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广义随机系统的多人Nash微分博弈
李洁茗;朱怀念;张成科
【期刊名称】《广东工业大学学报》
【年(卷),期】2016(033)004
【摘要】研究了一类连续时间广义随机系统的多人Nash微分博弈问题。
在定义了广义随机系统稳定性的相关概念后,通过一个线性矩阵不等式( linear matrix inequality, LMI)首先给出了系统稳定性的条件。
然后,研究了有限时间和无限时间的广义随机系统的多人Nash微分博弈,利用Riccati方程法得到了均衡策略的存在条件等价于耦合的微分或代数Riccati方程存在解,并给出了均衡策略的显式表达及最优性能指标值。
最后,将所得的结果应用于现代鲁棒控制中的随机H2/H∞控制问题,得到了鲁棒控制策略的存在条件及显式表达。
【总页数】7页(P37-43)
【作者】李洁茗;朱怀念;张成科
【作者单位】广东工业大学国际教育学院，广东广州511495;广东工业大学经济与贸易学院，广东广州，510520;广东工业大学经济与贸易学院，广东广州，510520
【正文语种】中文
【中图分类】F224.32
【相关文献】
1.噪声依赖状态和控制的时滞非线性随机系统Nash微分博弈 [J], 李洁茗;朱怀念
2.基于效用和均值-方差准则的多人随机微分博弈 [J], 杨鹏;惠小健;刘琦
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4.离散奇异随机系统的N人Nash博弈 [J], 周海英
5.离散奇异随机Markov跳变系统的N人Nash博弈 [J], 周海英
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超格作者：郭效芝， 辛小龙作者单位：西北大学数学系,陕西,西安,710069刊名：纯粹数学与应用数学英文刊名：PURE AND APPLIED MATHEMATICS年，卷(期)：2004,20(1)被引用次数：13次1.阮传概近世代数及其应用 19882.范云棣近世代数 19883.辛小龙On fuzzy hypersubalgebras 0f hyper BCK-algebras[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2001(03)4.Rosaria Rota Hyperaffine planes over hyperrings[外文期刊] 1996(03)5.James Jantosciak Transposition hypergroups: Noncommutative Join spaces 1997(01)1.李小光浅谈子超格[期刊论文]-西安航空技术高等专科学校学报 2009(3)2.陈颖应用于中国剩余定理的分配格的研究[期刊论文]-沿海企业与科技 2009(3)3.李小光超格的商结构[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2008(4)4.张阿莉.辛小龙超*BCI-代数的商超代数[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2008(4)5.李小光对换超格上的约当定理[期刊论文]-延安大学学报（自然科学版） 2008(2)6.鲁静华.辛小龙幂超格的性质[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2007(1)7.李小光.辛小龙商超格[期刊论文]-西北大学学报（自然科学版） 2006(6)8.周异辉.赵彬预格及其性质的研究[期刊论文]-陕西师范大学学报（自然科学版） 2006(1)9.鲁静华格及超格若干专题研究[学位论文]硕士 200610.鲁静华.辛小龙幂超格初探[期刊论文]-西南科技大学学报（自然科学版） 2005(3)11.韩胜伟.赵彬分配超格[期刊论文]-西北大学学报（自然科学版） 2005(2)12.肖滢.赵彬超半格及其理想的研究[期刊论文]-陕西师范大学学报（自然科学版） 2005(1)13.鲁静华.辛小龙关于超格[期刊论文]-纯粹数学与应用数学 2010(4)本文链接：/Periodical_ccsxyyysx200401009.aspx。
研究生课程《广义函数与Sobolev空间》教学大纲课程编号：Math2085课程名称：广义函数与Sobolev空间英文名称：Distributions and Sobolev spaces开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时： 36教学方式：讲授适用专业及层次：应用数学专业硕士考核方式：考试预修课程：实变函数、泛函分析一、教学目标与要求本课程较全面地介绍广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，重点是基本函数空间、基本空间上的广义函数、广义函数的卷积、广义函数的Fourier变换、 Lebesgue空间中的Fourier变换、偏微分方程的基本解、Sobolev空间的定义与性质、Sobolev空间中函数的逼近定理、延拓定理、迹定理与Sobolev不等式等，难点是理解广义函数的支集与奇支集的概念、广义函数的局部构造、广义函数的卷积运算的性质、Schwartz核定理、空间中Fourier变换的定义、 Paley-Wiener-Schwartz 定理、Sobolev空间中的逼近定理、延拓定理、迹定理与紧嵌入定理的证明等。
通过本课程中基本概念、基本理论与方法的阐述与论证，着重培养研究生的抽象思维能力、逻辑推理能力与数学计算能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，要求研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，为后继课程的学习和从事相关问题研究奠定基础。
二、课程内容与学时分配第一章广义函数论（8学时）1．1 基本空间1．2 广义函数1．3 广义函数的局部性质1．4 广义函数1．5 广义函数的卷积1．6 张量积与和核定理第二章广义函数的Fourier分析（10学时）2．1 速降函数及其Fourier变换2．2 速降函数空间上的广义函数及其Fourier变换2．3 Lebesgue空间中的Fourier变换2．4 Paley-Wiener-Schwartz 定理2．5 偏微分方程的基本解第三章 Sobolev空间（18学时）3．1 Hölder空间3．2 Sobolev空间3．3 逼近理论3．4 延拓理论3．5 迹定理3．6 Sobolev不等式3．7 紧嵌入3．8 相关知识3．9 相关函数空间四、教材1. 广义函数论教材：齐民友，线性偏微分算子引论（上册），科学出版社，1986.（第一、二章）2. Sobolev空间教材： L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, V olume 19, American Mathematical Society, 1998 （第五章）主要参考书1.J. Barros-Neto. An introduction to the theorey of distributions, Marcel Dekker, New York, 19732. R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 19753. 王元明，徐君祥，索伯列夫空间讲义，东南大学出版社，2003 4．陈恕行，现代偏微分方程导论，科学出版社，20055. 伍卓群，尹景学，王春朋，椭圆与抛物型方程引论，科学出版社，2003。
一类模糊分数阶微分方程周期边值问题解的唯一性王玉品;孙书荣【摘要】研究了一类模糊分数阶微分方程周期边值问题解的存在唯一性,应用不动点方法得到了该类问题两类解存在唯一的若干充分条件,推广和改进了已有文献中的部分结果,并举例说明了部分结果.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2016(032)006【总页数】5页(P35-39)【关键词】模糊微分方程;周期边值问题;广义H导数;Banach压缩映像原理【作者】王玉品;孙书荣【作者单位】济南大学数学科学学院,山东济南 250022;济南大学数学科学学院,山东济南 250022【正文语种】中文【中图分类】O175.7近年来，模糊微分方程成为微分方程领域的一个重要分支[1-5]。
随着模糊分数阶微分方程概念的提出[6]，对模糊分数阶微分方程的求解以及解的性质研究吸引了众多学者的广泛关注[7-8]。
2016年，文献[5]利用上下解方法结合单调迭代技术研究了如下的一阶模糊微分方程边值问题：其中λ为参数。
然而，关于模糊分数阶微分方程边值问题的工作目前仍然鲜有涉及。
受文献[5]和[8]的启发，本文考虑如下模糊分数阶微分方程周期边值问题：其中是Caputo分数阶广义H导数，0<q≤1，f:[0,T]×E1→E1\R是连续的模糊数值函数以及参数λ∈[0,1)∪(1,+∞)。
显然，边值问题(1),(2)是文献[5]的推广。
首先列举一些必要的符号和有关结论，更多细节可参见文献[2-3]等。
设E1为正规模糊数空间，即满足：(ⅰ)u是正规的，即∃x0∈R使得u(x0)=1；(ⅱ)u在R上是上半连续的；(ⅲ)[u]0=suppu=cl{x∈R|u(x)>0}是紧的；(ⅳ)u是凸模糊的，即对任意的λ∈[0,1]和x,y∈R有定义1[1] 设u,v∈E1。
如果存在唯一的w∈E1使得v⊕w=u，则称w是u和v的H差，记作u⊖v。
在E1中引进距离d:E1×E1→[0,+∞)如下其中，dH为非空紧凸集上的Hausdorff度量，[u]α为u的α-水平集，α∈(0,1]。
辛小龙的高等代数考点精讲讲义，这是一份精心制作的资源，旨在帮助学生们深入理解和掌握高等代数的核心概念和技巧。
这份讲义覆盖了高等代数的主要知识点，包括但不限于以下内容：1. 群：包括群的定义、性质、子群、循环群等。
学生们将学习如何识别和表示群，以及如何应用群的概念解决实际问题。
2. 环和域：环和域的性质，以及如何在环和域上定义代数结构，如多项式环和向量空间。
学生们将学习如何利用这些结构解决代数问题。
3. 线性代数：包括向量空间、线性变换、矩阵、行列式等。
学生们将学习如何使用线性代数概念解决实际问题，如几何、物理和工程中的问题。
4. 群表示：包括表示的概念、不可约表示、诱导表示等。
学生们将学习如何将群或代数结构嵌入到更一般的结构中，以及如何利用群表示进行计算和分析。
5. 范畴论：范畴的概念、对象和态射、函子等。
学生们将学习如何使用范畴论工具来分析和理解代数结构。
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学生们将学会如何将所学知识应用到实际问题中，如何通过代数方法解决各种问题，以及如何使用数学工具进行有效的分析和推理。
总之，辛小龙的高等代数考点精讲讲义是一份宝贵的资源，它不仅提供了清晰的学习路径和丰富的学习资源，也激发了学生们对高等代数的兴趣和热情。
学生们通过学习和掌握这些知识，将为进一步学习和工作奠定坚实的基础。
第62卷 第1期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .12024年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023126广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射侯习武,张建华(陕西师范大学数学与统计学院,西安710119)摘要:设G =G (A ,M ,N ,B )是一个广义矩阵代数,ϕ:G ңG 是一个映射(无可加性假设).利用代数分解的方法,证明:如果对任意的X ,Y ɪG ,且X 和Y 至少有一个是幂等元时,ϕ(X Y )=ϕ(X )Y +X ϕ(Y )成立,则ϕ是G 上的可加导子.关键词:局部可导映射;导子;广义矩阵代数中图分类号:O 177.1 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)01-0029-06AC l a s s o fN o n l i n e a rL o c a lD e r i v a b l eM a ps o n G e n e r a l i z e dM a t r i xA l ge b r a s HO U X i w u ,Z H A N GJ i a n h u a(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ,X i a n 710119,C h i n a )A b s t r a c t :L e t G =G (A ,M ,N ,B )b e a g e n e r a l i z e dm a t r i xa l g e b r a ,a n d ϕ:G ңG b e am a p (w i t h o u t t h e a s s u m p t i o no f a d d i t i v i t y ).U s i n g t h em e t h o do f a l g e b r a i cd e c o m p o s i t i o n ,w e p r o v e d t h a t i f ϕ(X Y )=ϕ(X )Y +X ϕ(Y )h e l df o ra n y X ,Y ɪG a n da t l e a s to n eo f X a n d Y w a s i d e m p o t e n t ,t h e n ϕw a sa n a d d i t i v e d e r i v a t i o no n G .K e yw o r d s :l o c a l d e r i v a b l em a p ;d e r i v a t i o n ;g e n e r a l i z e dm a t r i xa l g e b r a 收稿日期:2023-04-12.第一作者简介:侯习武(1998 ),男,土家族,硕士研究生,从事算子代数的研究,E -m a i l :183********@163.c o m.通信作者简介:张建华(1965 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事算子代数的研究,E -m a i l :j h z h a n g@s n n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11771261).1 引言与预备知识近年来,关于环和代数上各类局部可导映射的研究备受关注[1-11].例如:H o u 等[1]研究了素环上的幂等元处可导映射;孟利花等[2]研究了三角代数上的幂等元处非线性可导映射;W o n g 等[3]证明了上三角矩阵代数上的零点非线性可导映射可以写成内导子和可加导子之和;W a n g [4]在阶数大于3的全矩阵代数上给出了零点非线性可导映射的具体结构;A n 等[5]对v o nN e u m a n n 代数上的Q 点可导映射进行了刻画.受上述研究工作启发,本文主要研究广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射.设R 是一个交换幺环,A 是一个定义在R 上含单位元的代数,Q 是A 中的一固定元,ϕ是A 上的映射.若对任意的X ,Y ɪA ,映射ϕ(无可加性假设)满足ϕ(X Y )=ϕ(X )Y +X ϕ(Y ),(1)则称ϕ是A 上的导子.进一步,如果ϕ还满足可加性,则称ϕ是A 上的可加导子.若对任意的X ,Y ɪA且X Y =Q 时,映射ϕ(无可加性假设)满足式(1),则称ϕ是A 上的Q 点非线性可导映射.进一步,如果ϕ还满足可加性,则称ϕ是A 上的Q 点可导映射.设R 是交换幺环.一个M o r i t a c o n t e x t 包括两个单位R -代数A 和B ,两个双模(A ,B )-双模M 和(B ,A )-双模N ,两个称为双线性对的双模同态ξM N :M 췍BN ңA 和ζN M :N 췍AM ңB ,且成立如下交换图: 记上述M o r i t a c o n t e x t 为(A ,B ,M ,N ,ξM N ,ζN M ).集合A M éëêêùûúúN B =a m æèçöø÷n b :a ɪA ,m ɪM ,n ɪN ,b ɪ{}B 按通常的矩阵加法和下述乘法运算:a 1m 1n 1b æèçöø÷1a 2m 2n 2b æèçöø÷2=a 1a 2+ξM N (m 1췍n 2)a 1m 2+m 1b 2n 1a 2+b 1n 2ζN M (n 1췍m 2)+b 1b æèçöø÷2,构成一个R -代数.若(A ,B ,M ,N ,ξM N ,ζN M )构成一个M o r i t a c o n t e x t ,且M ʂ0或N ʂ0,则上述R -代数称为广义矩阵代数,记作G =G (A ,M ,N ,B )=A M éëêêùûúúN B . 设1A ,1B 分别是A 和B 的单位元,记P 1=1A0æèçöø÷00, P 2=0001æèçöø÷B , G i j =P i G P j (1ɤi ,j ɤ2).则在同构意义下G =ð1ɤi ,j ɤ2G i j=A +M +N +B ,且(A ,B )双边模M 同构于(G 11,G 22)双边模G 12,(B ,A )双边模N 同构于(G 22,G 11)双边模G 21.2 主要结果引理1 对任意的1ɤi ʂj ɤ2,有:1)ϕ(0)=0;2)ϕ(P i )=P i ϕ(P i )P j +P j ϕ(P i )P i ;3)ϕ(P i )+ϕ(P j )=0.证明:取X =Y =0,则ϕ(0)=0.取X =P i ,Y =P j (1ɤi ʂj ɤ2),则0=φ(0)=ϕ(P i P j )=ϕ(P i )P j +P i ϕ(P j )=P i ϕ(P i )P j +P j ϕ(P i )P j +P i ϕ(P j )P i +P i ϕ(P j )P j .从而P i ϕ(P j )P i =0, P i ϕ(P i )P j +P i ϕ(P j )P j =0.(2)取X =P i ,Y =P i (1ɤi ɤ2),则ϕ(P i )=ϕ(P i )P i +P i φ(P i ).(3)对式(3)等号两边同乘P i ,可得P i ϕ(P i )P i =0.(4)于是由式(2),(4),有ϕ(P i )=P i ϕ(P i )P j +P j ϕ(P i )P i , ϕ(P i )+ϕ(P j )=0.证毕.注1 令U =P 1ϕ(P 1)P 2-P 2ϕ(P 1)P 1,定义G 到G 的映射φ为φ(X )=ϕ(X )-[X ,U ].由引理1可直接验证:1)φ(0)=φ(P 1)=φ(P 2)=0;2)对任意的X ,Y ɪG ,且X ,Y 至少有一个是幂等元时,φ(X Y )=φ(X )Y +X φ(Y )成立.引理2 对任意的X i j ɪG i j (1ɤi ,j ɤ2),有φ(X i j )ɪG i j .证明:对任意的X i i ɪG i i ,一方面,取X =X i i ,Y =P j (1ɤi ʂj ɤ2),则03 吉林大学学报(理学版) 第62卷0=φ(X i i P j )=φ(X i i )P j +X i i φ(P j )=φ(X i i )P j .(5)另一方面,取X =P j ,Y =X i i P i (1ɤi ʂj ɤ2),则0=φ(P j (X i i P i ))=φ(P j )X i i P i +P j φ(X i i P i )=φ(P j )X i i +P j φ(X i i )P i +P j X i i φ(P i )=P j φ(X i i )P i .(6)于是由式(5),(6),有φ(X i i )=P i φ(X i i )P i ɪG i i .对任意的X i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),一方面,取X =P i ,Y =X i j ,则φ(X i j )=φ(P i X i j )=φ(P i )X i j +P i φ(X i j )=P i φ(X i j ).另一方面,取X =X i j ,Y =P j ,则φ(X i j )=φ(X i j P j )=φ(X i j )P j +X i j φ(P j )=φ(X i j )P j .于是有φ(X i j )=P i φ(X i j )P j ɪG i j .证毕.引理3 对任意的X i i ɪG i i ,X j j ɪG j j ,X i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),有:1)φ(X i i +X i j )=φ(X i i )+φ(X i j );2)φ(X i i +X j i )=φ(X i i )+φ(X j i ).证明:1)对任意的X i i ɪG i i ,X i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),一方面,取X =X i i +X i j ,Y =P i ,则φ(X i i )=φ((X i i +X i j )P i )=φ(X i i +X i j )P i +(X i i +X i j )φ(P i )=φ(X i i +X i j )P i .(7)另一方面,取X =X i i +X i j ,Y =P j ,则φ(X i j )=φ((X i i +X i j )P j )=φ(X i i +X i j )P j +(X i i +X i j )φ(P j )=φ(X i i +X i j )P j .(8)于是由式(7),(8),有φ(X i i +X i j )=φ(X i i )+φ(X i j ).2)对任意的X i i ɪG i i ,X j i ɪG j i (1ɤi ʂj ɤ2),一方面,取X =P i ,Y =X i i +X ji ,则φ(X i i )=φ(P i (X i i +X j i ))=φ(P i )(X i i +X j i )+P i φ(X i i +X j i )=P i φ(X i i +X j i ).(9)另一方面,取X =P j ,Y =X i i +X ji ,则φ(X j i )=φ(P j (X i i +X j i ))=φ(P j )(X i i +X j i )+P j φ(X i i +X j i )=P j φ(X i i +X j i ).(10)于是由式(9),(10),有φ(X i i +X j i )=φ(X i i )+φ(X j i ).证毕.引理4 对任意的X i i ɪG i i ,X i j ɪG i j ,X j j ɪG j j (1ɤi ʂj ɤ2),有:1)φ(X i i X i j )=φ(X i i )X i j +X i i φ(X i j );2)φ(X i j X j j )=φ(X i j )X j j +X i j φ(X j j ).证明:1)对任意的X i i ɪG i i ,X i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),取X =X i i ,Y =P j +X i j ,由引理2和引理3中2),可得φ(X i i X i j )=φ(X i i (P j +X i j ))=φ(X i i )(P j +X i j )+X i i φ(P j +X i j )=φ(X i i )P j +φ(X i i )X i j +X i i φ(P j )+X i i φ(X i j )=φ(X i i )X i j +X i i φ(X i j ). 2)对任意的X i j ɪG i j ,X j j ɪG j j (1ɤi ʂj ɤ2),取X =P i +X i j ,Y =X j j ,由引理2和引理3中1),可得φ(X i j X j j )=φ((P i +X i j )X j j )=φ(P i +X i j )X j j +(P i +X i j )φ(X j j )=φ(P i )X j j +φ(X i j )X j j +P i φ(X j j )+X i j φ(X j j )=φ(X i j )X j j +X i j φ(X j j ). 引理5 对任意的X i i ɪG i i ,Y i i ɪG i i ,X i j ɪG i j ,Y i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),有:1)φ(X i j +Y i j )=φ(X i j )+φ(Y i j );2)φ(X i i +Y i i )=φ(X i i )+φ(Y i i ).证明:1)对任意的X i j ɪG i j ,Y i j ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),取X =P i +X i j ,Y =P j +X i j ,由引理2和引理3中1),可得φ(X i j +Y i j )=φ((P i +X i j )(P j +Y i j ))=φ(P i +X i j )(P j +Y i j )+(P i +X i j )φ(P j +Y i j )=(φ(P i )+φ(X i j ))(P j +Y i j )+(P i +X i j )(φ(P j )+φ(Y i j ))=φ(X i j )+φ(Y i j ). 2)对任意的X 11ɪG 11,Y 11ɪG 11,Y 12ɪG 12,由引理4中1)和引理5中1),一方面有φ(X 11Y 12+Y 11Y 12)=φ(X 11Y 12)+φ(Y 11Y 12)=φ(X 11)Y 12+X 11φ(Y 12)+φ(Y 11)Y 12+Y 11φ(Y 12).(11)另一方面,有13 第1期 侯习武,等:广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射23吉林大学学报(理学版)第62卷φ(X11Y12+Y11Y12)=φ((X11+Y11)Y12)=φ(X11+Y11)Y12+(X11+Y11)φ(Y12)=φ(X11+Y11)Y12+X11φ(Y12)+Y11φ(Y12).(12)于是由式(11),(12),可得(φ(X11+Y11)-φ(X11)-φ(Y11))Y12=0.再由G12是G11的忠实左模和引理2知,φ(X11+Y11)=φ(X11)+φ(Y11).(13)对任意的X12ɪG12,X22ɪG22,Y22ɪG22,由引理4中1)和引理5中1),一方面有φ(X12X22+X12Y22)=φ(X12X22)+φ(X12Y22)=φ(X12)X22+X12φ(X22)+φ(X12)Y22+X12φ(Y22).(14)另一方面,有φ(X12(X22+Y22))=φ(X12)(X22+Y22)+X12φ(X22+Y22)=φ(X12)(X22)+φ(X12)Y22+X12φ(X22+Y22).(15)于是由式(14),(15),可得X12(φ(X22+Y22)-φ(X22)-φ(Y22))=0.再由G12是G22的忠实右模和引理2知,φ(X22+Y22)=φ(X22)+φ(Y22).(16)于是由式(13),(16),有φ(X i i+Y i i)=φ(X i i)+φ(Y i i)(1ɤiɤ2).证毕.引理6对任意的X i jɪG i j(1ɤi,jɤ2),有φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).证明:对任意的X i jɪG i j(1ɤi,jɤ2),一方面,取X=P1,Y=X11+X12+X21+X22,由引理3中1),可得φ(X11)+φ(X12)=φ(X11+X12)=φ(P1(X11+X12+X21+X22))=φ(P1)(X11+X12+X21+X22)+P1φ(X11+X12+X21+X22)=P1φ(X11+X12+X21+X22).(17)另一方面,取X=P2,Y=X11+X12+X21+X22,由引理3中1),可得φ(X21)+φ(X22)=φ(X21+X22)=φ(P2(X11+X12+X21+X22))=φ(P2)(X11+X12+X21+X22)+P2φ(X11+X12+X21+X22)=P2φ(X11+X12+X21+X22).(18)于是由式(17),(18),有φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).证毕.引理7对任意的X i iɪG i i,Y i iɪG i i,X i jɪG i j,X j iɪG j i(1ɤiʂjɤ2),有:1)φ(X i i Y i i)=φ(X i i)Y i i+X i iφ(Y i i);2)φ(X i j X j i)=φ(X i j)X j i+X i jφ(X j i).证明:1)对任意的X11ɪG11,Y11ɪG11,X12ɪG12,由引理4中1),一方面有φ(X11Y11X12)=φ(X11Y11)X12+X11Y11φ(X12).(19)另一方面,有φ(X11Y11X12)=φ(X11)Y11X12+X11φ(Y11X12)=φ(X11)Y11X12+X11φ(Y11)X12+X11Y11φ(X12).(20)于是由式(19),(20),可得(φ(X11Y11)-φ(X11)Y11-X11φ(Y11))X12=0.再由G12是G11的忠实左模和引理2知,φ(X11Y11)=φ(X11)Y11+X11φ(Y11).(21)对任意的X12ɪG12,X22ɪG22,Y22ɪG22,由引理4中2),一方面有φ(X12X22Y22)=φ(X12)X22Y22+X12φ(X22Y22).(22)另一方面,有φ(X 12X 22Y 22)=φ(X 12X 22)Y 22+X 12X 22φ(Y 22)=φ(X 12)X 22Y 22+X 12φ(X 22)Y 22+X 12X 22φ(Y 22).(23)于是由式(22),(23),可得X 12(φ(X 22Y 22)-φ(X 22)Y 22-X 22φ(Y 22))=0.再由G 12是G 22的忠实右模和引理2,知φ(X 22Y 22)=φ(X 22)Y 22+X 22φ(Y 22).(24)于是由式(21),(24),有φ(X i i Y i i )=φ(X i i )Y i i +X i i φ(Y i i )(1ɤi ɤ2).2)对任意的X i i ɪG i i (1ɤi ɤ2),由引理5中2),可得0=φ(X i i -X i i )=φ(X i i +(-X i i ))=φ(X i i )+φ(-X i i ),进而有φ(-X i i )=-φ(X i i ).对任意的X i j ɪG i j ,Y j i ɪG i j (1ɤi ʂj ɤ2),由引理3和φ(-X i i )=-φ(X i i ),可得0=φ(0)=φ((X i j -X i jY j i )(Y j i +P i ))=φ(X i j -X i j Y j i )(Y j i +P i )+(X i j -X i j Y j i )φ(Y j i +P i )=(φ(X i j )-φ(X i j Y j i ))(Y j i +P i )+(X i j -X i j Y j i )(φ(Y j i )+φ(P i ))=φ(X i j )Y j i -φ(X i j Y i j )+X i j φ(Y j i ).于是有φ(X i j Y j i )=φ(X i j )Y j i +X i j φ(Y j i ).证毕.下面给出本文的主要结果.定理1 设G =G (A ,M ,N ,B )是一个广义矩阵代数,M 是(A ,B )的忠实双边模,N 是(B ,A )的双边模,ϕ是G 上的一个映射(无可加性假设),如果对任意的X ,Y ɪG ,且X ,Y 至少有一个是幂等元时,式(1)成立,则ϕ是G 上的可加导子.证明:对任意的X ,Y ɪG ,有X =X 11+X 12+X 21+X 22,Y =Y 11+Y 12+Y 21+Y 22,其中X 11,Y 11⊆A,X 12,Y 12⊆M ,X 21,Y 21⊆N ,X 22,Y 22⊆B.由引理5和引理6,有φ(X +Y )=φ((X 11+X 12+X 21+X 22)+(Y 11+Y 12+Y 21+Y 22))=φ(X 11+Y 11)+φ(X 12+Y 12)+φ(X 21+Y 21)+φ(X 22+Y 22)=φ(X 11)+φ(Y 11)+φ(X 12)+φ(Y 12)+φ(X 21)+φ(Y 21)+φ(X 22)+φ(Y 22)=φ(X 11+X 12+X 21+X 22)+φ(X 11+X 12+X 21+X 22)=φ(X )+φ(Y ).再由φ的定义可知,ϕ是广义矩阵代数G 上的可加映射.又对任意的X ,Y ɪG ,由注1㊁引理4和引理7,有φ(X Y )=φ((X 11+X 12+X 21+X 22)(Y 11+Y 12+Y 21+Y 22))=φ(X 11Y 11+X 11Y 12+X 12Y 21+X 12Y 22+X 21Y 11+X 21Y 12+X 22Y 21+X 22Y 22)=φ(X 11Y 11)+φ(X 11Y 12)+φ(X 12Y 21)+φ(X 12Y 22)+φ(X 21Y 11)+φ(X 21Y 12)+φ(X 22Y 21)+φ(X 22Y 22)=φ(X 11)Y 11+X 11φ(Y 11)+φ(X 11)Y 12+X 11φ(Y 12)+φ(X 12)Y 21+X 12φ(Y 21)+φ(X 12)Y 22+X 12φ(Y 22)+φ(X 21)Y 11+X 21φ(Y 11)+φ(X 21)Y 12+X 21φ(Y 12)+φ(X 22)Y 21+X 22φ(Y 21)+φ(X 22)Y 22+X 22φ(Y 22)=φ(X 11+X 12+X 21+X 22)(Y 11+Y 12+Y 21+Y 22)+(X 11+X 12+X 21+X 22)φ(Y 11+Y 12+Y 21+Y 22)=φ(X )Y +X φ(Y ).故φ是广义矩阵代数G 上的可加导子.进而由φ的定义可知,ϕ是广义矩阵代数G 上的可加导子.证毕.推论1 设G =(A ,M ,N ,B )是一个(n -1)-无扰的广义矩阵代数,M 是(A ,B )的忠实双边模,N 是(B ,A )的双边模,ϕ是G 上的一个映射(无可加性假设),如果对任意的X 1,X 2, ,X n ɪG ,且X 1,X 2, ,X n (n ȡ2)至少有(n -1)个是幂等元时,ϕ(X 1X 2 X n )=ð1ɤk ɤnX 1X 2Xk -1ϕ(X k ) X n (25)成立,则ϕ是广义矩阵代数G 上的可加导子.33 第1期 侯习武,等:广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射证明:当n =2时,由定理1知结论成立.假设当n =i -1(i ȡ3)时结论成立,下证当n =i (i ȡ3)时结论成立.因为对任意的X 1,X 2, ,X i ɪG 且X 1,X 2, ,X i 至少有(i -1)个是幂等元时,ϕ(X 1X 2 X i )=ð1ɤk ɤiX 1X 2 Xk -1ϕ(X k ) X i (26)成立,所以取X 1=X 2= =X i =I ,由(i -1)-无扰性可得ϕ(I )=0.再分别取X 1=I 和X i =I ,有ϕ(X 2X 3 X i )=ϕ(I X 2X 3 X i )=ð2ɤk ɤiX 2X 3Xk -1ϕ(X k ) X i ,(27)ϕ(X 1X 2 X i -1)=ϕ(X 1X 2 X i -1I )=ð1ɤk ɤi -1X 1X 2 X k -1ϕ(X k ) X i -1.(28)于是由式(27),(28)知,对任意的X 1,X 2, ,X i ɪG (其中X 1=I 或X i =I ),如果X 1,X 2, ,X i 至少有(i -1)个是幂等元时,式(26)成立,则ϕ是广义矩阵代数G 上的可加导子.进而可知当n =i (i ȡ3)时结论成立.证毕.设H 是复数域ℂ上的H i l b e r t 空间,B (H )表示H 上的全体有界线性算子,V 是一个作用在H 上的v o nN e u m a n n 代数,I ɪB (H )是单位算子,Z 表示V 的中心,V ᶄ={T ɪB H :T B =B T ,∀B ɪV }为V 的换位子.若Z =V ᶄɘV =ℂI ,则称V 是因子v o nN e u m a n n 代数.推论2 设V 是一个因子v o nN e u m a n n 代数,ϕ是V 上的一个映射(无可加性假设),如果对任意的X 1,X 2, ,X n ɪV ,且X 1,X 2, ,X n (n ȡ2)至少有(n -1)个是幂等元时,式(25)成立,则ϕ是V 上的可加导子.证明:因为因子v o nN e u m a n n 代数V 是一个存在非平凡幂等元P 的素代数,且V 同构于广义矩阵代数P V P P V (I -P )(I -P )V P (I -P )V (I -P æèçöø÷),所以结论成立.证毕.参考文献[1] HO UJC ,A N R L .A d d i t i v e M a p so nR i n g sB e h a v i n g L i k eD e r i v a t i o n sa t I d e m p o t e n t -P r o d u c tE l e m e n t s [J ].J o u r n a l o fP u r e a n dA p p l i e dA l ge b r a ,2011,215(8):1852-1862.[2] 孟利花,张建华.三角代数上的一类局部可导非线性映射[J ].吉林大学学报(理学版),2017,55(1):43-47.(M E N GL H ,Z HA N GJH.A C l a s so fL o c a lD e r i v a b l eN o n l i n e a rM a p so nT r i a n g u l a rA l g e b r a [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2017,55(1):43-47.)[3] WO N GD ,MA XB ,C H E NL .N o n l i n e a rM a p p i n g s o nU p p e rT r i a n g u l a rM a t r i c e sD e r i v a b l e a tZ e r oP o i n t [J ].L i n e a rA l g e b r a a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2015,483:236-248.[4] WA N GL .N o n l i n e a rM a p p i n g so nF u l lM a t r i c e sD e r i v a b l ea tZ e r oP o i n t [J ].L i n e a ra n d M u l t i l i n e a rA l g e b r a ,2017,65(11):2324-2332.[5] A N R L ,C 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辛小龙高等代数
辛小龙是西北大学数学系教授，博士生导师。
他在高等代数领域有着丰富的教学经验和研究成果，善于启发式教学，能够引发学生自主思考，调动学生的积极性，从而提高学生的复习效率；善于梳理知识体系，归纳总结精炼，使学生掌握知识点之间的联系，把握解题思路，强化解题能力，从而提高复习效果。
辛小龙主讲的考研辅导课程《高等代数》，针对各章节内容进行了系统讲解，包括常考题型、分值分布、考试相关内容的重难点；同时对本课程的核心部分——各章节的考研知识点、要点进行了详细地讲解，并通过真题及典型题目的练习，增强考生运用基本理论去分析问题、解决问题的能力。
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chern weil theory的证明Chern-Weil理论是微分几何中的一个重要理论，它提供了一种将曲率与特征类联系起来的方法。
这个理论最初由陈省身和魏岩祥在上世纪50年代提出，并在之后的数十年中得到了广泛发展和应用。
证明Chern-Weil理论的主要思路是利用微分形式的方法。
首先，我们考虑一个主$G$-丛$P$，其中$G$是一个紧致李群，基流形为$M$。
假设$P$上有一个由联络$\nabla$诱导的曲率形式$R$，我们想要将其与向量丛$E$上的特征类联系起来。
在微分几何中，我们知道通过外微分算子$d$可以将形式的曲率$R$提升为曲率2-形式$dR$。
这个曲率2-形式是一种特殊的微分形式，具有一些特殊的性质。
其中一个重要的性质是$dR$是一个对偶Lie代数的不变多线性泛函。
Chern-Weil理论的核心思想是通过这个不变泛函将$dR$映射到向量丛$E$上的形式。
具体来说，我们定义一个对偶Lie代数上的不变多线性泛函$I$，对于任意一个向量$fieldelt$ $ X_{1}, ..., X_{k} $，我们有$$ I(X_{1}, ..., X_{k}) = \int_{M}Tr(\alpha(X_{1})\wedge ...\wedge \alpha(X_{k})) $$其中$ \alpha $ 是$P$上的一个联络1-形式，$Tr$是$G$上的一个不变迹映射。
由于$P$上的联络1-形式与$E$上的联络形式之间存在联系，我们可以用$E$上的联络1-形式表示$I$。
进一步，我们可以定义$I$在$E$上对应的特征类$C_k$为$$ \frac{1}{2\pi i}dI = C_{k} $$这样，我们就得到了通过Chern-Weil理论将曲率形式与特征类联系起来的方法。
特别地，我们可以得到瑞安科守恒定律，即当对偶Lie代数的特殊元素的$C_{k}$是恒定的时，对应的联络丛上存在平凡子束，使得联络丛相对于这个平凡子束是平凡的。
