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空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 (2) 向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下⑵加法结合律：(a b) a (b c) ⑶数乘分配律：(a b^ a b运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a // b 。
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b ( b 工0 ) , a // b 存在实数 入使a = Xb 。
(3) 三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> AB 二’AC<=> OC xOA yOB 其中X 厂 1)(4) 与a 共线的单位向量为土 —a4. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，p 与向量a,b 共面的条件是存在实(如图)运算律：⑴加法交换律：a b a一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使p 二xa • yb zc 。
4^4 彳"呻H 4若三向量a,b,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个 基底，a,b,c 叫做基向 量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O ,A ,B ,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 T T T Tx, y, z ，使 OP 二 xOA yOB zOC 。
6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组（x,y,z ）， 使OA =xi yi zk ，有序实数组（x,y,z ）叫作向量A 在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标， 记作A （x, y,z ）， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量立体几何知识点集锦一、空间向量的加法和减法：()1求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA = ，b OB = ，则a b BA =-．()2求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．二、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ 与a 方向相同；当0λ<时，a λ 与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0 ．a λ 的长度是a的长度的λ倍．三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ= ．五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．六、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A；或对空间任一定点O ，有x y C O P=O A +A B +A；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++= ． 七、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A = ，b OB = ，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．八、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉= ，则向量a ，b互相垂直，记作a b ⊥ ．九、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉 称为a ，b的数量积，记作a b ⋅ ．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉 ．零向量与任何向量的数量积为0．十、a b ⋅ 等于a 的长度a 与b 在a的方向上的投影cos ,b a b 〈〉 的乘积．十一、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅= ；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅= ，a a a =⋅ ； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤ ．十二、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．十三、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．十四、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP = ．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z = ．此时，向量p的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．十五、设()111,,a x y z = ，()222,,b x y z = ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ= ．()4121212a b x x y y z z ⋅=++ ．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++= ． ()6若0b ≠ ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()7222111a a a x y z =⋅=++ ．()8121212222222111222cos ,x x y y z z a b a b a b x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-．十六、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP = ，这样点A 和向量a不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．十七、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．十八、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a称为平面α的法向量．十九、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅= ．二十、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅= ，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔= ．二十一、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ= ，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．二十二、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅== ．二十三、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n的夹角为ϕ，则有sin cos l nl n θϕ⋅== ．二十四、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅= ．二十五、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．二十六、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB 计算．二十七、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=。
勤奋，博学，笃志，感恩！空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b=+=+ ;BA OA OB a b=-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x y x 其中（4）与a 共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y勤奋，博学，笃志，感恩！使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
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1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作ba ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a ±4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1。
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.OB OA AB a b =+=+；BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律:a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律:b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //.（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ,使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线〈=〉AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4。
共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=〉)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作ba ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρb ρa ρbρλ=)1(=++=y x y x 其中a±共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b rr 不共线，p r与向量,a b rr 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r。
6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。
②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示。
空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =r，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r，112233a b a b a b a b ⋅=++r r， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，λ=，则点P 坐标为)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x 。
推导：设P （x,y,z ）则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然，当P 为AB 中点时，)2,2,2(212121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（x ABC 中∆，三角形重心P 坐标为)2,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++ ⑤ΔABC 的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
AC AB +=λ（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
==垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB PA ⋅=⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则||a ==r||b ==r（5）夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅r rr r r r 。
ΔABC 中①0>•<=>A 为锐角②0<•<=>A 为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==u u u r ，或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥rr 。
（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r。
（3）向量的数量积：已知向量,a b rr ，则||||cos ,a ba b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅rr ，即a b⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r 。
（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r。
②0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r 。
③2||a a a =⋅r r r 。
（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r 。
②a b b a ⋅=⋅r r r r（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r（分配律）。
④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ⋅≠⋅ 二．空间向量与立体几何1．线线平行⇔两线的方向向量平行1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直3线线夹角θ（共面与异面）]90,0[O O ⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角，><=2,1cos cos n n θ3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.><=,cos sin θ3-2面面夹角（二面角）θ]180,0[O O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.><±=21,cos cos n n θ4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ uuu r;；计算平面α的法向量n;.h=4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1．基本运算与基本知识（）例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +u u u r u u u r ； ⑵AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r；⑶12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ； ⑷1()3AB AD AA '++u u ur u u u r u u u r 。
例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例3 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。
⑴求以向量,AB AC u u u r u u u r为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量,AB AC u u u r u u u r 垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标。
2．基底法（如何找，转化为基底运算） 3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标） 4．几何法例4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r，切记！例5. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。
