冲刺2020高考高三理科数学一轮单元卷：第二十七单元 选修4-5 不等式选讲(选用) B卷

选修4 — 5 不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法；2,绝对值三角不等式突破点(一)绝对值不等式的解法抓牢双基自学区［基本知识］(2)|ax+ b|w c, |ax + b|> c(c>0)型不等式的解法①|ax+ b|w c? —c w ax+ b w c;②|ax+ b|> c? ax+ b》c 或ax+ b w—c.⑶|x —a|+ |x—b|> c, |x—a|+ |x—b|w c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解.②利用零点分段法求解.③构造函数，利用函数的图象求解.［基本能力］1. 判断题(1) 不等式|x|va的解集为｛x|—avxva｝.( )⑵|x —a|+ |x—b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a, b的距离之和.()(3)不等式|2x —3|w 5 的解集为｛x| —1w x w 4｝.( )答案：⑴X (2)V (3) V2. 填空题(1)若不等式|kx—4|w 2的解集为｛x|1w x w 3｝，则实数k= __________ .选修4 — 5 不等式选讲解析：由|kx —4|w 2? 2 w kx w 6.•••不等式的解集为{X|1W x w 3},.・.k = 2.答案：2⑵不等式|2x —1|>3的解集为________ .解析：由|2x —1|>3得，2x —1<—3 或2x—1>3，即x<—1 或x>2.答案：{x|x< —1 或x>2}5 1⑶若关于x的不等式|ax—2|<3的解集为‘X ― 3<x<3人贝卩a = ___________ .解析：依题意，知0.|ax—2|<3? —3<ax—2<3? —1<ax<5，当a>0时，不等式的解—1 5I a，a /5=1,a 3，从而有此方程组无解.—!_ —5—a_—3，当a<0时，不等式的解集为5，—1,5 5,5一5，从而有解得a=—3.I —1=1a 3，答案：—3⑷不等式|x+ 1|—|x—2|> 1的解集是________ .—3, x w —1, 解析：f(x)=|x+ 1| —|x —2|= 2x —1,—1<x<2,3, x>2.当—1<x<2 时，由2x—1 > 1,解得1w x<2.又当x> 2时，f(x) = 3>1恒成立.所以不等式的解集为{x|x> 1}.答案：{x|x > 1}集为研透高考・讲练区［典例］解下列不等式：(1) |2x+ 1|—2|x - 1|>0.x ,(2) |x + 3| —|2x—1|<2+ 1［解］(1)法一：原不等式可化为|2x+ 1|>2|x —1|,两边平方得4x2+ 4x+ 1>4(x2—2x + 1),1 1解得x>-,所以原不等式的解集为c x|x>1:4L 4,x<—2，法二：原不等式等价于2—2x+ 1 + 2 x—1 >0—2三x w 1, x>1,或或2x + 1 + 2 x —1 >0 2x+ 1 —2 x—1 >0.1 J 11解得X〉1，所以原不等式的解集为c x|x>4 r⑵①当x< —3时，原不等式化为一(x + 3) —(1 —2x)v：+ 1,解得XV1O,.・.x< —3.1 x2 2②当一3w xv；时，原不等式化为(x + 3) —(1 —2x)<x+ 1，解得xv —-,A—3w x< —-.2 2 5 5③当x>1时，原不等式化为(x + 3) + (1 —2x)<x+ 1,解得x>2 ,••• x>2.f r !综上可知，原不等式的解集为x|xv—2■或X>2：［方法技巧］绝对值不等式的常用解法(1) 基本性质法对 a € R +, |x|va? —a<x<a,|x|>a? xv —a 或x>a.(2) 平方法两边平方去掉绝对值符号.(3) 零点分区间法化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.［全练题点］1.求不等式|x — 1|— |x — 5|<2的解集.解：不等式|X —1| —|x — 5|V2等价于x>5,{x|x<4}.2•解不等式 x + |2x + 3|> 2.解：原不等式可化为 2 或x --—x — 3> 23x + 3 > 2. 1解得x w — 5或x > — 3.x<1 , 1 w x w 5, x>5,即或或故原不等式的解集—4<22x<84<2,{x|x<1} U {x|1 w x<4} U ?=或x<1,—x — 1 + x — 5 <211 w x w 5, 或 |x — 1 + x — 5<2x — 1 — x — 5 <2, x< — 3,所以原不等式的解集是 ix|x w — 5 或 x >—L3丿3.已知函数 f(x)= |x — 1|+ |x + a|, g(x)= |x — 2|+ 1.⑴当a = 2时，解不等式f(x)> 5;⑵若对任意x i € R ，都存在X 2 € R ，使得g(X 2)= f(x i )成立，求实数a 的取值范围. —2x — 1, x w — 2,f(x) = |x — 1| + |x + 2| =3, — 2<x<1,2x + 1, x > 1,解：(1)当a = 2时， x < — 2,$ 或 、一2x — 1 > 5—2<x<1,x > 1, 或 2x + 1> 5.解得x> 2或X W—3,.・.不等式f（x）》5的解集为（一8,—3]U [2 ,+^）.(2)•••对任意x i€ R，都存在X2^ R，使得g(X2)= f(x i)成立，二{y|y= f(x)}? {y|y= g(x)}.•••f(x)= |x—1|+ |x+ a|> |(x—1) —(x+ a)| = |a + 1|(当且仅当(x—1)(x+ a)< 0 时等号成立), g(x)= |x—2|+ 1 > 1,「.|a+ 1|> 1,:a + 1 > 1 或a + 1W —1,•'a > 0 或a < —2 ,•••实数a 的取值范围为(一^，― 2] U [0 ,+^).4. (2018湖北黄石调研)已知函数f(x)=|x—1|+ |x+ 3|.(1) 解不等式f(x) > 8;⑵若不等式f(x)<a2—3a的解集不是空集，求实数a的取值范围.r —2x—2, x<3,解：(1)f(x)=|x —1|+ |x+ 3|= 4, —3< x< 1,2x+ 2, x>1.当x< —3 时，由一2x —2>8,解得x< —5;当一3< x< 1时，4 > 8，不成立；当x>1时，由2x+ 2>8,解得x>3.•不等式f(x) > 8的解集为{x|x< —5或x> 3}.一 2 2 一(2) 由⑴得f(x)min= 4.又•••不等式f(x)<a —3a的解集不是空集，• a —3a>4，解得a>4或a<—1,即实数a的取值范围是(一a,—1) U (4 ,+8).突破点（二）绝对值三角不等式抓牢双基，自学区[基本知识]绝对值三角不等式定理［基本能力］1. 判断题(1) |a + b|+ |a — b|> |2a|.()(2) 不等式|a — b|w |a|+ |b|等号成立的条件是 ab < 0.( )答案：⑴“⑵V2. 填空题(1)函数y =|x — 4|+ |x + 4|的最小值为 _________ . 解析：'/|x — 4|+ |x + 4|> |(x — 4) — (x + 4)| = 8, 即函数y 的最小值为8. 答案：8⑵设a , b 为满足ab<0的实数，那么下列正确的是 ____________ . ① |a + b|>|a — b|② |a + b|<|a — b|③ |a — b|<||a| — |b|| ④ |a — b|v|a|+ |b| 解析：TabvO ,••|a — b|= |a|+ |b|>|a + b|. 答案：②⑶若存在实数x 使|x — a|+ |x — 1|w 3成立，则实数a 的取值范围是 __________ 解析：v|x — a|+ |x — 1|> |(x — a)— (x —1)| = |a — 1|, 要使 |x — a|+ |x — 1|w 3 有解，可使 |a — 1|< 3, —3w a — 1w 3,「・一2w a w 4. 答案：［—2,4］研透高考■讲练区1 1［例 1］ 已知 x , y € R ，且 |x + y|w 6，|x— y |w4，求证：|x + 5y|w 1.［证明］•••|x + 5y|= |3(x + y)— 2(x — y)|. •••由绝对值不等式的性质，得|x + 5y| = |3(x + y) — 2(x -y)| < |3(x + y)| + |2(x - y)| 1 1=3|x + y|+ 2|x — y|w 3X + 2X = 1.6 4 即 |x + 5y|w 1. ［方法技巧］证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. ⑵利用三角不等式||a|— |b||w |a±)|w |a|+ |b|进行证明. (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.［例2］ (2018湖南五市十校联考)设函数f(x) = |x — a|+ |x — 3|, a<3.19(1)若不等式f(x) > 4的解集为x| x w 2或x> 2 #，求a 的值；⑵若对？ x € R ，不等式f(x) + |x — 3|> 1恒成立，求实数 a 的取值范围.—2x + a + 3, x<a ,［解］(1)法一：由已知得 f(x)= 3 — a , a w x w 3,2x — a — 3, x>3, a — 1当 x<a 时，一2x + a + 3》4,得 x w ;7 + a 当 x>3 时，2x — a — 3》4，得 x 》~^. 19已知f(x)》4的解集为x| x w 2或x 》2 :则显然a = 2.法~:由已知易得f(x)=|x — a|+ |x — 3|的图象关于直线(2)法一:不等式f(x) + |x — 3|》1恒成立，即|x — a|+ 2|x — 3|》1恒成立. 一5当x w a 时，一3x + a + 5》0恒成立，得一3a + a + 5》0，解得a w 当a<x<3时，—x — a + 5》0恒成立，得—3— a + 5》0,解得a w 2;a + 3x =—厂对称，又f(x) > 4的解集为 x| x w 2或X 》2 :则 2 + 2= a + 3, 即 a = 2.当 x > 3 时，3x — a — 7> 0恒成立，得 9-a — 7> 0,解得 a < 2. 综上，实数a 的取值范围为(—g, 2］.法—:不等式f(x) + |x — 3|》1恒成立，即|x — a|+ |x — 3|》一|x — 3|+ 1恒成立, 由图象(图略)可知f(x)= |x — a|+ |x — 3|在x = 3处取得最小值 3— a , 而一|x — 3|+ 1在x = 3处取得最大值 1,故3— a > 1，得a w 2. 故实数a 的取值范围为(一g, 2］.［全练题点］11.［考点一］设函数 f(x)= x + - + |x — a|(a>0). a (1)证明：f(x)> 2;⑵若f(3)<5，求a 的取值范围. x + * + |x — a|> x + —(x — a ) = £ + a >2.当且仅当=1时等号成立.所以f(x) > 2.1(2)f(3) = 3 + 孑 + |3— a|.1 当 a>3 时，f(3) = a +一， a5 + V21 由 f(3)<5 得 3<a< 2—.1 当 0v a w 3 时，f(3) = 6— a +-, a 1 +V5 由 f(3)<5 得 厂<a w 3.2.［考点二］已知函数 f(x)= |x — m|— |x + 3m|(m>0). (1)当m = 1时，求不等式f(x)> 1的解集；⑵对于任意实数x , t ,不等式f(x)v|2 + t|+ |t — 1|恒成立，求 m 的取值范围.解：(1)f(x)= |x — m|— |x + 3m|-4m , x > m ,=—2x — 2m , — 3mvxvm ,4m , x < — 3 m.「— 2x — 2 > 1, 3当m = 1时，由 或x W — 3，得x W — 2,解：(1)证明：由a>0，有f(x)= 综上,a 的取值范围是—3<x<1 2- 3]• ••不等式f(x) > 1的解集为x| x W —2，：⑵不等式f(x)v|2 +1|+ |t—1|对任意的实数t, x恒成立，等价于对任意的实数x, f(x)<(|2 + t〔+ |t —1|)min 恒成立，即[f(x)]max V(|2 + t| + |t—1|)min,■-f(x)= |x—m|—|x+ 3m|w |(x —m)—(x + 3m)|= 4m,|2+ t|+ |t—1|> |(2+ t) —(t—1)|= 3,□ 3•'4mv3，又m>0 ,「.0vmv4，即m的取值范围是0, 3 .3.［考点二］已知函数f(x)= |x—2|, g(x)=—|x+ 3|+ m.(1) 解关于x的不等式f(x)+ a—1>0(a€ R);⑵若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围.解：⑴不等式f(x) + a—1>0,即|x —2|+ a—1>0.当a = 1时，原不等式化为|x—2|>0，解得x丰2,即解集为(一R, 2) U (2, +^);当a>1时，解集为全体实数R;当av1 时，|x—2|>1 —a(1 —a>0)，解集为(一^, a+ 1) U (3 —a,+ ).(2) f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x —2|>—|x+ 3|+ m对任意实数x恒成立，即|x —2|+ |x+ 3|>m 恒成立.又由绝对值三角不等式知，对任意实数x恒有|x—2| + |x+ 3|> |(x—2) —(x + 3)|= 5, 当且仅当(x—2)(x+ 3) W 0时等号成立.于是得mv5，故m的取值范围是(—8, 5).所以f(x)> 1的解集为{x|x > 1}.21. (2017 全国卷 I )已知函数 f(x)=— x + ax + 4, g(x)= |x + 1|+ |x — 1|.⑴当a = 1时，求不等式f(x) > g(x)的解集；⑵若不等式f(x)>g(x)的解集包含［—1,1］,求a 的取值范围. 解：⑴当a = 1时，不等式f(x)>g(x)等价于 x 2— x + |x + 1|+ |x — 1|— 4w 0. ①当x v — 1时，①式化为 x — 3x — 4w 0,无解；当一1w x w 1时，①式化为 x 2— x — 2w 0,从而一1 w x w 1 ；2当x > 1时，①式化为x + x — 4w 0,从而1 v x w—1+ 172所以f(x)> g(x)的解集为ix—1w x w—1 + 17所以f(x)> 1的解集为{x|x > 1}.(2)当 x € ［— 1,1］时，g(x) = 2.所以f(x)>g(x)的解集包含［—1,1］，等价于当x € ［— 1,1］时，f(x)>2.又f(x)在［—1,1］的最小值必为f(— 1)与f(1)之一, 所以 f(— 1) > 2 且 f(1) > 2,得一1 w a w 1. 所以a 的取值范围为［—1,1］.2. (2017 全国卷川)已知函数 f(x)= |x + 1| — |x — 2|. (1)求不等式f(x) > 1的解集；⑵若不等式f(x) >x 2— x + m 的解集非空，求 m 的取值范围.［- 3, xv — 1,解：(1)f(x)= 2x — 1，— 1 w x w 2,3, x >2.当x v — 1时，f(x) > 1无解；当一1w x w 2 时，由 f(x) > 1,得 2x — 1 > 1，解得 1 w x w 2； 当x >2时，由f(x)> 1，解得x >2.所以f(x)>1的解集为x| ：<x<2r.所以a 的取值范围是［2,+^).4. (2015 全国卷 I )已知函数 f(x)= |x + 1| — 2|x — a|, a>0. (1) 当a = 1时，求不等式f(x)>1的解集； (2) 若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于 6,求a 的取值范围.解: (1)当 a = 1 时，f(x)>1 化为 |x + 1| — 2|x — 1|— 1>0. 当x w — 1时，不等式化为 x — 4>0 ,无解； 当一1<x<1时，不等式化为 3x — 2>0 , ” e 2解得3<x<1 ；当x > 1时，不等式化为一x + 2>0，解得1 w x<2.2 2(2)由 f(x)>x — x + m ,得 m w |x + 1|— |x — 2| — x + x.22i ,z 3 ' 25 5w时3_ 2|x + 1|— |x — 2|- X 2 + x = 4.3. (2016全国卷川)已知函数f(x)= |2x — a|+ a. (1) 当a = 2时，求不等式f(x) w 6的解集；(2) 设函数g(x)=|2x — 1|.当x € R 时，f(x) + g(x) > 3,求a 的取值范围. 解：(1)当 a = 2 时，f(x) = |2x — 2| + 2. 解不等式 |2x — 2|+ 2< 6 得一1w x w 3. 因此f(x)w 6的解集为{x|— 1 w x w 3}.(2)当 x € R 时，f(x) + g(x)= |2x — a|+ a + |1— 2x|> 3, a1x ― 2+ 2— xa 11 a x —2 + 2— x 戶in =2—2所以3— a厂，解得a >2.故m 的取值范围为5.即 3 — a》2 .又x — 1 — 2a , xv — 1,(2)由题设可得 f(x) = i 3x +1 — 2a , — 1 w x w a ,—x +1 + 2a , x>a. 1-,0 , B(2a + 1,0),C(a , a + 1),2 2 △KBC 的面积为3(a + 1).2 2 由题设得3(a + 1) >6，故a>2.所以a 的取值范围为(2,+^).［课时达标检测］1. 已知函数 f(x)= |x + m|— |5 — x|(m € R ). (1) 当m = 3时，求不等式f(x)>6的解集；(2) 若不等式f(x) w 10对任意实数x 恒成立，求 m 的取值范围.解：(1)当m = 3时，f(x)>6，即|x + 3| —15 — x|>6,不等式的解集是以下三个不等式组解x > 5,集的并集.|x + 3— x — 5 >6 ,解得x > 5;—3<x<5,或 解得4<x<5;x + 3 + x — 5 >6,X w— 3,或解集是?.—x — 3 + x — 5 >6,故不等式f(x)>6的解集为{x|x>4}.(2)f(x) = |x + m|— |5— x|w |(x + m) + (5 — x)|= |m + 5|,由题意得 |m + 5|w 10,则—10w m+ 5 w 10,解得—15w m W 5，故m 的取值范围为［—15,5］. 2. (2018江西南昌模拟)已知函数f(x)= |2x — a|+ |x — 1|. (1)若不等式f(x) w 2— |x — 1|有解，求实数a 的取值范围；2a — 所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A•不等式 f(x)>4 的解集为(一3,- 2) U (0, +).⑵当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a 的值.a+ |x -1|> 2-1由不等式f(x)w 2- |x -1|有解,a2 -1 < 1，即0< a < 4. A 实数a 的取值范围是[0,4]. a a⑵由 2x -a = 0 得 x = 2，由 x - 1 = 0 得 x = 1,由 a<2 知彳<1,-3x + a + 1x<a , •••f(x)=x - a +1 2= x w 1 ,3x — a - 1 x>1 .函数的图象如图所示. , ,a •f(X)min = f 2 =- + 1 = 3 ,解得a =- 4.3. (2018广东潮州模拟)设函数f(x)= |2x + 3|+ |x - 1|. (1)解不等式f(x)>4 ;⑵若？ x € —3— 3，不等式a + 1<f(x)恒成立，求实数 解：(1)•••f(x)=|2x + 3|+ |x - 1|,3-3x - 2, x< - ,•••f(x)=x + 4, - 2w x < 1, 3x + 2, x>1,x< - 2,[-x w 1,x>1, f(x)>4，可化为或或[—3x — 2>4 jX + 4>43x+ 2>4，解得 x<— 2 或 0<x w 1 或 x>1.解:(1)由题意f(x)< 2 - |x -1|,即为a x -2 + |x - 1|w 1.而由绝对值的几何意义知 a x - 2a 的取值范围.⑵由⑴知，当XV — 3时，f(x)=— 3x — 2, 「 3」 5•••当 XV — 2时，f(x) = — 3x — 2>2，■'a + K 2，即 a w 34. (2018 长春模拟)已知函数 f(x)=|x — 2| — |x + 1|. (1)解不等式f(x)>1 ；当一1w x w 2时，原不等式可化为 2— x — x —1>1，即—1w x<0;当x<— 1时，原不等式可化为 2— x + x + 1>1，即x< — 1. 综上，原不等式的解集是 {x|x<0}. ⑵因为 g(x)= ax +1— 1>2 a — 1,当且仅当x =严时等号成立，a所以 g(x)min = 2 a — 1 ,1 — 2x , 0<x w 2,当 x>0 时，f(x) =I. — 3, x>2 ,所以 f(x)€ [— 3,1),所以 2 a — 1 > 1,即 a > 1, 故实数a 的取值范围是[1 ,+s ).5. (2018 湖北四校联考)已知函数 f(x)= e |x + a|—|x —b|, a , b € R. (1)当a = b = 1时，解不等式f(x) > e ; ⑵若f(x)w e 2恒成立，求a + b 的取值范围.解：(1)当 a = b = 1 时，f(x)= e |x +1|—|x —1|,由于 y = e x 在(—8,+^)上是增函数，所以 f(x)>e 等价于 |x +1| — |x —1|> 1,①当 x > 1 时，|x + 1|— |x — 1|= x + 1 — (x — 1)= 2，则①式恒成立;围.⑵当x>0时，函数g(x) =ax 2— x + 1x(a>0)的最小值大于函数 f(x),试求实数a 的取值范 解：(1)当x>2时，原不等式可化为x — 2 — x — 1>1，解集是•• ■实数a 的取值范围为 3.1当一1<x<1 时，|x+ 1|—|x—1|= 2x,①式化为2x> 1,此时㊁三x<1;当x w —1 时，|x + 1|—|x —1|=—2，①式无解.综上，不等式的解集是2，+ a /2(2)f(x) w e 等价于|x+ a|—|x—b|w 2,②因为|x+ a|—|x —b|w |x+ a—x + b|= |a + b|,所以要使②式恒成立，只需|a+ b|w 2,可得a+ b的取值范围是［—2,2］.26. (2018 湖北枣阳一中模拟)已知f(x)= |x—1|+ |x+ a|, g(a)= a —a —2.(1) 当a= 3时，解关于x的不等式f(x)>g(a)+ 2;(2) 当x€ ［—a,1)时恒有f(x)w g(a)，求实数a的取值范围.—2x—2, x w —3,解：(1)a = 3 时，f(x) = |x —1|+ |x+ 3|= 4,—3<x<1, g(3) = 4.2x + 2, x> 1,•••f(x)>g(a) + 2 化为|x—1|+ |x + 3|>6,—2x—2>6,4>6 ,2x+2>6,即或或x w —3,—3<x<1,X》1 ,解得x<—4或x>2.•所求不等式解集为(—a , —4) U (2 , + a ).⑵［—a,1).「.f(x) = 1 + a.2 _____________ 2•'•f(x)w g(a)即为1 + a w a —a—2，可化为a —2a —3》0,解得a》3 或a w —1.又—a<1 ,.°.a> —1.综上，实数a的取值范围为［3, + a).7. (2018 安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)= |2x —a|+ |2x+ 3|, g(x)= |x—1|+ 2.(1)解不等式|g(x)|<5 ；⑵若对任意X1 € R，都有x2 € R,使得f(x“= g(x2)成立，求实数a的取值范围.解：(1)由||x—1|+ 2|<5，得一5<|x—1|+ 2<5，•—7<|x—1|<3，解得-2<x<4，•原不等式的解集为{x|—2VXV4}.⑵•••对任意x i € R ，都有X 2€ R ，使得f(x i ) = g(X 2)成立,••{y|y = f(x)}? {y|y = g(x)}.又 f(x) = |2x — a| + |2x + 3|> |(2x - a) - (2x + 3)|= |a + 3|, g(x)= |x — 1|+ 2》2,「.|a + 3|》2,解得 a 》一1 或 a w — 5,•实数a 的取值范围是(一a,— 5] U [— 1 ,+s ).8.已知函数 f(x)= |3x + 2|. (1) 解不等式 f(x)<4 — |x — 1|;1 1⑵已知m + n = 1(m , n>0)，若|x — a| — f(x) w 二+ 7心>°)恒成立，求实数 解：(1)不等式 f(x)<4 — |x — 1|,即 |3x + 2|+ |x — 1|<4. 2当 x< — 3时，即一3x — 2— x + 1<4, 5 2解得—4<x<—32当―一w x w 1 时，即 3x + 2— x + 1<4,321 解得—3W x<2 ；当 x>1 时，即 3x + 2 + x — 1<4,无解. 综上所述，原不等式的解集为x| — 5<x<1 .(2) 丄 + 丄=+ 寸 jm +n)= 1 + 1 + - + 叫 4, m n m n m n1当且仅当m = n =寸时等号成立.令 g(x)= |x — a|— f(x) = |x — a|— |3x + 2| =r 22x + 2+ a , x< — 3, 彳 2—4x — 2 + a , — w x w a ,I3—2x — 2 — a , x>a.2 2•- x =— 2时，g(x)max = 3 + a ,要使不等式恒成立，3 3 2 10只需 g(x)max = 2 + a w 4, 即卩 0<a w 亍a 的取值范围.所以实数a的取值范围是0，詈.第二节不等式的证明本节重点突破1个知识点：不等式的证明.突破点不等式的证明学区［基本知识］（1）作差法的依据是： a —b> 0? a〉b.A⑵作商法：若B>0,欲证A> B，只需证B> 1.3. 综合法与分析法［基本能力］1. 判断题1⑴已知x为正实数，则1 + x+ - > 3.( )(2) 若a>2, b>2，则a+ b>ab.( )(3) 设x= a + 2b, S= a + b2+ 1 贝V S>x.( )答案：(1)2 (2)X (3) V2. 填空题1 1(1)已知a , b € R +, a + b = 2，则一 +二的最小值为 _________a b1 1=2，即-+ -的最小值为2(当且仅当a = b = 1时，“=”成立).a b答案：2(2) 已知正实数 a , b 满足2ab = a + b + 12,贝U ab 的最小值是 ________ . 解析：由2ab = a + b + 12,得2ab >2 ab + 12,当且仅当a = b 时等号成立.化简得(ab —3)( ab + 2)> 0,解得ab > 9,所以ab 的最小值是 9.答案：9111(3) 已知a , b , c 是正实数，且 a + b + c = 1,则：+ £+ ：的最小值为 _________ . 111 解析：把a + b + c = 1代入- + - + -,a b c'当且仅当a = b = c = 3时，等号成立. 答案：9⑷设x = a 2b 2 + 5 , y = 2ab — a 2 — 4a ,若x>y ,则实数a , b 应满足的条件为解析： 若 x>y ,贝U x — y = a 2b 2+ 5 — (2ab — a 2 — 4a)2 2 2=a b — 2ab + a + 4a + 52 2=(ab — 1) + (a + 2) >0 , ■'ab 丰 1 或 a ^ — 2. 答案：ab z 1或a ^— 2解析: •「a,b € R+,且 a +b = 2, •••(a + b) ：+ b = 2+ a + b 》2+ 24 a + ba +b +c a + b + c a + b + c研透高孝・讲练区［全比较法证明不等式析考法］平色一4 3 2[例 1] 求证：(1)当 x € R 时，1 + 2x >2x + x ;a ba + b(2)当 a , b € (0,+^ )时，a b >(ab)〒.432[证明](1)法一：(1 + 2x ) — (2x + x ) =2x 3(x — 1) — (x + 1)(x — 1) =(x — 1)(2x 3 — x — 1) =(x — 1)(2x 3— 2x + x — 1) =(x — 1)[2x(x 2— 1) + (x — 1)]2 2=(x — 1) (2x + 2x + 1) =(x 一 t)2 2x + 1 2+ 2 > 0, 所以 1 + 2x 4> 2x 3+ x 2. 法二：(1 + 2x 4)— (2x 3+ x 2) =x — 2x + x + x — 2x + 12 2 2 2=(x — 1) x + (x — 1)》0, 所以 1 + 2x 4> 2x 3 + x 2.a ab ba —b b — a =a ~~b ~~ a + b 2 2ab —•••当a = b 时，臨匸卢=1,aa — b当 a>b>0 时，b>1,〒>°,a + ba —b 亍0,••a a b b> (ab)［方法技2作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.111 ［例2］已知a, b, c>0且互不相等，abc= 1.试证明：叮a+ : b+ , c< a + C"［证明］因为a, b, c> 0,且互不相等，abc= 1,所以卄b+ 3 十+ ±+ab111111+ + +匚b c a c a b < ~r + ~r+~r1 1 1=_+ +_,a b c即V a^/b+/c< 中 + b+£综合法证明时常用的不等式［方法技巧］(1) a2> 0; |a|> 0.2 2(2) a + b > 2ab.a+ b — 1 a b a b(3) > ab,它的变形形式有：a+ -> 2(a>0); + >2(ab>0); + < —2(ab<0).b a2 ' a b a(1)求不等式f(x)< |2x+ 1|—1的解集M ;⑵设a, b€ M，证明：f(ab)>f(a) —f( —b).［解］(1)由题意，|x+ 1|<|2x+ 1|—1,①当x< —1时，不等式可化为—x — 1 <—2x —2,解得x<—1;1②当一1 < x<—1时，不等式可化为x+ 1 v—2x—2,解得x v—1，此时不等式无解；1③当x> —2时，不等式可化为x+ 1 v 2x,解得x> 1.综上，M = {x|x v—1 或x> 1}.(2)因为f(a) —f(—b)= |a+ 1|—|—b+ 1|< |a+ 1 —( —b+ 1)| = |a+ b|,所以，要证f(ab)> f(a) —f( —b),只需证|ab+ 1|>|a+ b|,2 2即证|ab+ 1| > |a+ b| ,o 9 2 2即证 a b + 2ab+ 1 > a + 2ab+ b ,即证a2b2—a2—b2+1 > 0,2 2即证(a —1)(b —1) > 0.因为a, b€ M ,所以a2> 1, b2> 1,所以(a2—1)(b2—1)>0成立，所以原不等式成立.［方法技巧］分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2+ b2> 2ab)、基本不等式< a y b, a>0 , b>0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途ab径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.［全练题点］1111.［考点三］设x> 1, y> 1，求证x+ y+ —W一+ ■+ xy.xy x y证明：由于x> 1, y> 1,丄 1 1要证x+ y+ w + + xy,xy x y只需证xy(x+ y)+ 1< y+ x+ (xy).因为[y+ x + (xy) ] —[xy(x + y) + 1]=[(xy)2- 1]—[xy(x + y)—(x+ y)]=(xy+ 1)( xy—1) —(x + y)(xy—1)=(xy —1)( xy —x —y+ 1)=(xy—1)(x—1)(y—1),因为x> 1, y> 1，所以(xy—1)(x —1)(y—1)>0,从而所要证明的不等式成立.2. [考点一]设不等式|2x —1|v 1的解集为M.(1) 求集合M.(2) 若a, b€ M，试比较ab+ 1与a + b的大小.解：(1)由|2x —1|v 1 得一1 v 2x—1v 1,解得O v x v 1.所以M = {x|0v x v 1}.(2)由(1)和a, b€ M 可知0v a v 1,0v b v 1,所以(ab+ 1) —(a+ b) = (a —1)(b—1)>0.故ab+ 1 > a + b.3. [考点二]已知a, b, c, d均为正数，且ad= bc.(1) 证明：若a+ d>b+ c,贝U |a—d|>|b —c|;(2) t • a2+ b2寸c2+ d2 a4+ c4+ p b4+ d4，求实数t 的取值范围.解：(1)证明：由a + d>b+ c,且a, b, c, d 均为正数，得(a + d)2>(b+ c)2，又ad=bc,所以(a —d)2>(b—c)2，即|a—d|>|b —c|.2.22 .2、 2 2 2 .2 . 2 2 . 2 .2 2 2 2 .2 2(2 )因为(a + b )(c + d ) = a c + a d + b c + b d = a c + 2abcd+ b d = (ac+ bd)，所以t: a2+ b 2 c2+ d2= t(ac+ bd).由于“ a4+ c4> . 2ac, b4+ d4> . 2bd,又已知t : a2+ b 2 c2+ d2 =1 a4+ c4+ ：b4+ d4,贝U t(ac+ bd)2(ac+ bd),故th.2，当且仅当a= c, b= d时取等号.［全国卷5年真题集中演练一一明规律］331. (2017 全国卷 n )已知 a>0, b>0, a + b = 2•证明: (1) ( a + b)(a 5+ b 5) > 4; (2) a + b <2.证明：(1)(a + b)(a 5 + b 5) = a 6+ ab 5+ a 5b + b =(a 3+ b 3)2 - 2a 3b 3 + ab(a 4+ b 4) =4+ ab(a 2 — b 2)2 > 4.⑵因为(a + b)3= a 3 + 3a 2b + 3ab 2+ b 3=2+ 呼，所以(a + b)3< 8,因此 a + b < 2.1 12. (2016全国卷n )已知函数f(x)= x — 2 + x + 2 , M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求 M ;⑵证明：当 a , b € M 时，|a + b|<|1 + ab|.1・—2x , x w — 2，一 1 1解: (1)f(x)= 1, — ^<x<2，I o 1 2x , x >2.1当 x w — 2时，由 f(x)<2 得一2x<2，解得 x> — 1, 1所以—1<x w 1；1 1当—2<x<2时，f(x)<2恒成立；1当 x > 2时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1,1 所以?w x<1.所以 f(x)<2 的解集 M = {x|— 1<x<1}.2 2 2⑵证明：由(1)知，当 a , b € M 时，一1<a<1, — 1<b<1，从而(a + b) — (1 + ab) = a +=2+ 3ab(a + b) w 2 + 尺■ 23 a + b (a + b)i.22222b — a b — 1= (a — 1)(1 — b)vo.因此 |a + b|<|1 + ab|.［课时达标检测］11. (2018武汉调研)若正实数a , b 满足a + b = Q ,求证：.a +■ b < 1. 证明：要证^a + b < 1，只需证a + b +2 ab < 1, 即证2 ab < 2即证 ab w1 1而 a + b = 2》2 ,ab ,.「.ab <4成立, •••原不等式成立.2.已知函数f(x)=|x + 3|+ |x — 1|,其最小值为t.⑴求t 的值;1 4 9⑵若正实数a , b 满足a + b = t ,求证：：+ ”.解：(1)因为 |x + 3汁 |x — 1|=|x + 3| + |1 — x|> |x + 3+ 1 — x| = 4,所以 f(x)min = 4,即 即 t = 4.a b 14(2)证明：由(1)得 a + b = 4,故 4 + 4= 1, ； + b=Xb =5+ 1= 9，当且仅当b = 2a ,即a = 3 b = 3时取等号，故寸+b 寻3.设不等式一2<|x — 1|— |x + 2|<0 的解集为 M , a , b € M.(2)比较|1— 4ab|与 2|a — b|的大小，并说明理由. 解：(1)证明：记 f(x)=|x — 1|— |x + 2|\ — 2x — 1, — 2<x<1, —3, x > 1.由一2<— 2x — 1<0 解得一1 1 2vxv 2,1 2,(1)证明:1 1 13a + 6b <1；+弘1 + 1 +严+ b 三+4 4 4a b 4所以3a + 6b1111= 1x3 2 6 2 4i.■①整申>甘0 w (q——xz)(e+xz)汕^M」+_q +e -H L +-(q ——x z )——e +x z -A L + _q —— x z -+(M 运q +e ^(L )L + M ——X z + e +x £±H (x )4懸国・O A q・O A e星旦s >恤<删MM 適M8L0Z)・g•6V MN + A + x wco 公更O V 2Z+ZA+AX)Zi 」z+A+x)——z+A+XH6——*+、+ x 只0p<7L r J jz+A +X )(xz+ZA+AX)Z+ N + >+x(q x + 7Z)ij q z+7A)+(U A+7X)+',NI +q>l + q xZZ+ZA+ZX- S y s f l s v ^+^甘LHZHAHX汕N +-l >+¥L LLLLL■ t + 3(¥£)・ZAX*・2zAx・*»A、 ：O A —A L+L+L0AAXC2代Z +A +XX K(L)S•6V Z Z +Z A +Z X W CO s虫(0)NAX:-M w /w b即4十|;怪 L)CO H Z+A+X・(OO+ ・0)<u z >・x呈m (幸輕乏K 8L0Z)4■q——e-ZA_qen—— L-宦・z_q ——e_ncz_q£——L-m^O A P J q s L——A)丄q +qez——■孑——(q+qe8——L) J _q——e_0_q £二只KGG G G G G G Gr q・Y /e e (匸丑3又a>0, b>0，所以|a+ b|= a+ b,所以f(x)的最小值为a + b+ 1 = 2，所以a + b= 1.(2)由(1)知，a+ b= 1,所以1+ 4=(a+ b) 1+ b = 1+ 4+b+1!> 5 +2警=9，b 4a当且仅当石且a + b= 1,1 2即a = 3 b=彳时取等号.所以log3 a+ b》log39= 2 ,所以a+ b+ log3^ + 4P 1+ 2= 3，14、、即 a + log3 a + b》3-b.6. (2018长沙模拟)设a, 3, 丫均为实数.(1) 证明：|cos(a+ 31 w |cos a + |sin 3 , |sin(a+ 31 W |cos a|+ |COS 3；⑵若a+ 3+ = 0,证明：|cos a + |cos 3 + |cos Y> 1.证明：(1)|cos(a+ 3| = |cos acos 3— sin osin |cos acos 3+ |sin asin |cos a+ |sin 3；|sin( a+ 3|= |sin ocos 3+ cos osin |sin acos 3+ |cos osin 3 w |cos a|+ |cos 3.(2) 由(1)知,|cos[a+ ( 3+ Y]| w |cos(x|+ |sin( 3- Y|w |cos a + |cos 3 + |cos Y,而a+ 3+ Y= 0,故|cos a|+ |cos 3+ |cos Y》cos 0= 1.7. (2018安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)= |x —2|.(1)解不等式：f(x) + f(x+ 1) w 2;⑵若a<0 ,求证：f(ax)—af(x) >f(2a).解：(1)由题意,得f(x) + f(x+ 1) = |x —1|+ |x—2|.因此只要解不等式|x—1| + |x —2|w 2.1当x w 1时，原不等式等价于一2x+ 3w 2,即2 w x w 1;当1<x w 2时，原不等式等价于 1 w 2,即1<x w 2;当x>2时，原不等式等价于2x —3 w 2 ,即2<x w ；.1 5综上，原不等式的解集为x| 2w x w 5 .(2)证明：由题意得 f(ax)— af(x)= |ax — 2|— a|x — 2| = |ax — 2|+ |2a — ax|> |ax — 2 + 2a — ax|=|2a — 2| = f(2a),所以 f(ax)— af(x) > f(2a)成立.8. (2018 重庆模拟)设 a , b , c € R +且 a + b + c = 1.求证:c 2 1 (1)2ab + bc + ca +—三一； 2 22 a + c 2 b 2+ a 2 c 2+ b 2 + b + c > 2. b c a证明:(1)因为 1= (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca > 4ab + 2bc + 2ca + c ,当且仅当a = b 时等号成立，2所以 2ab + bc + ca +》=*(4ab + 2bc + 2ca + c 2)< 2.1当且仅当a = b = c = f 时等号成立.ac abab bc ac bc c b a cac +* +ab +石 + B +br =a b + c+ bc +a+(2)因为 2 2 b + a、2ab卩c cbc acb +b匚 》2a + 2b + 2c = 2,所以i当且仅当a = b = c = 3时等号成立.。

选修4-5不等式选讲题组1不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.题组2不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.A组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若)-)<k存在实数解,求实数k的取值范围.4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.B组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2;+[f(x)]2的最小值.(2)当x≠-1时,求y=)答案1.A当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A.2.-6或4当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f(x)=--,,--,-,-,-,f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=--,-,-,-,-,,f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,即实数a的取值范围是[-1,].4.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0①.当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤-}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f 1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, -,-, -,,y=f(x)的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.6.(Ⅰ)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x|<x<2}.(Ⅱ)由题设可得f(x)=--,-,-,-,-,所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(-,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是(,).8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, ,-, ,当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2 a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.A组基础题1.(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴,---或,---或,---,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2, ∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得,-或,或,--,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy..3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,当a>0时,-≤x≤,所以--,,解得a=2;当a<0时,≤x≤-,所以-,-无解.所以a=2.(2)因为)-)=-≥--) =,所以要使)-)<k存在实数解,只需k>,所以实数k的取值范围是(,+∞).4.(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=,, -,, -,当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f(x)≤3.所以m的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,由(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}; 当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.B组提升题5.(1)当m=5时,f(x)=-), -), -),由f(x)>2得不等式的解集为{x|-<x<}.(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f(x)=-),--),-)在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x≥-3,所以-3≤x≤-2;②当-2<x<1时,f(x)=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x≥1时,f(x)=2x+1,由2x+1≤5,解得x≤2,所以1≤x≤2.综上所述,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)},则A⊆B,因为f(x)=|x-m|+|x+2|≥|(x-m)-(x+2)|=|m+2|,g(x)=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m≥1或m≤-5,因此,实数m的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f(x)=|x+1|+|x-a|=--,-,,-, -,又不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},解得a=2.(2)++=) )==≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).8.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2. (2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,∴y=)+[f (x )]2=)+)+[f (x )]2≥3· )· )· )= ,当且仅当 )=)=[f (x )]2时取等号,即x=-1± 时取等号. ∴y= )+[f (x )]2的最小值为.。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

选修4­5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1， 解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0， 解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ， 即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时 不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36， 当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号． 故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(理科专用)1. 解不等式：|2x －1|＜3.解：|2x －1|＜3Þ－3＜2x －1＜3Þ－1＜x ＜2.2. 若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围．解：∵ ||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴ －3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a>|x ＋1|－|x －2|有实数解，知a 2－4a>－3，解得a>3或a<1.3. 不等式|2－x|＋|x ＋1|≤a 对于任意x ∈[0，5]恒成立的实数a 的集合是多少？解：当x ∈[0，2]时，|2－x|＋|x ＋1|＝2－x ＋x ＋1＝3，当x ∈[2，5]时，|2－x|＋|x ＋1|＝x －2＋x ＋1＝2x －1≤9，综上可得|2－x|＋|x ＋1|≤9，∴ a ≥9.4. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|<2.解：① 当x ≥4时，2x ＋1－(x －4)<2，∴ x ∈Æ；② 当－12≤x<4时，2x ＋1＋x －4<2， ∴ －12≤x<53； ③ 当x<－12时，－2x －1＋x －4<2. ∴ －7<x<－12. 综上，该不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－7，53. 5. 若f(x)＝||x －t ＋||5－x 的最小值为3，求实数t 的值．解：由f ()x ＝||x －t ＋||5－x ≥|(x －t)＋(5－x)|＝||5－t ＝3，解得t ＝2或8.6. 若对任意x ∈R ，||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：||2－x ＋||3＋x ≥5，要||2－x ＋||3＋x ≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.7. 设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)．(1) 若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54； (2) 求使函数f(x)最大值为178时a 的值． (1) 证明：∵ |x|≤1，|a|≤1，∴ |f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|＝|a|·|x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝|1－x 2|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54. (2) 解：当a ＝0时，f(x)＝x(－1≤x ≤1)的最大值是f(1)＝1，从而a ≠0，故知f(x)是二次函数．∵ f(±1)＝±1，∴ f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)有最大值178⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，（a ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，∴ a ＝－2. 8. 已知f(x)＝x 2－x ＋c 定义在区间[0，1]上，x 1、x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，求证：(1) f(0)＝f(1)；(2) |f(x 2)－f(x 1)|<|x 1－x 2|.证明：(1) ∵ f(0)＝c ，f(1)＝c ，∴ f(0)＝f(1)．(2) |f(x 2)－f(x 1)|＝|x 22－x 2＋c －x 21＋x 1－c|＝|x 2－x 1|·|x 2＋x 1－1|. ∵ 0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，0<x 1＋x 2<2(x 1≠x 2)，∴ －1<x 1＋x 2－1<1，∴ |x 2＋x 1－1|<1，∴ |f(x 2)－f(x 1)|<|x 1－x 2|.9. 如图，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上的三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．(1) 将y 表示成x 的函数；(2) 要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？解：(1) y ＝4|x －10|＋6|x －20|，0≤x ≤30.(2) 依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30， 解不等式组，其解集为[9，23]，所以x ∈[9，23]．10. 设f (x)＝ x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a|＜1，求证：| f (x)－f (a)|＜2(|a|＋1)． 证明：∵ f(x)＝x 2－x ＋1，|x －a|＜1，∴ ||f （x ）－f （a ）＝||x 2－x －a 2＋a＝||x －a ·||x ＋a －1<||x ＋a －1＝||（x －a ）＋2a －1≤||x －a ＋||2a －1<1＋||2a ＋1＝2(||a ＋1)．11. 已知函数f(x)＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m)(1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：(1) 由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞5, 不等式的解集是三个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋1＋x －2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x<2，x ＋1－x ＋2＞5或⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，－x －1－x ＋2＞5解集的并集，解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2) 不等式f(x)≥1即|x ＋1|＋|x －2|＞m ＋2.∵ x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，要使不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴ m ＋2≤3，∴ m 的取值范围是(－∞，1]．。

专题对点练27不等式选讲(选修4—5)1.(2017山西吕梁二模,理23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-错误!未找到引用源。

;当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥错误!未找到引用源。

.综上可得f(x)≥3的解集为错误!未找到引用源。

.(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.则实数a的取值范围为(-1,3).2.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.解(1)当a=-3时,f(x)=错误!未找到引用源。

当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇒|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇒4-x-(2-x)≥|x+a|⇒-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].3.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组错误!未找到引用源。

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式知识点一绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．判断正误(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(×)(2)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( × ) (3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 2．(选修4－5P19习题T9改编)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．解析：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3.3．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a .故原不等式得证．知识点二 含绝对值的不等式的解法1．含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法2.|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．(选修4－5P20T7)不等式3≤|5－2x |<9的解集为( D ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7)解析：由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．5．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( A ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)解析：|x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．6．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝2. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.1．|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立． (2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．2．能含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．考向一 绝对值不等式的性质应用【例1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 【解】 (1)证明：设f (x )＝|x －1|－|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12.因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1 ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值、(2)证明不等式．(1)若a ≥2，x ∈R ，求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3. (2)若f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a |的最小值为4，求a 的值．解：(1)证明：因为|x －1＋a |＋|x －a |≥|(x －1＋a )－(x －a )|＝|2a －1|，又a ≥2，故|2a －1|≥3，所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3成立．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋1a ＋3|x －a | ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1a －(3x －3a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ， 所以由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3a ＝4得a ＝1或a ＝13. 考向二 含绝对值不等式的解法方向1 “零点”讨论法解不等式 【例2】 解下列不等式． (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0；(2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.【解】 (1)法1：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|， 两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)， 解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >14.法2：原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎨⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >14. (2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1， 解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1， 解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x >12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1， 解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为xx <－25或x >2. 方向2 利用图象法解不等式【例3】 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}， f (x )<－1的解集为xx <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为xx <13或1<x <3或x>5.含有绝对值的不等式的常见解法(1)对形如|x ＋a |±|x －b |≥c (≤c )这种不等式问题，常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解，其一般步骤为：①求零点；②划分区间，去绝对值符号；③分别解去掉绝对值符号之后的不等式；④取每个结果的并集．(2)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．(方向1、2)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥0；(2)若方程f (x )＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为|2x ＋1|－|x |－1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎨⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0，解得x ≤－2或x ≥0，∴不等式f (x )≥0的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．(2)由f (x )＝2x 得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－12，－x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x <0，x －1(x ≥0)，作出函数y ＝g (x )的图象，如图所示，易知A ⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，B (0，－1)，结合图象知，当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.考向三 利用绝对值不等式求取值范围【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．本题的易错点有三处：一是零点分区间时，不注意端点值能否取到，导致结果出错；二是不会转化，如本题，不懂得利用x ∈(0，1)，把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题，绕了一大圈，空手而归；三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题，导致所求的结果出错.(2019·石家庄质量监测)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，∴3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <14或x >12，∴不等式f (x )>0的解集为{x |x <14或x >12}．(2)当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≥1a ，2(1－a )x ＋1，x <1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1>0，2(1－a )≤0，即1≤a <2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤1a ，2(1－a )x ＋1，x >1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1<0，2(1－a )≤0，此时无解．综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1,2)．第二节不等式的证明知识点一不等式证明的常见方法1．综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)．3．反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确．4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大．1．要证明29＋31>25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(B)A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法解析：根据条件和分析法的定义可知选项B 最合理．故选B.2．(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a ≥b >0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为M ≥N .解析：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .3．已知a >0，b >0，c >0，且a ，b ，c 不全相等，求证：bc a ＋ac b ＋ab c >a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以bc a ＋ac b ≥2bc a ·ac b ＝2c . 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc a ≥2b .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c >2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋ab c >a ＋b ＋c .知识点二 柯西不等式1．设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．2．若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b n a n(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立． 3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．4．已知x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1.(1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114.解：(1)1x ＋1y ＋1z ＝1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )≥1x ·x ＋1y ·2y ＋1z·3z 2＝(1＋2＋3)2＝6＋22＋23＋26， 当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2y z 时取等号，故1x ＋1y ＋1z 的最小值为6＋22＋23＋2 6.(2)证明：由柯西不等式可得1＝(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)＝14(x 2＋y 2＋z 2)，∴x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号，故x 2＋y 2＋z 2≥114.1．证明不等式的基本方法(1)比较法：作差(商)比较法．(2)综合法：由因导果法．(3)分析法：执果索因法．2．利用柯西不等式求最值或证明不等式要注意合理的变形配凑常数，而且还要注意取“＝”的条件．考向一 分析法、综合法证明不等式【例1】 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3；(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.【证明】 (1)因为x >0，y >0，x －y >0,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y2≥2y ＋3. (2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3，只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca .而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d .(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd. 由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，a，b，c，d均为正数，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．考向二 放缩法证明不等式【例2】 若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. 【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的单调性；③真分数性质“若0<a <b ，m >0， (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1. 证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ； …当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n<1n ， ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1. ∴原不等式成立．考向三 柯西不等式的应用【例3】 已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.【证明】 (1)方法1：∵(am ＋bn ＋cp )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(m 2＋n 2＋p 2)＝1，∴|am ＋bn ＋cp |≤1.方法2：因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，所以|am ＋bn ＋cp |≤1. (2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1， 所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式(a 2＋b 2＋…＋c 2)(m 2＋n 2＋…＋p 2)≥(am ＋bn ＋…＋cp )2，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值.(2019·河南豫南九校联考)已知x ，y ，z 均为实数．(1)求证：1＋2x 4≥2x 3＋x 2；(2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：(1)证法1：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2)＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1)＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)]＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)＝(x －1)22x ＋122＋12≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证法2：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2)＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9(由柯西不等式得)，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.。