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简单的逻辑联结词教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法课型：新授课教学手段：多媒体一、创设情境1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∨q”)；非p(记作“┑q”)二、活动尝试问题1:判断下列复合命题的真假（1）8≥7（2）2是偶数且2是质数；（3） 不是整数；解：（1）真；（2）真；（3）真；命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？三、师生探究1．“非p”形式的复合命题真假：例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．2．“p且q”形式的复合命题真假：例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
江苏省怀仁中学2014高中数学《简易逻辑》教案新人教A版选修2-11．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．第1课时逻辑联结词和四种命题一、逻辑联结词1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．二、四种命题1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： .2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同 ．3．反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．例1. 下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ）A ．p :0＝∅；q :0∈∅B ．p ：在∆ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中， 命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)． 变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”真值不同D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论． 解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．⎪⎩⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反． (ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧≥⇒≥≤>3312m m m m 或； (ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨⎧≤<⇒<<≤21312m m m ． 综合，得m 的取值范围是{21≤<m m 或3≥m }．变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x 在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 ： 由函数y=a x 在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x a a x ax （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1.例4. 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．证明：假设c b a ,,都不大于0，即,0≤a ,0≤b 0≤c ，则0≤++c b a 而623222222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a ＝3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x0)1()1()1(222≥-+-+-z y x ，03>-π． 00≤++>++∴c b a c b a 这与相矛盾．因此c b a ,,中至少有一个大于0．变式训练4：已知下列三个方程：①x 2＋4ax －4a ＋3＝0，②x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，③x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆08)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a 解得123<<-a ．故所求a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－23．1．有关“或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法．3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确．。
关于"简易逻辑"的八项注意高中数学新课程中增加了"简易逻辑"这一内容,其中有些问题不容易理解,本文对此谈一些看法.1.注意命题概念的内涵我们判断一个语句是否是命题的依据是课本中的定义:能够判断真假的语句.作为一个命题,非真即假,非假即真,二者必居其一且仅居其一.例1 判断下列语句是否为命题,如果是,判断其真假.1) x<3. 2)4的平方根是2.解析: 1)它不是命题,因为在没有给定变量x的范围之前,对于x<3是无法判断其真假的.2)作为一个判断,它是错误的,所以它是命题,是假命题.2.注意"p或q"和"p且q"形式的理解复合命题"p或q"和"p且q"是用逻辑连结词“或”与“且”连接两个命题p与q,既不能用“或”与“且”去连结两个命题的条件,也不能用它们去联结两个命题的结论.例2 1)已知p :方程x2=4的根是x=2;q:方程x2=4的根是x=-2.写出"p或q".2)p :四边相等的四边形是正方形;q:四角相等的四边形是正方形.写出"p且q".错解:(1)P或q:方程x2=4的根是x=2或x=-2.2)p且q :四边相等且四角相等的四边形是正方形.分析:1) 2)两题中的P、q都是假命题,所以"p或q","p且q"也都是假命题,而上述解答中写出的的两个命题都是真命题.错误的原因是:1)联结了两个命题的结论;2)联结了两个命题的条件.正确的答案:1) P或q:方程x2=4的根是x=2或方程x2=4的根是x=-2.2)p且q :四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形.这两个命题都是假命题.3.注意"否命题"与"非命题"的区别"非命题"是对命题结论的否定,所有的命题都有"非命题",且其真假与原命题的真假相反.而"否命题"同时对条件和结论进行否定,只有能写成"若p则q"型的命题才有否命题,且其真假与原命题的真假无关.例3 写出下列真命题的非命题与否命题,并判断它们的真假.1)如果一个点到线段两端点距离相等,那么这点在线段的垂直平分线上.2)若x-1=0,则x2-1=0.解析1)否命题:如果一个点到线段两端点距离不相等,那么这点不在线段的垂直平分线上.(真)非命题:如果一个点到线段两端点距离相等,那么这点不在线段的垂直平分线上.(假)2)否命题:若x-1≠0,则x2-1≠0.(假)非命题:若x-1=0,则x2-1≠0.(假)4．注意一些常见量项的否定形式。
【关键字】教案3.1归纳与类比归纳推理教材依据“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
等，其中“F+V-E=为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
高二数学简易逻辑章节教案§1．1 命题、四种命题（1）学习目标：1、理解命题的含义，能够正确判断一个句子是否是命题。
2、能正确判断一个命题的真假。
3、能写出一个命题另外三个命题。
学习重点：真假命题的判断，一个命题另外三个命题。
学习难点：判断语句是否是命题。
主要内容：本节学习命题的概念、四种命题。
主要内容有：1、 命题的概念（1）命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。
（2）真命题：判断为真的语句。
（3）假命题：判断为假的语句。
2、命题的一般形式若p ，则q 。
其中p 为命题的条件，q 为命题的结论。
3、四种命题原命题：若 p ，则q 。
逆命题：若q ，则p 。
否命题：若p ⌝ ，则q ⌝ 。
（即同时否定原命题的条件和结论）。
逆否命题：若q ⌝ ，则p ⌝ 。
（即交换原命题的条件和结论，并同时否定）典型例题：例1、判断下列语句是否是命题（1）三角函数是周期函数吗？（疑问句）（2）但愿每一个三次方程都有三个实数根（祈使句）。
（3）指数函数真漂亮。
（感叹句）（4）2020年前，将有人登上火星。
(5）22=x 。
（6）3>x 。
（7）22+是有理数。
（8）968能被11整除。
解： （1）、（2）、（3）不是命题，都不是陈述句。
(4)、（5）、（6） 不是命题，虽然是陈述句，但不能判断真假。
（7）、（8）是命题，因为是陈述句，且能判断真假。
例2、 把下列命题改写成“ 则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．分析：重点找出原命题的条件 p 与结论 q ．解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．例3、 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．（1）若0=ab ，则0=a ；(2) 当时，若 ，则解：（1）该命题为真．逆命题“若，则 ”．逆命题是假命题．否命题“若，则 ”．否命题是假命题．逆否命题“若，则 ”．逆否命题是真命题． （2）该命题为假．逆命题“当时，若 ，则 ”．否命题“当时，若 ，则 ”．否命题为真．逆否命题“当 时，若 ，则 ”．逆否命题为真．评注：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．课后练习：1．下列语句不是命题的是（ ）A ．2是奇数。
第二十六教时“简易逻辑”习题课目的：通过习题的讲解与练习，努力达到熟练技巧。
过程：一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题： 1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员解：p或q：李明是高中一年级学生或是共青团员p且q：李明是高中一年级学生且是共青团员非p：李明不是高中一年级学生2．p：25>q：5是无理数解：p或q：5是大于2或是无理数p且q：5是大于2且是无理数非p：5不大于23．p：平行四边形对角线相等q：平行四边形对角线互相平分解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分p且q：平行四边形对角线相等且互相平分非p：平行四边形对角线不一定相等4．p：10是自然数q：10是偶数解：p或q：10是自然数或是偶数p且q：10是自然数且是偶数非p：10不是自然数二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：1．x=2或x=3是方程x2-5x+6=0的根解：p：x=2是方程x2-5x+6=0的根q：x=3是方程x2-5x+6=0的根是p或q的形式2．π既大于3又是无理数解：p：π大于3 q：π是无理数是p且q的形式 3．直角不等于90︒解：p：直角等于90︒是非p形式4．x+1≥x-3解：p：x+1>x-3 q：x+1=x-3 是p或q的形式5．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
解：p：垂直于弦的直径平分这条弦q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧是p且q的形式三、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：1．p：末位数字是0的自然数能被5整除q：5∈{x|x2+3x-10=0}解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5∈{x|x2+3x-10=0}p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5∈{x|x2+3x-10=0}非p：末位数字是0的自然数不能被5整除∵p真q假∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假。
高二数学知识点总结(人教版）高考数学可是一个拉分科目，因为有些数学是真的挺差的，今天小编在这给大家整理了高二数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高二数学知识点总结(一)一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。
二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。
三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。
四、三角函数(46课时，17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。
五、平面向量(12课时，8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。
六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。
七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。
第十二讲 简易逻辑★知识梳理1. 逻辑联结词 2．四种命题3．全称量词与存在量词 4．充要条件★典型例题【例1】已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧⌝q ”是假命题；③命题“⌝p ∨q ”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q ”是假命题．其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题．故应选D. 答案 D【例2】若命题p ：不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题：“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“非q ”中，是假命题的有________． 答案 “p 且q ”、“p 或q ”解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真.【例3】下列命题中的真命题是( )A ．命题“若a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆命题B ．命题“奇数的平方不是偶数”的否定C ．命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题D ．命题“至少有一个内角为60°的三角形是正三角形”的否命题 答案 D【例4】分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断它们的真假： (1)若q ＜1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实数根；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b ＞0则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0，a ＋b ＞0.解析 (1)逆命题是“若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实数根，则q ＜1”，是假命题； 否命题是“若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0没有实数根”，是假命题；逆否命题是“若方程x 2＋2x ＋q ＝0没有实数根，则q ≥1”，同原命题一样是一个真命题． (2)原命题即“若a ＞0，且b ＞0，则ab ＞0，且a ＋b ＞0”，是一个真命题； 逆命题是“若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0，且b ＞0”，是一个真命题； 否命题是“若a ≤0，或b ≤0，则ab ≤0，或a ＋b ≤0”，从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命题也都是真命题.【例5】有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：∀x ∈[0，π],1－cos2x2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题是( ) A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3解析 p 1是假命题；p 2是真命题，如x ＝y ＝0时成立；p 3是真命题， p 4是假命题，如x ＝π2，y ＝2π时，sin x＝cos y ，但x ＋y ≠π2.答案 A【例6】已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－98，－1]B ．[－98，2]C ．[－1,2]D ．[－98，＋∞)答案 C解析 依题意，cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2].【例7】命题“存在x 0∈R ，02x ≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，02x ＞0 B ．存在x 0∈R, 02x ≥0 C ．对任意的x ∈R,2x ≤0D ．对任意的x ∈R,2x ＞0解析 原命题为特称命题，其否定为全称命题，而“≤”的否定是“＞”，所以其否定为“对任意的x ∈R,2x ＞0”，故选D. 答案 D【例8】若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1＞0，则该命题的否定是( ) A ．∀x ∈R,2x 2－1＜0 B ．∀x ∈R,2x 2－1≤0 C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D ．∃x ∈R,2x 2－1＞0答案 C 解析 原命题为全称命题，其否定应为特称命题.【例9】（1）若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |0＜x ＜5，x ∈R}，则( ) A ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D ．“x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈Q ”的必要条件 （2）设m 、n 是整数，则“m 、n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件（3） “|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 （4）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A (3)B (4)C【例10】条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞2，则⌝p 是⌝q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x ＋1|＞2得x ＋1＜－2或x ＋1＞2，即x ＜－3或x ＞1，于是⌝p ：－3≤x ≤1.由已知得⌝q ：x ≤2.由－3≤x ≤1可得x ≤2；但由x ≤2不能得知－3≤x ≤1.因此⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，选A.【例11】已知c ＞0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．解析 函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ， x ≥2c ，2c ， x ＜2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c .不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞12.如果p 正确，且q 不正确，则0＜c ≤12；如果p 不正确，且q 正确，则c ≥1.∴c 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞).【例12】已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解析 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0m ＞0，解得m ＞2，即p ：m ＞2； 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0， 解得：1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得：m ≥3或1＜m ≤2.【例13】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是A ＝90°.证明 充分性：∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可化为：x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0. ∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0，即[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0. ∴该方程有两个根：x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )．同理，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为：x 2＋2cx －(a 2－c 2∴x 2＋2cx ＋(c ＋a )(c －a )＝0.∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0.∴该方程也有两个根：x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现x 1＝x 3，所以这里的两个方程有公共根．必要性：设α是两方程的公共根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α2＋2aα＋b 2＝0， ①α2＋2cα－b 2＝0. ②由①式＋②式得：2α2＋2α(a ＋c )＝0. ∵α≠0，∴α＝－(a ＋c )．将α＝－(a ＋c )代入①式整理可得：a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°.【例14】求关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．解析 若x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，则Δ≥0且－m ＜0⇒m ≥2，即m ≥2是方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件．充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根．设x 2＋mx ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，由根与系数的关系知x 1·x 2＝1＞0，所以x 1、x 2同号． 又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1、x 2同为负根，充分性得证． 故关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.【例15】有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中有一位获奖．有人走访了四位同学，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲丙未获奖”，丙说：“是甲或乙获奖”，丁说：“是乙获奖”．比赛结果公布后表明，四人的话中只有两句是对的．则结果是( ) A ．甲获奖B ．乙获奖C ．丙获奖D ．丁获奖解析 设“话对”用“√”表示，“话错”用“×”表示，则对四人的话列表如下：A.答案 A点评 分析与推理判断题型一般设置为由几个人的对话或对白，将相互干扰的信息透露出来，要求自行分析与提取重要的解题信息，从而进行推理与判断．将每一个语句命题及复合命题之间的关系进行汇总，即可把实际问题和命题进行转化，这也是新型复合命题的特征．本题的情景熟悉、立意新颖，若按常规解法依次对每人的话做真假讨论，显然很繁琐．事实上，推理问题的一般解法是借助于表格，把各个已知条件的关系直观清楚地展示出来，通过正反对比与论证确定得解.【例16】有一个游戏：将分别写有数字1,2,3,4的四张卡片随机发给甲，乙，丙，丁4个人，每人一张，并请4个人进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片． 结果显示：甲、乙、丙、丁4个人预测的都不正确．那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片依次为( )A ．3 1 2 4B ．4 1 2 3C ．4 3 2 1D ．4 2 1 3答案 D解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，又由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由此可得选D.★反馈练习练习（一）1. 设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是（ ） A.若a ≠－b ，则|a |≠|b | B.若a ＝－b ，则|a |≠|b | C.若|a |≠|b |，则a ≠－b D.若|a |＝|b |，则a ＝－b2. 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 下列命题中为真命题的是 （ ） A.命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B.命题“x >1，则x 2>1”的否命题 C.命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D.命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题4. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么（ ） A.“⌝p ”是假命题 B.q 是真命题 C.“p 或q ”为假命题 D.“p 且q ”为真命题5. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.{a |a ≤－2或a ＝1} B.{a |a ≥1} C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2} D.{a |－2≤a ≤1}6. 已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ） A.a <－1或a >6 B.a ≤－1或a ≥6 C.－1≤a ≤6 D.－1<a <6 二、填空题7. “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件.8. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数. 其中正确命题的序号是________.9. 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________. 10. 若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是______________. 11. 令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________.12. 若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“⌝p ”、“⌝q ”中，是真命题的有________. 三、解答题13. 已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.14. 已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当x ∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立. 如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围.15. 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案一】1~6：DBA,CAC 7.充分不必要； 8.①③④； 9.[3,8) 10.－22≤a ≤22； 11.a >1； 12. ⌝p 、⌝q13.解：2≤m ≤4. 14解：c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.15.解：－23≤a <0或a ≤－4.练习（二）1. 若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A.(－∞，3]B.[2,3]C.(2,3]D.(2,3)3. 集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，则下列结论正确的是（ ）A.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C.∃a ∈R ，f (x )是偶函数D.∃a ∈R ，f (x )是奇函数 5. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数6. 已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是（ ）A.p 是真命题B.q 是假命题C.⌝p 是假命题D. ⌝q 是假命题二、填空题7. 设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________. 8. 若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________.9. 在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0. 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写).10. 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 11. 已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.12. 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x +1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围是_____.13. 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是____________. 14. 下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧⌝q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.其中正确结论的序号为________. 三、解答题15. 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝20(31)x xx a ⎧⎫-<⎨⎬-+⎩⎭，B ＝220x a x x a ⎧⎫--⎪⎪<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭. (1)当a ＝12时，求( U B )∩A ；16. 已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围.【答案二】1~6：ACB,CDD ； 7.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)8.[1,2) 9.①③②④ 10. 3或4 11.⎣⎡⎦⎤0，12 12.(－∞，1] 13.(－∞，－2]∪[－1,3) 14. ①③ 15. 解 (1)( U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52. (2)实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52. 16．解 a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。
