高中数学-阶段质量检测(二)新人教A版选修2

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析 由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C.3D ．2 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c ) 答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，某某数m 的值． 解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1， 所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积． 解 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围． 解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解 设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ， 又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。

模块综合质量检测(二)(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析： 由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8，5＋5＝10，5个不同的和；若两次取球为不同号码，则只有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．答案： C2．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为( )A.3.5 C ．2.5 D ．2解析： x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋104.又(x ，y )在线性回归方程上， ∴m ＋114＝0.7×4.5＋0.35，∴m ＝3. 答案： B3．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析： ∵ξ～B (10,0.6)∴E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.∵ξ＋η＝8， ∴η＝－ξ＋8，∴E (η)＝－E (ξ)＋8＝－6＋8＝2.D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4答案： B4．在一次独立性检验中，得出列联表如下：( ) A ．200 B ．720 C ．100D ．180解析： A 和B 没有任何关系，也就是说，对应的比例aa ＋b 和cc ＋d基本相等，根据列联表可得2001 000和180180＋a基本相等，检验可知，B 满足条件．答案： B5．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则P (B |A )，P (A |B )分别为( )A.12，12B.13，115C.115，13D.13，12解析： P (A )＝336P (AB )＝136，P (B )＝1536P (B |A )＝P ABP A ＝136336＝13P (A |B )＝P ABP B ＝1361536＝115答案： B6．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2＜X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516解析： P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.答案： A7．若(1－5x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值是( ) A ．1 B ．49C ．59D ．69解析： 设(1＋5x )9＝a 0－a 1x ＋a 2x 2＋…－a 9x 9∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝69. 答案： D8．6名同学安排到3个社区，A ，B ，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为( )A ．12B ．9C ．6D ．5解析： 从甲、乙、丙以外的3人中选2人到C 社区，共C 32种，剩余的4人中除去甲后任选一人到A 社区共C 31种，剩余2人到B 社区，共有C 32·C 31＝9种．答案： B9．如果⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D.164解析： 因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－126＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164.答案： D10．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析： 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．答案： B11．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78解析： 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (E )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38. 答案： B12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立检验法抽取3 000人，计算发现K2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )C ．97.5%D ．99.5%解析： ∵K 2＝6.023>5.024，∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为97.5%.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________．解析：分两类：第1类，含0，有C21C32C31A33＝108个数；第2类，不含0，有C32A44＝72个数．共有108＋72＝180(个)．答案：18014．某校 1 000 名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图，则成绩X位于区间(53,68]的人数大约是________．解析：由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝0.682 6.∴人数为0.682 6×1 000≈682.答案：68215．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________．解析：设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是－20,30,50.依题意，X的分布列为E(X)＝－20×0.1＝37(元)答案：37元16．某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第 3 次击中目标的概率是 0.9； ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1； ③他至少击中目标 1 次的概率是 1－0.14.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析： ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第 3 次击中目标的概率是 0.9，正确；②恰好击中目标 3 次的概率应为 C 43×0.93×0.1；③ 4 次射击都未击中的概率为 0.14， 所以至少击中目标1次的概率为1－0.14. 答案： ①③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？解析： 由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数．由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能会不同，因此这是一个排列问题．第1步，放入甲类物质，共有A 32种方案； 第2步，放入乙类物质，共有A 53种方案． 根据分步乘法计算原理，共有A 32A 53＝360种方案． 因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果．18．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解析： (1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得 P (X ＝0)＝C 43C 63＝15，P (X ＝1)＝C 42C 21C 63＝35.P (X ＝0)＝C 41C 22C 63＝15.∴X 的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝4C 63＝5；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 52C 6＝1020＝12；P (B |A )＝P ABP A ＝C 41C 63C 52C 63＝410＝25.19．(本小题满分12分)(1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－2xx ＋2，证明：当x >0时，f (x )>0； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ，证明：p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e2.证明： (1)f ′(x )＝x 2x ＋x ＋2.当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数． 又f (0)＝0，因此当x >0时，f (x )>0. (2)p ＝100×99×98×…×8110020， 又99×81＝(90＋9)(90－9)＝902－81<902， 同理得98×82<902，…，91×89<902，所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019.由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>2x x ＋2， 因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x ln(1＋x )>2.在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫10919>e 2.所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e.20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N *.(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项． 解析： (1)由已知，得C nn －2(2i)2＝－180，即4C n 2＝180，所以n 2－n －90＝0，又n ∈N *，得n ＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为T k ＋1＝C 10k (2x i)10－k ·x －2k ＝C 10k (2i)10－k·x 5－52k ，因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，所以k ＝10,6,2.所以所求的项为T 11＝x－20，T 7＝3 360x－10，T 3＝11 520.21．(本小题满分12分)一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的有缺点的零件个数随机器运转的速度而变化，如下表为抽样试验的结果：(1)对变量y 与(2)如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解析： (1)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x i 2＝660，∑i ＝14y i 2＝291，所以r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1n y i －y2＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x i 2－4x2∑i ＝14y i 2－4y2＝438－4×12.5×8.25－4×12.52－4×8.252≈0.995>0.75.所以y 与x 有很强的线性相关关系．(2)由(1)中数据得b ∧≈0.728 6，a ∧≈－0.857 5，所以回归直线方程为y ∧＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， 所以x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在14.901 9转/秒以下．22．(本小题满分14分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q 2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解析： (1)设“该同学在A 处投中”为事件A ，“在B 处投中”为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A )＝0.75，P (B )＝q 2(0<q 2<1)，P (B )＝1－q 2.根据分布列知：P (ξ＝0)＝P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＝0.75(1－q 2)2＝0.03，解得q 2＝0.8.(2)当ξ＝2时，p 1＝P (A B B )＋P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝1.5q 2(1－q 2)＝0.24；当ξ＝3时，p 2＝P (A B B )＝P (A )P (B )P (B )＝0.25(1－q 2)2＝0.01； 当ξ＝4时，p 3＝P (A BB )＝P (A )P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48；当ξ＝5时，p 4＝P (A B B ＋AB )＝P (A B B )＋P (AB )＝P (A )P (B )P (B )＋P (A )P (B )＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24.所以随机变量ξ的分布列为数学期望Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(B BB＋B B B＋BB)＝P(B BB)＋P(B B B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896；该同学选择题干中所述方式投篮得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．。

阶段质量检测（二）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．观察下列各等式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：选观察分子中＋＝＋＝＋＝＋(－)＝.．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①＝ (∈)是三角函数；②三角函数是周期函数；③＝ (∈)是周期函数．．①②③．②①③．②③①．③②①解析：选按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面．”( )．各正三角形内一点．各正三角形的某高线上的点．各正三角形的中心．各正三角形外的某点解析：选正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．．(山东高考)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是()．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根解析：选因为“方程＋＋＝至少有一个实根”等价于“方程＋＋＝的实根的个数大于或等于”，因此，要做的假设是“方程＋＋＝没有实根”．．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)，可得＝.则正确的结论有( )．个．个．个．个解析：选平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由·＝·(≠)得·(－)＝，从而－＝或⊥(－)，故④错误．．用数学归纳法证明(＋)(＋)(＋)…(＋)＝···…·(－)(∈*)时，从＝到＝＋时，左边需增乘的代数式是( )．＋．(＋)解析：选增乘的代数式为＝(＋)．．已知，∈，＝，＝－＋，则下列结论正确的是( )．≤．≥．>．<解析：选＝＝＝≤＝，＝－＋＝＋≥，所以≥，故选.．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )．－．－．＋．＋解析：选归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为，公差是的等差数列，通项公式为＝＋.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋等于( )．．．．解析：选记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.．数列{}满足＝，＋＝－，则等于( ).－．．解析：选∵＝，＋＝－，。

阶段质量检测(二) 推理与证明班级：____________ 姓名：____________ 得分：____________(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n－n －4＝2B.n ＋1n ＋－4＋n ＋＋5n ＋－4＝2 C.nn －4＋n ＋4n ＋－4＝2 D.n ＋1n ＋－4＋n ＋5n ＋－4＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a≠0)可得b ＝c .则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n －1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x ，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．答 案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为k ＋1＋k k ＋1＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x＋2， f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋n －n －2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋＋2α2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋＋2α－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a ＜ cb.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c≥21ac，∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一 假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x1－tan x，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx1－f x＝－1f x ， 所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1fx ＋2a＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

阶段质量检测（二）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选 C “有放回”地取和“不放回”地取是不同的，故X 的所有可能取值有2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种．2．将一枚骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )A ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫563B ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫564C ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫560D ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫165解析：选A 每次抛掷出现6点的概率为16，由二项分布的知识，可知选A.3．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977解析：选 C 由ξ～N (0，σ2)知，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.4.如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8，0.7，那么此系统的可靠性为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06解析：选 B 1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994.5．已知X ，Y 为随机变量，且Y ＝aX ＋b ，若E (X )＝1.6，E (Y )＝3.4，则a ，b 可能的值分别为( )A ．2,0.2B ．1,4C ．0.5,1.4D ．1.6,3.4解析：选A 由E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，可知选项A 满足．6．设随机变量X 的分布列如下：则E (X )的值为( ) A.910 B.710C.1110D.1310解析：选C 由题意得，a ＝1－15－310＝12，所以E (X )＝0×15＋1×12＋2×310＝1110.7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )A.36125B.54125C.81125D.27125解析：选C 此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为C23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125. 8．设袋中有大小相同的黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球的个数的均值为67，则口袋中黑球的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 设白球的个数为a .取到白球的个数服从参数N ＝7，M ＝a ，n ＝2的超几何分布，所以取到白球的个数的均值为2×a 7＝67，解得a ＝3，故袋中白球有3个，黑球有4个．9．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >4)＝0.02，则P (0≤X ≤4)等于( ) A ．0.47 B ．0.52 C ．0.48D ．0.98解析：选 C 因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称．又P (X >4)＝0.02，所以P (0≤X ≤4)＝0.5－P (X >4)＝0.5－0.02＝0.48.10．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)的值为( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.5解析：选C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.2n ＝2，6p 1－p ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.11．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P (η<6)等于( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选A 因为P (ξ＝k )＝110，k ＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P (η<6)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝310＝0.3.12．端午节假期，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：选B 因甲、乙、丙回老家过节的概率分别为13，14，15，所以他们不回老家过节的概率分别为23，34，45，“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”，所以至少有1人回老家过节的概率为P ＝1－23×34×45＝35.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝kn (k ＝1,2,3,4,5,6)，则P (1.5<ξ<3.5)＝________.解析：由概率和为1可求得n ＝21.则P (1.5<ξ<3.5)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝521.答案：52114．已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)的值是________．解析：由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.答案：0.815．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任选3道题作答．已知所选的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立，则张同学恰好答对2道题的概率为________．解析：设张同学答对的甲类题的数目为x ，答对的乙类题的数目为y ，答对的题的总数为X ，则X ＝x ＋y .所以P (X ＝2)＝P (x ＝2，y ＝0)＋P (x ＝1，y ＝1)＝C22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＋C12×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×45＝57125. 答案：5712516．某家公司有三台机器A 1，A 2，A 3生产同一种产品，生产量分别占总产量的12，13，16，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A 1所生产出的概率为_______．解析：令A ，B ，C 分别表示A 1，A 2，A 3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝12×2.0%＋13×1.2%＋16×1.0% ＝473 000. 令D 表示任取一件为不良品，则 P (A |D )＝P AD P D ＝12×2.0%473 000＝3047.答案：473 000 3047三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．解：甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.记事件A 为“甲打完3局就能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”，则甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×12＝316.甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝316.18．(本小题满分12分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i ，B i (i ＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A －1A －2A 3，且三次试跳相互独立， 所以P (A －1A －2A 3)＝P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝0.3×0.3×0.7＝0.063.故甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i (i ＝0,1,2)， “乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i (i ＝0,1,2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M 1N 0＋M 2N 1，且M 1N 0，M 2N 1为互斥事件，所以所求的概率为P (M 1N 0＋M 2N 1) ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.19．(本小题满分12分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和均值． 解：(1)由已知，有P (A )＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝Ck 5C4－k3C48(k ＝1,2,3,4)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.20．(本小题满分12分)现有长分别为1 m,2 m,3 m 的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号)，从中随机抽取n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n ≤9)，再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．(1)当n ＝3时，记事件A ＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P (A )． (2)当n ＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)： ①求ξ的分布列；②令η＝－λ2ξ＋λ＋1，E (η)>1，求实数λ的取值范围．解：(1)当n ＝3时，即从9根中抽取3根，故总的基本事件数为C39，事件A ，可从三类中任取一类共C13种，再从该类的3个中任取2个共C23种，然后再从其余两类的6个中任取1个共C16种，故总共C13C23C16种，故P (A )＝C13C23C16C39＝914.(2)①由题意可知：ξ可能的取值为2,3,4,5,6，可得P (ξ＝2)＝C23C29＝112，P (ξ＝3)＝C13C13C29＝14，P (ξ＝4)＝C23＋C13C13C29＝13，P (ξ＝5)＝C13C13C29＝14， P (ξ＝6)＝C23C29＝112，故ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P112141314112②E (ξ)＝2×112＋3×4＋4×3＋5×4＋6×12＝4.因为η＝－λ2ξ＋λ＋1，所以E (η)＝－λ2E (ξ)＋λ＋1＝－4λ2＋λ＋1， 因为E (η)>1，所以－4λ2＋λ＋1>1， 解得0<λ<14.故实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 21．(本小题满分12分)云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名男生的身高服从正态分布N (170.5,16)．现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5,162.5)，第二组[162.5,167.5)，…，第六组[182.5,187.5]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况． (2)求这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数．(3)在这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值．参考数据：若ξ～，0.954 4＝)σ2＋μ≤ξ<σ2－μ(P ，0.682 6＝)σ＋μ≤ξ<σ－μ(P ，则)2σ，μ(N P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人．(3)∵P (170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)＝0.997 4，，0.001 3＝1－0.997 42＝≥182.5)ξ(P ∴ 0．001 3×100 000＝130.所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人.随机变量ξ可取0,1,2，于是，29＝1045＝C25C210＝0)＝ξ(P ，59＝2545＝C15C15C210＝1)＝ξ(P ，29＝1045＝C25C210＝2)＝ξ(P 1.＝292×＋591×＋290×＝)ξ(E ∴ 22．(本小题满分12分)某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和均值．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由直方图可得：20×x ＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1.所以x＝0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中有144名学生可以申请住宿．(3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的，14概率为，27128＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎫1424C ＝2)＝X (P ，2764＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎫1414C ＝1)＝X (P ，81256＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝0)＝X (P ，364＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫1434C ＝3)＝X (P .1256＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4)＝X (P 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256⎝⎛⎭⎪⎫或EX ＝4×14＝11.＝12564×＋3643×＋271282×＋2764×1＋812560×＝)X (E 所以X 的均值为1.一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X 的取值为( )A ．0,1B ．0,2C ．1,2D ．0,1,2 解析：选D 由于次品有2件，从中任取3件，则次品数可以是0,1,2.2．离散型随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4P 0.2 0.3 0.4 c则c 等于( )A ．0.1B ．0.24C ．0.01D ．0.76 解析：选A c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.3．随机变量X 的分布列为X 1 2 4P 0.4 0.3 0.3则E (5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3 解析：选A ∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.4．设随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 解析：选A 随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，所以E (ξ)＝np ＝1.6，D (ξ)＝np (1－p )＝1.28相除得p ＝0.2，n ＝8，故选A.)(等于)A |B (P ，则35＝)A (P ，310＝)AB (P ．已知5 950A.12B. 910C.14D. .12＝31035＝P ABP A ＝)A |B (P B 解析：选 6.如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率)(，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为12都是 18A.14B. 12C.116D. 解析：选A 由图示及题意可知，灯泡甲亮是开关a ，c 闭合和b 打开同时发生，其概.18＝12×12×12率为 7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5 解析：选 D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝－[1＋)]B (P －)·[1A (P ＝)B A ＋B A (P ，事件恰有一人击中敌机的概率为0.5P (A )]·P (B )＝0.5.8．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )＝( )25A.34B.12C.18D. ，12＝1×2×22×2×2＝)B (P ∵ C ：选解析 ，14＝1×1×22×2×2＝)B ∩A (P .12＝PA∩B P B ＝)B |A (P ∴ 9．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )49A.29B. 23C.13D. ，右边圆盘指针落在奇数区域23＝46左边圆盘指针落在奇数区域的概率为 A 解析：选.49＝23×23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23的概率为 等于)c －4＞ξ(P ，则a ＝)c ＞ξ(P ，若)2σ，(2N 服从正态分布ξ．设随机变量10( )A ．aB ．1－aC ．2aD ．1－2a ，)2σ，(2N 服从正态分布ξ由于 B 解析：选 所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞4－c )＝P (ξ＜c )＝1－P (ξ＞c )＝1－a .11．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是) (的事件为 310A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的＝k (Ck 7C4－k3C410＝)k ＝X (P 只为好的，则k 表示取出的螺丝钉恰有k ＝X C 解析：选1,2,3,4)．，16＝4)＝X (P ，12＝3)＝X (P ，310＝2)＝X (P ，130＝1)＝X (P ∴ ∴选C.12．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次取一个球，定义数列的概率是3＝7S 项和，那么n 的前}n a {为数列n S 如果⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球.＝n a ：}n a {( )2836B. 2636A. 3136D. 2936C.次摸到红球．又摸到红球的2次摸到白球，5次摸球中，有7即为3＝7S B 解析：选.2836＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫13·2⎝ ⎛⎭⎪⎫2327C ＝P ，故所求概率为13，摸到白球的概率为23概率为 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．．)种24(＝34A 的电话号码共有5解析：后三个数字两两不同且都大于 答案：24＝)ξ(D ，则1＝)ξ(E ，15＝0)＝ξ(P 若0,1,2.的取值为ξ随机变量)浙江高考(．14________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下，35＝p ，可得1＝)ξ(E 由 .25＝15×21＋35×20＋15×21＝)ξ(D 所以 25答案：15．(新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用)2(1 000,50N 均服从正态分布)时寿命超过1 000小时的概率为________．解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过 1 000小时，元件正常工作的.38＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋12×12×12，则部件正常工作的概率为0.5概率为 38答案：16．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．而在.13＝)A (P ，”的倍数3抛掷一枚骰子出现的点数是“为A ，设事件①解析：对于⎝ ⎛⎭⎪⎫13×k n C ＝)k ＝ξ(P 的概率)n ，…，0,1,2＝k (次k 恰好发生了A 次独立重复试验中事件n ，…，1,2,3的取值是ξ，②对于.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13B ～ξ，符合二项分布的定义，即有k －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×k不服从ξ，显然不符合二项分布的定义，因此)n ，…，1,2,3＝k (1－k 0.9×0.1＝)k ＝ξ(P 二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n 次试验.①③故应填.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，M N B ～ξ有③不服从二项分布，对于ξ是不独立的，因此 答案：①③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影(19手甲答题连续两次答错的概率为响)．(1)求选手甲回答一个问题的正确率；(2)求选手甲可以进入决赛的概率．，1P 设选手甲答对一个问题的正确率为(1)解： .23＝1P ，故选手甲回答一个问题的正确率19＝2)1P －(1则 道题进入决赛的概率5；选手甲答了1681＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫23道题进入决赛的概率为4选手甲答了(2)；64243＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23·⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫2334C 为 ；故选手甲可进入决赛的概160729＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23·2⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫2335C 道题进入决赛的概率为6选手甲答了.496729＝160729＋64243＋1681＝P 率 18．(本小题满分12分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和均值．解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.，435＝C34C47＝2)＝X (P ，135＝C33C47＝1)＝X (P .47＝C36C47＝4)＝X (P ，27＝C35C47＝3)＝X (P 所以随机变量X 的分布列是.175＝474×＋273×＋4352×＋351×＝)X (E 的均值X 随机变量 19．(本小题满分12分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率； (2)求解出该题的人数X 的分布列．解：(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A 、B ，则P (A )＝0.6，，0.92＝)B (P 0.4·－1＝)B ∩A (P －1＝P ，0.2＝)B (P 解得∴P (B )＝0.8.，0.08＝0.4×0.2＝)B (P )·A (P ＝0)＝X (P (2) ，0.44＝)B (P )·A (P ＋)B (P )·A (P ＝1)＝X (P P (X ＝2)＝P (A )·P (B )＝0.6×0.8＝0.48，∴X 的分布列为X12P 0.08 0.44 0.4820.(本小题满分12分)坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .13A ＝)A (n 又20.＝25A ＝)Ω(n 个的基本事件数为2个鸭蛋中不放回地依次拿出5从(1).35＝1220＝n A n Ω＝)A (P 于是12.＝14×A ，6＝23A ＝)AB (n 因为(2) .310＝620＝n AB n Ω＝)AB (P 所以 (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为.12＝31035＝P ABP A ＝)A |B (P 法二：因为n (AB )＝6，n (A )＝12， .12＝612＝n AB n A ＝)A |B (P 所以 21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．.23，去参加乙游戏的概率为13个人中，每个人去参加甲游戏的概率为4解：依题意，这，0,1,2,3,4)＝i (i A 为事件”人去参加甲游戏i 个人中恰有4这“设 .i－4⎝ ⎛⎭⎪⎫23i ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i 4C ＝)i A (P 则 (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为.827＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1324C ＝)2A (P (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝.4A ∪3A 互斥，4A 与3A 由于 .19＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫134C ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1334C ＝)4A (P ＋)3A (P ＝)B (P 故 .19个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为4所以，这 (3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 互斥，故4A 与0A 互斥，3A 与1A 由于 ，827＝)2A (P ＝0)＝ξ(P ，4081＝)3A (P ＋)1A (P ＝2)＝ξ(P .1781＝)4A (P ＋)0A (P ＝4)＝ξ(P 所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)，13次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为3者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球，且各次投篮互不影响．12乙每次投篮投中的概率为 (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．次投篮投中，k 分别表示甲、乙在第k B ，k A 解：设 ．3)1,2,＝k (12＝)k B (P ，13＝)k A (P 则 (1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知)3A 2B 2A 1B 1A (P ＋)2A 1B 1A(P ＋)1A (P ＝)C (P ＋)2A (P )1B (P )1A (P ＋)1A (P ＝ )3A (P )2B (P )2A (P )1B (P )1A (P 13×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13×12×23＋13＝ .1327＝127＋19＋13＝ (2)ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知 ，23＝12×23＋13＝)1B 1A (P ＋)1A (P ＝1)＝ξ(P ，29＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13×12×23＝)2B 2A 1B 1A (P ＋)2A 1B 1A(P ＝2)＝ξ(P .19＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝)2B 2A 1B 1A(P ＝3)＝ξ(P 综上知，ξ的分布列为.139＝193×＋292×＋231×＝)ξ(E 数学期望为。

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn－4＋错误!＝2 B.错误!＋错误!＝2C.nn－4＋错误!＝2D.错误!＋错误!＝2解析：选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)，可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c)＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c)，故④错误．6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B 增乘的代数式为错误!＝2(2k ＋1)．7．已知a ，b ∈R ，m ＝6a 36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则下列结论正确的是( )A ．m ≤nB ．m ≥nC ．m >nD ．m <n解析：选A m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m ，故选A. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 017等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3解析：选A ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1an，∴a 2＝1－1a1＝－1，a 3＝1－1a2＝2，a 4＝1－1a3＝12，a 5＝1－1a4＝－1，a 6＝1－1a5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 017＝a 1＋3×672＝a 1＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x 2＋2·2x＝12·2x2＋2x. ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x 2＋2x＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值，∴2S ＝22×12，∴S ＝32.答案：3212．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6a b(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2＋…＋xn n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图：12 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为 S n ＝(2n －1)n ＋错误!＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2， 令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．) 15．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋错误!＋错误![sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋错误!＋错误!sin(2α＋30°)－错误!＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较b a 与c b的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1)b a ＜c b.证明如下：要证b a＜c b，只需证b a ＜cb.∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又∵a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac ， 故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a2＋c2－b22ac ≥2ac －b22ac ＞ac －b22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立， 所以角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x.(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝错误!，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan xtanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝错误!＝错误!＝－错误!， 所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a )＝－错误!＝f (x )．所以f(x)是以4a为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想到数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S1＝a1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a1＋1a1，得a21＝1，因为a n＞0，所以a1＝1.S2＝a1＋a2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2，得a2＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1.S3＝a1＋a2＋a3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N*)．证明如下：①n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1ak，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2k a k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。

选修2－2 全册质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝8－6i 2i ＝－3－4i. 答案：A2．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A.答案：A3．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)．则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2解析：因为f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(0)＝2f ′(1)．因为f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，故f ′(0)＝－4.答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2答案：C5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.答案：C6．已知函数f (x )＝a sin2x －13sin3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( ) A ．0 B ．1C.12 D ．－12解析：因为f ′(x )＝2a cos2x －cos3x ，。

第二章 随机变量及其分布(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1的值为( )A ．0B ．215C ．115D ．1解析：由分布列的性质得15＋23＋p 1＝1，得p 1＝215.答案：B2．某校举行安全知识测试，约有2 000人参加，其测试成绩ξ～N (80，σ2)(σ>0，试卷满分100分)，统计结果显示P (ξ≤65)＝0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀(不低于95分)的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由正态分布密度曲线的对称性，可得P (ξ≥95)＝P (ξ≤65)＝0.3，所以测试成绩达到优秀的学生人数约为0.3×2 000＝600，故选D.答案：D3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下，如果命中8( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：P ＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.25＋0.05＝0.6. 答案：D4．已知随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3P0.20.5m若随机变量η＝3X －1，则E (η)为( ) A ．4.2 B ．18.9C ．5.3D ．随m 变化而变化解析：因为0.2＋0.5＋m ＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又η＝3X －1，所以E (η)＝3E (X )－1＝3×2.1－1＝5.3.答案：C5．设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m ，则ξ的数学期望E (ξ)＝( )A ．1B ．5C.147D.167解析：由x 2－2x －8≤0得，－2≤x ≤4，∴S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∴ξ的分布列为ξ －2 －1 0 1 2 3 4 P17171717171717∴E (ξ)＝－27－17＋0＋17＋27＋37＋47＝1，故选A.答案：A6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用M 表示事件“点P 恰好取自曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形内”，N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (N |M )等于( )A.14B.15 C.16D.17解析：曲线y ＝x 2与直线y ＝1及y 轴所围成的曲边梯形的面积S M ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪x －⎭⎪⎫13x 310＝1－13＝23， 直线y ＝x 与曲线y ＝x 2围成的阴影部分的面积S N ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 310＝12－13＝16， ∴P (M )＝S MS 正方形OABC ＝23，P (MN )＝S N S 正方形OABC ＝16，∴P (N |M )＝P (MN )P (M )＝1623＝14，故选A.答案：A7．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，若μ＝4，σ＝1，则P (5<X <6)＝( )A ．0.135 9B ．0.135 8C ．0.271 8D ．0.271 6解析：P (5<X <6)＝12[P (2<X <6)－P (3<X <5)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.答案：A8．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：由已知得E (ξ)＝6，D(ξ)＝2.4，所以E (η)＝8－E (ξ)＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.答案：B9．口袋中有n 个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为X ，若P (X ＝2)＝730，则下列结论错误的是( )A ．n ＝7B ．P (X ＝3)＝7120C ．E (X )＝118D ．D (X )＝12解析：由P (X ＝2)＝730，得C 13C 1n C 1n ＋3C 1n ＋2＝730，即3n (n ＋3)(n ＋2)＝730，整理得90n ＝7(n ＋2)(n＋3)，解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝67舍去.X 的所有可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝C 17C 110＝710，P (X ＝3)＝C 13C 12C 17C 110C 19C 18＝7120，P (X ＝4)＝C 13C 12C 11C 17C 110C 19C 18C 17＝1120，所以E (X )＝1×710＋2×730＋3×7120＋4×1120＝118，D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1182×710＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1182×730＋⎝⎛⎭⎪⎫3－1182×7120＋⎝⎛⎭⎪⎫4－1182×1120＝77192.答案：D10．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，其正态分布密度曲线为函数ƒ(x )的图象，且⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13，则P (x >4)＝( )A.16B.14 C.13D.12解析：∵X ～N (2，σ2)，∴ƒ(x )的图象关于x ＝2对称，由⎠⎛02ƒ(x )d x ＝13得P (0<X ≤2)＝13，P (X >4)＝12－P (0<X ≤2)＝12－13＝16，故选A. 答案：A11．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击6次，有3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：先排3次未命中结果只有一种，产生四个空位，选两个空位插入2次连续命中和1次命中，所以3次命中且恰有2次连续命中的概率为A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126，故选B.答案：B12．(2019·某某浙南名校联盟期末)已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤3对所有a ∈(0，1－b )都成立，则( )A ．0<b ≤13B ．0<b ≤23C.13≤b <1D.23≤b <1 解析：由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1， 所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－b 22＋1－b ， 因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b2时，D (X )取最大值1－b .又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23，所以23≤b <1.故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2019·某某一中高二期末)已知有一匀速转动的圆盘，其中心有一个固定的小目标M ，甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m 处的地方向圆盘中心抛掷小圆环，他们抛掷的小圆环能套上小目标M 的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M 被套上的概率为________．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上；乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上；甲、乙抛掷的小圆环都套上，所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：2514．若A ＝{1,2,3，－1，－2}，且a∈A，b∈A，c∈A，则a ，b ，c 这三数中恰有两个正数一个负数的概率为________．解析：P ＝C 23×32×253＝54125. 答案：5412515．若A ，B ，C 相互独立，且P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝18，则P (A )＝________，P (B )＝________，P (C )＝________.解析：设P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝16，(1－y )z ＝18，xy (1－z )＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝14，y ＝12，x ＝13.答案：13121416．有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分，已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为13.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P (ξ＝9)＝________，E (η)＝________(用数字作答)．解析：P (ξ＝9)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝29.依题意，ξ的可能取值为7,8,9,10，η＝4ξ.P (ξ＝7)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝827， P (ξ＝8)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (ξ＝9)＝29， P (ξ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，∴E (ξ)＝7×827＋8×49＋9×29＋10×127＝8，E (η)＝E (4ξ)＝4E (ξ)＝32.答案：2932三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝1,2,3,4,5)．求：(1)E (ξ＋2)2；(2)D (2ξ－1)．解：(1)∵E (ξ)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3，E (ξ2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11，E (ξ＋2)2＝E (ξ2＋4ξ＋4)＝E (ξ2)＋4E (ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.(2)D (ξ)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝2，D (2ξ－1)＝22×D (ξ)＝8.18．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和样本方差s 2；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 分布服从N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2，若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 7，依题意知X ～B (100,0.682 7)，所以E (X )＝100×0.682 7＝68.27.19．(12分)(2019·某某省部分重点中学高三起点考试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养，若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)9A 4，A 7，A 10；数学核心素养为一级的学生是A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8.记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 23＋C 22C 24＋C 25＝416＝14.(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8， 非一级的学生为余下的4人， ∴X 的可能值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×130＋1×310＋2×2＋3×6＝5.20．(12分)(2019·某某市高三联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值X 围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由．解：(1)∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴p ＋13＋q ＝1.又p ＝14，∴q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A B ∪A B ∪AB ，且A ，B 独立．由题意可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，∴P (C )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝12(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p . ∵P (C )＝12＋12p >45，∴p >35.又p ＋13＋q ＝1，q ≥0，∴p ≤23.∴p 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23. (3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，∴随机变量X 的分布列为则E (X )＝4×12＋0×18＋(－2)×8＝4.假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， ∴随机变量Y 的分布列为则E (Y )＝2×12＋0×13＋(－1)×6＝6.∵E (X )>E (Y )，∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．21．(12分)(2019·某某省五校协作体测试)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为17，第二轮检测不合格的概率为18，第三轮检测合格的概率为89，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列和数学期望．解：(1)记A i (i ＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A 为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．由题设知P (A 1)＝1－17＝67，P (A 2)＝1－18＝78， P (A 3)＝89，所以P (A )＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－67×78×89＝13.(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X ，则X 的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，且P (X ＝1 600)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1681，P (X ＝1 000)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281， P (X ＝400)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481， P (X ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881， P (X ＝－800)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. 故X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝1 600×81＋1 000×81＋400×81－200×81－800×181＝800.22．(12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。

【关键字】数学2016-2017学年高中数学阶段质量评估2 新人教A版选修2-3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量X的分布列为：则p的值为( )A. B.C. D.解析：由分布列的性质得p＝1－＝，故选C.答案： C2．(2015·河北省衡水中学高二上学期期末考试)10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于( )A. B.C. D．1解析：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布，所以其分布列为∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×故选A.答案： A3．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8.则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：由已知P＝P(K2)＋P(K1)＋P(KA2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.4．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝，则n的值为( ) A．3 B．5C．10 D．15解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，∴P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝，∴n＝15.答案： D5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( ) A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：由题意知正态曲线对称轴为x＝2，设P(0<ξ<2)＝y，则P(ξ<0)＝，∴P(ξ<4)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<2)＋P(2<ξ<4)＝＋2y＝0.8，∴y＝0.3.故选C.答案： C6．(2015·银川一中模拟)已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1解析：由题意得解得答案： B7．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为( )A．ab B．a＋bC．1－ab D．1－a－b解析：设产生故障的电脑台数为随机变量X，则X的取值为0,1,2，其分布列为：∴E(X)＝a－ab＋b－ab＋2ab＝a＋b，答案： B8．(2015·雅安市下学期高二期末检测)甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是P1，P2，P3，那么至少有一人解决这道题的概率是( ) A．P1＋P2＋P3B．1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)C．1－P1P2P3D．P1P2P3解析：设“至少有一人解决这道题”为事件A，则A表示“没有一人解决这道题”，由相互独立事件公式得P(A)＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)，∴P(A)＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)，故选B.答案： B9．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：若进这种鲜花500A．706元B．690元C．754元D．720元解析：∵E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，∴利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706(元)，故选A.答案： A10．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，∴5760＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．11．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析： 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.答案： D12．已知随机变量ξ的分布列为：ξ －1 0 1 P121838又变量η＝4ξ＋3，则ηA.72 B.52 C ．－1D ．1解析： E (ξ)＝－1×12＋0×18＋1×38＝－18E (η)＝4E (ξ)＋3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋3＝52.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为________个，方差为________．解析： 由题意可知X ～B (100,98.5%) ∴E (ξ)＝np ＝100×98.5%＝98.5，D (ξ)＝np (1－p )＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.答案： 98.5 1.477 514．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是12，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为16.则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是________．解析： 第一次闭合后出现红灯闪烁记为事件A ，第二次闭合后出现红灯闪烁记为事件B ，则P (A )＝12，P (AB )＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.答案： 1315．(2015·北京市朝阳区高二第二学期期末测试)接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为15，现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________．解析： 3人接种该疫苗相当于做了3次独立重复试验，其成功概率为15，因此恰有一人出现发热反应的概率为C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125. 答案：4812516．(2015·福州地区八县一中高二期末联考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析： ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}， 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确． 答案： ①②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列．解析： 设二级品有2n 个， 则一级品有4n 个，三级品有n 个． 一级品占总数的4n 4n ＋2n ＋n ＝47，二级品占总数的2n 4n ＋2n ＋n ＝27，三级品占总数的17.又设X ＝k 表示取到的是k 级品(k ＝1,2,3)， 则P (X ＝1)＝47，P (X ＝2)＝27，P (X ＝3)＝17，∴X 的分布列为：X 1 2 3 P47271718.(本小题满分12分)0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解析： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB ，于是P (AB )＝P (A )×P (B )＝C 23×0.82×0.2＋C 23×0.72×0.3 ＝0.384＋0.441＝0.825.19．(本小题满分12分)袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．解析： 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，P (C )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝410×69＝415. 20．(本小题满分12分)一批电池用于1节电池的手电筒的寿命是服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布的．随机从这批电池中取一节电池装在手电筒中，问：这节电池可持续使用不少于40.0小时的概率是多少？(参考数据：P (|x －μ|<σ)＝0.682 6，P (|x －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|x －μ|<3σ)＝0.997 4)解析： 用X 表示电池的使用寿命， 由题意知，X ～N (35.6,4.42)， 从而P (X ≥40.0)＝P (X ≥35.6＋4.4) ＝12[1－P (35.6－4.4<X <35.6＋4.4)] ＝12(1－0.682 6) ＝0.158 7.21．(本小题满分13分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．解析： (1)必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝3)＝13×12＝16， P (ξ＝4)＝13×12＝16，P (ξ＝6)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1＝13.∴ξ的分布列为：(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×6＋6×3＝2.22．(本小题满分13分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析： (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。