工程力学-第10章

为了确定一点的应力状态，需要确定代表这一点的 微元的三对互相垂直的面上的应力。为此，围绕一点 截取微元时，应尽量使其三对面上的应力容易确定。
例题1
FP S平面
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l/2
l/2
5 4 3 2 1
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FP 2
例题1
FP l Mz 4
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无论应力状态多么复杂，材料的强度失效大致有两种形 式：一种是指产生裂缝并导致断裂，例如铸铁拉伸和扭转时 的破坏；另一种是指屈服，即出现一定量的塑性变形，例如 低碳钢拉伸时的屈服。简而言之，屈服与脆性断裂是强度失 效的两种基本形式。 TSINGHUA UNIVERSITY 对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中包 含着共同的因素。建立复杂应力状态下的强度失效判据，就 是提出关于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说。 根据这些假说，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立材 料在复杂应力状态下的失效判据。就可以预测材料在复杂应 力状态下，何时发生失效，以及怎样保证不发生失效，进而 建立复杂应力状态下强度设计准则或强度条件。 当微元三对面上的应力已经确定时，为求某个斜面（即 方向面）上的应力，可用一假想截面将微元从所考察的斜面 处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条 件求得该斜截面上的正应力和剪应力。这是分析微元斜截面 上的应力的基本方法。
x y
2 sin 2 cos 2 0
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得到主平面方向角的表达式
tan 2 p
2 x y
主平面上的正应力称为主应力。主平面法线方向即主应力作 用线方向，称为主方向。

x y
2

x y
利用三角倍角公式，经过整理后得到计算平面应力状态中任意方向面 上正应力与剪应力的表达式： x y x y cos 2 sin 2 2 2 x y sin 2 cos 2 2
例题2
分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生 屈服的主要原因。 解：杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。 根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式 TSINGHUA UNIVERSITY
x'

sin 2 cos 2
xy
在本例的情形下，x＝y＝0 。
sin 2 , cos 2
可以看出，当θ ＝45º 或θ＝－45º 时，斜截面上只有正应力没有剪应 力。θ＝45º 时(自x轴逆时针方向转过45º )，压应力最大； θ＝－45º 时 (自x轴顺时针方向转过45º )，拉应力最大 ：
z
zyxz
xy yx
y
y
平面（二向） 应力状态
y
x
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'

x
y
y
y
'
x
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x
纯剪应力状态)
x
单向应力状态
三 向 应 力 状 特例 态
平 面 应 力 状 态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
y
y
e
x
x
f
e

x
x
x



f
x

x

y
y
y
e
x
x
f
e

x
x
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x


f
x

x
y
2.符号的确定 （1）由x轴正向转到截面外法线n,逆时针转向时为正
（2）正应力仍规定拉应力为正
（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力

基本概念
什么是应力状态，为什么要研究应力状态
根据微元的局部平衡
y'
x
x'
y'
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x'
x
拉中有切
x
y'
y'
根据微元的局部平衡
'
x'



x'
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切中有拉
'
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要 研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。
y'
x
x'

x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 sin 2
sin 2 cos 2
在本例的情形下，y＝0，＝0。
x

x x
2 2

x
2
cos 2
sin 2

x x
2 2

第10章 复杂受力时构件的强度设计
前面几章中，讨论了拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强 度问题，这些强度问题的共同特点 : 一是危险截面上的危险点只 承受正应力或剪应力；二是都是通过实验直接确定失效时的极限 应力，并以此为依据建立强度设计准则。 工程上还有一些构件或结构，其危险截面上危险点同时承受 正应力和剪应力，或者危险点的其他面上同时承受正应力或剪应 力。这种受力称为复杂受力。复杂受力情形下，由于复杂受力形 式繁多，不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因而必须 研究在各种不同的复杂受力形式下，强度失效的共同规律，假定 失效的共同原因，从而有可能利用单向拉伸的实验结果，建立复 杂受力时的失效判据与设计准则。 为了分析失效的原因，需要研究通过一点不同方向面上应 力相互之间的关系。这是建立复杂受力时设计准则的基础。
围绕一点作一微小单元体，即微元，一般情形下，微元的不 同方位面上的应力，是不相同的。过一点的所有方位面上的应力 集合，称为该点的应力状态。
分析一点的应力状态，不仅可以解释上面所提到的那些实验中 的破坏现象，而且可以预测各种复杂受力情形下，构件何时发生失 效，以及怎样保证构件不发生失效，并且具有足够的安全裕度。因 此，应力状态分析是建立构件在复杂受力（既有正应力，又有剪应 力）时失效判据与设计准则的重要基础。
为了描述一点的应力状态，在一般情形下，总是围绕所考察的 点作一个三对面互相垂直的六面体，当各边边长充分小时，六面 体便趋于宏观上的“点”。这种六面体就是前面所提到的微元。
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微元
dz dy dx
微元及其各面上的应力 描述一点应力状态.
三向（空间）应力状态
z
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Fx 0
y
x


x´



dA
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' dA sin cos 0 Fy 0 y dA x dA cos sin dA cos cos y dA sin cos ' dA sin sin 0
平面应力状态分析－ 任意方向面上应力的确定
y TSINGHUA UNIVERSITY
y x
x
y
x
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
斜截面上的应力
1.截面法
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象 TSINGHUA UNIVERSITY
x
2
cos 2
sin 2
y'
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x
x'
根据这一结果，当θ ＝45º 时， 斜截面上既有正应力又有剪应力， 其值分别为
45
x
2
, 45
x
2
x
不难看出，在所有的方向面中， 45º 斜截面上的正应力不是最大值， 而剪应力却是最大值。
这表明 : 轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹 45º 角的斜面 上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。 因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。
FP
FP
受力之前 , 表面的正方形，受拉后， 正方形变成了矩形，直角没有改变。
FP
FP
受力之前,表面斜置的正方形，受拉后， 正方形变成了菱形，直角有了改变。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力

基本概念
什么是应力状态，为什么要研究应力状态
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Mx
Mx
受扭之前圆轴表面的圆，受扭后，变为一斜置椭圆， 长轴方向表示承受拉应力而伸长，短轴方向表示承受压应 力而缩短。
不同的失效现象提出的问题
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
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韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
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为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？

基本概念
什么是应力状态，为什么要研究应力状态
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45 max , 45 0

45 max , 45 0

铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即－45º 螺旋 面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。