因式分解法解一元二次方程课件.ppt2

2 ②(2a－3) =(a－2)(3a－4)
③
2y
2=3y
2 ④x +7x+12=0
⑤t(t+3)=28
2 2 ⑥(4x－3) =(x+3)
(7 ) x ( 3 2 ) x 6 0
2
x 3 x(3 2 x) x(3x 1) (8) 3 2 3
2
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 103x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0

他的解法有没有道理?
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次
方程，因此，可将方程的左边分解因式.于是得
x(x-2)=0. 所以x=0或x-2=0，所以方程x2-2x=0的
两个根为x1=0，x2=2.
根据物理学规律，如果把一个物体从地面
以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物
体离地面的高度(单位：m)为 （ 10x-4.9x2 ）
解: (1)整理,得 − ² = ,直接开平方,得x−1=3或. − =
−,解得 ₁ = , ₂ = −.
∵ = − = + = > , ∴ =
−±

= − ± , ∴ = − + , = − − .
典例精讲
【题型三】用适当的方法解一元二次方程
变式：解方程：
（1）9x²-12x-1=0； （2） + − =5
解: = − = + = > ,
+
−
∴ =
, =
.


(2) 整 理 , 得 ² + − = , 因 式 分 解 ， 得 ሺ
m
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落
回地面吗(精确到0.01 s)?
自主探究 （10min）
1.请同学们阅读课本46 页内容并思考.2.思考：他们谁的解法Fra bibliotek正确? 为什么?
（小明的解法是不正确的，原因是两
边同时除以的因式 x可能为0，而方程
两边不可以同时除以0）
自主探究 （10min）
3.请同学们在完成上面任务后填空.
单化，变得容易处理.

3 3 x1 ; x2 . 2 2
1.右化零; 2. 左分解; 3. 两因式； 4. 各求解.
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
xபைடு நூலகம் 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
例题欣赏
例1.解方程:
解 : 1 .15x 2 6 x 0, 3x 5x 2 0.
☞
分解因式法
(2) 4x2-9=0.
(1)15x2+6x=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x 0, 或5x 2 0. 2 x1 0; x2 . 5 2 . 2 x 3 2 x 3 0, 2 x 3 0, 或2x 3 0.
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
巩固练习：
1.用因式分解法解下列方程：
(1) 3x2 +x=0
2 3 y 2 3y 0 （2）
(3)
4x2-81
= 0
(4) 9(x+5)2=1
例2
用因式分解法解方程： (2x+1)2=(x-3)2
解：原方程变形为
观察与思考：
2 x+
7x = 0
(1) 这个方程的两边有什么特点？
（2）它的左边可以分解因式吗？
解：把方程的左边进行因式分解，得
2 X +7x=0
x(x+7) =0
∴
x=0, 或 x+7=0
x2＝﹣7
如果两个因式 的积为0，那么 这两个因式中 至少有一个为0

3
活动与探究 知识讲解
根据实际需要新增（页温馨提示：规范操作、注意安全）
难点突破
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上 抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述 规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时 它离地面的高度为0，即
这种解法是不是很简单？
课堂练习
根据实际需要新增页
难点巩固 因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
6
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
典例精析
例1 解下列方程：
解：因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0. 于是得
x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.

例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；
(2)（x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.

2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一 定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接
开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式 法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看 不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理 的方法。
方程。
4. 两个_一__元__一___次__方__程__的___解__就是原方程的根。
课前练习
（1）2x2－4x ＋2 = 0
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4 = 0 （4）(3x＋1)2－5 = 0
（1）2x2－4x ＋2 = 0 解：因式分解，得 2 (x－1) 2= 0 x－1 = 0 或 x－1 = 0
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
x1
11, 2
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:

用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0

例题欣赏
☞
分解因式法
用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;
2
(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5 x 4 x 0, 2 .( x 2) x x 2 0, x 21 x 0. x5 x 4 0. x 0, 或5 x 4 0. x 2 0, 或1 x 0. 4 x1 2; x2 1. x1 0; x2 . 5
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2 7 答:这个数是0或 2
驶向胜利 的彼岸
学习是件很愉快的事 • 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2. 2.(x+1)2-25=0. [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
(2)2 x 7 x 4
2
解： (2)2 x 7 x 4 0 a=2,b=7,c=-4
2
b 4ac 7 4 2 (4) 81 0
2 2
7 81 7 9 x 2 2 4 1 x1 , x2 4 2
请你用两种方法解方程:x 3x
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 令方程的右边为0，左边可因式分解; 2. 把左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为 两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，
它们的根就是原方程的根.
动脑筋
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1 . x 2 0, 或x - 4 0.

2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，

例题欣赏
☞
分解因式法
用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;
2
(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5 x 4 x 0, 2 .( x 2) x x 2 0, x 21 x 0. x5x 4 0. x 0, 或5x 4 0. x 2 0, 或1 x 0. 4 x1 2; x2 1. x1 0; x2 . 5
想一想 • 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
7 x , x2 . 1 0 2 7 答 : 这 个 数 是 0 或 2
驶向胜利 的彼岸
学习是件很愉快的事 • 你能用分解因式法解下列方程吗？
x 0, 或x 3 0.
x1 0, x2 3.
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法你为分解因式法. 老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
一元二次方程的解法
因式分解法
小测：
解 方 程 : ( 1 ) x 2 x20
2
(2 )2 x 7 x4
2
解 方 程 : ( 1 ) x 2 x20
2
解： ( 1 ) x 2 2 x 2
x ห้องสมุดไป่ตู้2x1 2 1

小亮的思考及解法 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程， 因此，可将方程的左边分解因式. 于是，得 x(x－2)＝0. 所以，x＝0，或x－2＝0. 方程x2－2x=0的两个根为x1＝0，x2＝2. （来自教材）
知识点 1 因式分解法的依据
知1－讲
小亮的解法是正确的，他给出了解一元二次方 程的又一种方法. 像这 样，把一元二次方程的一 边化为0, 另一边分解成两个一次因式的乘积，进 而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根， 这种解一元二次方程的 方法叫做因式分解法.
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
（来自《典中点》）
知1－练
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
总结
因式分解法的依据： 如果a·b=0, 那么a=0或b=0．
知1－讲
知1－练
1 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因
式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得
到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得
到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的 数学思想是( )
A．转化思想
例1 用因式分解法解下列方程： (1) 3(x－1)2＝2(x－1); (2) (x＋5)2＝49.
解：(1) 原方程可化为 3(x－1)2－2(x－1)＝0 ，
(x－1)(3x－5)＝0.
得 x－1＝0，或3x －5＝0，
x1＝1，x2＝
5 .
3