2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.2 二倍角的三角函数 活页规范训练 Word版含答案]

一、填空题1. 函数y＝sin2x的最小正周期是__________．2. 已知sin 2α＝－2425，α∈错误!,则sin α＋cos α＝________．3。

已知sin α＝23,则cos（π－2α)＝________．4。

若错误!＝错误!，则tan 2α＝________．5. 已知cos错误!＝错误!，则sin 2α的值为________．6。

若α∈错误!，且sin2α＋cos 2α＝错误!，则tan α的值为________．7。

设α为锐角,若cos错误!＝错误!,则sin（2α＋错误!）＝__________．8. 函数f(x）＝2sin2错误!－错误!cos 2x(错误!≤x≤错误!）的最大值为________．9. 若sin α＋2cos α＝错误!，则tan 2α的值为__________．10。

已知α，β,γ均为锐角，且tan α＝错误!,tan β＝错误!，tan γ＝18,则α＋β＋γ＝________．二、解答题11. 化简：(1) (tan 10°－错误!）·cos 50°；(2）错误!·错误!.12。

已知α∈错误!,tan α＝错误!。

(1) 求tan 2α的值；(2) 求sin错误!的值．13.已知函数f（x）＝错误!sin 2x＋错误!cos 2x。

(1）若x0∈［0，2π)，且f(x0)＝错误!，求x0的值;(2）将函数f(x）的图象向右平移m(m〉0）个单位长度后得到函数y＝g(x）的图象，且函数y＝g（x）是偶函数，求m的最小值；(3）若关于x的方程f(x)－a＝0在x∈[0，错误!）上只有一个实数解，求实数a的取值范围．1.π解析：∵ y＝错误!，∴T＝错误!＝π。

2。

错误!解析:∵ α∈错误!,∴sin α＋cos α〉0,∴（sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝错误!，∴sin α＋cos α＝错误!。

3.2 二倍角的三角函数1、设1sin+=43πθ⎛⎫⎪⎝⎭,则 2sinθ=( )A.7 9 -B.1 9 -C. 1 9D. 7 92已知是第三象限角,若,那么( ) A.B.C.D.3、cos72cos36︒-︒等于( )A. 323-B. 1 2C.1 2 -D.1 4 -4、sin20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是( )A. 1 4B.3 2C. 1 2D.35、已知为锐角,且,则的值为( ) A.B.C.D.6、已知5sin413xπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,则sin2x的值等于( )A. 120 169B. 119 169C.120 169 -D.119 169 -7、已知α是第三象限角,24sin25α=-,则tan2α等于( )A. 4 3B. 3 4C.3 4 -D.4 3 -8、4cos50tan40︒-︒=( ) A. 2B. 23 2C.D. 19、设1cos 6622a =︒-︒,22tan131tan 13b ︒=+︒,c =,则有( ) A. a b c >>B. a b c <<C. a c b <<D. b c a <<10、已知α为第二象限角, sin cos 3αα+=,则cos2α= ( )A. 3-B. 9-C.D. 11、若sin π163α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 12、已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则 2cos θ=________.13、若(0,)2πα∈且221 ,4sin cos αα+=则tan α的值等于________ 14、已知11tan(),tan()2223βααβ-=-=-则()tan αβ+=________. 15、已知223sin ?2sin 1?αβ+=,3sin 22sin 20αβ-=,且α、β都是锐角,求2αβ+的值.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：略2答案及解析：答案： C解析：把已知代入上式得:, 且是第三象限角, 所以在第一或第二象限, 所以.3答案及解析：答案：C解析：cos72cos362sin54sin18︒-︒=-︒︒2cos36sin18cos18cos18-︒︒︒=︒sin 7212cos182︒=-=-︒.4答案及解析：答案：A解析：原式()[]11sin 90sin 50cos 40cos6022=︒-︒+︒-︒1111cos 40cos 404224=-︒+︒=.5答案及解析：答案： C解析： 由已知, 即得, 则.6答案及解析：答案：D 解析：∵5sin 413x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴2119sin 2cos 212sin 44169x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.7答案及解析：答案：D 解析：∵α是第三象限角, ∴3222k k πππαπ+<<+∴3 224k k παπππ+<<+ ∴tan 12α<-2tan 242sin 2251tan 2ααα==-+, 整理得212tan 25tan 12022αα++= 求得4tan 23α=-或34- (排除)8答案及解析：答案：C解析：sin 404cos50tan 404sin 40cos 40︒︒-︒=︒-︒ 4cos 40sin 40sin 402sin80sin 40cos 40cos 40︒︒-︒︒-︒==︒︒2sin(12040)sin 4040sin 40sin 40cos 40cos 40︒-︒-︒︒+︒-︒==︒︒==故选C.9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：A解析：由sin cos αα+=,平方得121sin 2sin 233αα+=⇒=-, 又α为第二象限角,因此sin 0α>,cos 0α<,所以sin cos αα-+==所以22cos 2cos sin ααα=-()()cos sin cos sin 3αααα=+-=-.11答案及解析： 答案：79- 解析：因为sin π163α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则22π7cos 2cos 22sin 1?36π3π9ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.12答案及解析：答案：35-解析： 由三角函数的定义可知22221tan 143 2, 21tan 145tan cos cos sin θθθθθθ--=∴=-===-++13答案及解析：解析： ∵2222211sin +cos ,sin cos sin 44ααααα=∴+-= 21.4cos α∴= 又(0,)2πα∈∴1 , 22cos sin αα==∴ tan α=14答案及解析： 答案：724 解析： ∵tan =tan[()()]222αββααβ+-+- =22122tan tan tan tan βααββααβ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17= 22()72()241tan 2tan αβαβαβ===+∴++15答案及解析：答案：解法一:由223sin ?2sin 1?αβ+=,得221?2sin 3sin βα-=, 即2cos 23sin βα=,由3sin 22sin 20αβ-=,得3sin 2sin 22βα=. ()cos 2cos cos2sin sin 2αβαβαβ+=-23cos 3sin sin sin 22αααα=⋅-⋅ 223sin cos 3cos sin 0αααα=⋅-⋅=. ∵090α︒<<︒,090β︒<<︒,∴02270αβ︒<+<︒. 在0︒到270︒之间只有90的余弦值为0,故290αβ+=︒. 解法二:由223sin ?2sin 1?αβ+=,得2cos 23sin βα=.① 由3sin 22sin 20αβ-=,得3sin 2sin 22βα=.② ①÷②得tan cot 2αβ=. ∵090α︒<<︒,0290β︒<<︒,故()cot 90cot 2αβ︒-=.又∵09090α︒<︒-<︒,0290β︒<<︒, ∴02180αβ︒<+<︒,于是290αβ+=︒. 解析：(1)欲求角,先求2αβ+的三角函数值;(2)从已知条件变换出角2αβ+的范围,再根据所选函数在其上的单调性,确定2αβ+的值.由Ruize收集整理。

苏教版必修四第三章第二讲二倍角的三角函数（习题+解析）高中数学 二倍角的三角函数1. 计算sin105°cos75°的值为________。

*2. 已知tan 2θ＝3，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-＝________。

*3. θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝95，则sin2θ＝________。

4. 8cos 22+＋8sin 12-的化简结果是________。

*5.(四川高考) 设sin2α＝－sin α，α∈(2π，π) ，则tan2α的值是________。

**6. 设f (x ) ＝)2sin(22cos 1x x -+π＋sin x ＋a 2sin(x ＋4π) 的最大值为2＋3，则常数a ＝________。

**7. 若π＜α＜23π，化简αααcos 1cos 1sin 1--++＋αααcos 1cos 1sin 1-++-。

**8.(山东高考) 设函数f (x ) ＝23－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0) ，且y ＝f (x ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π。

(1) 求ω的值；(2) 求f (x ) 在区间[π，23π]上的最大值和最小值。

1. 41 解析：sin105°cos75°＝sin(180°－75°) cos75°＝sin75°cos75°＝21sin150°＝21sin30°＝41。

2. 3 解析：∵tan 2θ＝3，∴原式＝θθθθsin 2cos2sin 2sin 222++＝7. －2cos 2α 解析：∵π＜α＜23π，∴2π＜2α＜43π，∴cos 2α＜0，sin 2α＞0。

∴原式＝|2sin |2|2cos |2)2cos 2(sin2α-αα+α＋|2sin |2|2cos |2)2cos 2(sin2α+αα-α＝22cos 2sin αα+-＋22cos2sin αα-＝－2cos 2α。

高中二倍角的三角函数数学一、考点打破知识点课标要求题型1. 能利用两角和的正弦、 余弦、正切公式导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式， 认识它们的内在联系；能用二倍角公式导出半角二倍角的 填空题 公式 (不要求记忆） ；三角函数解答题2. 能运用所学三角函数的公式 进行简单的化简、求值和证明；3. 会用三角函数解决一些简单 的实质问题。

二、重难点提示重点： 角的和、差、倍公式的综合应用。

难点： 公式的灵巧运用。

一、二倍角的正弦、余弦、正切公式及推导利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin2α，cos2α。

sin2α＝ sin( α＋ α) ＝ sin αcos α＋ cos αsin α＝2sin αcos α。

cos2α＝ cos(α＋ α) ＝ cos 2 α－ sin 2α。

2tan 。

tan2α＝ tan(α＋ α) ＝21 tan(1) sin2α＝ 2sin αcos α (S )；2α说明理解、掌握三角函数各个公式的各样变形， 加强学生灵巧运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合剖析能力， 提升逆向思想的能力。

2α－ sin 2α＝1－2 sin 2α＝2 cos 2α－ 1(C 2α；(2) cos2α＝ cos )(3) tan2α＝ 2tan α2α(T。

1 tan2 α【重点解说】1. 在运用 T 2 时，一定在 tan2 、 tan均存心义时才能使用。

2. 要理解倍角公式与两角和 (差 ) 公式的内在关系，它们的内在关系以下列图所示：3. 倍角公式不单可运用于 2 作为的 2 倍状况，还可运用于诸如4 作为2的 2倍，作为的 2倍，2 作为的2倍，3作为3的 2 倍等状况。

2 4 24. 二倍角余弦公式中的三个式子注意选择性使用。

二、降幂公式① sin2＝1cos ； 22② cos2＝1cos ；22③ tan2＝sin22 ＝1cos。

221coscos2【重点解说】(1) 二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵巧掌握：1cos2sin 2α＝， cos2α＝21cos 2。

3.2 二倍角的三角函数一、填空题1．2sin 222.5°－1＝________. 2.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 4．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 5．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 6．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是________． 7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是________． 8．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 二、解答题9．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 11．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 三、探究与拓展12．化简：(1)cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x2n .答案 1．－22 2.2 3.－79 4．2 5．3 6.459 7．－155 8．3 9．解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 10．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°1＋3tan 10°－co s 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 12．解 (1)原式＝125sin π11·25sin π11·cos π11cos 2π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋16π11＝125sin π11·24sin 2π11cos 2π11cos 4π11·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π11⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 16π11 ＝125sin π11·23sin 4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11 ＝125sin π11sin 32π11 ＝125sin π11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π11 ＝sin π1125sin π11＝132. (2)原式＝12n sin x 2n ·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x 2n ＝12n sin x 2n ·2n －1· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x2n ·cos x2n ·cos x 2cos x 4…·cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n ·2n －1sin x 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1 ＝sin x 2n sin x 2n .。

[学业水平训练]计算 ° °的值为．解析：° °＝(°－°) °＝° °＝°＝°＝.答案：已知θ＝－，π＜θ＜，则θ＝．解析：因为θ＝－，π＜θ＜，所以θ＝－，θ＝θ θ)＝θ θθ－)＝.答案：若(α＋)＝＋，则α α)＝．解析：由(α＋)＝α－α)＝＋，得α＝，∴α α)＝α α)＝α＝.答案：化简－) 的结果是．解析：－)＝＝.答案：)＋)的化简结果是．解析：原式＝＋－）)＝＋－.∵π<<π，∴<，且< .∴原式＝－－( －)＝－ .答案：－已知α是第二象限的角，(π＋α)＝－，则α＝．解析：由(π＋α)＝－得α＝－，又α＝α－α)＝－，解得α＝－或α＝，又α是第二象限的角，∴α＝－.答案：－已知<<，化简： ( ＋－)＋[(－)]－ (＋ )．解：原式＝( ＋)＋( ＋)－(＋)＝＋）＋)＝＋)＝.已知α＋αα－α＝，α∈(，)，求α及α的值．解：由题意得α＋αα＝＋α＝α，∴αα＋αα－α＝.∵α∈(，)，∴α≠，∴α＋α－＝，即( α－)( α＋)＝.∵α＋≠，∴α－＝，∴α＝.∵＜α＜，∴α＝，∴α＝.[高考水平训练]已知＝，则θ＋ θ－ θ＋ θ)＝．解析：∵＝，∴原式＝θ(θ)＋θ)＝＝＝＝.答案：若(－α)＝，则(＋α)的值为．解析：∵－α＋＋α＝，∴(＋α)＝(－α)＝.∴(＋α)＝(＋α)－＝×()－＝－.答案：－求函数＝＋－的最小正周期和最小值，并写出该函数在[，π]上的单调递增区间．解：＝＋－＝(＋)·(－)＋＝－＝( ·－·)＝(－)．故函数的最小正周期＝＝π；当且仅当－＝π＋，∈，即＝π＋，∈时，有最小值－；函数在[，π]上的单调增区间为[，]和[π，π]．．已知(＋)＝，＜＜，求＋－ )的值．解：法一：因为＋－)＝＋－( ))＝（＋）,( －))＝（＋）－)＝·－)＝(＋)．又因为＜＜，所以＜＋＜π.而(＋)＝＞，所以＜＋＜π，所以(＋)＝－，所以(＋)＝－.又因为＝－(＋)＝－＝－(＋)＋＝－＋＝.所以原式＝(＋)＝×(－)＝－.法二：因为＜＜，所以＜＋＜π.又因为(＋)＝＞，所以＜＋＜π，所以(＋)＝－，所以所以－＝()()，＋＝－()()，))所以＝－()()，＝－(())，))所以＝，＝＝×(－)×(－)＝.由法一知，原式＝·－)＝×＝－.。

错误!1．2cos2错误!－1＝________。

解析2cos2错误!－1＝cos 错误!＝错误!。

答案错误!2。

错误!错误!＝________。

解析错误!错误!＝sin2错误!－cos2错误!＝－cos错误!＝错误!.答案错误!3．已知sin错误!＋cos错误!＝错误!，则cos 2θ＝________.解析将sin错误!＋cos错误!＝错误!平方得，1＋sin θ＝错误!,即sin θ＝－错误!,于是cos 2θ＝1－2×错误!2＝－错误!.答案－错误!4．已知sin α＝错误!，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×错误!－1＝－错误!。

答案－错误!5．已知sin错误!＝－错误!,则sin 2x的值等于________．解析∵sin错误!＝错误!·(sin x＋cos x）＝－错误!，sin x＋cos x＝－错误!，（sin x＋cos x)2＝sin2x＋sin 2x＋cos2x＝1＋sin 2x＝错误!2＝错误!，∴sin 2x＝－错误!。

答案－错误!6．已知cos α＝错误!，cos(α－β)＝错误!，且0＜β＜α＜错误!，(1)求tan 2α的值；（2)求β。

解（1）由cos α＝17,0＜α＜错误!,得sin α＝错误!＝错误!＝错误!。

∴tan α＝错误!＝错误!×错误!＝4错误!,于是tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!.（2）由0＜β＜α＜错误!，得0＜α－β＜错误!.又∵cos（α－β)＝错误!,∴sin（α－β)＝错误!＝错误!＝错误!。

由β＝α－（α－β)得：cos β＝cos［α－(α－β）］＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝17×错误!＋错误!×错误!＝错误!，所以β＝错误!.综合提高限时30分钟7．若cos(α＋β）cos α＋sin(α＋β）sin α＝－错误!，β是第二象限角，则tan 2β的值是________．解析由已知cos（α＋β－α)＝－错误!，即cos β＝－错误!；又β是第二象限角，∴sin β＝错误!，∴tan β＝－错误!，∴tan 2β＝错误!＝错误!＝错误!。

一、选择题1．已知4cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=-，则cos cos αβ的值为（ ） Ａ．0Ｂ．45 Ｃ．0或45 Ｄ．0或45±答案：Ａ．2．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ） Ａ．m n m n -+ Ｂ．m n m n +- Ｃ．n m n m -+ Ｄ．n m n m+-答案：Ａ．3．已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ，，的值为（ ）Ａ．π6 Ｂ．π4 Ｃ．π3 Ｄ．5π4答案：Ｂ．4．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ）Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>答案：Ａ．5．化简：ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） Ａ．tan 2x Ｂ．tan 2x Ｃ．tan x - Ｄ．cot x答案：Ｃ．6．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ）Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于1答案：Ｄ．二、填空题7．若π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α=______．答案：725-8．若1cos cos 2αβ=，则sin sin αβ的取值范围是______．答案：1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，三、解答题9．在ABC △中，60B =∠，且tan tan 23A C =+，求角A C ，的度数．解：60B =∠且180A B C ++=， 120A C ∴+=，tan tan tan()31tan tan A C A C A C+∴+==--． 由tan tan 23A C =+，tan tan 33A C ∴+=+，tan A ∴，tan C 可看作方程2(33)(23)0x x -+++=的两根．解方程得11x =，223x =+．当tan 1A =，tan 23C =+时，45A =，75C =．当tan 1C =，tan 23A =+时，75A =，45C =．10．若已知方程2(tan cot )10x x θθ-++=有两个实根，且其中一个根是23，求cos4θ的值．解：方程22(tan cot )10x x θθ-++=有两个实根，222sin cos 4(tan cot )4440cos sin sin 2θθθθθθθ⎛⎫∴∆=+-=+-=- ⎪⎝⎭≥，即2sin 21θ≤． 设另一个根为m ，则由根与系数的关系可得，(21m -=，于是2m == 故tan cot 4θθ+=，即24sin 2θ=， 1sin 22θ∴=（满足2sin 21θ≤）． 21cos 412sin 22θθ∴=-=．11．已知函数21cos cos 1()2y x x x x =++∈R ，求函数的最大值及对应自变量x 的集合．解：21cos cos 12y x x x =+15cos 2sin 2444x x =++ 1π5sin 2264x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， y 取最大值，只需ππ22π()62x k k +=+∈Z ， 即ππ()6x k k =+∈Z ， max 74y ∴=． ∴当函数y 取最大值74时，自变量x 的集合为ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．12．如图，在某点B 处测得建筑物AE 的项点A 的仰角为θ，沿B 前进30米至C 点处测得顶点A 的仰角为2θ，再继续前进D 点，测得顶点A 的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE 的高．解：由已知30BC =米，103CD =米，ABE θ=∠，2ACE θ=∠，4ADE θ=∠， 在Rt ABE △中，cot BE AE θ=，在Rt ACE △中，cot 2CE AE θ=，(cot cot 2)BC BE CE AE θθ∴=-=-．同理可得：(cot 2cot 4)CD AE θθ=-．(cot cot 2)(cot 2cot 2)BC AE DC AE θθθθ-∴=-， 即cot cot 2303cot 2cot 4103θθθθ-==-， 而cot cos 2cot cot 2sin sin 2θθθθθθ-=- sin 2cos cos 2sin 1sin sin 2sin 2θθθθθθθ-==． 同理可得1cot 2cot 4sin 4θθθ-=． cot cot 2sin 42cos 23cot 2cot 4cos 2θθθθθθθ-∴===-， 3cos 22θ∴=，结合题意可知：230θ=，15θ=， sin 215cot cot 2BC AE BC θθθ∴===-（米）．。

3．2二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？1．在S(α＋β)中，令________，可得到sin 2α＝________，它简记为S2α.答案：α＝β2sin αcos α2．在C(α＋β)中，令________，可得到cos 2α＝________，它简记为C2α.答案：α＝β cos 2α－sin 2α3．在T (α＋β)中，令________，可得到tan 2α＝________，它简记为T 2α.答案：α＝β 2tan α1－tan 2α4．在C 2α中考虑sin 2α＋cos 2α＝1可将C 2α变形为cos 2α＝ ________＝________．它简记为C ′2α. 答案：2cos 2α－1 1－2sin 2α5.2－sin 22＋cos 4的值是( )A ．sin 2B ．－cos 2 C.3cos 2 D ．－3cos 2 答案：D6．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( ) A ．－43 B.45 C ．－23 D ．4答案：A7．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C.π2 D.π4答案：C8．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝45，则cos 2α＝________．答案：－7259．sin 2π8－cos 2π8的值是________．答案：－2210．tan A ＋1tan A ＝m ，则sin 2A ＝________．解析：tan A ＋1tan A ＝sin A cos A ＋cos Asin A＝sin 2A ＋cos 2A sin A cos A ＝2sin 2A ＝m ，∴sin 2A ＝2m .答案：2m11．y ＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值为________．答案：212．化简1＋sin 10°＋1－sin 10°＝________． 解析：1＋sin 10°＋1－sin 10°＝cos 25°＋2sin 5°cos 5°＋sin 25°＋ cos 25°－2sin 5°cos 5°＋sin 25°＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°. 答案：2cos 5°二倍角的正弦、余弦、正切公式1．公式S 2α，C 2α中的角α没有限制．但公式T 2α需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z)时才成立． 当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，但tan 2α是存在的，故可改用诱导公式．例如：当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，tan 2α＝tan 2·⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0.2．一般情况下：sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.若sin 2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cos α＝1，此时α＝k π(k ∈Z)．若cos 2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＝1＋32舍去. 若tan 2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z)．3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等．二倍角公式的逆用、变形应用1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用．2．注意右边化为左边的应用，如sin 3αcos 3α＝12sin 6α，4sinα4cos α4＝2sin α2，2tan 40°1－tan 240°＝tan 80°，cos 22α－sin 22α＝cos 4α等．3．把cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2称为降幂公式，把1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α称为升幂公式，这几个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习过程中，要注意应用．4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．基础巩固1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13C.13D.79 答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于________．答案：－124．sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________．答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期是________． 答案：π26．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋127．sin2π12－cos 2π12等于________． 答案：－328．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________．解析：利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a ·b ＝0，所以sin 2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：由已知得：cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴cos α＝12.∴tan α＝ 3. 答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________． 解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.答案：11611．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________．解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1， 即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)·2＝2×2×…×223个＝223.答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin α的值． 解析：π<2α<2π，0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2.∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665. ∴sin 2α＝1－cos 2α2＝9130.∴sin α＝3130130.13．(2014·4月韶关模拟)已知函数f (x )＝23cos x ·sin x ＋2cos 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域．解析：(1)f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2.(2)∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，7π6.∴当x ＝π6时，f (x )max ＝3；当x ＝π2时，f (x )min ＝0.故f (x )的值域是[0，3]．。

3.2 二倍角的三角函数（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋错误！未找到引用源。

)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 .4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 22x＋sin x 的最小正周期是________．6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分)7．（15分）求cos π7cos 2π7co s 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分) 已知f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R.(1)若f(x)有最大值为2，求实数a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.答案一、填空题1.43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 22tan 1tan xx-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin2αcos2α，tan2α＝sin2cos2αα， ∴sin α与tan2α同号．3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13,原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－s in 50°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75.二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos7777π2sin7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos77π8sin7=8πsin 7π8sin 7=πsin7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a.当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1.(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ，∴212cos 1sin 13αα=--=-，∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-，cos 2α = 211912sin 169α-=，tan 2α = 119120-.。