与圆有关的位置关系

匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。

（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。

（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。

（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。

（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。

2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。

圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。

在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。

本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。

I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。

我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。

如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。

2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。

这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。

3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。

这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。

如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。

4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。

这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。

II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。

假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。

圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。

设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。

则有以下五种关系：
1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。

扩展资料
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

《与圆有关的位置关系》教案【教学目标】 1. 使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,2.使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。

【重点难点】重点：用数量关系判断点和圆的位置关系、直线与圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

难点：1.运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

2.用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系.【教学过程】一、用数量关系来判断点和圆的位置关系：创设问题情境：射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。

你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。

（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）环）这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。

那么这个点到圆心的距离小于半径。

如上右图，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那OA ＜r ，OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立，．反过来也成立，即 若点A 在⊙O 内OA r < 若点A 在⊙O 上OA r = 若点A 在⊙O 外OA r >思考与练习：1、⊙O 的半径5r cm =，圆心O 到直线的AB 距离3d OD cm ==。

在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD cm =，4QD cm >，4RD cm <。

P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎么样的？的位置各是怎么样的？2、Rt ABC 中，90C Ð=°，CD AB ^，13AB =，5AC =，对C 点为圆心，6013为半径的圆与点A 、B 、D 的位置关系是怎样的？的位置关系是怎样的？探究：（1）作经过已知点A 的圆，这样的圆你能做出多少个？（2）作经过已知点A 、B 的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（3）如图,作经过不在同一直线上的三点A 、B 、C 的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

十四 与圆有关的位置关系赛点解读1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.设⊙O 的半径为r ，点P 与圆心的距离为d ，则有：⑴点P 在圆内r d <⇔；⑵点P 在圆上r d =⇔；⑶点P 在圆外r d >⇔.用图表表示如下：点与圆的位置关系图形数量关系(d 与r )点在圆内r OP d <=点在圆上r OP d ==点在圆外r OP d >=点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是互相对应的，知道位置关系可以确定数量关系，同样，知道数量关系也可以确定位置关系.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系主要研究直线和圆这两种图形随位置变化而引起的角与角之间的数量关系、截分线段的等积关系等，它为我们解决与圆相关的问题提供了一些重要的理论依据.直线与圆有三种位置关系；相离、相切、相交，用图表表示如下：直线与圆的位置关系相交相切相离图形dBOAr dOArd OA公共点的个数 2 1 0 公共点的名称 交点 切点 无 直线名称 割线切线 无 圆心到直线距离d 与半径r 的关系 r d <r d =r d >在直线与圆相离、相切、相交这三种位置关系中，重点是掌握直线和圆相切的判定和性质.圆的切线的判定方法有：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.圆的切线的性质定理有：①切线和圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过圆心；⑤经过切点垂直于切线的直线必过切点.涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据和方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理.和圆有关的比例线段定理包括相交定理、切割定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.概括圆幂定理其内容为：过定点圆的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值，如图14-3.()22r OP PB AP -=⋅定值PBAO BP AO3.圆与圆的位置关系两圆的位置关系共分为五种：外离、外切、相交、内切、内含（同心圆是内含的特例）.用图表表示如下：两圆的位置关系 图形 公共点的个数 数量关系(d 与R 、r)外离dO 2O 1rR0个 r R d +>外切dO 2O 1r R1个r R d +=相交dO 2O 1r R2个r R d r R +<<-内切Td O 2O 1rR1个r R d -=关于圆和圆的位置关系的性质，判定： ⑴设两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，则： ①r R d +>⇔⇔两圆外离条公切线4 ②r R d +=⇔⇔两圆外切条公切线3③()r R r R d r R ≥+<<-⇔⇔两圆相交条公切线2 ④()r R r R d >-=⇔⇔两圆内切条公切线1⑤()r R r R d >-<⇔⇔两圆内含无公切线 ⑵相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必过切点. ⑶相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.由圆的对称性知，若两圆有两条外(内)公切线，那么这两条外(内)公切线长相等；若两条外(内)公切线相交，则交点必在连心线上，并且连心线平分两条切线所夹的角.运用直线与圆、圆与圆的有关知识解决问题，既是圆的有关知识综合应用，同时又是重要的数学方法的体现.本节常用的解题方法有：⑴切线的判定常用的两种方法： ①若待证的切线与圆有一个公共点，则连线过该点的半径，证这条直线与所连半径垂直，即为圆的切线；②当直线与圆的公共点不明确，要证该直线是圆的切线时，常过圆心作该直线的垂线，证圆心到直线的距离等于圆的半径，即为圆的切线.⑵切线应用方法与技巧：遇到条件中有切线时，常用如下途径思考： ①连过切点的半径——利用切线的性质定理； ②将切点与圆上的点相连，构造弦切角——利用弦切角定理； ③应用切割线定理. ⑶利用和圆有关的比例线段定理，可直接进行线段的等积式的转换，或比例线段的转化. ⑷求两圆外（或内）公切线的长或求公切线与连心线的夹角的常规方法是通过构造直角三角形，将两圆半径、圆心距、公切线集中起来解决.如图（14-4(1)(2))2()1()⑸遇到两圆相交的问题，常作公共弦或连心线，尤其是公共弦，它是联系两圆关系的重要纽带.⑹遇到两圆相切的问题，常过切点作公切线，构造弦切角，可进行有关角的转化. 本节涉及到的热门赛点有：内含d O 2O 1r R0个r R d -<1.圆中有关计算.2.证线段相等.3.证等积、等比及其他有关线段的等式. 赛题详解赛点1：圆中有关计算例1 在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若4=AB ，5=BE ，则DE 的长为（ ）A.3B.4C.415 D.516 BEDCA例2 如图14-6，在半径为r 的⊙O 中，AB 为直径，C 为弧AB 的中点，D 为弧CB 的三分之一等分点，且弧DB 的长等于两倍的弧CD 的长；连接AD 并延长交⊙O 的切线CE 于点E （C 为切点），求AE 的长.DEC BOA例3 如图14-7,7根圆形筷子的横截面圆的半径为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 .CB AO 2O 1例4 已知：如图14-8，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，PO 交AB 于点M ，C 是MB 上的一点，OC 的延长线交⊙O 于点E ，OE PD ⊥，垂足为D ，且3=OC ，8=OD ，求⊙O 的半径.PD EC MOBA例5 如图14-9，D 、E 是△ABC 边上BC 上的两点，F 是BA 延长线上一点，CAF DAE ∠=∠.⑴判断△ABD 的外接圆与△ACE 的外接圆的位置关系，并证明你的结论. ⑵若△ABD 的外接圆半径是△ACE 的外接圆半径的2倍，6=BC ，4=AB ，求BE 的长.E D CFB A赛点2：证线段相等例6 如图14-10，已知BC 是⊙O 的切线，OC 平行弦AD ，过点D 作AB DE ⊥于点E ，连接AC ，与DE 交于点P ，问：EP 与PD 是否相等？证明你的结论.CDPB OE A例7 如图14-11，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，是BC CD =，AD CE ⊥，垂足为E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PC PE =.BOF CP EDA赛点3：证等积、等比及其他有关线段的等式 例8 如图14-12，P 是⊙O 外一点，P A 与⊙O 切于A ，P AC 是⊙O 的割线，PO AD ⊥于D ，求证：CD PC BD PB ::=.COD BPA例9 如图14-13，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=PB PA PC 11211. H ACOTPBS实战演练赛点整合，步步为营1.如图14-14，在△ABC 中，︒=∠70A ，⊙O 截△ABC 的三条边所得的三条弦都相等，则BOC ∠的度数是 .CB AO2.如图14-15，正方形ABCD 的边长为4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则EC = .EC BDA3.如图14-16，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心，交⊙O 1于点C 、D .若2:4:1::=DB CD AC ，则点O 2与⊙O 1的位置关系是（ ）A.O 2在⊙O 1内B.O 2在⊙O 1外C.O 2在⊙O 1上D.以上情况都有可能O 2O 1PDC BA4.直角三角形△ABC 的三条边长分别为3，4，5，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 .5.在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是（ ）A.1=dB.2=dC.7=dD.71≤≤d 6.如图14-17，等边△ABC 中，边AB 与⊙O 相切于点H ，边BC 、CA 分别与⊙O 交于点D 、E 、F 、G .已知2=AG ，6=GF ，1=FC ，则DE = .DEFGHCOBA7.如图14-18，大圆O 的直径acm AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2.O 3O 4O 2O 1OBA8.如图14-19，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则=NCBN. NPCBDA9.如图14-20所示，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙O 2相切点C .若⊙O 1的半径为2，则由O 1B 、弧BN 、NC 、弧CO 1围成的图形的面积等于 .O 2O 1N M CBA10.如图14-21，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，O 为圆心，点P 在劣弧AB 上，DP 交AO 于点Q .若QO PQ =，则AQQC等于（ ）A.132-B.23+C.23+D.32PQ OD BCA11.如图14-22，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E .过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB 、AC 于M 、N ，那么2BC CN BM ⋅的值等于（ ）A.81B.41C.21D.1 ED FN M CABO12.如图14-23所示，A 为弧BC 的中点，过点C 的切线交BA 的延长线于D ，G 为DC的中点，AC DE ⊥于E ，求证：EC BD 2=.ECGDBA13.如图14-24，已知AB 是半圆O 的直径，过A 、B 作弦AC 与BD 交于点E ，过C 、D 作圆的切线交于点P .求证：BA PE ⊥.OPDCBEA智能升级，链接赛题14.已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心、AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得AC BD =；再以点D 为圆心、DA 的长为半径作圆，与⊙A 分布相交于F 、G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则BHAH的值为 . 15.图14-25中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成.如果中间一块阴影的面积等于上下两块阴影的面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）A.25 B.26 C.22521π- D.21621π- PNMQ 2Q 1CBDA 16.如图14-26，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点M ，且分正方形为四个三角形，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4分别为△AMB 、△BMC 、△CMD 、△DMA 的内切圆，已知1=AB ，则⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）A.()()162234--π B.()4223π- C.()()42234--π D.164π-MO 2O 4O 3O 1CDBA17.如图14-27，已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切，若⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为a 、b 、c (0<c<a<b )，则a 、b 、c 一定满足的关系式为（ ）A.c a b +=2B.c a b +=2C.b a c 111+= D.ba c 111+=CBAl18.如图14-28有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切.如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么⊙O 3的直径为 .O 5O 4O 3O 2O 119.已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为2=AB ，10==CD BC ，6=AD ，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 .20.如图14-29,点C 是半径为1的半圆弧AB 的一个三等分点，分别以弦AC 、BC 为直径向外侧作4个半圆，则图中阴影部分（4个新月形）的面积是 .EDCBA21.8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结，五环旗中，五个大小相等的环环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心连接成等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形.如图14-30，假设a O O =42，a O O 221=，a O =∠1，则等腰梯形O 1O 2O 4O 5的对角线O 1O 4的长为 .O 5O 4O 3O 2O 122.宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r ）（图14-31）. ⑴如图14-31(1)，分别以线段O 1O 2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积. ⑵如图14-31(2)，分别以等边△O 1O 2O 3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时这三个圆相交部分的面积又是多少呢？ ⑶如图14-31(3)，分别以正方形O 1O 2O 3O 4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？图3()图(2)图1()O 1O 2O 3O 2O 1O 4O 3O 2O 123.如图14-32，已知△ABC 内接于⊙O ，AD 、BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于E ，连接EO 并延长交BE 于F ，求证：BF=FC .OFE DCBA24.如图14-33，△ABC 是锐角三角形，以BC 为直径作⊙O ，AD 是⊙O 的切线，从AB 上一点E 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ，若ACAEAF AB =，求证：AE AD =. OFE DCBA25.如图14-34，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF .求证：BCEF PAD =∠tan . CD P EFB A26.已知等腰三角形△ABC 中，AC AB =，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，证明：PD 是⊙I 的切线.C M I DPB A。

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

第5讲圆与圆的位置关系考点梳理1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．2．判断圆与圆位置关系的方法(1)几何法：圆心距与两圆半径的和或差的大小关系．两圆圆心距d＞r1＋r2，则两圆外离；d＝r1＋r2，则两圆外切；|r1－r2|＜d＜r1＋r2，则两圆相交；d＝|r1－r2|，则两圆内切；d＜|r1－r2|，则两圆内含；(2)代数法：解两圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离．【助学·微博】两圆公共弦(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．考点自测1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．2．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆O：x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，则a＝________.3．已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．5．若两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，且两圆圆心都在x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.考向一两圆位置关系的判定及应用【例1】a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切；(2)相交；(3)相离．【训练1】已知⊙C1：x2＋y2－2kx＋k2－1＝0和⊙C2：x2＋y2－2(k＋1)y＋k2＋2k＝0，则当它们的圆心距最小时，判断两圆的位置关系．考向二两圆相切及其应用【例2】已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线P A，PB，切点分别为A，B，满足P A＝PB.(1)求实数a，b满足的等量关系；(2)求切线长P A的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【训练2】已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线l：x＋3y＝0相切于点P(3，－3)，求圆C的方程．考向三 两圆位置关系的综合应用【例3】 (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1. (1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【训练3】 已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交，圆C 过原点，半径为10，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C 的方程．方法优化8 与圆有关的综合题的解法与圆有关的综合题，既可以用代数法求解，用到方程与函数思想．同时圆有很多几何性质，充分利用圆的几何性质求解，往往会事半功倍．【示例】 (2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．高考经典题组训练1．(2011·全国卷改编)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.2．(2011·广东卷改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．3．(2009·四川卷)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．4.(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)第5讲圆与圆的位置关系分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．3．与圆x2＋y2＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________．4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为________．5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.二、解答题(每小题15分，共30分)7．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．分层训练B级创新能力提升1．圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为________．2．(2012·苏州调研)已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．3．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．4．圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．6．(2012·南京二模)已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB 的长为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．第6讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题对应学生用书P147考点梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)121112一个考情分析与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值问题、最值与范围问题．解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解或计算求得．考点自测1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为________________．2．若直线y＝x＋b与曲线y＝1－x2有两个公共点，则b的取值范围是________．3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1相内切的半径最小的圆的方程为________．5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．【例1】已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．【训练1】已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线分别交直线l：x ＝2于M、N两点．(1)求MN的最小值；(2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．【例2】(2013·扬州调研)已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有PB P A为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．【训练2】(2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得弦长为 6.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．考向三 与圆有关的最值与范围问题【例3】(2012·扬州中学质检(三))已知⊙C ：x 2＋(y －1)2＝1和直线l ：y ＝－1，由⊙C 外一点P (a ，b )向⊙C 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ 等于P 到直线l 的距离．(1)求实数a ，b 满足的关系式；(2)设M 为⊙C 上一点，求线段PM 长的最小值；(3)当P 在x 轴上时，在l 上求一点R ，使得|CR －PR |最大．【训练3】 (2012·南通、泰州、扬州三市调研(二))若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．高考经典题组训练1．(2010·江西卷改编)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．2．(2012·天津卷改编)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________．2．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________．答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．4．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．115．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．6．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； (2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．2．(2012·苏州调研)过点P ()12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．3．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．4．(2013·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．5．(2013·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．。