第3章 第3节 三角函数图像与性质

第三章 第三节 三角函数的图象和性质1.函数y ＝tan 4x π(-)的定义域是 ( ) A ．{x |x ≠π4，x ∈R}B ．{x |x ≠－π4，x ∈R}C ．{x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z ，x ∈R}D ．{x |x ≠kπ＋3π4，k ∈Z ，x ∈R}解析：∵x －π4≠kπ＋π2，∴x ≠kπ＋34π，k ∈Z.答案：D2．求下列函数的定义域：(1)y ＝cos x ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －1)＋－tan x －1cos(x 2＋π8).解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ≥0，tan x ≥0，即⎩⎨⎧ 2kπ－π2≤x ≤2kπ＋π2，kπ≤x ＜kπ＋π2，(k∈Z)， 所以2kπ≤x ＜2kπ＋π2(k ∈Z)．所以函数y ＝cos x ＋tan x 的定义域是{x |2kπ≤x ＜2kπ＋π2，k ∈Z}．(2)由函数式有意义得⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，－tan x －1≥0，cos(x 2＋π8)≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞12，tan x ≤－1，x 2＋π8≠kπ＋π2，(k ∈Z)．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2kπ＋π6＜x ＜2kπ＋5π6，kπ－π2＜x ≤kπ－π4，x ≠2kπ＋3π4，(k ∈Z)．求交集得2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4(k ∈Z)． 所以函数的定义域是{x |2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4，k ∈Z}． 3.若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]内单调递增，则f (x )可以是 ( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x解析：y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以f (x )可以是－cos x . 答案：D4．求y ＝3tan(π6－x 4)的周期及单调区间． 解：y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)， ∴T ＝π|ω|＝4π， ∴y ＝3tan(π6－x 4)的周期为4π. 由kπ－π2＜x 4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x ＜4kπ＋8π3(k ∈Z)， y ＝3tan(x 4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递增． ∴y ＝3tan(π6－x 4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递减．5.已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是 ( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]． 答案：A6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．3 解析：由题意知⎩⎨⎧ T 4≤π3，T ＝2πω，解得ω≥32. 答案：B 7．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么a 的值等于 ( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3解析：y ＝cos2x ＋3sin2x ＋a ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1， ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]， ∴y min ＝2×(－12)＋a ＋1＝a ＝－4. 答案：C8．(2010·诸城模拟)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x ＋m (m ，x ∈R)(1)化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求实数m 的值，使函数f (x )的值域恰为[12，72]． 解：(1)f (x )＝2cos x ＋23sin x cos x ＋m＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋m＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，m ≤f (x )≤m ＋3.又12≤f (x )≤72，故m ＝12.9.(2009·江西高考) ( )A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|ω|＝2π. 答案：A10．(2009·福建四地六校联考)若函数f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[－π6，π3]上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是 ( )A ．y ＝sin(2x －π6)B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝cos(2x ＋π3) 解析：逐一验证，由函数f (x ) 的周期为π，故排除B ；又∵cos(2×π3－π6)＝cos π2＝0，故y ＝cos(2x －π6)的图象不关于直线x ＝π3对称； 令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π2＋2kπ，得－π6＋kπ≤x ≤π3＋kπ，k ∈Z ， ∴函数y ＝sin(2x －π6)在[－π6，π3]上是增函数． 答案：A11．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则ω＝________. 解析：由f (π6)＝f (π3)， 知f (x )的图像关于x ＝π4对称．且在x ＝π4处有最小值， ∴π4ω＋π3＝2kπ－π2， 有ω＝8k －103(k ∈Z)． 又∵12T ＝πω＞π3－π6＝π6，∴ω＜6，故k ＝1，ω＝143. 答案：14312．(文)若a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)，其中ω＞0，记函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k .(1)若函数f (x )的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围； (2)若函数f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π6，π6]时，函数f (x )的最大值是12，求函数f (x )的解析式，并说明如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到函数y ＝f (x )的图象． 解：∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)，∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．故f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin(2ωx －π6)＋k ＋12. (1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1. 又ω＞0，∴0＜ω≤1.(2)∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(2x －π6)＋k ＋12. ∵x ∈[－π6，π6]，∴2x －π6∈[－π2，π6]． 从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )max ＝f (π6)＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12， ∴k ＝－12.故f (x )＝sin(2x －π6)． 由函数y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象． (理)(2009·重庆高考)设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3] ＝3sin(π2－π4x －π3) ＝3cos(π4x ＋π3)． 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g max ＝3cos π3＝32. 法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 g max ＝3sin π6＝32.。

第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1. ( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( )二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⊙考点1 三角函数的定义域和值域1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π6 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值． ⊙考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．根据函数的单调性求参数(1)(2019·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，2上单调递减，则ω＝________.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⊙考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；③函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0[过关题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]2．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π3．函数f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ．则下列表述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增4．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－125. 已知函数f (x )＝(x －a )k，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( )A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cosB ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B )C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B )D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )6. (2020·无锡期末)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos 2x |；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；④y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．7. 已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．8. 已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心．10. 已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．。