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判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△＝0时,方程有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P,x 1x 2=q(3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如：设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力.考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是8．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根,则x 1＋x 2＝ ,x 1·x 2＝ ,（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数,则m ＝二、考点训练：1、 不解方程,判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、 当m= 时,方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0,若有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35,则m= ,这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m 的值.5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根.6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式,则m= ;2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为 ;5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 7.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？8.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积.9．实数K 在什么范围取值时,方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？独立训练（一）1、 不解方程,请判别下列方程根的情况；(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;(3)5(u 2+1)－7u=0, ;2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ,则p= ,q= ;4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式m n = .7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1 α＋1 β,求ｓ的取值范围. 独立训练（二）1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、 已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1） 有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否存在实数ｋ,使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2,满足｜x 1 x 2｜＝32 ,如果存在,试求出所有满足条件的ｋ的值,如果不存在,请说明理由.。
中考专题训练----判别式与韦达定理1、已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.2、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2-6x+k=0的两个实数根，且x 12x 22-x 1-x 2=115，（1）求k 的值； （2）求x 12+x 22+8的值.3、已知关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+m x m x 的两个不相等的实数根α、β满足111=+βα，求m 的值。
4、已知关于x 的方程k 2x 2+(2k －)x+1=0有两个相等的实数根x 1、x 2. （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.5、已知关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+k x k x 的两个实数根21,x x 且1x ＋2x ＝1x 2x ，求k 的值。
6、关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于４？ 若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
7、已知关于x 的方程x 2+2(2-m )x +3-6m =0(1) 求证:无论m 取什么实数,方程总有实数根； (2)如果方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1=3x 2，求实数m 的值.练习题1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2= .关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.6.若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.7. 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.8.下列命题：① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 9.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .【中考真题】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________，1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是 ．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ） Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－1 8．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.9．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
二元一次方程判别式与韦达定理专题知识小结：1、对于一个一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根． 反之亦然．2、韦达定理：如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 ,那么acx x a b x x =•-=+2121,（能用韦达定理的前提条件为△≥0 ）巩固练习： 一、填空题1．已知2-240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ． 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 。
3.已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 . 4．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;6.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;7.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ; 三、解答题8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1) (2) （3）x 12+ x 1x 2+2 x 110.关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由11.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0（m 为实数）有两个实数根1x 、2x ．（1）当m 为何值时，12x x ≠；（2）若22122x x += ，求m 的值.12.已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=(1)求12,x x 及a 的值；(2)求32111232x x x x -++的值．13．已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
第 1 页共 6 页中考数学专项讲解根的判别式【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222mxmx。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
答案：（1）43m ；（2）43m；（3）43m【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92mxmx都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
解略。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22xm xm有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42m＝0和42m ≠0两种情形讨论。
略解：当42m ＝0即2m时，)1(2m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42m≠0即2m时，方程有根的条件是：△＝208)4(4)1(222mmm ≥0，解得m ≥25∴当m ≥25且2m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25时，方程有实根。
习题（一）一、填空题：1、下列方程①012x；②02xx；③012x x；④02xx中，无实根的方程是。
2、已知关于x 的方程022mxx 有两个相等的实数根，那么m 的值是。
3、如果二次三项式k xx 2432在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是。
4、在一元二次方程02cbx x中)(c b ，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。
5、已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.6、关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.7、已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.8、关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根,则k 的最小整数值是____.。
韦达定理与根的判别式复习 知识点：1、根的判别式24b ac -（1）240bac -> ，方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac -=，方程有两个相等的实数根； （3）240bac -<，方程没有实数根；2、韦达定理已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有12bx x a +=-12c x x a = 例1：已知一元二次方程2210x x m ++-=（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？,x x是方程的两个实数根，（2）设12且满足21121+=，求m的值x x x练习：1、方程230x++=的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知12,x x 是方程22340x x +-=的两个根，则（ ） A 1232x x +=-，122x x = B1232x x +=，122x x =-C1232x x +=-，122x x =- D 1232x x +=，122x x =3、已知方程220x +-=，则此方A 无实数根 B两根之和为C 两根之积为 2 D有一根为2-4、已知12,x x 是方程22310x x +-=的两个根，则1211x x +的值为（ ）A 3B -3 C32- D325、若将二次三项式26x px --因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p 的值是（ ）A -5B -1C 1D 56、已知12,x x 是方程2430x x -+=的两个根，那么12x x 的值是（ ）A - 4B 4C -3D 37、在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a 与c 异号，则方程（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为123,4x x ==-，则这个方程为（ ）A(3)(4)0x x -+= B(3)(4)0x x ++=C(3)(4)0x x +-= D(3)(4)0x x --=9、关于x 的一元二次方程23210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A43k <B413k k <≠且 C43k ≤ D 43k >10、若关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A43m <B43m ≤C423m m >≠且 D 423m m ≥≠且11、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90º，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cxb x --++=的根的情况为（ ）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设12,x x 是方程22430x x --=的两个根，则1211x x +=13、已知关于x的方程222(2)0x m x m --+=有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m 的值为 14、已知方程2(10xx +--=的两根为12,x x ，则2212x x +的值为15、关于x的一元二次方程2(31)0--+=，其根的判别式的mx m x m值为1，求m的值及该方程的根。
重难点突破： 判别式和韦达定理题型五：根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． ☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．【例1】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【答案】A【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【答案】C【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠【例2】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【答案】C【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩ 所以 10k k <≠且【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______ 【解析】注意二次项系数不为0 【答案】23m >且1m ≠ 【例3】关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为____________________【答案】94m < 【巩固】若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 范围是__________ 【答案】1k >-且0k ≠【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【例5】当m 为何值时，关于x 的方程22(4)2(1)10m x m x -+++=有实根．【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分24m -＝0和24m -≠0两种情形讨论．当24m -＝0即2m =±时，2(1)m +≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当24m -≠0即2m ≠±时，方程有根的条件是：△＝[]222(1)4(4)820m m m +--=+≥0，解得m ≥52-，∴当m ≥52-且2m ≠±时，方程有实根．综上所述：当m ≥52-时，方程有实根．【答案】m ≥52- 【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【例7】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-． 题型六：韦达定理【例8】若关于x 的一元二次方程的两个根为1212x x ==，，则这个方程是（ ）A ．2320x x +-=B ． 2320x x -+=C ．2230x x -+=D ． 2320x x ++=【答案】B【巩固】已知m n ，是方程210x x --=的两实数根，则11m n+的值______________ 【答案】1-【例9】方程2260x m x m -++=（）有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则m 的值是_______ 【答案】2-【例10】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值：⑴12(3)(3)x x --； ⑵211211x xx x +++； ⑶12x x - 【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=- ⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来 【例11】已知α、β是方程2520x x ++=的值． 【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值 【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===，【例12】若方程210x px ++=的一个根为1-__________，p 等于_________【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理_名师指点
中考数学考点分析介绍的内容是判别式法与韦达定理。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
中考数学考点分析：判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
