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一元二次方程的解法因式分解法PPT课件

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人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT

人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT

简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？

1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法课件2)

1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法课件2)

（2） 2x(5x-1)=3(5x-1) 解: 原方程可以写成 2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得 (5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出 5x-1 = 0 或 2x-3 = 0.
解得
x 1 , 1 5 x 3 . 2 2
小提示
从例1至例4看到，解一元二次方程的基本方 法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为 0，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从 而转化成一元将方程右边的各项移到方程的左边， 使方程右边为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式；
（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：
（4）解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解。
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
结
束
动脑筋
如何解1.1节问题二中的方程： 0.01 t -2t = 0.
2
④
可以用提公因式法把方程 ④的左边因式分解．
把方程④的左边因式分解，得 t(0.01t -2)= 0. 由此得出 t= 0 或 0.01t -2 = 0 解得 ⑤
t1= 0 ， t2= 200 .
t1=0 表明小明与小亮第一次相遇； t2=200 表明经过200 s 小明与小亮再次相遇．
解
原方程变形为x(x2-4)=0, 即 x(x+2)(x-2)=0, ∴ x=0 或 x+2=0或x-2=0， ∴ x1=0，x2=-2，x3=2.
归纳 小结
1.解一元二次方程的基本思路？ 解一元二次方程的两种方法？
2.能用直接开平方法求解的方程也能用因式 分解法。 3.当方程出现相同因式时，不能约去，只能 分解。
5

《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)

《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)

新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

C、x1 2, x2 4 D、 x1 2, x2 4
2、假如方程 x 2 3x c 0 有一种根为1，
那么c= ，该方程旳另一根为
。
3、用合适旳措施解下列方程
（1）25y 2 16 0 （2）(x 2)2 3x 6
（3）(6y 5)(6y 5) 24 0（4）x2 2 5x 10 0
2、把小圆形场地旳半径增长5得到大圆形 场地，场地面积增长了一倍，求小 圆形场地旳半径。
画龙点睛:
归纳：用因式分解法解一元二次方程，将方程
化为形如：A· B=0旳形式，则A=0或B=0.（A、 B为整式）
（1）ma mb 0 m(a b) 0
则： m 0 或 a b 0
（2）m(a b) n(a b) 0 (a b)(m n) 0
变式1：解方程：x(x 2) x 2 0
解：因式分解，得：(x 2)(x 1) 0 于是得：(x 2) 0 或 (x 1) 0 ∴ x1 2 ； x2 1
相应练习：3x(x 1) 2(x 1)
变式2：解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得：4x 2 1 0
＆22.2.3一元二次方程旳解法 因式分解法
温故知新:
1、我们学习了解一元二次方程旳哪些措 施？ 直接开平措施、配措施、公式法
2、因式分解旳措施： （1）提公因式法：
ma mb mc _________
（2）公式法：
a 2 2ab b2 ___________ a 2 2ab b2 ___________
3、用合适旳措施解下列方程
（1）( y 2)( y 3) 0 （2） x 2 2x 0
（3） 7x 2 21

因式分解法解一元二次方程课件人教版九年级数学上册

因式分解法解一元二次方程课件人教版九年级数学上册
x2+6x+9=0 因式分解，得
(x+3)2=0，即 (x+3)(x+3)=0 于是得
X+3=0,或x+3=0
另解：(直接开平方法) ∴x1=x2=-3
9x2-25=0
9x2=25
X2=25/9
∴X1=5/3, x2=-5/3
5、(x-2)2=(4-3x)2 解：(x-2)2-(4-3x)2=0 [ (x-2)+(4-3x) ] [ (x-2)-(4-3x) ]=0 (-2x+2)(4x-6)=0 -2x+2=0，或4x-6=0 ∴ x1=1，x2=3/2
2、3x(x+5)-2(x+5)=0 解：因式分解，得
(x+5)(3x-2)=0 于是得 X+5=0，或3x-2=0 X1=-5，x2=2/3
3、9x2-25=0 解：因式分解，得
(3x+5)(3x-5)=0 于是得， 3x+5=0,或3x-5=0 ∴ X1=-5/3, xபைடு நூலகம்=5/3
4、x2+6x=-9 解：移项，得
完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
③十字相乘法：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
七、作业
1.教材P17第6题；P21第1题。 2.《学习指要》P7-8对应章节练习。
我们下节课再见！
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：x2+6x+9 =(x+3)2 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

一元二次方程的解法ppt课件

一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=

，x
2=1

观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室

降次解一元二次方程因式分解法教学课件.ppt

降次解一元二次方程因式分解法教学课件.ppt
的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
六、作业设计
作业
课本P43 习题22.2第6题
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例1、解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
x 23x 5 0
x 2 0或3x 5 0
x1
2,
x2
5 3
(2)(3x+1)2－5=0
解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5 )=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5=0
∴
x1=
１
3
5,
x2=
１
3
5
三、巩固练习
x1
1,
x2
a a
b b
.
2.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
1 (a b) 1 (a b)
解：[x (a b)][x (a b)] 0 x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
3.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
x 3y 0或2x 5y 0,
x 3y或2x 5y.
五、课堂小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1.方程右边不为零的化为 零 。 2.将方程左边分解成两个__一__次__因__式_____

解一元二次方程ppt课件

解一元二次方程ppt课件

21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解

北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件

北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
第二章一元二次方程
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，

17.2.5因式分解法(一元二次方程的解法)

17.2.5因式分解法(一元二次方程的解法)
第五课时
因式分解法
回顾与复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
2 = ( ≥ 0)
配方法
( + ℎ)2 = ( ≥ 0)
公式法
− ± 2 − 4
=
2
≠ 0, 2 − 4 ≥ 0 .
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式
两边都除以, 得 = 3
∴ 这个数是3.
思考
这种做法对吗?
新知探究
解: 由方程 2 = 3, 得
2 − 3 = 0.
∴ − 3 = 0.
∴ = 0, 或 − 3 = 0.
∴ 1 = 0,
2 = 3.
∴ 这个数是0或3.
思考
这种做法对吗?
这种做法的依据是什么?
归纳总结
－ = 或 + =
∴ = , = −
新知应用
例4、解下列方程
1 2－3－10 = 0
2 ( + 3)(－1) = 5
解题步骤
解： 2 原方程可变形为
例题
+ － =
(－)( + ) =
－ = 或 + =
∴ = , = −
方程右边化为零
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零
得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
巩固练习
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程
( − 5)( + 2) = 18
解：
原方程化为
( − 5)( + 2) = 3 × 6
由 − 5 = 3，得 = 8;

用因式分解法求解一元二次方程课件19张北师大版九年级上册数学

用因式分解法求解一元二次方程课件19张北师大版九年级上册数学
等式两边加4，得x2＋4x＋4＝6，
由完全平方公式得(x＋2)2＝6，
∴x＋2＝ 或x＋2＝－ ，
所以原方程的解为x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
合作探究
(2)移项，得(x－2)2－3(x－2)＝0，
提取公因式，得(x－2)(x－5)＝0，
则x－2＝0或x－5＝0，
解得x1＝2，x2＝5.
把解一元二次方程变为解两个 一
元 一
次方程的情势，
从而求得方程的解.我们把这种解一元二次方程的方法称为
解因式法 .
分
预习导学
2.分解因式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)移项:把方程的右边变为
(2)化积:把方程的左边分解为
0
；
两
个一次因式的积；
(3)转化:令两个一次因式分别为0，把方程转化为两个
元
方法归纳交流 因式分解法是把一元二次方程转化为两个
一元一次方程，再求解即可.逆向思维，我们可以构造两个一元
一次方程，把两个一元一次方程相乘，得到一元二次方程.
合作探究
2.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－6x＋8＝0的
解，则这个三角形的周长是( B )
A.11
B.13
C.11或13
D.不能确定
合作探究
1.方程3x(x＋1)＝3x＋3的解为( D )
A.x＝1
B.x＝－1
C.x1＝0，x2＝－1
D.x1＝1，x2＝－1
2.用指定方法解下列方程:
(1)x2＋4x－2＝0(配方法)；
(2)(x－2)2＝3(x－2)(因式分解法)；
(3)2x2－4x－1＝0(公式法).
合作探究
解:(1)原方程可化为x2＋4x＝2，

一元二次方程的解法+用因式分解法解一元二次方程+课件+++2024-2025学年湘教版九年级数学上册

一元二次方程的解法+用因式分解法解一元二次方程+课件+++2024-2025学年湘教版九年级数学上册
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ；
思路点拨 将方程右边的 移到左边，使方程右边等于0，将左边提公因式 .
解 原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
（2） ；
思路点拨 原方程可化为，提公因式 .
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 .由此得或 .解得， .
（3） .
思路点拨 原方程可化为 ，将方程的左边利用平方差公式因式分解后求解.
原方程可化为 .把方程左边因式分解，得 ，即 .由此得或 .解得， .
易错提醒 注意解方程（1）时，不能将方程两边同时除以 有等于0的可能 ，否则方程会漏掉一个解．
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
当堂检测
1.一元二次方程 的根是( ) .
拓展延伸
8.根据多项式乘法公式可知， ，因此我们可以用公式 来分解因式，从而解一元二次方程．
（1）一元二次方程可以分解为______________ .一元二次方程可以分解为_______________
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法求解．
例如，一元二次方程可以分解为 ，从而快速求出方程的根．
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法（2课时）
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
第1课时 用因式分解法解一元二次方程
起航加油
知识梳理
1.因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于___的形式，再使这两个一次式分别等于0，转化为两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.
D
A. B.， C. D.，
2.当_________时，代数式与 的值相等.

九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版

九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版

(3)3x 2 ? 6 x ? ? 3 移项，得： 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 提公因式得： 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 所以 3( x ? 1) 2 ? 0 有 ( x ? 1) 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 1 .
另一解法 :
(4)4x2 ?121? 0
移项：4x2 ? 121
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a 2+2ab+b 2=(a+b)2.
” （3）“x2+(a+b)x+ab 型:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
思考 ?
根据物理学规律,如果把一个物体从地 面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗？（精确到0.01S）
刻物体的高度是0m．
以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 ①
x ? 0 或 10 ? 4.9x ? 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：x(x?2)??x?2?? 0,
解 : 移项,合并同类项,得：
?x?2?x??1?? 0.

北师版九年级数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程(学习、上课课件)

北师版九年级数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程(学习、上课课件)

方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
感悟新知
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
感悟新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想 通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
易错：千万不能 将方程两边同时
除以(x－5) ，否
则方程会漏掉
x=5 这一根.
感悟新知
2-1. 解下列方程：
知2－练
①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ 2 x－3=0. 适当的方法为( A ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法
方程的解
x1=0，x2=－b x1=a，x2=－a
x1=x2= a x1=－p，x2=－q
感悟新知
特别解读 ★用因式分解法解一元二次方程的关键：
知1－讲
1.将方程的右边化为0;
2.熟练掌握多项式因式分解的方法;
3.方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式.
★常用的因式分解的方法：
1.提公因式法：ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)；
∴ x =－182±×2 332=－9±2 83.
∴ x1=－9＋2 83，x2=－9－2 83.
感悟新知
知2－练
(4)(x－5)2=2(x－5).
解：(因式分解法)移项，得(x－5)2－2(x－5)=0，

2-2一元二次方程的解法(1) 课件 2022—2023学年浙教版数学八年级下册

2-2一元二次方程的解法(1) 课件 2022—2023学年浙教版数学八年级下册

(2) 3x2 2x
解：
3x2 2x 0
x(3x 2) 0
x 0或3x 2=0
x1
0，x2
=
2 3
(3) (x 2)(2x 3) 6
解：
2x2 7x 0
（x 2x 7） 0
x 0或2x 7 0
x1
0, x2
7 2
(4) (2x 1)2 (3 x)2
解：
（2x 1）2 3 x2 0 （ 2x 1）+3 x （ 2x 1）-3 x 0
x 2 3x 4 0
x 2 0或3x 4 0
x1
0,
x2
4 3
7x2 21x
x2 9 0
4
x1 0, x2 3,
x1 6, x2 6,
27x2 18x 3 x 22 2x 4
1
x1
x2
, 3
x1 0, x2 2,
4 x 32 x x 3 0 7x 12 4x2
x2 2 2x 2
一元二次方程有 两个相等的实数根
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程 的右边化为零；
2、将方程的左边分解因式； 3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程
转化为解两个一元一次方程。
(1) (x 1)(x 3) 0
解：
(x 1) 0或(x 3)=0
x1 1,x2 = 3
能力提高2
利用本节课(因式分解法解一元二次方程)的知识 构造一个一元二次方程要求：①二次项系数为2 ②两个根分别为-3和7
2x 3x 7 0
即：2x2 8x 42 元一次方程 得x1=-1.5，x2=1.5
一般地，若两个因式的积为零，即A×B＝0,那么 A 和B 中至少有一个为0,即A＝0或B＝0.
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初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 因式分解法 （第5课时）
知识回顾
1、我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？
x - 2x 0
2
知识回顾
3、把下列各式因式分解 4、式子ab=0说明了什么？.
尝试：
1、若在上面的多项式后面添上=0，你怎样 来解这些方程？
（1）x2－4x =0 （2） y2－1=0 （3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（x+1）2－4=0
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
3 A.只有一个根x= 4
B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=-
3 43Biblioteka 4典型例题例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）x2-9=0 （2）（2x－1）2-x2 =0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项右边化为0 （2）左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
练一练
3用因式分解法解下列方程： （1）（x+1）2-9=0
（2）（2x-2）2-x2=0
4已知一个数的平方等于这个数的5倍。求这个数。
归纳总结
1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解 2. 解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？
探究：
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，
在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4， 于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？
典型例题
例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-9（x+4）2=0 （2）x2-4x-5=0 (3) (x-1)2=3 (4) x2-2x=4 （5）（x－1）2－6（x－1）+9=0 （6）4y（y－5）+25=0
首选因式分解法和直接开平方，其次选 公式法，最后选 配方法
如何选用解一元二次方程的方法？
练一练
1下面哪些方程，用因式分解法求解比 较简便？ ⑴ x2－2x－3 = 0 ⑵ （2x－1）2－1 = 0 ⑶ （x－1）2－18 = 0 ⑷ 3（x―5）2 = 2（5―x）
练一练
2用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）（x-1）=0 （2）(2y+1)(y-3)=0 (3)x2-3x=0 (4)3x2=x (5)2(x-1)+x(x-1)=0 (6)4x(2x-1)=3(2x-1)
概括总结 1、解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么 样的条件 ？ （1）方程的一边为0 （2）另一边能分解成两个一次因式的积
，x2=2