习题详解-第2章 极限与连续

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）. A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1. [单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctanx【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=. [单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】x=1时，分母为0，无意义。

1习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，讨论有界性和单调性。

如果有极限请写出极限值：（1）13nn x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；解：{}n x 的前五项为：11111,,,,392781243⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，从趋势可知，{}n x 不单调；11()33n -≤ ，故{}n x 有界。

{}n x 有极限值0。

（2）1n nx n =+； 解： {}01nx <<，所以有界。

111021(1)(2)n n n n xx n n n n ++-=-=>++++，所以单调递增， {}n x 有极限值1 （3）()10.1nn x =-； 解：{}01nx <<，所以有界。

()0.1n随着n 值的增大而减小，所以相应的n x 的值增大，所以为单调递增。

{}n x 的极限值为1 （4）cos2n n x n π=； 解：分别取)(2+∈=N k k n 和)(12+∈+=N k k n ，显然cos2n n x n π=是无界不单调的，故没有极限值。

（5）1n x n =-。

解：是无界的，且单调递减。

不存在极限2. 用极限定义证明：：对于任意的正数2，即（3）3limn +3. 对下面情况进行讨论，对得到的结论作出论证：（1） 数列{}n x 和{}n y 都发散，{}n n x y ±和{}n n x y 的收敛性如何？解：{}n n x y ±，{}n n x y 可能收敛，可能发散。

如sin ,n n x n y n ==，n n n n x y n n x y n n ±±⋅⋅=s i n 、=s i n 均发散的。

又如1,n n x n y n ==，1n n x y n n±±=是发散的，n n x y ⋅=1是收敛的。

（{}n n x y ±收敛需要再举个例子） （2） 数列{}n x 、{}n y 中有一个收敛，另一个发散，{}n n x y ±、{}n n x y 的收敛性如何？ 解：{}n n x y ±一定发散，而{}n n x y 可能收敛可能发散。

第二章 极限与连续 基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,357极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为03．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n nn nnn a n 为奇数为偶数极限为1§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞xx e极限为零 2．2lim tan x x π→无极限3．lim arctan →-∞x x极限为2π-4．0lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1lim () 3.x f x →∴=222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2lim ()x f x →∴不存在。

三、设()111xf x e=+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．()101lim lim 01x x xf x e ++→→==+()11lim lim 11x x x f x e--→→==+lim ()x f x →∴不存在。

四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在§2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由： 1．1sinx x是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。

专升本高等数学(二)-极限和连续(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：20.00)1.下列各组函数中，两个函数相同的是______A． B．f(x)=x，C．f(x)=ln｜x｜，g(x)=lnx D．f(x)=1nx3，g(x)=3lnx（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 选项A中，D(f)=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，D(g)=(-∞，+∞)，定义域不相同；选项B中，f(x)=x，g(x)=[*]=｜x｜，对应规律不相同；选项C中，D(f)=(-∞，0)∪(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，定义域不相同；选项D中，D(f)=(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，且lnx3=3lnx，即两个函数的定义域相同且对应规律相同，为相同函数.2.______∙ A.(0，5]∙ B.(1，5]∙ C.(1，5)∙ D.(1，+∞)（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 使函数解析式有意义，自变量x应满足 [*]解得1＜x≤5，即D(f)=(1，5].3.下列函数为奇函数的是______A．y=x4+x-2 B．y=tax+C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据函数的奇偶性的定义，应选D.4.已知f(x)是(-∞，+∞)上的单调增加函数，则F(x)=e-f(x)是______∙ A.单调增加∙ B.单调减少∙ C.不单调但有界∙ D.不单调但无界（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少，则F(x)=e-f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少.5.函数的反函数是______A．y=3log2x+1 B．y=3log2(x+1)C．y=log23x+1 D．y=log+1（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由[*]，得x=log23y+1，即y=log23x+1.6.函数y=cos3(5x+2)的复合过程是______∙ A.y=cos3u，u=5x+2∙ B.y=u3，u=cos(5x+2)∙ C.y=u3，u=cosv，v=5x+2∙ D.y=cosu3，u=5x+2（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y=u3，u=cosv，v=5x+2.7.当x→0时，sin(2x+x)与x比较是______∙ A.较高价的无穷小量∙ B.较低价的无穷小量∙ C.等价的无穷小量∙ D.同阶无穷小量（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为[*]所以当x→0时，sin(2x+x2)与x比较是同阶无穷小量．8.等于______ A．0 B．1 D．5（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限[*]．9.等于______ A．0 B．1 D．2（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 注意到当x→∞时，[*]不存在，但｜sin2x｜≤1，即sin2x是一个有界变量，而当x→∞时，[*]，根据无穷小量的性质：“有界变量乘无穷小量仍为无穷小量”，则有 [*]．10.下列极限中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项A，[*]；选项B，[*]；选项C,[*]；选项D，[*](有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量)．11.等于______ A．0 B． C．1（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 将分母分解因式后，再运用极限的四则运算法则及重要极限Ⅰ，求极限． [*] 另解：(等价无穷小量代换)当x→2时，sin(x-2)～x-2，则 [*]．______∙ A.e2∙ B.e∙ C.e-1∙ D.e-2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：有[*]13.下列各式中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：[*]．14.∙ A.-1∙ B.0∙ C.1∙ D.不存在（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.15.在x=0处连续，则a=______∙ A.-1∙ B.1∙ C.2∙ D.3（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]，因为[*]f(x)=f(0)，所以a=3．16.下列函数中在点x=0处不连续的是______ A． B． C． D （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A中，f(0)=0，[*]f(x)在点x=0处不连续；选项B中，f(0)=0，[*]，f(x)在点x=0处连续；选项C中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续；选项D中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续．17.______∙ A.1∙ B.0∙ C.3∙ D.2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f(x)的间断点为x=-1，x=1．18.函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是______∙ A.(-∞，-2)∙ B.(-2，2)∙ C.(2，+∞)∙ D.[-2，2]（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由4-x2＞0，解得-2＜x＜2，函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是(-2，2)．19.x=1处______∙ A.有定义∙ B.无定义且无极限∙ C.有极限但不连续∙ D.连续（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 函数f(x)点x=1处无定义． [*] 所以函数f(x)点x=1处有极限但不连续．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：18，分数：20.00)20.设f(x)=3x+5，则f[f(x)-2]= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：9x+14）解析：f[f(x)-2]=3[f(x)-2]+5=3[3x+5-2]+5=9x+14.21.设，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：由[*]，得[*] 所以[*]22.设f(x+1)=x2-3x+4，则f(x)=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2-5x+8）解析：令x+1=t，则x=t-1，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+4=t2-5t+8.即f(x)=x2-5x+8.23.f(0)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当x≤0时，f(x)=cosx，则f(0)=cos0=1.24.当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当｜x｜≤1时，f(x)=1，则f[f(x)]=f(1)=1；当｜x｜＞1时，f(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=1. 综上所述，当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=1．25.y=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln(x2+1)(x≥0)）解析：由[*]，解得x=ln(y2+1)(y≥0)，所以[*]的反函数为y=ln(x2+1)(x≥0)．26.设f(x)=e x，g(x)=cosx，则f[g(x)]= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：f[g(x)]=e cosx.）解析：27.设y=lnu，u=cosv，v=x2+x+1，则复合函数y=f(x)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln cosv=ln cos(x2+x+1)．）解析：（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-2）解析：[*]33.设，（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[*] 因为f(0-0)=f(0+0)=1，所以[*]34.x=1处连续，则常数a=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：f(1)=a，f(1-0)=[*] 因为函数f(x)在x=1处连续，所以f(1-0)=f(1+0)=f(0)，因此a=3．35.x=0处连续，则常数k=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：f(0)=2，f(0-0)=[*] f(0+0)=[*] 因为函数f(x)在x=0处连续，则有f(0-0)=f(0+0)=f(0)，所以k=2．36.x=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：已知函数为分式函数，当x=3时，函数无定义．所以函数[*]的间断点为x=3．37.x=0处______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：连续）解析：f(0)e0-1=0，f(0-0)=[*]f(0+0)=[*]，因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，所以函数[*]在点x=0处连续.三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：60.00)求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先对数列用拆项法求前n项之和，再求极限． [*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题为∞-∞型未定式的极限，要用有理化的方法进行恒等变形后再求极限． [*])解析：求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列极限．（分数：12.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4). 3.00）正确答案：(解法Ⅰ[*] 解法Ⅱ[*])解析：(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.)解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)=f(0+0)=2，所以[*])解析：求解下列极限的反问题．（分数：24.00）(1).k的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2-2x+k)=32-2×2+k=0，解得k=-3.)解析：(2).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2+ax+6)=1+a+6=0，解得a=-7)解析：(3).a，b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x2+ax+b=(x-2)(x+m)=x2+(m-2)x-2m，得a=m-2，b=-2m，又[*]解得m=6，于是有a=4，b=-12．)解析：(4).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(此极限为∞-∞型未定式应转化为[*]型未定式，再求解．[*][*](-x2-x+a)=-1-1+a=0，解得a=2.)解析：(5).b的值，使f(x)在点x=1处连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于f(1)=2，且有[*] 依题意f(x)在点x=1处连续，则必有[*] 于是1+b=2，解得b=1．即当b=1时，f(x)在点x=1处连续．)解析：(6).k的值，使f(x)在其定义域上连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)．因为当x＜0时，[*]连续，当x＞0时，f(x)=x2-2x+3k连续，为使f(x)在其定义域上连续，则必使f(x)在点x=0处连续．[*]因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)，于是3k=2，得[*]即当[*]时，f(x)在其定义域上连续．)解析：(7).证明方程x5+5x-1=0至少有一个正根．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=x5+5x-1，则f(x)=x5+5x-1在区间[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=15+5-1=5＞0．根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=ζ5+5ζ-1=0．即方程x5+5x-1=0在区间(0，1)内至少有一个实根．亦即方程x5+5x-1=0至少有一个正根．)解析：(8).证明方程1+x+sinx=0 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=1+x+sinx，则f(x)=1+x+sinx；在区间[*]上连续， [*] 根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈[*]，使得 f(ζ)=1+ζ+sinζ=0．即方程1+x+sinx=0在区间[*]内至少有一个根．)解析：。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

习题2-11. 观察下列数列的变化趋势,写出其极限：<1> 1n n x n =+; <2>2(1)nn x =--； <3>13(1)n n x n =+-； <4>211n x n =-.解：<1> 此数列为12341234,,,,,,23451n nx x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞=.<2>12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在.<3>1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=.<4>12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确： <1>收敛数列一定有界; <2>有界数列一定收敛； <3>无界数列一定发散；<4>极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：<1> 正确.<2> 错误 例如数列{}(-1)n 有界,但它不收敛. <3> 正确.<4> 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1,极限大于零,但是11x =-小于零. *3.用数列极限的精确定义证明下列极限：<1>1(1)lim1n n n n -→∞+-=;<2>222lim 11n n n n →∞-=++； <3>323125lim-=-+∞→n n n证：<1>对于任给的正数ε,要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<,只要1n ε>即可,所以可取正整数1N ε≥.因此,0ε∀>,1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,总有1(1)1n n n ε-+--<,所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. <2>对于任给的正数ε,当3n >时,要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++,只要2n ε>即可,所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此,0ε∀>,2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭,当n N >时,总有22211n n n ε--<++,所以 222lim 11n n n n →∞-=++. <3>对于任给的正数ε,要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----,只要123n ε->即可,所以可取正整数213N ε≥+. 因此,0ε∀>,213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,总有522()133n n ε+--<-,所以 323125lim-=-+∞→n n n .习题2-21. 利用函数图像,观察变化趋势,写出下列极限： <1>21limx x →∞;<2>-lim xx e →∞；<3>+lim xx e -→∞； <4>+lim cot x arc x →∞;<5>lim2x →∞;<6>2-2lim(1)x x →+；<7>1lim(ln 1)x x →+； <8>lim(cos 1)x x π→-解：<1>21lim0x x →∞=;<2>-lim 0xx e →∞=；<3>+lim 0xx e -→∞=； <4>+lim cot 0x arc x →∞=;<5>lim 22x →∞=;<6>2-2lim(1)5x x →+=；<7>1lim(ln 1)1x x →+=； <8>lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义,是当0x x →时()f x 有极限的< D ><A > 必要条件 <B > 充分条件<C > 充要条件 <D >无关条件解：由函数极限的定义可知,研究()f x 当0x x →的极限时,我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势,而不关心()f x 在0x x =处有无定义,大小如何.3. ()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的< A > <A > 必要条件 <B > 充分条件<C > 充要条件<D >无关条件解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在.4． 设()21;0,;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；判别()0lim x f x →是否存在?解：()0lim lim 0x x f x x ++→→==,()20lim lim(1)1x x f x x --→→=+=,故()0lim x f x →不存在. 5．设()xf x x=,()x x x ϕ=,当0x →时,分别求()f x 与()x ϕ的左、右极限,问()0lim x f x →与()0lim x x ϕ→是否存在?解：由题意可知()1;0,1;0,x f x x <⎧=⎨>⎩,则()00lim lim11x x f x ++→→==,()00lim lim11x x f x --→→==,因此()0lim 1x f x →=.由题意可知()1;0,1;0,x x x ϕ-<⎧=⎨>⎩,()00lim lim11x x x ϕ++→→==,()00lim lim(1)1x x x ϕ--→→=-=-,因此()0lim x x ϕ→不存在.*6.用极限的精确定义证明下列极限：<1>1lim11x xx →∞-=-+;<2>2-11lim-2+1x x x →-=； <3>01lim sin0x x x→=. 证：<1>0ε∀>,要使()122(1)1111x f x x x x ε---=+=≤<++-,只要21x ε>+即可.所以,21X ε∃=+,当x X >时,都有()(1)f x ε--<,故1lim11x xx →∞-=-+.<2>对于任给的正数ε,要使()221212111x x x f x A x x x ε-++-=+==+<++,只要1x ε+<.所以0ε∀>, δε∃=,当01x δ<+<时,都有不等式21(2)1x x ε---<+成立.故2-11lim -2+1x x x →-=. <3>对于任给的正数ε,要使()1sin0f x A x x xε-=-≤<,只要x ε<.所以0ε∀>, δε∃=,当0x δ<<时,都有不等式1sin 0x xε-<成立.故01lim sin 0x x x→=.习题2-31．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大? <1>21x x +-; <2>ln x ; <3>21x x+． 解：<1> 因为22lim01x x x →-+=-,故2x →-时21x x +-为无穷小, 因为12lim1x x x →+=∞-,故1x →时21x x +-为无穷大. <2> 因为1limln 0x x →=,故1x →时ln x 为无穷小,因为0lim ln x x +→=-∞,lim ln x x →+∞=+∞,故0x +→和x →+∞时ln x 都为无穷大. <3> 因为211lim 0x x x →-+=,22111lim lim()0x x x x x x →∞→∞+=+=,故1x →-和x →∞时21x x+为无穷小, 因为201limx x x →+=∞,故0x →时21x x+为无穷大. 2．求下列函数的极限：<1> 201lim sin x x x →; <2>tan lim x arc xx→∞; <3>2cos lim n n n →∞.解：<1> 因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞,1sin1x≤,且20lim 0x x →=,故得201lim sin 0x x x →=.<2>因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞,arctan 2x π<,且1lim0x x →∞=,故得tan lim 0x arc xx→∞=.<3>因为2cos 1n ≤,且1lim 0n n →∞=,故得2cos lim 0n n n→∞=.习题2-41. 下列运算正确吗?为什么?<1> 0000111lim cos lim limcos 0limcos 0x x x x x x x x x →→→→⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭;<2>()22111lim lim 1lim 1x x x x x x x →→→==∞--.解：<1>不正确,因为01limcos x x →不存在,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：因为1cos1x≤,且0lim 0x x →=,故得01lim cos 0x x x →=.<2> 不正确,因为()1lim 10x x →-=,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：因为211lim 0x xx→-=,由无穷小与无穷大的关系可知21lim 1x x x →=∞-.2. 求下列极限：<1>()()()2030503123lim 71x x x x →∞-++； 〔2〕1123lim 23n n n nn ++→∞++；〔3〕()33limh x h x h→+-;<4>2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭; <5>322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭; 〔6〕()23arccot lim 5x x x x x x →∞---; <7>1111393lim 1111242n n n→∞++++++++; <8>123lim 22n n n n →∞++++⎛⎫- ⎪+⎝⎭;<9>⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 解：<1>()()()2030203020305050501332312332lim lim 77117x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 〔2〕1112232()32333lim lim lim 32223()1133n nn n n n nnn n n nn+++→∞→∞→∞+++===+++； 〔3〕()33222200033limlim lim(33)3h h h x h x x h xh x xh x hh→→→+-+==+=;<4>222111122111lim lim lim 11(1)(1)12x x x x x x x x x x →→→-+⎛⎫-=== ⎪----+⎝⎭; <5>3232222111lim lim lim 112121(21)(21)4(2)(2)x x x x x x x xx x x x x x→∞→∞→∞+⎛⎫+-=== ⎪-+-+⎝⎭-+; 〔6〕()23arccot lim5x xx x x x →∞---; 因为arccot x π<,且223211lim lim 01551x x x x x x x x x x→∞→∞--==----,所以()23arccot lim05x x x x x x →∞-=--<7>111111()311111111()3339333lim lim lim 111114411()1()24222112n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞++-++++--===++++---;<8>(1)12312lim lim lim 22222(2)2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫ ⎪++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪+++⎝⎭ ⎪⎝⎭; <9>22111111limln ln[lim ]ln[lim ]ln102(1)2(1)2x x x x x x x x →→→⎡⎤--+====⎢⎥--⎣⎦. 3.已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→解：因为230031lim ()lim 11x x x x f x x ++→→+-==-+,00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-,所以0lim ()1x f x →=-,2331lim ()lim 01x x x x f x x →+∞→+∞+-==+,lim ()lim (1)x x f x x →-∞→-∞=-=-∞. 习题2-51.求下列函数的极限：<1>22lim sin 2n n R nπ→∞;<2>sin lim x xx ππ→-;<3>0arctan3lim sin 2x xx →; 〔4〕0x →;<5>01cos4limsin x xx x→-;<6>()21sin 1lim 1x x x →--.解：<1>2222sin2lim sin lim 22n n n n R R R n nπππππ→∞→∞==;<2>sin sin()limlim 1x x x x x xπππππ→→-==--;<3>00arctan3arctan3233lim lim sin 23sin 222x x x x x x x x x x →→==;〔4〕02lim lim lim 22x x x xx+++→→→===;<5>222000sin 281cos 42sin 2(2)limlim lim 8sin sin sin x x x x x x x x x xx x x→→→-===; <6>()()()211sin 1sin 11limlim11(1)2x x x x x x x →→--==--+. 2. 求下列函数的极限:<1>-3lim 1x x x x →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭;<2>21lim 21xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭; <3> ()cot 0lim 12tan xx x +→+;<4>()3sec 2lim 1cos xx x π→+.解：<1>-33-33111111lim lim lim 11lim 1lim 11x xxxx x x x x x x e x x x x x x ---→∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;<2>21(21)11lim lim lim(1)lim(1)21(21)22x xx x x x x x x x x x x x x -→∞→∞→∞→∞++⎛⎫==+- ⎪--⎝⎭1122()2211lim(1)lim(1)22x x x x e x x⨯-⨯-→∞→∞=+-=; <3> ()()2cot 22tan 0lim 12tan lim 12tan xxx x x x e ++→→+=+=;<4>()()33sec 3cos 22lim 1cos lim 1cos xxx x x x e ππ→→+=+=.习题2-61.当0→x 时,22x x -与23x x -相比,哪个是高阶无穷小量？解：因为232200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--,所以23x x -比22x x -高价. 2.当1x →时,无穷小量1x -与〔1〕31x -；〔2〕()2112x -是否同阶？是否等价？解：因为32111(1)(1)lim lim 311x x x x x x x x →→--++==--,所以1x -与31x -是同阶无穷小,因为21111(1)(1)(1)22lim lim 111x x x x x x x →→--+==--,故无穷小量1x -与()2112x -是等价无穷小. 3. 利用等价无穷小,求下列极限:<1>0lim x →20cos cos lim x ax bxx →-； 〔3〕2arctan lim sin arcsin 2x x xx →0；〔4〕x →0〔5〕 221cos 4lim 2sin tan x xx x x →0-+；〔6〕 ()222ln sin e lim ln(e )2x x x x x x x→0+-+-.解：<1>0lim lim x x ++→→==;<2>222220002sinsin 2cos cos 2222limlimlim 2x x x ax bx ax bx ax bx ax bxax bxb a x x x →→→+-+-----===；〔3〕22arctan limlim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →0→0==； 〔4〕lim lim 1ln(1)x x x x x x x→0→0→0===---； 〔5〕 22222221cos 488limlim lim 42sin tan 2sin (2)cos x x x x x x x x x x x x x→0→0→0-===++； 〔6〕 ()()22222222222sin e ln ln sin e ln sin e ln e lim lim lime ln(e )2ln(e )ln ln()ex x x x x xx x x x x x x x x x x e x x x x e →0→0→0⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==++-+-222222sin sin ln 1e e lim limlime 1ln(1)e e x x x x x x x xx x x x →0→0→0⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+.习题2-71.研究下列函数的连续性,并画出图形：〔1〕 2,01,()2,12;x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<<⎩〔2〕 ,1,()1,1;x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩〔3〕221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解：〔1〕()f x 在区间(0,1)和(1,2)是初等函数,因此在区间(0,1)和(1,2)()f x 是连续函数,因为2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===,所以()f x 在点0x =右连续, 因为211lim ()lim 1x x f x x --→→==,11lim ()lim(2)1x x f x x ++→→=-=,且(1)1f =,所以()f x 在点1x =连续,综上所述,()f x 在区间[0,2)是连续函数.〔2〕()f x 在区间(,1)-∞-,(1,1)-和(1,)+∞是初等函数,因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞上()f x 是连续函数,因为11lim ()lim11x x f x ++→→==,11lim ()lim 1x x f x x --→→==,且(1)1f =,所以()f x 在点1x =连续,因为11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-,11lim ()lim 11x x f x --→-→-==,所以()f x 在点1x =-间断,综上所述,()f x 在区间(,1)(1,)-∞--+∞是连续函数,在点1x =-间断.〔3〕由题意知(1)0f =,(1)0f -=,当1x <时,221()lim1nnn x f x x x x →∞-==+, 当1x >时,2222111()limlim 111nn nn n n x x f x x x x x x→∞→∞--===-++,因此 1() 0 1 1x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩,()f x 在区间(,1)-∞-,(1,1)-和(1,)+∞是初等函数,因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞上()f x 是连续函数,因为11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-,11lim ()lim 1x x f x x --→→==,所以()f x 在点1x =间断,因为11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-,11lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=,所以()f x 在点1x =-间断,综上所述,()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞上连续,在点1x =±间断.2. 求下列函数的间断点,并判断其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续：<1> 21cos2x y x -=; <2> 1arctan y x=; <3> 1xy e -=；〔4〕22132x y x x -=-+；<5>2tan x y x =; <6> ()sin ,0,0,0;xx x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩解：<1> 21cos2xy x -=在0x =无定义,因此0x =为函数的间断点, 又因为222001cos 22lim lim 2x x x x xx →→-==,所以0x =为函数的可去间断点,补充定义(0)2f =,原函数就成为连续函数.<2> 1arctan y x =在0x =无定义,因此0x =为函数的间断点,由01lim x x +→=+∞,可得01lim arctan 2x x π+→=,由01lim x x -→=-∞,可得01lim arctan 2x x π-→=-,所以0x =为函数的跳跃间断点.<3> 1xy e -=在0x =无定义,因此0x =为函数的间断点,由01lim x x +→=+∞,可得10lim 0x x e +-→=,由01lim x x-→=-∞,可得10lim x x e --→=+∞,所以0x =为函数的无穷间断点.〔4〕221(1)(1)32(1)(2)x x x y x x x x --+==-+--在1,2x x ==无定义,因此1,2x x ==为函数的间断点,因为221111lim lim 2322x x x x x x x →→-+==--+-,所以1x =为函数的可去间断点,补充定义(1)2f =-,原函数就成为连续函数,因为2221lim 32x x x x →-=∞-+,所以2x =为函数的无穷间断点. <5>2tan xy x =在0x =,()2x k k Z ππ=+∈无定义,因此0x =和()2x k k Z ππ=+∈都为函数的间断点,因为02tan lim 2x xx→=,所以0x =为函数的可去间断点,补充定义(0)2f =,原函数就成为连续函数,因为22tan limx k xxππ→+=∞,所以()2x k k Z ππ=+∈为函数的无穷间断点.<6> 因为0sin lim 1x x x+→=,0sin lim 1x xx -→=--,所以0x =为函数的跳跃间断点.3. 在下列函数中,当a 取什么值时函数()f x 在其定义域内连续? <1> ()29,3,3,3;x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩<2> (),0,,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩解：<1>()f x 在3x ≠是连续函数,因此()f x 只要在3x =时连续,就在其定义域内连续.因为2339(3)(3)limlim 633x x x x x x x →→--+==--,(3)f a =,所以只要6a =,()f x 就在其定义域内连续.<2>()f x 在区间(,0)(0,)-∞+∞是连续函数,因此()f x 只要在0x =时连续,就在其定义域内连续.因为0lim ()lim()x x f x x a a ++→→=-=-,0lim ()lim 1xx x f x e --→→==(0)f a =-,所以只要1a =-,()f x 就在其定义域内连续.4. 求下列函数的极限： <1>()lim ln ln x x x a x →∞+-⎡⎤⎣⎦;<2>2x ;<3>0x →;<4>x →<5>lim cosarccot x x →+∞;<6>()()ln 1ln 1limx x x x→+--.解：<1>()lim ln ln lim lnlim ln(1)lim x x x x x a a ax x a x x x x a x x x→∞→∞→∞→∞++-==+==⎡⎤⎣⎦;<2>22112342x x --==;<3>2000112lim lim 244x x x x x x x →→→++===;<4>0tan lim2tan 2x x xx →→==--;<5>lim cosarccot cos lim arccot cos01x x x x →+∞→+∞===;<6>()()()()0ln 1ln 1ln 1ln 1limlimlim2x x x x x x x xxx→→→+--+-=-=.5.证明方程22x x=在)1,1(-内必有实根.证明：设()22x f x x =-.因为函数()f x 在闭区间[]1,1-上连续,又有()()11,112f f -=-=, 故()()110f f -⋅<.根据零点存在定理知,至少存在一点()1,1ξ∈-,使()0f ξ=, 即220ξξ-=．因此,方程22x x =在()1,1-内至少有一个实根ξ.6. 证明方程sin x a x b =+至少有一个正根,并且它不大于a b +(0,0)a b >>其中. 证明：设()sin f x x a x b =--.因为函数()f x 在闭区间[]0,a b +上连续,又有 ()()00,sin()[1sin()]0f b f a b a a a b a a b =-<+=-+=-+>, 故()()00f f a b ⋅+<.根据零点存在定理知,至少存在一点()0,a b ξ∈+,使()0f ξ=, 即sin 0a b ξξ--=．因此,方程sin x a x b =+在()0,a b +内至少有一个实根,即方程sin x a x b =+至少有一个正根,并且它不大于a b +(0,0)a b >>其中.复习题2〔A 〕1. 单项选择题： <1> 设()112nn n x ⎡⎤=+-⎣⎦,则< B ><A > {}n x 有界 <B > {}n x 无界<C > {}n x 单调增加<D > n →∞时, n x 为无穷大 解：2120,2k k x x k -==,1,2,3,k =,因此{}n x 无界,但是{}n x 的极限不存在,也不是单调数列,故只有B 选项正确.<2> 若()f x 在点x 0处的极限存在,则< C ><A > ()0f x 必存在且等于极限值<B > ()0f x 存在但不一定等于极限值 <C > ()0f x 在0x 处的函数值可以不存在<D > 如果()0f x 存在,则必等于极限值 解：由函数极限的定义可知,研究()f x 当0x x →的极限时,我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势,而不关心()f x 在0x x =处有无定义,大小如何.2. 指出下列运算中的错误,并给出正确解法： <1>()()22111lim 110lim11lim 10x x x x x x x →→→--===--; <2>()()22222lim113lim 2lim 20x x x x x x x →→→--===∞--;<3>222221414lim lim lim 02424x x x x x x x →→→⎛⎫-=-=∞-∞= ⎪----⎝⎭;<4>lim1010x →===.解：<1> 因为()1lim 10x x →-=,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：因为2111lim lim(1)21x x x x x →→-=+=-.<2> 因为()1lim 20x x →-=,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：因为212lim 01x x x →-=-,由无穷小与无穷大之间的关系可知221lim2x x x →-=∞-. <3> 因为21lim 2x x →-和224lim 4x x →-都不存在,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：2222214211lim lim lim 24424x x x x x x x x →→→-⎛⎫-=== ⎪---+⎝⎭. <4> 因为)lim10x →=,不能做分母,所以此时极限的四则运算法则失效.正确做法是：2133))32x x →→==.3. 求下列极限： <1>3(1)(22)(33)lim2n n n n n →∞+++；<2>()132121lim 12n n n n →∞+++-⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦; <3>2sin lim5sin x x xx x→∞-+;<4>)limx x →+∞;<5>x →〔6〕sin 2limln x x x→0;<7>()201lim ln 16x x e x →-+；〔8〕()0lim2csc2cot x x x →-;<9>1lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭; <10>1lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭;<11>3sin lim(12)x x x →0+;<12> ()()01cos lim 1ln 1x x x e x →--+;解：<1>3123(1)(2)(3)(1)(22)(33)lim lim 322n n n n n n n n n →∞→∞++++++==； <2>()213212121313lim lim lim 12122(1)2n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++-⎡⎤⎡⎤++---=-==-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦; <3>sin 22sin 2lim lim sin 5sin 55x x xx x x x x x x→∞→∞--==++; <4>)233limlimlim2x x x x →+∞+===; <5>34x x x →→→===; 〔6〕sin 22limlnlimln ln 2x x x xx x→0→0==; <7>()200121lim lim ln 1663x x x e x x x →→-==+；〔8〕()200001cos sin sin lim 2csc2cot lim()lim lim 0sin cos sin sin cos cosx x x x x x xx x x x x x x x →→→→-=-===;<9>; 21(1)1lim lim 11(1)xxx x xx x e x x→∞→∞++⎛⎫== ⎪-⎝⎭-; <10>11lim 1lim 11x x x x -→+∞→+∞⎛⎛⎫-=+= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭;<11>3166sin 2sin lim(12)lim(12)x xx xx x x x e ⋅→0→0+=+=;<12> ()()220011cos 12lim lim 21ln 1x x x xx x e x →→-==-+. 4. 求下列函数的间断点,并判断其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续：〔1〕1,13,1x x y x x -≤⎧=⎨->⎩;<2> ()221x xy x x -=-.解：〔1〕因为11lim ()lim(1)0x x f x x --→→=-=,11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=,所以1x =是函数()f x 的跳跃间断点.<2> 因为()f x 在0x =,1x =±无定义,因此0x =,1x =±为函数的间断点,因为()220001lim ()lim lim 111x x x x x f x x x x ---→→→--===-+-, ()220001lim ()lim lim 111x x x x x f x x x x +++→→→-===+-,所以0x =是函数()f x 的跳跃间断点； 因为()2211111lim ()lim lim 121x x x x x f x x x x →→→-===+-,所以1x =是函数()f x 的可去间断点,补充定义1(1)2f =,则()f x 在1x =连续； 因为()221111lim ()limlim 11x x x x x f x x x x →-→-→--===∞+-,所以1x =-是函数()f x 的无穷间断点.5．设f <x >＝()()cos ,0,200.xx x f x x a ⎧≥⎪+⎪=<><1> 当a 为何值时,0x =是()f x 的连续点?<2> 当a 为何值时,0x =是()f x 的间断点?是什么类型的间断点?解：<1> 因为1(0)2f =,000lim ()lim lim x x x f x ---→→→===,cos 1lim ()lim 22x x x f x x ++→→==+,所以当2a =时,0x =是()f x 的连续点. <2>当2a ≠时,0x =是()f x 的跳跃间断点. 6.试证方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.解：设()21x f x x =-.因为函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,又有 ()()01,11f f =-=, 故()(0)10f f ⋅<.根据零点存在定理知,至少存在一点()0,1ξ∈,使()0f ξ=, 即210ξξ-=．因此,方程21x x =在()0,1内至少有一个实根ξ.〔B 〕1. 讨论极限11012lim12x x x→-+是否存在？解：由01lim x x+→=+∞,可得10lim 2xx +→=∞,故1111001221lim lim 11221xxx x x x ++-→→---==-++ 由01lim x x-→=-∞,可得10lim 20xx -→=,故11012lim 112xx x+→-=+ 所以0x =为函数的跳跃间断点. 2. 求下列极限.<1>limln 1x e x ex →--；<2> 0x →; <3> 22lim sin 1x xx x →∞+;<4> 20lim lim cos cos cos 222nx n x x x →→∞⎛⎫⎪⎝⎭. 解：<1>令ln x u =,则111(1)limlim lim ln 111u u x e u u x e e e e e e x u u -→→→---===---；<2> 30lim x x x →→= 220011cos 11coslim lim 224x x x x x x →→--===-;<3> 2222lim sinlim 211x x x xx x x x →∞→∞=⋅=++; <4> 因为21sin sin 2lim cos cos cos lim 222sin 2n n n n nx x x x xx x →∞→∞==, 所以200sin lim lim cos cos cos lim1222n x n x x x x x x →→∞→⎛⎫== ⎪⎝⎭. 3．问a ,b 为何值时,()0sin lim cos 2xx xb x a e →-=-.解：因为()0sin lim cos 2xx x b x a e →-=-且()0limsin cos 0x x b x →-=.所以0lim()0xx a e →-=,由此式可解得1a =,所以()()00sin lim cos lim cos =21x x x xb x x b e →→-=--,由此式可解得1b =-.4．问a 为何值时,函数21,()2,x x a f x x a x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩连续.解：因为()f x 在(,)(,)(,)a a a a -∞--+∞是初等函数,因此只要()f x 在x a =±连续,()f x 就是连续函数.由2()1f a a =+,22lim ()lim(1)1x a x a f x x a --→→=+=+,22lim ()lim x a x af x x a++→→==,由221a a+=可解得1a =时,所以当1a =时()f x 是连续函数. 5．函数sin(1)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列区间有界的是 < A >.A . ()0,1；B .()1,2；C . ()0,2；D .()2,3.解：用排除法,因为22sin(1)1limlim (1)(2)2x x x x x x x x →→-==∞---,所以()f x 在()1,2,()0,2,()2,3都无界.6.函数3()sin x xf x xπ-=的可去间断点的个数为< C >.A . 1；B .2；C . 3；D .无穷多个.解：,x k k Z =∈是()f x 的间断点,因为320011lim lim sin x x x x x x πππ→→---==,322111(1)(1)2lim lim lim sin sin()(1)x x x x x x x x x x x x πππππ→→→----===--,322111(1)(1)2lim lim lim sin sin()(1)x x x x x x x x x x x x πππππ→-→-→-----===++,所以0,1,1x x x ==-=是可去间断点,在0,1k ≠±时,x k =是无穷间断点.7. 函数21()lim1nx xf x x →∞+=+的间断点情况是 < B >.A . 不存在间断点；B .存在间断点1x =；C .存在间断点0x =；D .存在间断点1x =-.解：由题意知(1)1f =,(1)0f -=,当1x <时,21()lim11nn xf x x x →∞+==++,当1x >时,21()lim 01n n x f x x →∞+==+,因此1, 11, 1()0, 10, 1x x x f x x x ⎧+<⎪=⎪=⎨=-⎪⎪>⎩, ()f x 在区间(,1)-∞-,(1,1)-和(1,)+∞是初等函数,因此在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞上()f x 是连续函数,因为1lim ()0x f x +→=,11lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=,所以()f x 在点1x =间断, 因为11lim ()lim (1)0x x f x x ++→-→-=+=,1lim ()0x f x -→-=,且(1)0f -=, 所以()f x 在点1x =-连续,综上所述,()f x 只在点1x =间断. 8. 设0<a <b , 求极限1lim()nn nn ab --→∞+.解：用夹逼定理,因为0a b <<,所以110a b>>, 则11111112nn nnnnna ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+<⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又因为111lim nnn a a →∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,11111lim 2lim 2nnnn n a a a →∞→∞⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以11lim()n n n n a b a --→∞+= 9. 试确定,,a b c 的值,使得23(1)1()x e ax bx cx o x ++=++.其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.解：此题用第四章的洛必达法则解由题意可知230(1)(1)lim 0x x e ax bx cx x→++-+= 由洛必达法则可知因为2lim30x x →=,所以2lim[(1)(2)]10xxx e ax bx e a bx c a c →++++-=+-=,继续应用洛必达法则得22200(1)(2)(1)2(2)2lim lim 036x x x x xx x e ax bx e a bx c e ax bx e a bx be x x→→++++-+++++==因为0lim60x x →=,所以20lim[(1)2(2)2]1220x x xx e ax bx e a bx be a b →+++++=++=,继续应用洛必达法则得2200(1)2(2)2(1)3(2)6lim lim 066x x x x x x x x e ax bx e a bx be e ax bx e a bx be x →→++++-+++++==所以20lim[(1)3(2)6]1360x x xx e ax bx e a bx be a b →+++++=++=,解方程组1012201360a c a b a b +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 可得231613a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.10. 设函数)(x f 在区间[],a b 上连续, 且 证明: 存在),(b a ∈ξ, 使得 .)(ξξ=f证明: 设()()g x f x x =-,则()g x 在区间[],a b 上连续,且()()0g a f a a =-<,()()0g b f b b =->,由零点存在定理可知存在),(b a ∈ξ,使()()0g f ξξξ=-=,即.)(ξξ=f11. 证明方程有分别包含于()1,2, ()2,3内的两个实根.解：原方程可化为111(2)(3)(1)(3)(1)(2)123(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x --+--+--++=------ 令()(2)(3)(1)(3)(1)(2)f x x x x x x x =--+--+--,则)(x f 在[1,2],[2,3]都是连续函数,且(1)20,(2)10,(3)20f f f =>=-<=>,由零点存在定理可知存在1(1,2)ξ∈,2(2,3)ξ∈使得12()0,()0f f ξξ==,所以方程0312111=-+-+-x x x 有分别包含于()1,2, ()2,3内的两个实根. 12. 设 )(x f 在 ),[+∞a 上连续, ,0)(>a f 且 证明: 在),[+∞a 上至少有一点ξ, 使 .0)(=ξf证明: 因为,0)(lim <=+∞→A x f x 由极限的保号性可知,存在0X >,当x X >时有()0f x <,取区间[,1]a X +,则)(x f 在区间[,1]a X +连续且,0)(>a f (1)0f X +<,由零点存在定理可知存在[,1][,)a X a ξ∈+⊂+∞,使 .0)(=ξf。