不共面，b ，c 不共面，则a ，c 不共面；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【分析】以正方体棱上的a ，b ，c 为例，逐个判断即可求解【详解】以正方体棱上的a ，b ，c 为例说明：对于①②：如图：11111,,,A B a B C b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，而显然a ，c 异面，故a ，b ，c 不共面；所以①②都错误；对于③：如图：111,,,A A a B B b C C c ===a ，b 共面，b ，c 共面，c ，a 共面，而a ，b ，c 不共面，故③错误；对于④：如图：111,,,A B a C C b AB c ===a ，b 不共面，b ，c 不共面，而a ，c 共面，故④错误；综上，正确的个数为0故选：A3．在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.【详解】当直线在AB 位置时，与其异面直线有111111,,,CC DD B C A D ，共4条，当直线在EF 位置时，除1111,,,AB BB A B AA 外，其他8条直线均与其异面，当直线在GH 位置时，GH AB ∕∕，与其异面直线有111111,,,,,CC DD B C A D BC AD ,共6条，当直线在AH 位置时，与其异面直线有11111111,,,,,,CC DD B C A D BC C D DC ，共7条，所以不可能是5条，故选：D4．a 、b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（ ）①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒；④直线AB 与a 所成角的最小值为60︒．A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③【答案】A【分析】根据异面直线夹角的求解方法，结合题意，求解即可.【详解】对①②：以底面圆圆心为C ，高为AC 作圆锥，过C 作圆的直径，交圆于,M N ， 连接,,,AM AN BN MB ，如下所示：记直线,BN BM 分别为,a b ，不失一般性，直线,AB a 所成夹角为60︒，故60ABN ∠=︒，则直线AB 与b 所成夹角为ABM ∠，设底面圆半径为r ，根据题意可得2AN AB r ==，△ABN 为等边三角形，故2BN r =； 在△MNB 中，因为BN BM ⊥，2MN r =，故222BM MN BN r -，又△AMB 中，2AM AB r ==，故△ABM 为等边三角形，故60ABM ∠=︒，即直线,AB b 所成夹角为60︒，故①错误，②正确；对③④：当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 重合或平行时，直线a 与AB 所成夹角为45︒； 当直线a 与AB 在底面圆中的投影BC 垂直时，显然直线AB 与a 所成夹角为90︒；当直线a 不与底面圆中的投影BC 重合，也不平行时，记下图所示直线BN 为a ，过C 作CH BN ⊥，垂足为H ，连接AH .根据题意可得45ABC ∠=︒，则在△ABC 中cos 45BC AB︒=， 又在直角三角形BCH 中，cos BH CBH BC ∠=； 又AC ⊥面,BCN BH ⊂面BCN ，故BH AC ⊥，又BH CH ⊥，,,CH AC C CH AC ⋂=⊂面ACH ， 故BH ⊥面ACH ，又AH ⊂面ACH ，故BH AH ⊥，则在△ABH 中，直线a 与AB 所成角ABH ∠满足cos BH ABH AB∠=， 故cos cos45cos ABH CBH ∠=︒⨯∠，又()cos 0,1CBH ∠∈故cos cos45ABH ∠<︒，即45ABH ∠>︒；综上所述，直线AB 与a 所成角的最小值为45︒，故③正确，④错误.故选：A.二、填空题5．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的取值范围是___________. 【答案】(0,)2π 【分析】根据平面的一条斜线的定义和线面角的定义即可求解. 【详解】由线面角的定义可知，线与面的夹角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线与平面所成角θ的取值范围是(0,)2π. 故答案为：(0,)2π. 6．设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为___________.【答案】45°或135°##135°或45°【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°.7．从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面．【答案】6【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可.【详解】设这四条直线分别为a ，b ，c ，d ，则有a 与b ，a 与c ，a 与d ，b 与c ，b 与d ，c 与d ，共6种情况，故答案为：68．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.【答案】④【分析】根据平面的公理及推论进行判断得解【详解】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对；⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对． 故答案为：④．9．设a b 、为平面M 外的两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的___________条件（填：充分非必要､必要非充分､充要､既非充分也非必要）【答案】充分非必要【分析】判断由//a b 能否得到//b M ，再判断由//b M 能否得到//a b 即可．【详解】充分性：若//a b ，结合 // a M ，且b 在平面M 外，可得//b M ，是充分条件；必要性：若//b M ，结合 // a M ，且a ，b 是平面M 外，则a ，b 可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故//a b 是//b M 的充分非必要条件．故填：充分非必要.10．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC 的直观图是111A B C △，则111A B C △的重心1G 到底边11A B 的距离是___________ 【答案】612 【分析】画出正三角形△ABC 的直观图111A B C △，根据重心分中线的比为2:1来计算重心1G 到底边11A B 的距离【详解】如图为正三角形△ABC 的直观图111A B C △，1G F 为重心1G 到底边11A B 的距离则113132222O C =⨯⨯=， 因为1G 为111A B C △的重心，11111336O G O C ∴==， 111326sin 456212G F O G ∴==⨯=. 故答案为：612.11．已知直线a 、b 是正方体上两条面对角线所在的直线，且a 、b 是异面直线，则直线a 、b 所成的角的大小为_____．【答案】60︒或90︒【分析】如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C ，根据平行性与正方体性质即可求解．【详解】正方体1111ABCD A B C D -共有12条面对角线，如图所示：不防设1AD 为直线a ，与1AD 异面的面对角线有11111,,,,A B C D BD AC B C因为1111111111//,//,//,//,//A B D C C D AB BD B D AC AC B C A D而且1AD 与1111,,,D C AB B D AC 的夹角均为60︒，与1A D 的夹角均为90︒．所以当b 为11111,,,,A B C D BD AC B C 其中一条直线时，直线a 、b 所成的角的大小为60︒或90︒．故答案为：60︒或90︒．12．在四面体PABC 中，二面角PAB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，则点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的______心．【答案】内心【分析】根据三个二面角相等得到点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，即可得到点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.【详解】因为二面角P AB C 、P BC A --、P CA B --的大小相等，所以顶点P 在底面ABC 的投影到三角形ABC 三边的距离相等，所以点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的内心.故答案为：内心.13．在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角分别为1α，2α，3α，与平面ABCD ,平面11ABB A ，平面11ADD A 所成的角分别为1β，2β，3β，则下列说法中正确的是_______．①222123sin sin sin 1ααα++=；②222123sin sin sin 2ααα++=；③222123cos cos cos 1ααα++=；④222123sin sin sin 1βββ++=【答案】②③④【分析】分别求出角1α，2α，3α的正弦值和余弦值，求出1β，2β，3β的正弦值，结合所给结论可得答案.【详解】设1,,AB a AD b AA c ===，则2221AC a b c连接1BC ，221BC b c =+，由长方体性质可知，1AB BC ⊥，所以11C AB =∠α，所以22112221sin BC b c AC a b cα+==++，2221222sin b c a b c α+=++， 同理可得2222222sin a c a b c α+=++，2223222sin a b a b c α+=++； 所以222222222123222sin sin sin 2b c a c a b a b c ααα+++++++==++， 222222123123cos cos cos 1sin 1sin 1sin 321αααααα++=-+-+-=-=；所以②③正确，①错误.连接AC ，由长方体的性质可得1C AC ∠为1AC 与平面ABCD 所成角，即11C AC =∠β；112221sin CC c AC a b c β==++，221222sin c a b c β=++， 同理可得222222sin b a b c β=++，223222sin a a b c β=++； 所以222222123222sin sin sin 1c b a a b c βββ++++==++， 所以④正确.故答案为：②③④14．已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别为AB 、AD 的中点，PC ⊥平面ABCD ，且2PC =，则直线BD 到平面PEF 的距离为______．21121111【分析】根据BD //面PEF ，转化为求解点D 到面PEF 的距离，再用等体积法求解即可.【详解】根据题意，作四棱锥P ABCD -，连接,,,,,,PE PF EF BD CF CE DE 如下所示：在△ABD 中，因为,E F 分别为,AB AD 的中点，故BD //EF ，又BD ⊄面,PEF EF ⊂面PEF ， 故BD //面PEF ，则直线EF 到面PEF 的距离即为点D 到面PEF 的距离，设其为h ， 由题可得2225CF CD DF +PC ⊥面,ABCD CF ⊂面ABCD ，故PC CF ⊥，则 2242026PF PC CF ++6PE =1222EF BD == 故221122242211222PEF EF S EF PF ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭； 又1122222DEF S DF AE =⨯=⨯⨯=，点P 到面DEF 的距离为2PA =， 由D PEF P DEF V V --=，即1133PEF DEF S h S PA ⨯⨯=⨯⨯，也即21122h =⨯可得211h =， 则直线BD 到面PEF 的距离为1111. 21115．在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，P 在平面α、β内的射影A 、B 分别落在半平面αβ内，且P A ＝3，PB ＝4，则P 到l 的距离为________．239【分析】P 在平面αβ、内的射影AB 、分别落在半平面,αβ内，且3,4,PA PB ==我们易求出 AB 的长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到P 到l 的距离即为PAB 的外接圆直径，利用正弦定理，求出圆的直径即可得到答案 .【详解】解：如图，平面PAB 交l 于D ,则,,PA l PB l PA PB P l ⊥⊥⋂=⇒⊥平面 P AB ，则,l AD l BD ADB ⊥⊥⇒∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，∵在120°的二面角α﹣l ﹣β内有一点P ，∴120,60ADB APB ︒∠=∠=︒,,,,A P B D 四点共圆.又∵P A ＝3，PB ＝4，∴AB 222cos PA PB PA PB APE +-⋅⋅∠13因为PA ⊥平面α，则,PA l ⊥同理PB l ⊥，PB PA P =，所以l ⊥平面P AB ，又PD ⊂平面PAB ，所以PD l ⊥P 到l 的距离为PD ，即为PAB 的外接圆直径，由正弦定理得2R ＝sin AB APB ∠＝1332＝2393， 故答案为：2393．16．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832⨯=个，故答案为：32三、双空题17．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的所有棱长都为2,,A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥．（1）点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为__；（2）正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为__．【答案】 21##122【分析】如图所示，F 是AD 中点，连接,OF EF ，计算2EF 21OE OF FE ≤+=，得到距离的最值，确定A 与O 重合时面积最大，计算得到答案.【详解】如图所示：F 是AD 中点，连接,OF EF ，l ⊥平面α，OD ⊂平面α，故OA OD ⊥，112OF AD ==， 111222FE AD AB AC =-++，故2214FE AD AB AC =-- ()222122224AD AB AC AD AB AD AC AB AC =++-⋅-⋅+⋅=，故2EF =21OE OF FE ≤+=，当,,O E F 三点共线时等号成立.点O 到棱BC 中点E 21.BC l ⊥，故正四面体ABCD 在平面α上的射影为ABC 和DBC △在平面α的投影之和.即当AD 的投影最长时面积最大，即A 与O 重合时面积最大，此时12222S =⨯⨯=. 21；2四、解答题18．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA 、AC 、11A C 、1BB 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)判断直线FG 与平面BCD 是否相交．若相交，在图中画出交点P （保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)相交，交点见详解．【分析】（1）由等腰三角形性质得AC BE ⊥，由线面垂直性质得1AC CC ⊥,由三棱柱性质可得1//EF CC ，因此EF AC ⊥，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）因为//,BG FH BG FH ≠，则可判断直线FG 与平面BCD 相交，交点如图所示．【详解】（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵CC 1⊥平面ABC ，∴四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，∴AC ⊥EF ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点，．∴AC ⊥BE ，而BE EF B =，BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴AC ⊥平面BEF ．（2）直线FG 与平面BCD 相交．19．（1）用中文表述两个平面平行的判定定理，并用数学符号写成“已知．．．，求证．．．”的形式后加以证明；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面11//AB D 平面1C DB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据面面平行的判定定理写出中文表述，及数学符号表述，同时用反证法证明即可； （2）根据长方体的性质推出11AB DC ∥，11AD BC ∥，然后利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，已知a β⊂，b β⊂，a b P =，a α，b α，求证αβ∥，假设l αβ=，∵a α，a β⊂，∴a l ∥，同理可得b l ∥，∴a b ，这与a b P =矛盾，所以，假设不成立，因此αβ∥.(2)∵1111ABCD A B C D -为长方体，∴11AB D C ∥，11AB D C =，11AD B C ∥，11AD B C =，∴四边形11ABC D ，11AB C D 为平行四边形，11AB DC ∥，11AD BC ∥，∵1AB ⊄平面1C DB ，1AD ⊄平面1C DB ，1DC ⊂平面1C DB ，1BC ⊂平面1C DB ，∴1AB ∥平面1C DB ，1AD ∥平面1C DB ，∵1AB ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，11AB AD A ⋂=，∴平面11AB D ∥平面1C DB .20．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）.凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm ，2三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2∶3，确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）【答案】（1）0.63；（2）对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .【分析】（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ，根据OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，建立BH 与OH 的等量关系，解之即可；（2）设120B ∠=︒，ABC ∆的重心为H ，求出OH ，分别在Rt AHO ，Rt CHO △，Rt BHO 中求出OA 、OB 、OC ，再根据比例关系求出所求即可【详解】解：（1）设ABC 的重心为H ，连接OH ， 由题意可得，2033BH =， 设细钢管上下两段之比为λ， 已知凳子高度为30、则301OH λλ=+， 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 OBH ∴∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=︒，BH OH =，∴3020313λλ=+， 解得230.63923λ=≈-， 即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63；（2）设120B ∠=︒，24AB BC ∴==，243AC =设ABC 的重心为H ，则8,87BH AH ==，由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =，设过点A 、B 、C 的细钢管分别为AA '、BB '、CC '，则2255103760.822AA CC OA OH AH ''===+=≈， 2255101336.122BB OB OH BH '==+=≈， ∴对应于A 、B 、C 三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm .21．已知四面体-P ABC （如图1)的平面展开图（如图2)中，四边形ABCD 2ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在四面体-P ABC 中：(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角A PC B --的余弦值；(3)在图1中作出直线CA 与平面ABP 的所成角，并求出直线CA 与平面ABP 的所成角的大小．【答案】(1)答案见解析 3(3)答案见解析【分析】对于（1），取AC 中点为O ，证明PO 垂直于平面ABC 即可.对于（2），建立以O 为坐标原点的坐标系，利用向量方法计算即可.对于（3），取PB 中点为D ，则CAD ∠为CA 与平面ABP 的所成角，后利用余弦定理求CDA ∠即可.【详解】（1）取AC 中点为O ，连接BO ，PO .如下图所示.由题意P A =PB =PC 2OP =OA =OB =OC =1.∵在PAC △中，P A =PC ，O 为AC 中点∴PO ⊥AC∵在POB 中，PO =1，OB =1，PB 2∴PO ⊥OB∵AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC∴PO ⊥平面ABC又∵PO ⊂平面ABC∴平面P AC ⊥平面ABC（2）由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，故建立以O 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系.则由题可得()()()()000100010100,,，,,，,,，,,，O C B A -()0,0,1P . 注意到OB ⊥平面APC ，则平面APC 的法向量可取OB =()0,1,0.由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =.则0000BC n x y x z PC n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，取111，，x y z ===，则()1,1,1n = 故1333cos ,n OBn OB n OB ⋅===⋅. 又由图可知，二面角A PC B --的平面角为锐角，则二面角A PC B --的余弦值为33.（3）如图取PB 中点为D ，连接CD ，AD .由图2可得PBC ，PBA △为等边三角形，则CD ⊥PB ，AD ⊥PB ，又CD ，AD ⊂平面ACD ，CD ∩AD =D ，则PB ⊥平面ACD.又由题可得62CD AD AC ===， 由余弦定理有664440662cos CDA +-∠=<⨯⨯，则CDA 为钝角三角形， 故在AD 延长线上可找到点E ，使CE ⊥AD.因，E AD C ∈∈平面ACD ，则CE ⊂平面ACD ，又PB ⊥平面ACD ， 得CE ⊥PB .又AD ，PB ⊂平面APB ，AD ∩PB =D ，故CE ⊥平面ABP .即直线CA与平面ABP的所成角为CAD∠.由余弦定理有66464436222cos CAD+-∠==⨯⨯，故直线CA与平面ABP的所成角的大小为6 arccos3【点睛】关键点点睛：本题涉及证明面面垂直，面面角的向量求法，和用几何法做出线面角.（1）（2）问较为基础，（3）问关键为找到一过C点直线，并使其与平面APB垂直.。

位育中学2014学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．已知矩阵2591A -⎛⎫=⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．2．下列关于算法的说法，正确的序号是_______________． (1) 一个问题的算法是唯一的； (2) 算法的操作步骤是有限的；(3) 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义； (4) 算法执行后一定产生确定的结果．3．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______________．4．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________．5．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则OD u u u r=_______________． 6．已知直线l 的倾斜角是直线y =2x +3倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_______________． 7．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =_______________．8．已知(2,1),(,1)a b λ=--=r r ，若a ρ与b r夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________．9．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为_______________．10．直线ax +by =ab (a >0,b <0)不经过第_______________象限．11．点(a ,b )在直线x +2y -1=0上，则a 2+b 2的最小值为_______________．12．已知向量33(cos ,sin )22x x a =r ，(cos ,sin )22x xb =-r ，[0,]x π∈，则a b +r r的取值范围为_______________．13．如图，平面内有三个向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r ，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120︒，OA u u u r与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==u u u r u u u r ，||23OC =u u u r(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则(x ,y )=___________．14．设 a b c r r r，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题： ①方程20ax bx c ++=r rr r 不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=r r r r 有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥r r r；③方程22220a x a bx b +⋅+=r r r r 有唯一的实数解b x a=-rr ；④方程22220a x a bx b +⋅+=rr r r 没有实数解．其中真命题有_______________．(写出所有真命题的序号)CB A O二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ）A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB -AC 16．下列命题中，正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rB ．若//a b r r，则222()a b a b ⋅=⋅r r r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若//a b r r ，则存在实数k ，使b ka =r r17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18．O 是∆ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中P 为平面上任意一点），则点O 是∆ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13mP m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．21．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6y开始 输入A ←x 0结束A =-1 打印A A ←(4A -2)/(A +1)Yes No分．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,3)，且AM t AB =u u u u r u u u r（t∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．(1) 直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；(2) 过点P (1,2)作直线l 交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，求使PA PB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，直线l 的方程．23．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知向量(,)u x y =r 与向量(,)v x y x y =-+r 的对应关系用()v f u =r r表示．(1) 证明：对于任意向量a r 、b r及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r ；(2) 证明：对于任意向量a r，|()|2||f a a =r r ；(3) 证明：对于任意向量a r 、b r ，若a b ⊥r r，则()()f a f b ⊥r r ．参考答案及评分标准2014-11-14一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．025131-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2．(2),(3),(4) 3．-14 4．(cos θ,sin θ)5．a c b +-r r r6．43-7．38．1(,2)(2,)2-⋃+∞9．3210．四 11．1512．[0,2] 13．(4,2)14．①, ④二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．C16．B17．D18．C三、解答题（本大题满分46分） 19．（本题满分8分） 解：(1) 11119a =，215a =，31a =-． 3分 (2) 由1421n n n n a a a a +-==+,得x 0=1,或x 0=2． 8分20．（本题满分8分）解：(1) 由PQ =M +N ，得1323mx y mx my m +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，方程组为1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； 3分(2) 1(3)3m D m m m m==-+-，11(3)23x D m m m -==-++- ,12(3)323y m D m m m m -==++5分1︒当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；2︒当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；3︒当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R )．8分解：(1) (6,3)AB =u u u r ，(6,3)AM t AB t t ==u u u u r u u u r，(3,3)AC =-u u u r ，(63,33)CM AM AC t t =-=-+u u u u r u u u u r u u u r，∵CM AB ⊥u u u u r u u u r ，∴4590CM AB t ⋅=-=u u u u r u u u r ，∴15t =；4分(2) 点M 在线段AB 上，AC 的斜率k 1=-1，AB 的斜率k 2=2， ∴k ≤-1,或k ≥2，8分 3[arctan 2,]4πθ∈． 10分(2) 另解：当12t =时，CM 的斜率不存在； 当12t ≠时，CM 的斜率311221221t k t t +==+--在区间1[0,)2和1(,1]2单调递减，7分 ∴k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈． 10分22．（本题满分10分）解：(1) 对任意的实数k ，(3,1)是直线方程y -1=k (x -3)的解，∴定点坐标为(3,1)； 4分(2) 直线l 的斜率存在，设l :y -2=k (x -1)，则2(1,0)A k-,B (2-k ,0)，由21020k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩，的k <0， 6分(1,)PA k =--u u u r ，2(,2)PB k=--u u u r ，2122()4PA PB k k k k⋅=+=--+≤--u u u r u u u r ，8分当且仅当1k k-=-,即k =-1时，max ()4PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， 此时，直线l 的方程为y -2=-(x -1)，即x +y -3=0．10分证：(1) 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++r r∵12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++r r11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+r r11221122(,)mx my nx ny mx my nx ny =-+-+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r；4分(2) ∵22222221111111111|()||(,)|()()2()2||f a x y x y x y x y x y a =-+=-++=+=r r∴|()||f a a =r r；7分(3) 由a b ⊥r r ，得0a b ⋅=r r，由(1),(2)结论可得222222222|()()||()|2||2(2)2||2|||()||()|f a f b f a b a b a a b b a b f a f b +=+=+=+⋅+=+=+r r r r r r r r r r r r rr∴()()0f a f b ⋅=r r ，()()f a f b ⊥r r ． 10分。

上海高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角 为__ ____．(用弧度制表示)7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈， 定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a bb bc c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】 (A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ； (2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=， 当P 变化时，求||OT 的取值范围．x参考答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33.. 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15. B 16. B 17.18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。

2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知=（x，3），=（3，1），且∥，则x=．2．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．3．（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=．4．（3分）已知矩阵A=，B=，则AB=．5．（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），则直线AB的点方向式方程是．6．（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为．（结果用反三角函数值表示）7．（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为．8．（3分）与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是．9．（3分）若直线l：y=kx﹣与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是．10．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则•=．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是．12．（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A．0•=0 B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R）C．||=||D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R）14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程15．（4分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．216．（4分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况．18．（8分）已知圆O：x2+y2=5．（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程；（2）求与圆O外切点（﹣1，2），且半径为2的圆方程．19．（10分）已知||=，||=1，与的夹角为45°．（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为A′．（1）若折痕的斜率为﹣1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A′的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当﹣2+≤k≤0时，求折痕长的最大值．21．（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知=（x，3），=（3，1），且∥，则x=9．【解答】解：∵=（x，3），=（3，1），且∥，∴，解得x=9．故答案为：9．2．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，∴﹣=10，∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，∴k=6．故答案为：6．3．（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，∴，解得m=﹣2，n=﹣2，∴m+n=﹣4．故答案为：﹣4．4．（3分）已知矩阵A=，B=，则AB=．【解答】解：∵矩阵A=，B=，∴AB==．故答案为：．5．（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），则直线AB的点方向式方程是=．【解答】解：直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），∴=（﹣3，2），∴经过A、B两点的直线点方向式方程为：=．故答案为：=．6．（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos ．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．故答案为：arccos．7．（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．【解答】解：作出实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（3，4）处取最大值为z=2×3+4=10．故答案为：10．8．（3分）与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．【解答】解：与直线2x+3y+5=0平行的直线方程设为：2x+3y+b=0，因为与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于，所以，解得b=18或﹣8，所求直线方程为：2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．故答案为：2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．9．（3分）若直线l：y=kx﹣与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，且，解得：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．故答案为：．10．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则•=﹣10．【解答】解：在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，可得=，=，则•====﹣10．故答案为：﹣10．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=2．【解答】解：圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣2m﹣1=0的距离：d==∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．12．（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，）max==4．∴（S△PAC故答案为：4．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A．0•=0 B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R）C．||=||D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R）【解答】解：A.0•=，故A错误，B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R），故B正确，C．||=||，故C正确，D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R），故D正确，故错误的是A，故选：A．14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选：C．15．（4分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选：B．16．（4分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0），给出如下结论：①a=0时，两条直线分别化为：y=﹣1，x=﹣1，此时两条直线互相垂直；a≠0时，两条直线斜率分别为：a，﹣，满足=﹣1，此时两条直线互相垂直；因此不论a为何值时，l1与l2都互相垂直，正确；②当a变化时，代入验证可得：l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0），正确；③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l1与l2关于直线x+y=0不一定对称，不正确；④如果l1与l2交于点M，由③可知：|MA|2+|MB|2=2，∴2≥2|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|的最大值是1，正确．其中，所有正确结论的个数是3．故选：C．三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况．【解答】解：根据题意，方程mx+2y=2对应直线mx+2y=2，方程3x+（m﹣1）y=2m+1对应直线3x+（m﹣1）y=2m+1，分析可得：当m≠﹣2且m≠3时，两直线相交，只有一个交点，则方程组有唯一解；当m=3时，两直线平行，没有交点，当m=﹣2时，两直线重合，由无数个交点，方程组有无穷多解；综合可得：当m≠﹣2且m≠3时，方程组有唯一解；当m=3时，方程组无解；当m=﹣2时，方程组有无穷多解；18．（8分）已知圆O：x2+y2=5．（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程；（2）求与圆O外切点（﹣1，2），且半径为2的圆方程．【解答】解：（1）圆心坐标为（0，0），半径R=，则圆心到直线的距离d=，∵AB=2时，∴R2=d2+（）2，即5=+2，即=3，则4a2=3+3a2，则a2=3，则a=或a=﹣，即直线方程为x+y+2=0或﹣x+y﹣2=0；（2）解：设所求圆的圆心为C（a，b），∵切点P（﹣1，2）与两圆的圆心O、C三点共线，∴==，又|PC|=2，∴由（a+1）2，+（b﹣2）2=（2）2，得a=﹣3，b=6，∴所求圆的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=20．19．（10分）已知||=，||=1，与的夹角为45°．（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）在方向上的投影为||cos45°=×=1；（2）•=×1×=1，|+2|2=2+4•+42=2+4+4=10，则|+2|=；（3）向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线，即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•＞0，即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6，由（2﹣λ）与（λ﹣3）共线，可得2•（﹣3）=﹣λ•λ，解得λ=±，则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为A′．（1）若折痕的斜率为﹣1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A′的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当﹣2+≤k≤0时，求折痕长的最大值．【解答】解：（1）折痕斜率为﹣1时，∵A点落在线段DC上，∴折痕必经过点D（0，1），∴折痕所在的直线方程为y=﹣x+1．（2）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为A′（a，1），∴A与A′关于折痕所在的直线对称，有k OA′•k=﹣1⇒，解得a=﹣k．故A′点坐标为A′（﹣k，1），从而折痕所在的直线与OA′的交点坐标（线段OA′的中点）为M（﹣，）折痕所在的直线方程y﹣=k（x+），即y=kx+k2+由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx+k2+．（3）当k=0时，折痕长为2．当﹣2+≤k≤0时，折痕所在直线交BC于（2，2k+），交y轴于Q（0，）．∴|PQ|2=22+（2k+）=4+4k2≤4+4（﹣2+）2=32﹣16=4（8﹣4）=4（﹣）2，∴|PQ|≤2（﹣）＞2．∴折痕长的最大值为2（﹣）21．（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=±，即有所求直线为y=±（x﹣2）；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直分别关于相应两圆的距离比始终相等．。