2017届北京市西城区35中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。

选：A。

2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。

选D。

3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。

选A。

4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。

选D。

5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。

选D。

6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。

选B。

7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。

如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。

将代入得，∴点的坐标为。

北京市第三十五中学2016-2017学年度第一学期 期中试卷高二数学 2016．11第I 卷一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．AB ．C ．D ．【答案】A【解析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等三角形，所以该三棱锥的表面积41S ==，故选A ．2．平行线20x y -=与250x y --=之间的距离为（ ）．A．5BCD ．2【答案】C【解析】d C ．3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）．（1）l m αβ⇒⊥∥ （2）l m αβ⊥⇒∥（3）l m αβ⇒⊥∥ （4）l m αβ⊥⇒∥A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）【答案】D【解析】（1）中，∵αβ∥，l α⊥，∴l β⊥，又∵M ⊂平面β，∴l m ⊥，故（1）正确； （2）中，由αβ⊥，直线l ⊥平面α可得，l β∥或l β⊂，故l 与m 相交、平行、异面都可能，故（2）错误；（3）中，因为l m ∥，直线l ⊥平面α可得m ⊥平面α，由m ⊂平面β，所以αβ⊥，故（3）正确； （4）中，因为l m ⊥，直线l ⊥平面α，所以m α∥或m α⊂，所以α与β相交、平行都有可能，故（4）错误．综上所述，命题中正确的是（1）（3），故选D ．4．圆221:4470C x y x y ++-+=与圆222:410130C x y x y +--+=的位置关系是（ ）．A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】由题意，知221:(2)(2)1C x y ++-=，圆心为(2,2)-，半径11r =． 圆222:(2)(5)16C x y -+-=，圆心为(2,5)，半径24r =．圆心距12=||5d C C ，∴12d r r =+，∴两圆外切，故选C ．5．如图，如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，那么原平面图形的面积是（ ）．A．2BCD．12【答案】B 【解析】∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为1，∴原平面图形如图所示，且1O B''=，O A''∴原平面图形的面积是112S=⨯，故选B．6．已知线段AB的中垂线方程为10x y--=且(1,1)A-，则B点坐标为（）．A．(2,2)-B．(2,2)-C．(2,2)--D．(2,2)【答案】A【解析】设B点的坐标为(,)a b，则根据题意可得：1111111022baa b-⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩，解得2a=，2b=-，∴点B的坐标是(2,2)-，故选A．7．若过点(3,1)总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k-+-=>相切，则k的取值范围是（）．A．(0,2)B．(1,2)C．(2,)+∞D．(0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】过点(3,1)总可以作圆22(2)()(0)x k y k k k-+-=>的两条切线，则点(3,1)在圆外，∴22(32)(1)k k k-+->，即2320k k-+>，解得1k<或2k>，又∵0k>，∴01k<<或2k>．∴k的取值范围是(0,1)(2,)+∞，故选D．16．在底面为等腰直角三角形的直三棱柱111ABC A B C-木块中，12AB AC AA===，D，1D分别为BC，11B C的中点，将该木块沿平面11AA D D锯开后得到两个三棱柱，将这两个三棱柱重新进行拼接，组成一个新的三棱柱，则新的三棱柱的表面积是__________．（写出所有可能的情况）【答案】12+4+10+【解析】将三棱柱111ABC A B C -2，由这两个三棱柱组成的简单几何体可以是：（1）高为2，底边是以122222122⨯++⨯⨯=+ （22，此时表面积为：22244⨯+=+（3）高为4124224102⨯+⨯=+三、解答题：（共3个小题，每题12分，共36分．请写明必要的解题过程） 17．已知ABC △的顶点(0,5)A ，(1,2)B -，(3,4)C --． （1）求AB 边上的高线所在的直线方程． （2）求ABC △的外接圆的方程． 【答案】【解析】（1）由已知AB 所在直线的斜率为25710AB k --==--， ∴AB 边上的高所在直线的斜率17k =， ∴AB 边上的高所在直线方程为14(3)7y x +=+，整理得：7250x y --=．（2）设ABC △的外接圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则222222222(0)(5)(1)(2)(3)(4)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+--=⎩，解得：3a =-，1b =，5r =． 故ABC △的外接圆的方程为：22(3)(1)25x y ++-=．18．如图，正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：直线1A B ∥平面1ACD ． （2）求证：平面1ACD ⊥平面1BD D ． 【答案】【解析】（1）证明：∵1111ABCD A B C D -是正方体，D AB CC 1D 1B 1A 1∴11A D BC ∥且11A D BC =， ∴四边形1111A B C D 是平行四边形， ∴11A B CD ∥，又1A B ⊄平面1ACD ，1CD ⊂平面1ACD ， ∴直线1A B ∥平面1ACD ．（2）由正方体性质可知1D D ⊥平面ABCD ， ∵AC ⊂平面ABCD ， ∴1D D AC ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， ∴AC ⊥平面1BD D ， ∵AC ⊂平面1ACD ， ∴平面1ACD ⊥平面1BD D ．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，2BC =，AB =，11CC =．（1）求证：1BC AC ⊥．（2）在AB 上是否存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ，若存在，试给出证明；若不存在，请说明理由． （3）在11A B 上是否存在点E ，使得1AC ⊥平面CBE ，若存在，试给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】 【解析】（1）∵111ABC A B C -是直角三棱柱， ∴1A A ⊥平面ABC ，ABC C 1B 1A1∴1A A BC ⊥，又∵ABC △中，2AC BC ==，AB =， ∴222AC BC AB +=， ∴AC BC ⊥， 又1A AAC A =，∴BC ⊥平面11ACC A ， ∴1BC AC ⊥．（2）在AB 上存在点D 使1AC ∥平面1CDB ，D 是AB 的中点，证明如下： 设1BC 与1CB 交点为O ，则O 是1BC 中点，连结OE ． ∵O 是1BC 中点，D 是AB 中点， ∴1AC OD ∥，又1AC ⊄平面1CDB ，OD ⊂平面1CDB ， ∴1AC ∥平面1CDB ．（3）存在点E ，使1AC ⊥平面CBE ，E 是靠近1B 的四等分点，1134AE A B =，现证明如下： 以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,0,1)C ，1(2,0,1)A ，1(0,2,1)B ，11(2,2,0)A B =-，1(2,0,1)AC =-．设111A E A B λ=，则1(2,2,0)A E λλ=-，∴(22,2,1)E λλ-+，∴(22,2,1)CE λλ=-+， ∵1AC BC ⊥，∴要使1AC ⊥平面CBE ，只需靠1AC CE ⊥，∴10AC CE ⋅=， ∴2(22)10λ--=++，解得34λ=． 故在11A B 上存在点E ，11134A E AB =时，1AC ⊥平面CBE ．II 卷一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上） 20．直线l 过点(1,2)A ，且不过第四象限，则l 的斜率的取值范围是__________． 【答案】[0,2] 【解析】如图，直线l 过点(1,2)A 且不过第四象限，则直线l 位于直线1l 和直线2l 之间，当直线在1l 的位置时，0k =，当直线l 位于2l 的位置时，20210k -==-，∴02k ≤≤， 故l 的斜率的范围是[0,2]．21．圆柱形容器内部盛有高度为12cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是__________cm ．【答案】6【解析】设球的半径为r ，根据题意可得：3=V V V 球水柱+，【注意有文字】即：32243ππ12π63r r r r ⨯⨯=⨯+，解得：6r =，即球的半径为6cm ．22．(,)P x y 是2(4)4x y 2-+=上的点，则yx的范围是__________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】令yk x=，则k 为经过圆上一点和坐标原点的直线的斜率，当过原点直线与圆相切时斜率为k故yx 的取值范围是⎡⎢⎣⎦．23．在边长为6cm 的木块每个面的中心都画一个边长为2cm 的小正方形（小正方形各边与所在面大正方形的各边对应平行），沿着每个小正方形的各边凿一个正四棱柱形的洞，一直凿到对面的小正方形，如图所示．如果要用油漆涂满此木块落在空气中的各个面，那么所涂各面的面积之和为__________2cm ．【答案】288【解析】该几何体的表面积=大正方体的表面积6-个面小正方形的面积6+个小正方体侧面面积36646166288=⨯-⨯⨯=+．24．设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ．（1）若P 为AB 的中点，则集合M 中有__________个元素．（2）若集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有__________个． 【答案】（1）2；（2）10【解析】（1）设正四面积A BCD -棱长为a ，当P 是AB 中点时，12PA PB a ==，PC PD ==， ∴集合M 中有2个元素．（2）符合条件的P 有两误：①6条棱的中点，②4个面的中心，共10个．二、解答题（共3个小题，共30分．请写明必要的解题过程） 25．（8分）已知曲线方程22240x my x y n +--+=，(,)m n ∈R ． （1）若此方程表示圆，求m 的值及n 的范围．（2）若4n =-，直线l 过(2,0)A 且与圆的相交于B ，C两点，且BC =l 方程． 【答案】【解析】（1）若方程22240x my x y n --=++表示圆，则 1m =且41640n ->+，解得：5n <，故1m =，5n <．（2）当4n =-时，圆的方可比为22(1)(2)9x y --=+， ∵直线l 与圆相交于B ，C两点，且BC =，∴圆心到直线l的距离1d =，∵直线l 过点(2,0)A ，①当k 不存在时，直线:2l x =，符合题意，②当k 存在时，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心到直线l的距离1d ==，解得34k =-， ∴直线l 的方程为：3(2)4y x =--，即3460x y -=+．综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y -=+．26．（10分）如图：四棱锥P ABCD -底面为一直角梯形，AB AD ⊥，AB DC ∥，2PA CD ==，1AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，F 是PC 中点．（1）求证：DC ⊥平面PAD ． （2）求证：BF ∥平面PAD ．D ABCFP（3）求三棱锥C DBF -的体积． 【答案】 【解析】（1）∵AB CD ∥，AB AD ⊥， ∴CD AD ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA CD ⊥， 又ADPA A =，∴CD ⊥平面PAD ．（2）取PD 的中点为E ，连接EF ，AE ， ∵E 是PD 中点，F 是PC 中点，∴EF CD ∥，且112EF CD ==，又∵AB CD ∥，1AB =， ∴AB EF ∥，且AB EF =， ∴四边形ABEF 是平行四边形． ∴BF AE ∥，又BF ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴BF ∥平面PAD ．（3）11112113323C DBF F BCD BCD V V S h --==⨯=⨯⨯⨯⨯=△．27．（12分）已知：直线:3410l x y ++=，一个圆与x ，y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3．（1）求圆的方程．（2）P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点．求四边形PECF 的面积的最小值．（3）圆与x 轴交点记作A ，过A 作一直线1l 与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，求OM 最大值． 【答案】【解析】（1）设圆的方程为222()()x a y a a --=+． ∵圆心到直线l 的距离为3，∴|341|35a a d -==+，解得167a =-（舍）或2a =， ∴圆的方程为22(2)(2)4x y --=+．（2）1=222S PE CE PE ⨯⨯⨯==四边形．【注意有文字】EP FCBAD∵=3PC 最小值，【注意有文字】∴PECF S 四边形的最小值=．【注意有文字】 （3）设M 点坐标为(,)x y ，则(2,0)A ，(22,2)B x y -． ∵点B 在圆22(2)(2)4x y -+-=，∴将B 点坐标代入圆的方程得：22(24)(22)4x y --=+，即22(2)(1)1x y --=+， ∴点M 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上，∴||11OM 最大值．【注意有文字】。

北京市铁路第二中学2016—2017学年度第一学期高三文科数学期中考试试卷（2016．11．8）一、选择题（共8个小题；每题5分，共40分,每小题的四个选项中，有且有一项符合题目的要求,请把正确的题号填入答题卷的表格中）1．已知集合{}02A x x =<<,{0B x x c =<<，其中0c >．若A B ⊆,则c 的取值范围是（ ）．A ．(0,1]B ．(2,)∞+C ．[2,)∞+D ．(0,2]2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知2sin 3α=，则cos(π2)α-=（ ）． A． B ．19- C ．19 D4．设x ,y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥++则3z x y =+的最大值是（ ）．A ．43B ．73C ．13- D ．15．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( ）．正（主）视图侧（左）视图俯视图 A ．32 B．16+ C ．48 D．16+ 6．以下有关命题说法错误的是（ )．A ．命题“若2320x x -=+，则1x =”的逆命题为“若1x ≠,则2320x x -≠+”B ．“1x =”是“2320x x -=+"的充分不必要条件C ．若p q ∧为命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x ∃∈R 使得210x x <++,则:p x ⌝∀∈R ，均有210x x ≥++7．平行于直线210x y =++且与圆225x y =+相切的直线的方程是（ ）．A．20x y -或20x y - B．20x y +或20x y +C ．250x y -=+或250x y --=D ．250x y =++或250x y -=+8．设函数12()log f x x x a =-+，则“(1,3)a ∈"是“函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分，请将答案直接填在答题纸的横线上．9．函数21()(0)xf x x x =>+的最小值为__________．10．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=__________．11．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20lx ay =++．若12l l ⊥，则实数a 的值是__________．12．在ABC △中,a ,b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的三边,已知222b c a bc -=+．则角A =__________；若acos C ，则c 的长为___________．13．已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则[](1)f f =__________；若1()2f a >，则实数a 的取值范围是__________．14．在某中学的“校园微电影节”中，学校将从微电影的“点播量"和“专家评分”两个角度进行评优,若A 电影的“点播量”和“专家评分"中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影．已知共有5部微电影参展,如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部电影中，最多可能有_________部优秀影片．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．(本小题13分) 已知函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）求()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及对应的x 的值．16．(本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12(*)n n aa n =∈N +,且2a 是2S 与1的等差中项． （Ⅰ）求{}na 的通项公式． (Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,且对*n ∀∈N ，n T λ<恒成立,求实数λ的最小值．17．(本小题14分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15． （Ⅰ)求a ，b 的值．（Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生概率．18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点． FPD A B CE（Ⅰ）若F 是PD 的中点,求证：EF ∥平面PBC ．（Ⅱ)求证：CE BF ⊥．（Ⅲ）若2AB =，3PD =．当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由．19．（本小题13分) 已知函数()ln a x f x x x-=+，其中a 为常数,且0a >． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线112y x =+垂直,求a 的值． （Ⅱ）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为12，求a 的值．20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =,函数e ()x ng x x =,(0,)x ∈∞+． （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)∞+上是否为单调函数,并说明理由．(Ⅱ）若当1n =时，对任意的1x ，2(0,)x ∈∞+，都有12()()f x t g x ≤≤成立，求实数t 的取值范围．（Ⅲ)当2n >时，若存在直线:()l y t t =∈R ,使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值．（只需写出结论）。

北京市西城35中2018届高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（）．A ．直线、直线B ．圆、圆C ．直线、圆D ．圆、直线【答案】D【解析】由cos ρθ=，得2cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式得220x y x +-=，故极坐标方程表示的图形为圆；由123x ty t =--⎧⎨=+⎩消去参数t 整理得310x y ++=，故参数方程表示的图形为直线．故选D ．2．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+【答案】A【解析】试题分析：将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒所得到的直线为13y x =-，再向右平移1个单位，所得到的直线1(1)3y x =--，即1133y x =-+．故选A ．【考点】图象的变换．3．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N = （）．A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[)1,3-D ．(]2,1--【答案】C【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +==+=-≥≥≥，{}|13M N x x =-< ≤．故选C ．【点睛】研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是不等式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系．4．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需要把函数lg y x =的图象上所有的点（）．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】试题分析：因为3lglg(3)110x y x +==+-，所以得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点左平移3个单位再向下平移1个单位．故选C ．【考点】1对数的运算；2图像平移．5．设函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象C 向右平移π2个单位后关于原点对称 D ．函数()f x 的区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数【答案】B【解析】A 项．()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 项错误； B 项．πππ2sin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 项正确；C 项．π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π2个单位后得到π2sin 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，不关于原点对称，故C 项错误；D 项．ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当πππ2,322x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，即π5π,1212x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，当ππ2π2,323x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，故D 错误；综上． 故选B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题；最小正周期为2πϕ，正弦函数的图象过对称中心，正弦函数sin y u =的增区间满足ππ2π2π22k u k -++≤≤，k ∈Z 等．6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（）．A ．1B ．4C ．7D ．15【答案】D【解析】∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =， 当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，， ∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+， ∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=， ∴21n n a =-， ∴442115a =-=． 故选D ．7．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【解析】命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误；命题①显然正确；命题④m n ∥，n m n ααβαβ⊥⎫⊥⇒⇒⊥⎬⎭∥，故④正确；综上正确命题为①④． 故选C ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的性质和面面平行的性质等知识，涉及数形结合思想和分类与整合思想，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题型．解决此种主要采取特例法和排除法，例如：命题②m ，n 结果可能异面，故②错误；命题③结果可能n α⊂，故③错误．8．在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43C D ．23【答案】D【解析】112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．9．设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）．A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n <【答案】C【解析】∵命题:p n ∃∈N ，22n n >， ∴p ⌝为：n ∀∈N ，22n n ≤． 故选C ．10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-【答案】A【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当0x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-+∞ ． 故选A ．二、填空题11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4c =，60A =︒，则b =__________． 【答案】1或3【解析】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，将a =4c =，60A =︒，代入得2430b b -+=，解得1b =或3b =，故答案为1或3．【点睛】此题考查了余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC △中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 12．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________． 【答案】500π35=，故球的体积为34π500π533⨯=，故答案为500π3．13．已知向量a ，b 满足||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为__________．【答案】120︒【解析】∵||||1a b == 且34,55a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴22()||||2||||cos 1a b a b a b θ+=++=，∴1cos 2θ=-，120θ=︒，即a 与b的夹角为120︒， 故答案为120︒．14．已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________． 【答案】(,5)-∞【解析】若方程22240x y x y m +--+=表示圆，则41640m +->，解得5m <，故m 的取值范围为(,5)-∞．故答案为(,5)-∞．15．如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作E F A E⊥交BCD ∠的外角平分线于F ．设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是__________．【答案】(]0,4【解析】如图，作FG BC ⊥，交BC 延长线于G ，则CG FG =，D A BCE F易证得E ABE GF ∽△△， ∴AB BEEG FG=， 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+， ∴44xm x x m m===-+．∴π()(4)cos (4)4f x EC CF x x x =⋅=-⋅=- ，由题知04x <<，所以0()4f x <≤，故()f x 的值域是(]0,4． 故答案为(]0,4．16．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．【答案】1【解析】∵z x ay =+，则11y x z a a =-+，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵0a >，把x ay z +=平移，使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =，故答案为1．【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题；先根据约束条件画出可行域，由z x ay =+，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z x ay =+与可行域的边界AC 平行时，从而得到a 值即可．GFE C BA D17．已知平面量(2,1)a ，(1,3)b =-，若向量()a a b λ⊥+ ，则实数λ的值是__________．【答案】5-【解析】∵(2,1)a = ，(1,3)b =-， ∴(2,13)a b λλλ⊥=-+， ∵()a a b λ⊥+ ， ∴()0a a b λ⋅+=，∴2(2)130λλ-++=，解得5λ=-， 故答案为5-．18．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．【答案】83【解析】由定积分的几何意义可得：0210448()d ()d 333S f x x f x x -⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰， 故答案为83．三、解答题19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为l ．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a -≤．（3）见解析．【解析】（1）当1a =时，2()ln (0)f x x x x x =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1()2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令1()2g x x x =-，则min ()a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴min ()(1)1g x f ==-， ∴1a -≤．（3）设切点为(,())M t f t ，1()2f x x a x'=+-，∴切线的斜率12k t a t =+-，又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a t t =+-，即22ln 21t at t t at +-=+-， ∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性，设2()1ln t t t ϕ=-+，则1()20t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．【分析】（1）当1a =时，求出函数的导函数(21)(1)()x x f x x -+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间．（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果．（3）设切点为(,())M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t =，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性．【点睛】本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．20．已知圆C 过点(0,1)，，且圆心C 在y 轴上． （1）求圆C 的标准方程．（2）若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围．【答案】（1）22(3)4x y +-=．（2）k <<． 【解析】（1）∵圆心C 在y 轴上， ∴可设的标准方程为222()x y b γ+-=，∵圆C 过点(0,1)和点，∴2222(1)3(4)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得32b γ=⎧⎨=⎩， ∴圆C 的标准方程为22(3)4x y +-=．（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=， ∵l 与圆C 无交点，∴圆心(0,3)到直线l 的距离大于γ，2>，解得k <<．【分析】（1）由于圆心在y 轴上，利用待定系数法可设标准方程为222()x y b γ+-=，将点代入方程． 可得方程组，解出方程组即可； （2）设直线的方程为y kx =，直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．21．已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值．【答案】（1．（2． 【解析】（1）∵a b ⊥， ∴sin 2cos 0a b x x ⋅=-=，即sin 2cos x x =，又∵22sin cos 1x x +=，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin x =cos x =．（2）∵5cos()5(cos cos sin sin )x x x θθθθθθ-=+=-=， ∴sin cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π02θ<<，∴cos θ=【分析】（1）两向量垂直等价于数量积为0，即s i n2c o s x x =，结合三角恒等式及x 的取值范围可得sin x ，cos x 的值．（2）利用两角差的余弦展开可得sin cos θθ=，结合三角恒等式可得结果．22．如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CGCC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值． 【答案】（1）12．（2）见解析．（3）． 【解析】（1）因为1C F ∥平面AEG ，又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =， 所以1C F AG ∥．因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形， 所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =． （2）因为1AA ⊥底面ABC ， 所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)C ，1(0,0,2)A ，因为E ，G 分别是BC ，1CC 的中点， 所以(1,1,0)E ，(2,0,1)G ．1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=．所以1EG CA ⊥ ， 所以1EG AC ⊥．（3）设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，则G AB CEF C 1B 1A110,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y x z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z =-，所以(1,1,2)n =--． 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)m =．所以cos ,||||n m n m n m ⋅==⋅，由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为． 【分析】（1）求1CGCC 的值，关键是找G 在1CC 的位置，注意到1C F ∥平面AEG ，有线面平行的性质，可得1C F AG ∥，由已知F 为1AA 中点，由平面几何知识可得G 为1CC 中点，从而可得1CGCC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，这样建立空间坐标比较简单，故以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，取2AB =，可写出个点坐标，从而得向量EG ，1CA的坐标，证10EG CA ⋅=即可．（3）求二面角1A AG E --的余弦值，由题意可得向量AB是平面1A AG 的一个法向量，只需求出平面AEG 的一个法向量，可设平面AEG 的法向量(,,)n x y z =，利用0,0,n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即可求出平面AEG 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角1A AG E -=的余弦值． 【考点】线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．23．已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||()n b b b b n +++∈N *． 【答案】（1）12n n a -=．（2）21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪+++=⎨++∈⎪⎩NN **≤≥． 【解析】（1）∵在等比数列{}n a 中，11a =，48a =， ∴2q =，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，n ∈N *．（2）∵3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项， ∴634b a ==，8516b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则：1171654b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得126b =-，6d =，∴等差数列{}n b 的通项公式1(1)632n b b n d n =+-=-，当5n ≤时，21212||||||()329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+ ，当6n ≥时，22121256||||||()70(32970)329140n n b b b b b b b b n n n +++=-++++++=+-+=-+ ．综上所述：21232329,5,||||||||329140,6,n n n n n b b b b n n n n ⎧-+∈⎪++++=⎨++∈⎪⎩N N≤≥**． 【分析】（1）利用等比数列的定义可得2q =，故而可得等比数列通项公式． （2）根据3a ，5a 的值可求出等差数列{}n b 的通项公式632n b n =-，分为5n ≤和6n ≥两种情况可得数列前n 项和．。

北京三十一中学2017-2018学年度第一学期高三第一学段数学（理科）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案） 1．已知集合{}1,1,2A =-，{}|10B x x =+≥，则A B =（ ）．A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}2【答案】A【解析】∵集合{}1,1,2A =-， 集合{}{}|10|1B x x x x =+=-≥≥， ∴集合{}1,1,2A B =-．故选A ．2．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（ ）．A ．()f xB ．()ln f x x =C ．()2x f x =D ．()tan f x x =【答案】C【解析】A 项，()f x =[0,)+∞；B 项，()ln f x x =的值域是R ；C 项，()2x f x =的值域是(0,)+∞；D 项，()tan f x x =的值域是R ． 故选C ．3．在ABC △中，若tan 2A =-，则cos A =（ ）．AB ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可知，sin tan 20cos AA A==-<， 即sin 2cos A A =-， 又22sin cos 1A A +=，所以21cos 5A =，A 为钝角，所以cos A = 故选B ．4．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数1xy a a =-（0a >且1a ≠）的图象可以看成把函数x y a =的图象向下平移1a个单位得到的．当1a >时，函数1xy a a =-在R 上是增函数，且图象过点(1,0)-，故排除A ，B ； 当01a <<时，函数1xy a a=-在R 上是减函数，且图象过点(1,0)-，故排除C ．故选D ．5．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“2a a >”等价于“0a <或1a >”， 所以“2a a >”是“1a >”的必要不充分条件． 故选B ．6．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）．A ．πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1πsin 220y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度可得到πsin 10y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．故选C ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0)O ，(0,1)A ，(1,2)B -，(,0)C m ，若OB AC ∥，则实数m 的值为（ ）．A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】由已知可得(1,2)OB =-，(,1)AC m =-， 因为OB AC ∥， 所以21m -=-， 解得12m =． 故选C ．8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则（ ）．A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上的单调递增 【答案】C【解析】已知函数π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是4π，所以2π4πω=，可得12ω=．则1π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．A 项，因为π1(0)sin 062f ==≠，所以函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 项错误；B 项，因为π5π1sin 1362f ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误； C 项，函数()f x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度后得到1ππ1sin sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，关于原点对称，故C 项正确；D 项，当0πx <<时，1ππ2π,2663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π1ππ6262x <+<，得2π03x <<， 令π1π2π2263x <+<，得2ππ3x <<，所以函数()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 项错误．故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9．若()f x ()f x 定义域__________．【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，则 12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩， 解得102x -<<，故()f x 的定义域为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．已知2log 5a =，23b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 【答案】a b c >>【解析】22log 5log 42a =>=，2log 3(1,2)b =∈，33log 2log 31c =<=， 故a b c >>．11．曲线sin (0π)y x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 【答案】2【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积 π0πsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰．12．若sin()y x ωϕ=+的图象如图π0,||2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，则ω=__________，ϕ=__________．【答案】12；π6【解析】由图象可知2πππ433T =+=，所以2π4πT ω==，故12ω=． 1()sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2ππsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，π2π6k ϕ=+，k ∈Z ． 又π||2ϕ<，故π6ϕ=．13．已知向量a ，b 满足(,1)a x =，(1,1)b =-，(2)4b a b ⋅+=，则x =__________，a 与a b -的夹角为__________． 【答案】1【解析】已知(,1)a x =，(1,1)b =-，则2(2,3)a b x +=-， 由于(2)4b a b ⋅+=，所以(2)34x --+=，解得1x =．14．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1n =，2，3，），且1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列，则c =__________，{}n a 的通项公式__________． 【答案】2；22n a n n =-+ 【解析】∵12a =，1n n a a cn +=+， ∴212a a c c =+=+，32223a a c c =+=+， ∵1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列，∴2213a a a =，即2(2)2(22)c c +=+， 解得0c =（舍去）或2c =． ∴12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=， 则121321()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2242(1)n =++++-22(1)2(1)2n n +-=+⨯- 22n n =-+， 故数列{}n a 的通项公式为22n a n n =-+．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分13分） 已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-．（1）求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）求sin2cos2αα+的值．【答案】见解析．【解析】（1）∵tan 2α=-，∴πtan tanπtan 12114tan π41tan 1(2)31tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-+． （2）由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-，得sin α，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．16．（本题满分13分）已知函数2π()26sin cos 2cos 14f x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求()f x 的最小正周期．（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】见解析．【解析】（1）∵1sin cos sin22x x x =，21cos (1cos2)2x x =+，∴2π()26sin cos 2cos 14f x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭sin2cos23sin2(1cos2)1x x x x =--+-++2sin22cos2x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）∵π02x ≤≤，∴ππ3π2444x --≤≤，∴当0x =时，πsin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值；当3π8x =时，πsin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，∴当3π8x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值，max 3π()8f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭当0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值，min ()(0)2f x f ==-．17．（本题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，ABC S =△． （1）求b 的值． （2）求sin B 的值． 【答案】见解析．【解析】（1）∵60A =︒，ABC S =△，∴11sin6022bc bc ︒==，整理得：6bc =， 又∵32b c =， ∴2b =，3c =．（2）∵2b =，3c =，60A =︒，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2222367a =+-=，解得a =， 由正弦定理得：sin sin a b A B =2sin B=，解得sin B =． 18．（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，(1)()n n S na n n n +=--∈N ． （1）求n a 的表达式．（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．【答案】见解析．【解析】（1）当2n ≥时11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----， ∴12(2)n n a a n --=≥，∴数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， ∴21n a n =-．（2）数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=+++1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+． 19．（本小题满分13分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． （2）求()f x 的单调区间．（3）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析． 【解析】（1）∵1a =，∴2()42ln f x x x x =-+，22242()24x x f x x x x-+'=-+=（其中0x >），∴(1)3f =-，(1)0f '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3y =-． （2）∵2()2(1)2ln f x x a x a x =-++（其中0a >）， ∴2()22(1)af x x a x'=-++ 222(1)2x a x ax-++=2(1)()x x a x --=（其中0x >），由()0f x '=，得1x a =，21x =； ①当01a <<时，在(0,)x a ∈和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 在(,1)x a ∈时，()0f x '<，∴()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴()f x 的单调增区间是(0,)+∞；③当1a >时，在(0,1)x ∈和(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，在(1,)x a ∈时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．综上所述，当01a <<时，()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ；当1a =时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当1a >时，()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．（3）由（2）知：当01a <≤时，()f x 在区间[1,e]上是增函数，最大值是(e)f ；当1a >时，()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，最大值只能在区间的端点处取到， 即有(1)12(1)210f a a =-+=--≤， ∴12a -≥，且22(e)e 2(1)e 2e 2e 2(e 1)0f a a a =-++=---≤，整理得2e 2e2e 2a --≥．综上，a 的取值范围是2e 2e ,2e 2⎡⎫-+∞⎪⎢-⎣⎭．20．（本小题满分14分）已知函数321()1()3f x x ax a =-+∈R ．（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求a 的值． （2）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围． （3）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点． 【答案】见解析．【解析】（1）2()2f x x ax '=-，(1)12f a '=-，∵曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直， ∴(1)121f a '=-=-， ∴1a =．（2）令()0f x '=，即(2)0x x a -=，得0x =或2x a =．∵0a >，所以0x =不在区间2(,3)a a -内，要使函数在区间2(,3)a a -上存在极值， 只需223a a a <<-． 解得3a >．（3）证明：令()0f x '=，得0x =或2x a =， ∵2a >， ∴24a >，∴()0f x '<在(0,2)上恒成立，函数()f x 在(0,2)内单调递减， 又∵(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ∴()f x 在(0,2)上恰有一个零点．。

北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。

北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。

选：A。

2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。

选D。

3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。

选A。

4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。

选D。

5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。

选D。

6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。

选B。

7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。

如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。

将代入得，∴点的坐标为。

北京市铁路第二中学2016—2017学年度第一学期 高三文科数学期中考试试卷（2016．11．8）一、选择题（共8个小题；每题5分，共40分，每小题的四个选项中，有且有一项符合题目的要求，请把正确的题号填入答题卷的表格中）1．已知集合{}02A x x =<<，{0B x x c =<<，其中0c >．若A B ⊆，则c 的取值范围是（ ）． A ．(0,1] B ．(2,)∞+ C ．[2,)∞+ D ．(0,2]2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知2sin 3α=，则cos(π2)α-=（ ）．A． B ．19- C ．19D4．设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥++则3z x y =+的最大值是（ ）．A ．43B ．73C ．13-D ．15．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）．正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．32B ．16+C ．48D ．16+6．以下有关命题说法错误的是（ ）． A ．命题“若2320x x -=+，则1x =”的逆命题为“若1x ≠，则2320x x -≠+”B ．“1x =”是“2320x x -=+”的充分不必要条件C ．若p q ∧为命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x ∃∈R 使得210x x <++，则:p x ⌝∀∈R ，均有210x x ≥++7．平行于直线210x y =++且与圆225x y=+相切的直线的方程是（ ）．A．20x y -或20x y -B．20x y +或20x y +C ．250x y -=+或250x y --=D ．250x y =++或250x y -=+8．设函数12()log f x x x a =-+，则“(1,3)a ∈”是“函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案直接填在答题纸的横线上．9．函数21()(0)x f x x x=>+的最小值为__________．10．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=__________． 11．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l x ay =++．若12l l ⊥，则实数a 的值是__________．12．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的三边，已知222b c a bc -=+．则角A =__________；若acos C ，则c 的长为___________．13．已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则[](1)f f =__________；若1()2f a >，则实数a 的取值范围是__________．14．在某中学的“校园微电影节”中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度进行评优，若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影．已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部电影中，最多可能有_________部优秀影片．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅱ）求()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及对应的x 的值．16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(*)n n a a n =∈N +，且2a 是2S 与1的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，求实数λ的最小值．17．（本小题14分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a ，b 的值．（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生概率． 18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．FPDABCE（Ⅰ）若F 是PD 的中点,求证：EF ∥平面PBC ． （Ⅱ）求证：CE BF ⊥． （Ⅲ）若2AB =，3PD =．当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由．19．（本小题13分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线112y x =+垂直，求a 的值．（Ⅱ）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为12，求a 的值．20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n xf x x =，函数e ()x ng x x=，(0,)x ∈∞+．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)∞+上是否为单调函数，并说明理由．（Ⅱ）若当1n =时，对任意的1x ，2(0,)x ∈∞+，都有12()()f x t g x ≤≤成立，求实数t 的取值范围． （Ⅲ）当2n >时，若存在直线:()l y t t =∈R ,使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值．（只需写出结论）。

北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期 期中试卷高一数学I 卷一、选择题（共 12个小题，每题 4分，共48分•每小题只有一个正确选项，请选择正确 答案填在机读卡相应的题号处）1 设集合 U 止1,2,3,4M ・1,2,3二 N =「2,3,4?，则 eJM^N ）二（ ）.A •乩2?B • [2,3?C . 「2,4?D . 3,4]【答案】D【解析】••• M n N =「2,3?,••• e u （M PIN ）」1,4?，选择 D . 2.下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是（）.3. 三个数(0.3)2 , 20'3，log 2 0.3的大小顺序是(A . (0.3)2 <20'3 dog 2 0.320 3C . log 2 0.3 :： (0.3) ：：2.【答案】C【解析】••• 0 <(0.3)2 <1 , 203 20 =1 , log 20.3 ：：0 , •显然有 log 2 0.3 ：：：(0.3)2 ：：：20.3，选择 C .14.函数f （x ）二-X 的图象（ ）.)•20 3B . (0.3)2 ：：log 2 0.3 ：：2【答案】C【解析】•••函数中同一个向变量只能对应一个函数值,CxA.关于原点对称B.关于直线y = x对称c .关于x 轴对称D •关于y 轴对称【答案】A【解析】T f （x ）的定义域为（-：：,0） U （0，•：：），关于原点对称，r1且 f （ -x ） =xf （x ）, x••• f （x ）为奇函数，关于原点对称，选择 A •15.36_iog 2 6 2 的值是（）•49 g2 A .【答案】【解析】二 6 ‘7=1 .•选择B .6•下列函数中值域是（0,；）的是（）.xL2 A . y=2x1（x 0） B . y=3C . y=xD . y =-x【答案】B【解析】••• A 的值域为（1,；） , C 的值域为R , D 的值域为（-匚：，0）U （0, ■：，选择B .y （枝）与时间t （月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（）.012345 6 78 91011121314151617182A . y =2tB . yC . -17.如图给出了某种豆类生长枝数C . y =t 3D .厂2七•••原式1-iog 2(2巧【答案】B【解析】•••由图像知模型越来越平滑，•••只有B 符合条件, •••选择B •8已知函数f (x) =(x —a)(x —b)(其中a ::: b )，若f(x)的图象如图所示，贝U 函数g(x)=a x 的图像是()•【答案】A【解析】T 由图像易知： b ：：： -1 , 0 ::: a ：：：1;• g(x) =a x b 为减函数，9•函数f(x) -x 3 2x 1 一定存在零点的区间是()•1 -1 2,1A•a 0,4『1 1B• 4,2C【答案】 B【解析】 ••• f (x) -x 32x -1在(0,；)上单调递增，D • (1,2)A•又••• x =0时，g(x)=1 b < 0，与y 轴加点在x 轴下方; •选择A •以上集合均属于(0,=)，根据零点存在定理,••• f(a) f(b) <0,易知B 选项符合条件， •选择B •10. 在R 上运算：x ：y=x(1—y)，若不等式(x —a) ： (x • a) ：：： 1对任意实数x成立，则(【解析】不等式(x —a) ： (x • a) ：：:1化简为:(x -a)(1 -x - a) ：：：1 ,即：x 2 -x a - a 2 1 . 0对任意x成立，2••• 1 -(a -a 1) 4 <0 ,解得—1 :：: a :::-，选择 B .2 2x11.函数f(x) , (a ・R )，若函数f(x)在(1,；)上为减函数，则实数 a 的取值范围是x -a( ).A .(」：,1]B .(一匚1)C . (0,1]D . (0,1)【答案】Cx【解析】••• f(x)二 - ，若f (x)在(1,；)上为减函数，x —aa 0二 ,x _a 0••• 0 ::: a < 1，选择 C . 12.如图，函数f(x)的图象为折线ACB ，则不等式f(x) > log 2(x 1)的解集是().A . lx | -1 ：： x < 0fB . 1x| -1 w x w 1 / D . lx | —1 ：：x w 2;【答案】B【解析】作出函数 y =log 2(x 1)的图像：A .【答案】 3 1a -1 2BC . _1 ：：： a ：：：1D . 0 ：：： a ：：： 2).C . lx | -1 ：：： x w 1 /•••易知 f(x)与 y=log 2(x 1)相交于 P(1,1), •••由图可知解集为〔-1,11,选择B .二、填空题(共6个小题，每题4分，共24分•请将正确答案填在答题纸相应的题号处)13•映射f : x 「匸，2的象为 _________________ ，2的原象为 ____________ •【答案】,2 , 4【解析】2的象为,2 , 2的原象为22 =4 •14.已知关于x 的不等式-x 2亠ax 亠b 0 , (a,b 二R )的解集为A = | 一1 ：：： x ：：： 3,x•- R J •则a +b = _________ •【答案】5【解析】易知 人=-1和x 2 =3是x 2 -ax -b =0的两个根，x<^x 2 =a•••根据韦达定理可知-,X t X 2 _ -ba - -1 3 =2 ,b - -x^ T 3 =3 ,二 a b =5 •ig(-x),(xc0)15.函数f(x)二 1的零点为 ____________ ，单调减区间为x +_,(x >0) L x【答案】, (-：：,0)和(0,1)【解析I ： lg (冈=0时，x =-1，合题,••零点为x =1 •1 f 1 tT f (X )二X 时，f (x) =12 ,x =1 时 f (x) =0 ,xx•••当0 <x .1时，f (x) ：：：0 , f (x)为单调减函数, 又T f(x0=lg(-x)在(-：：,0)上为单调减函数， 综上所述：f (x)在(-二,0)和(0,1)上为单调减函数.当x 0时,16•函数f(x)=log2X在区间12,2a ］上的最大值与最小值之差为-，则a =2【答案】..2【解析】••• f(x) =log2X在区间2,2 a I上为单调增函数,由题可得：1 Iog2（2a） _log2 2 二/• lOg2117. 函数f(x)= 的定义域为全体实数，则实数__ a的取值范围为ax +2ax +3【答案】[0,3)1【解析】①a =0时，f(x)=-，符合条件；3②••• a 0时，等价于ax2 2ax 3 0恒成立，•—：：0 ,二有4a2 -12a ：：：0 ,解得0：：：a ：：：3;③••• a <0 时，等价于ax2 2ax 3 ：：：0 恒成立,：：0 ,••有4a2 -12a ：：：0 ,无解，故不符合条件.综上所述a的取值范围为[0,3).18. 对于函数f(X)，若f(X。