离散型随机变量的方差优秀教学设计

《离散型随机变量的方差》教案1.通过实例，理解离散型随机变量方差的含义，通过比较了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系；2.能计算简单离散型随机变量的方差；3.体会均值与方差是从不同角度刻画随机变量的重要指标，并能利用他们解决一些实际问题．教学重点：对离散型随机变量的方差的概念和求法的理解．教学难点：利用离散型随机变量的方差解释随机现象，解决实际问题．一、情境导入有A 、B 两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得了他们的“寿命”分别为X 、Y （单位：h ），已知X 、Y 的分布列如下表：X 950 1000 1050 Y 700 1000 1300 P162316P162316问题1：该情境中，两类灯泡的“寿命”X 、Y 均是离散型随机变量，你能结合上节课所学的随机变量均值的知识来简单比较两类灯泡之类的好坏吗？答案：离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平，在该问题中，均值越大，则灯泡的平均“寿命”越长，均值越小，则灯泡的平均“寿命”越短．根据离散型随机变量均值的计算公式为EX =x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n 计算可得：EX =950×16+1000×23+1050×16=1000 h ，EY =700×16+1000×23+1300×16=1000 h ．因为EX = EY ，两个均值相等，也就是说这两种灯泡的平均寿命都是1000 h ，那么我们仅通过均值就无法来比较两种灯泡的质量好坏．问题2：那能否由EX = EY 判定两类灯泡寿命数据无差别呢？也就是说，是不是可以由均值相等，说明两类灯泡质量相同？◆教学目标◆教学重难点◆教学过程答案：进一步观察数据，我们可以发现，A 类灯泡的寿命介于950 h~1050 h ，B 类灯泡的寿命介于700 h~1300 h ，直观上看，A 类灯泡的寿命时长要分布更为集中一些，即X 与其均值的偏离程度要小一些．即，虽然均值相同，但是两个变量X 、Y 的取值却存在较大的差异．也就是说，并不能直接由均值相等就判定两个变量取值无差异．二、新知探究问题3：基于以上问题，我们为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命X 与其均值EX 的偏离程度．若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差．那么，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度呢？答案：我们知道，在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据x 1，x 2，…，xn ，设其均值为x̅， 则其方差即为(x 1−x̅)2，(x 2−x̅)2，…，(x n −x̅)2的平均值，即s 2=1n ((x 1−x̅)2+(x 2−x̅)2+…+(x n −x̅)2)．一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平方的平均值”来度量呢？设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：考虑X 所有可能取值x i 与EX 的偏差的平方(x 1−E (X ))2，(x 2−E (X ))2，…，(x n −E (X ))2就描述了x i 与EX 的偏离程度．因为X 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来刻画随机变量X 取值与其均值EX 的平均偏离程度．我们称DX =E (x i −EX )2=(x 1−EX )2p 1+(x 2−EX )2p 2+⋯+(x n −EX )2p n =∑ni=1(x i −EX )2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根√DX 为随机变量X 的标准差，记为σX ．这样，随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度．方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散．．问题4：根据以上方差的知识，来评价一下情境中两类灯泡的质量吧． 答案：根据数据，EX = EY =1000 h ，则A 类型灯泡的方差和标准差分别为 DX =E(X −EX)2=(−50)2×16+02×23+502×16=25003，σX =50√33；B 类型灯泡的方差和标准差分别为DY =E(Y −EY)2=(−300)2×16+02×23+3002×16=30000，σY =100√3．因为DX <DY （等价地，σX <σY ），所以A 类型灯泡的方差要小，质量比较好． 问题5：观察随机变量方差的表达式，尝试一下能否进行简化？ 答案：DX =∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1(x i 2−2EXx i +(EX)2)P i=∑ni=1x i 2p i−2EX ∑n i=1x i p i +(EX)2∑n i=1p i =∑ni=1x i 2p i −2(EX)2+(EX)2=∑ni=1x i 2p i −(EX)2在以上的式子中，∑ni=1x i 2p i 即为X 2的均值，(EX)2为X 均值的平方，所以，该式表明“随机变量X 的方差就等于X 2的均值减去X 均值的平方”．在方差的计算中，利用该结论经常可以使计算简化．问题6：离散型随机变量的学习中，我们经常会见到aX +b 这样的变量，它与变量X 存在线性关系，那么它的方差又与X 的方差有何关系？这种关系与两者期望的关系有什么不同？答案：这个问题我们分三个层次来探究．①离散型随机变量X 加上一个常数b ，仅仅使X 的值产生一个平移，不改变X 与其均值的离散程度，故方差保持不变，即D(X +b)=DX ；②离散型随机变量X 乘以一个常数a ，则 D (aX )=∑ni=1(ax i )2p i −(E (aX ))2=∑ni=1a 2x i 2p i −(aE(X))2=a 2∑ni=1x i 2p i −a 2(EX)2=a 2(∑ni=1x i 2p i −(EX)2)=a 2DX即，D (aX )=a 2DX ，aX 的方差是原X 方差的a 2倍．③类似于上面的，可以证明D (aX +b )=a 2DX ，即与离散型随机变量X 存在线性依赖关系的变量aX +b 的方差，就等于原X 方差的a 2倍．三、应用举例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差和标准差． 解：掷出点数X 的分布列如下：E (X )=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5； DX =∑6k=1(i −3.5)2×16=3512≈2.92；σX =√DX ≈1.71．例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ，η的分布列如下表：试比较这两名工人谁的技术水平更高． 解：因为Eξ=0×35+1×110+2×310=0.7，Eη=0×12+1×310+2×15=0.7，即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当．又因为Dξ=(0−0.7)2×35+(1−0.7)2×110+(2−0.7)2×310=0.81，Dη=(0−0.7)2×12+(1−0.7)2×310+(2−0.7)2×15=0.61， 所以Dξ>Dη，说明工人乙的技术比较稳定．例 3 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入人体的平均体温为X ℃（摄氏度），医学统计发现，X 的分布列如下：（1）求出EX ，DX ；（2）已知人体体温为X ℃时，相当于Y =1.8X +32℃（华氏度），求E (Y )，D(Y)．解：（1）EX =37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4， 根据DX =∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1x i 2p i −(EX)2，则DX =372×0.1+382×0.5+392×0.3+402×0.1−38.42=0.64． （2）EY =E (1.8X +32)=1.8EX +32=101.12， DY =D (1.8X +32)=1.82DX =3.24×0.64=2.0736． 思考：随机变量的均值、方差与分布列有何关系？答案：随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息．分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列．因此，均值、方差与分布列是部分和整体的关系．四、课堂练习1.设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求DX ． 解：依题意，随机变量X 的分布列如下表：EX =1⋅p +0⋅(1−p )=p ，DX =(1−p )2⋅p +(0−p )2⋅(1−p )=p (1−p )=p −p 2． 2.已知随机变量X 的分布列如下表，求DX 和σX ．解：因为EX =0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2，所以DX =(0−2)2×0.1+(1−2)2×0.2+(2−2)2×0.4+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.1=1.2，（或DX =EX 2−(EX )2=02×0.1+12×0.2+22×0.4+32×0.2+42×0.1−22=1.2）.所以σX =√305． 3.投资A 、B 两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示．（1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值，投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．解：（1）股票A 的投资收益期望为EX =(−1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1， 股票B 的投资收益期望为EY =0×0.3+1×0.4+2×0.3=1． 因为EX >EY ，所以投资股票A 的期望收益较大．（2）股票A 的投资收益方差为DX =(−1)2×0.1+02×0.3+22×0.6−1.12=1.29； 股票B 的投资收益方差为DY =02×0.3+12×0.4+22×0.3−12=0.6． 因为EX 和EY 相差不大，且DX >DY ，所以投资股票A 比投资股票B 的风险高． 说明：在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 五、梳理小结问题1：我们是如何定量的刻画一个离散型随机变量取值的稳定性的？ 答案：我们通过离散型随机变量的方差和标准差来刻画其取值的稳定性．离散型随机变量X 的方差的定义是：其每个取值与均值的差的平方的均值，即DX =∑ni=1(x i −EX )2P i ．离散型随机变量的标准差指的方差的算术平方根，即σX =√DX ．离散型随机变量的方差（或标准差）越小，变量取值的偏离于均值的平均程度就越小；方差（或标准差）越大，则随机变量取值的取值就越分散．问题2：关于方差的计算，你得到了哪些结论？答案：①D(X)=∑ni=1(x i −EX )2P i =∑ni=1x i 2p i −(EX)2，即随机变量X 的方差就等于X 2的均值减去X 均值的平方，该式在实际计算中使用较为方便．②存在线性依赖关系的两个离散型随机变量的方差也有关系，即：D(X +b)=DX ，D (aX )=a 2DX ，D (aX +b )=a 2DX ，这也是离散型随机变量方差的基本性质．六、布置作业教材P 201，习题6-3A 组2,3,4.。

离散型随机变量的方差教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例解释离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的概率分布介绍离散型随机变量的概率分布的概念解释概率分布表的编制方法1.3 离散型随机变量的期望值介绍离散型随机变量的期望值的概念解释期望值的计算方法第二章：方差的概念2.1 方差的定义介绍方差的概念解释方差在概率论和统计学中的重要性2.2 方差的计算公式介绍离散型随机变量的方差计算公式解释公式中各参数的含义和计算方法2.3 方差的性质和特点介绍方差的性质和特点通过实例解释方差的应用和意义第三章：方差的估计3.1 方差的点估计介绍方差的点估计的概念解释如何通过样本数据来估计总体方差3.2 方差的区间估计介绍方差的区间估计的概念解释如何计算方差的置信区间3.3 方差的假设检验介绍方差的假设检验的概念解释如何利用样本数据进行方差的假设检验第四章：方差的应用4.1 方差在数据分析中的应用介绍方差在数据分析中的应用通过实例解释方差在数据分析中的作用和方法4.2 方差在质量控制中的应用介绍方差在质量控制中的应用通过实例解释方差在质量控制中的作用和方法4.3 方差在其他领域的应用介绍方差在其他领域的应用通过实例解释方差在其他领域中的作用和方法第五章：方差的进一步研究5.1 方差的优化和调整介绍方差的优化和调整的方法解释如何通过优化和调整方差来改善数据的质量和可靠性5.2 方差的分解和组合介绍方差的分解和组合的方法解释如何通过分解和组合方差来分析数据的结构和关系5.3 方差的比较和分析介绍方差的比较和分析的方法解释如何通过比较和分析方差来评估数据的差异和相似性第六章：方差与标准差的关系6.1 标准差的概念介绍标准差的概念解释标准差与方差的关系6.2 标准差的计算介绍标准差的计算方法解释如何通过方差计算标准差6.3 标准差的应用介绍标准差在数据分析中的应用通过实例解释标准差在数据分析中的作用和方法第七章：方差的假设检验7.1 方差的假设检验概述介绍方差的假设检验的基本概念解释方差假设检验的目的和方法7.2 单样本方差检验介绍单样本方差检验的方法解释如何进行单样本方差检验7.3 双样本方差检验介绍双样本方差检验的方法解释如何进行双样本方差检验第八章：方差的实际案例分析8.1 案例一：产品质量检验介绍一个产品质量检验的案例解释如何利用方差分析产品质量的稳定性8.2 案例二：金融市场分析介绍一个金融市场分析的案例解释如何利用方差分析金融市场的风险性8.3 案例三：教育成果评估介绍一个教育成果评估的案例解释如何利用方差分析教育成果的差异性第九章：方差的软件实现9.1 方差分析软件介绍介绍常用的方差分析软件解释如何使用这些软件进行方差分析9.2 方差分析软件操作实例通过实例演示如何使用方差分析软件进行数据分析解释软件操作的步骤和注意事项9.3 方差分析软件的结果解读介绍如何解读方差分析软件的结果解释结果中的各个指标的含义和作用10.1 方差的概念和作用强调方差在数据分析中的重要性10.2 方差的计算和应用强调方差在不同领域的应用价值10.3 方差分析的发展趋势展望方差分析的发展趋势强调方差分析在未来的应用前景重点和难点解析第一章：离散型随机变量的概念重点关注离散型随机变量的定义及其特点，理解概率分布的概念和编制方法。

离散型随机变量的方差【教学目标】： 1．了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2．了解方差公式“D （a ξ+b ）=a2D ξ”，以及“若ξ～Β（n ，p ），则D ξ=np （1—p ）”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差【教学重点】离散型随机变量的方差、标准差【教学难点】比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题【授课类型】新授课【课时安排】2课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【内容分析】数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值。

今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究。

其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差。

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差【教学过程】一、复习引入：1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2． 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量： 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系： 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5． 分布列：6． i 12+ (1)7．二项分布：ξ～B （n ，p ），并记kn k k n q p C -＝b （k ；n ，p ）。

离散型随机变量方差的教案教案标题：离散型随机变量方差的教案一、教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念和特点。

2. 掌握求离散型随机变量方差的方法和步骤。

3. 能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重点和难点：1. 离散型随机变量的方差计算方法。

2. 离散型随机变量方差计算的实际应用。

三、教学内容和步骤：1. 离散型随机变量的概念和特点介绍（10分钟）- 介绍离散型随机变量的定义和特点，以及其在实际问题中的应用。

2. 离散型随机变量方差的定义和计算方法（15分钟）- 介绍离散型随机变量方差的定义和计算公式。

- 通过具体的例子演示方差的计算步骤和方法。

3. 离散型随机变量方差计算的实际应用（15分钟）- 结合实际问题，引导学生应用所学知识计算离散型随机变量的方差。

- 引导学生分析和讨论方差在实际问题中的意义和应用。

4. 练习与讨论（10分钟）- 给学生提供一些练习题，让他们在课堂上进行练习并相互讨论。

- 对学生的解题过程和答案进行指导和讨论，帮助他们加深对离散型随机变量方差的理解。

四、教学方法：1. 讲授结合示例：通过具体的例子演示离散型随机变量方差的计算方法，帮助学生理解和掌握知识。

2. 互动讨论：引导学生在课堂上进行讨论和交流，加深对知识点的理解和应用。

3. 练习指导：给学生提供一定数量的练习题，并在课堂上进行指导和讨论，帮助他们巩固所学知识。

五、教学资源：1. 教科书和课件：提供相关的教学材料和示例，帮助学生理解和掌握知识。

2. 练习题和答案：为学生提供一些练习题，帮助他们巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况和讨论表现，评估他们对离散型随机变量方差的掌握程度。

2. 作业和考试：布置相关的作业和考试题目，检验学生对所学知识的掌握情况。

七、教学反思：根据学生在课堂上的学习情况和表现，及时调整教学方法和内容，帮助他们更好地理解和掌握离散型随机变量方差的知识。

232离散型随机变量的期望与方差教学设计教学设计：232离散型随机变量的期望与方差一、教学目标：1.了解离散型随机变量的概念，并能够区分连续变量和离散变量；2.掌握离散型随机变量期望的计算方法，并能够应用期望计算问题；3.掌握离散型随机变量方差的计算方法，并能够应用方差计算问题；4.培养学生分析问题和计算的能力，培养学生的合作精神。

二、教学重点：离散型随机变量的期望与方差的计算方法。

三、教学准备：教师：准备PPT、黑板、白板、笔、纸张、电脑等；学生：学习笔记。

四、教学过程：1.引入新知识教师通过简单的事例或案例引入，介绍什么是离散型随机变量，离散型随机变量和连续型随机变量的区别。

2.理论讲解教师通过授课的方式，讲解离散型随机变量的期望与方差的定义、计算方法和应用。

重点内容包括：(1) 离散型随机变量期望的定义：E(X) = Σ(xi * P(X=xi))，其中xi为随机变量取值，P(X=xi)为xi的概率；(2) 离散型随机变量方差的定义：Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * P(X=xi))；(3)期望与方差的性质及其应用。

3.解决问题教师通过例题的讲解，引导学生掌握期望与方差的计算方法和应用技巧。

学生在教师的指导下，进行单独或小组讨论，解决给定的问题。

4.合作探究教师将学生分为小组，每个小组配备一台电脑，并提供一些离散型随机变量的问题。

学生通过讨论、研究和计算，找出问题的解决方法，并将计算结果进行对比和交流。

5.总结归纳教师带领学生总结期望与方差的计算方法和应用技巧，提醒学生注意一些常见的错误和易混淆的点。

6.拓展延伸。

教案：离散型随机变量的方差教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和计算方法；3. 能够运用方差分析数据的不均匀程度。

教学内容：一、离散型随机变量的概念1. 引入随机变量的概念，引导学生理解随机变量是随机现象的结果；2. 讲解离散型随机变量的定义，强调其取值有限且可数的特点；3. 通过实例让学生了解离散型随机变量的具体应用。

二、方差的定义1. 引入方差的概念，引导学生理解方差是衡量数据分散程度的指标；2. 讲解方差的计算公式，强调方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数；3. 通过实例让学生了解方差的计算过程。

三、方差的计算方法1. 讲解如何计算离散型随机变量的方差，强调先求平均数，再求各个数据与平均数差的平方的平均数；2. 通过实例让学生掌握方差的计算步骤；3. 引导学生运用数学软件或工具进行方差的计算。

四、方差的应用1. 讲解方差在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、自然科学等领域；2. 通过实例让学生了解如何运用方差分析数据的不均匀程度，如判断数据的分布情况、比较不同数据的离散程度等；3. 引导学生运用方差进行数据分析，培养学生的实际应用能力。

五、总结与练习1. 总结本节课的主要内容，让学生掌握离散型随机变量的概念、方差的定义和计算方法及其应用；2. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。

教学资源：1. 离散型随机变量的定义和方差的计算方法的相关教材或教辅；2. 数学软件或工具，如Excel、MATLAB等；3. 实例数据，如统计数据、经济数据等。

教学评价：1. 学生能正确理解离散型随机变量的概念；2. 学生能熟练运用方差的计算方法计算离散型随机变量的方差；3. 学生能运用方差分析数据的不均匀程度，解决问题。

教案：离散型随机变量的方差（续）教学内容：六、方差的性质1. 讲解方差的性质，包括对称性、非负性、不变性和可加性等；2. 通过实例让学生了解方差的性质在实际应用中的作用；3. 引导学生运用方差的性质进行数据分析。

3.2 《离散型随机变量的方差》一等奖创新教学设计《离散型随机变量的方差》教学设计一、导语随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小,所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.设计意图:通过谈话,引入课题.二、探究新知探究1:从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表1和表2所示.如何评价这两名同学的射击水平师生活动:教师提出探究问题,引导学生分析.师:能不能用我们上一节课学习的均值分析这一问题同学们尝试一下.学生运算求解,求出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的均值.通过计算可得,.因为两个均值相等,所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.追问1:平均水平相同,是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢下面我们从稳定性的角度考虑,你能根据表1和表2画出这两名同学击中环数的概率分布图吗同学们动手试一下.学生尝试独立完成,教师出示下图.追问2:从图中你能发现什么发现乙同学的射击成绩更集中于8环,即乙同学的射击成绩更稳定.追问3:上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的,怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度设计意图:通过具体的问题情境,让学生积极思考、参与互动,从而引入离散型随机变量的方差的概念,发展学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象核心素养.师:先看下面两个问题.问题1:某人学习射击,射击10次,所得环数分别是:.则所得的平均环数是多少问题2:某人学习射击,射击10次,所得环数分别是:.则这组数据的方差是多少师生活动:教师提出上述问题,让学生动手计算,并让学生思考,由此你能想到什么..设计意图:通过问题1、问题2,为引入离散型随机变量的方差的概念作准备.教师提问:我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢学生讨论,得出:可以用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.师生总结得出概念:一般地,若离散型随机变量的分布列如下:则称为随机变量的方差,有时也记为.称为随机变量的标准差,记为.说明:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.设计意图:让学生经历离散型随机变量的方差概念的建构过程,进一步体会从特殊到一般的思想,培养学生归纳、类比等合情推理的能力,提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.因此,探究1中,可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.两名同学射击成绩的方差和标准差分别为;.因为(等价地,),所以随机变量的取值相对更集中,即乙同学的射击成绩相对更稳定.设计意图:让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的问题,学以致用,提高学生的应用意识.问题3:方差的计算可以简化吗教师提出问题,先让学生思考,再出示简化的结果..让学生区分与.设计意图:有助于学生更好地理解方差的本质.探究2:离散型随机变量加上一个常数,方差会有怎样变化离散型随机变量乘一个常数,方差又有怎样的变化它们和期望的性质有什么不同师生活动:教师提出问题,让学生充分思考、讨论、交流.在此基础上,找几名学生代表分享讨论交流的结果.学生发言后,教师进行评价指导,最后共同得出结论.离散型随机变量加上一个常数,其均值也相应加上常数,故不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即.而离散型随机变量乘一个常数,其方差变为原方差的倍,即.因此,.用定义证明(供教师参考):设离散型随机变量的分布列为由(为常数)知也是离散型随机变量.的分布列为由均值的性质得,于是.设计意图:类比均值的性质,推导得出方差的性质.根据学生的情况,教师可以引导学生用方差的定义证明这一结论,提高学生的逻辑推理核心素养.三、典例剖析例1 抛郑一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数的方差.师生活动:教师让学生利用方差的定义进行计算.集体核对.解:随机变量的分布列为,因为,所以.教师指出:方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量的均值比较容易计算的情况下,运用公式不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,即.设计意图:通过例题,提升对概念精细化的理解.让学生掌握方差的算法,发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算核心素养.例2 投资两种股票,每股收益的分布列分别如表1和表2所示.(1)投资哪种股票的期望收益大(2)投资哪种股票的风险较高师生活动:教师提问:你能用我们所学的知识分析、解决这一生活中的实际问题吗教师可以引导分析第(2)问,我们如何衡量投资风险的高低解:(1)股票和股票投资收益的期望分别为,.因为,所以投资股票的期望收益较大.(2)股票和股票投资收益的方差分别为,因为和相差不大,且,所以投资股票比投资股票的风险高.设计意图:例2是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题,目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中,均值表示平均收益,方差表示风险(不确定性).在教学中,可以提供更多不同背景的实际问题,帮助学生了解均值、方差的意义.师生共同归纳总结利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤: （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.（2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.（3）下结论.依据均值和方差给出结论.四、达标检测1.把随机变量X的分布列填写完整,并完成填空.若,则______,______.2.已知离散型随机变量的分布列如下.若,则______,______,______.3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的分布列分别如下.甲保护区:乙保护区:试计算这两个保护区每个季度发生的违规事件次数的均值和方差.答案1. (点拨:由分布列的性质知,分布列中应填..)2. (点拨:由题知,解得,.)3.甲保护区违规事件次数的均值和方差分别为,.乙保护区违规事件次数的均值和方差分别为,.设计意图:通过练习,巩固本节所学知识.通过学生解决问题,发展学生的数学运算、数学建模核心素养.五、课堂总结1.离散型随机变量的方差是如何定义的我们是如何得出随机变量方差公式的2.在计算离散型随机变量的方差时,我们如何选择公式简化运算3.如何利用方差和标准差分析、解决生活中的实际问题设计意图:通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力.六、布置作业教材第70页练习第题.板书设计:7.3.2离散型随机变量的方差1.一般地,若离散型随机变量的分布列如下: 则称为随机变量的方差,有时也记为2.称为随机变量的标准差,记为3.离散型随机变量方差的性质 4.例题例1 例21 / 9。

2.3.2离散型随机变量的方差三维目标1．知识与技能(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．2．过程与方法通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．3．情感、态度与价值观体会数学的应用价值，提高理论联系实际问题的能力．重点、难点重点：离散型随机变量方差的公式及根据分布列求方差．难点：方差的实际应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．教学建议本节内容安排在均值之后，是刻画随机变量稳定性的工具，也是对学习过的样本方差的直接延伸，教学时引导学生类比样本方差的定义给出随机变量方差的定义，让学生探究它们的联系与区别，要注意对随机变量的方差和标准差概念、含义的解释，让学生在探究中加深对概念的理解．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量方差的概念、性质及公式．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的方差、标准差的求法．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握离散型随机变量的方差的性质．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值、方差的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.知识1离散型随机变量的方差【问题导思】A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 10 1 2 3 P0.70.20.060.04B 机床次品数X 20 1 2 3 P0.80.060.040.10(1)试求E (X 1)，E (X 2)；(2)由E (X 1)和E (X 2)的值能比较两台机床的产品质量吗？ (3)试想利用什么指标可以比较加工质量？【提示】 (1)E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. (2)不能．(3)样本方差．1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．(3)离散型随机变量方差的性质： 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).类型1 求离散型随机变量的方差、标准差例1 已知离散型随机变量X 1的概率分布为X 1 1 2 3 4 5 6 7 P17171717171717离散型随机变量X 2的概率分布为X 2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 P17171717171717求这两个随机变量的均值、方差与标准差．【思路探究】 直接利用离散型随机变量的均值和方差公式求解． 解 E (X 1)＝1×17＋2×17＋…＋7×17＝4；D (X 1)＝(1－4)2×17＋(2－4)2×17＋…＋(7－4)2×17＝4；D (X 1)＝2.E (X 2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4；D (X 2)＝(3.7－4)2×17＋(3.8－4)2×17＋(3.9－4)2×17＋(4－4)2×17＋(4.1－4)2×17＋(4.2－4)2×17＋(4.3－4)2×17＝0.04；D (X 2)＝0.2.规律方法1．本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题，套用公式即可完成．2．给出分布列求方差时，首先要求均值，然后再求方差和标准差，要注意公式应用要准确． 变式训练已知Y 的分布列为Y 0 10 20 50 60 P1325115215115求D (Y )，D (Y ).解 ∵E (Y )＝Y 1P 1＋Y 2P 2＋Y 3P 3＋Y 4P 4＋Y 5P 5 ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.∴D (Y )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.∴D (Y )＝8 6.类型2离散型随机变量的方差的性质及应用例2 已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【思路探究】 (1)利用方差公式求解，首先求出均值E (η)，然后利用D (η)定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)．解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536. 规律方法1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 2．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )，若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程． 互动探究将本例的分布列改为η 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1其他不变，如何求解？解 (1)∵E (η)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，∴D (η)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2， ∴D (η)＝ 1.2. (2)∵Y ＝2η－E (η)∴D (Y )＝D (2η－Eη)＝22D (η)＝4×1.2＝4.8.类型3方差的实际应用例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：ξA 110 120 125 130 135 P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．【思路探究】要比较两种材料的质量，需先比较其抗拉强度的期望，然后再看其方差值．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)＜D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．规律方法1．本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．2．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．变式训练甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X012P 610110310Y012P 510310210解工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )＞D (Y )，可见乙的技术比较稳定．易错易误辨析 错用方差公式致误典例 已知η＝3ξ＋18，且D (ξ)＝13，D (η)＝________.【错解】 ∵D (ξ)＝13，η＝3ξ＋18.∴D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＋18＝9×13＋18＝11718【答案】 11718【错因分析】 解答过程中，记错了方差的性质公式D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)直接导致解答出错．【防范措施】 熟练掌握方差的性质是解答此类问题的关键． 【正解】 D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＝9×13＝117.【答案】 117课堂小结1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．当堂检测1．下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值 【解析】 根据期望与方差的概念知选项C 正确． 【答案】 C2．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )和E (X )分别为( )A ．0.25和0.5B ．0.75和0.5C ．0.25和1D ．0.75和1【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】 A3．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则n ＝________，p ＝________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6np (1－p )＝3解得n ＝12，p ＝12.【答案】 12 124．已知随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 P121316求X 的均值、方差和标准差．解 均值E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋(x 3－E (X ))2·p 3＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59；标准差D (X )＝53.。

教案：离散型随机变量的方差第一章：离散型随机变量的方差概念引入1.1 教学目标1. 了解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和性质；3. 理解方差在实际问题中的应用。

1.2 教学内容1. 离散型随机变量的定义；2. 方差的定义和计算公式；3. 方差的性质和意义；4. 方差在实际问题中的应用案例。

1.3 教学过程1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生感受离散型随机变量的特点；2. 讲解方差的定义，通过具体例子让学生理解方差的含义；3. 引导学生掌握方差的计算公式，并进行计算练习；4. 讲解方差的性质，如非负性、齐次性等；5. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用。

第二章：离散型随机变量的方差计算方法2.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的期望值计算方法；2. 掌握离散型随机变量的方差计算方法；3. 了解离散型随机变量的协方差计算方法。

2.2 教学内容1. 离散型随机变量的期望值计算公式；2. 离散型随机变量的方差计算公式；3. 离散型随机变量的协方差计算公式；4. 期望值、方差、协方差之间的关系。

2.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的期望值计算方法，并通过实例进行计算练习；2. 讲解离散型随机变量的方差计算方法，并通过实例进行计算练习；3. 讲解离散型随机变量的协方差计算方法，并通过实例进行计算练习；4. 引导学生理解期望值、方差、协方差之间的关系。

第三章：离散型随机变量的方差性质3.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的方差性质；2. 了解方差在概率论中的应用；3. 学会运用方差分析实际问题。

3.2 教学内容1. 离散型随机变量的方差性质；2. 方差与其他数学量之间的关系；3. 方差的应用案例。

3.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的方差性质，如非负性、齐次性等；2. 引导学生了解方差与其他数学量之间的关系，如期望值、标准差等；3. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用；4. 进行方差计算和性质分析的练习。

离散型随机变量的方差教案第一章：离散型随机变量的方差概念引入教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的概念。

2. 让学生了解方差的概念及其在概率论中的重要性。

3. 让学生掌握计算离散型随机变量方差的方法。

教学内容：1. 离散型随机变量的定义及其数学表达式。

2. 方差的定义及其数学表达式。

3. 离散型随机变量方差的计算方法。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生理解离散型随机变量的含义。

2. 引入方差的概念，解释方差在概率论中的重要性。

3. 讲解离散型随机变量方差的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量方差计算方法的掌握。

第二章：离散型随机变量的期望值与方差教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的期望值的概念。

2. 让学生掌握计算离散型随机变量期望值的方法。

3. 让学生理解期望值与方差之间的关系。

教学内容：1. 离散型随机变量的期望值的定义及其数学表达式。

2. 离散型随机变量期望值的计算方法。

3. 期望值与方差之间的关系。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的期望值的概念，通过实例让学生理解期望值的含义。

2. 讲解离散型随机变量期望值的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

3. 讲解期望值与方差之间的关系，并通过例题让学生理解两者之间的关系。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量期望值概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量期望值计算方法的掌握。

3. 通过练习题，检查学生对期望值与方差之间关系的理解。

第三章：离散型随机变量方差的性质教学目标：1. 让学生掌握离散型随机变量方差的性质。

2. 让学生能够运用方差的性质解决实际问题。

教学内容：1. 离散型随机变量方差的性质及其数学表达式。

2. 离散型随机变量方差的性质在实际问题中的应用。

教学过程：1. 讲解离散型随机变量方差的性质，并通过例题让学生理解方差的性质。