2013中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题

韦达定理经典例题及解题过程（最新版）目录1.韦达定理简介2.韦达定理的推广3.韦达定理经典例题a.例题 1b.例题 24.韦达定理的解题过程正文一、韦达定理简介韦达定理，又称维达定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达于 16 世纪提出的一个数学定理。

该定理主要描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。

在一元二次方程 ax+bx+c=0（其中 a≠0）中，设两个根为 x1 和x2，则有以下关系：x1 + x2 = -b/ax1x2 = c/a二、韦达定理的推广韦达定理不仅适用于一元二次方程，还可以推广到更高次的一元多项式方程。

对于一元 n 次方程 ax^n+bx^(n-1)+...+cx+d=0（其中 a≠0），设它的 n 个根为 x1, x2,..., xn，则有以下关系：x1 + x2 +...+ xn = -b/ax1x2 + x1x3 +...+ xn-1xn = c/ax1x2x3 +...+ xn-2xn-1xn = (-1)^(n-1)d/a...x1x2...xn = (-1)^(n-1)(n-1)!d/a三、韦达定理经典例题例题 1：求解方程 2x - 6x + 7 = 0 的两个根。

解：根据韦达定理，我们有：x1 + x2 = -(-6)/2 = 3x1x2 = 7/2因此，我们可以得到两个根的和与积，进而求出它们的值：x1 = 3 - x27/2 = x1x2解这个方程组，我们可以得到：x1 = 1x2 = 2所以，方程的两个根分别为 1 和 2。

例题 2：求解方程 x - 5x + 6 = 0 的两个根。

解：根据韦达定理，我们有：x1 + x2 = -(-5)/1 = 5x1x2 = 6/1 = 6因此，我们可以得到两个根的和与积，进而求出它们的值：x1 = 5 - x26 = x1x2解这个方程组，我们可以得到：x1 = 2x2 = 3所以，方程的两个根分别为 2 和 3。

韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

中考有关韦达定理的题型及其解法若实数ｘ１、ｘ２是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根，则有ｘ１＋ｘ２＝－■，ｘ１ｘ２＝■。

这是韦达定理，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的联系，在讨论一元二次方程根的数值问题中有着广泛的应用。

现结合全国各地中考试题，就有关韦达定理的不同题型，进行分类，并探讨其各自不同的解法。

１．已知方程的一根，不解方程求另一根可设出方程的另一根ｘ２，利用韦达定理建立新的方程组，通过解方程组，求得另一根。

例１（２００２年天津市中考题）若关于ｘ的方程ｘ２－ａｘ－３ａ＝０的一个根是－２，则它的另一个根是。

解：设该方程的另一个根为ｘ２，由韦达定理得：－２＋ｘ２＝ａ－２·ｘ２＝－３ａ消去ａ，得ｘ２＝６。

２．确定方程中字母系数的值当题设方程中含有字母系数，且给出方程两个根的某种关系时，往往可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程；且注意方程有两个实数根其判别式不小于零，从而确定字母系数的值。

例２已知关于ｘ的方程ｘ２＋２（ｍ－２）ｘ＋ｍ２＝０有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大３３，求ｍ的值。

（２００２年广东省中考题）解：设方程的两个实数根分别为ｘ１、ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－２（ｍ－２），ｘ１ｘ２＝ｍ２又∵ ｘ■■＋ｘ■■－ｘ１ｘ２＝３３，∴（ｘ１＋ｘ２）２－３ｘ１ｘ２＝３３∴［－２（ｍ－２）］２－３·ｍ２＝３３即ｍ２－１６ｍ－１７＝０解方程，得ｍ１＝１７，ｍ２＝－１。

当ｍ＝１７时，△＝［２（ｍ－２）］２－４ｍ２＝［２（１７－２）］２－４×１７２＝４×１５２－４×１７２＜０。

所以当ｍ＝１７时，原方程没有实数根，则ｍ＝１７应舍去。

当ｍ＝－１时，△＝［２（ｍ－２）］２－４ｍ２＝［２（－１－２）］２－４·（－１）２＝３２＞０所以当ｍ＝－１时，原方程有两个实数根，则ｍ的值为ｍ＝－１。

３．确定方程中字母系数的取值范围当题设方程中含有字母系数，且已知方程根的某种关系时，可借助韦达定理建立一个以字母系数为主元的不等式，且注意方程有两个实数根其判别式不小于零，从而确定字母系数的取值范围。

韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。

韦达定理试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

一真题链接1.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则___________2.已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．3.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k的值为二名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例谈“韦达定理”在初中代数中的应用韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用，历年来各地中考试题都有涉及，现举例谈谈它在初中代数中的应用．一、已知一元二次方程的一个根，求另一根例1 已知方程x 2－6x ＝－1的一个根为3－，求另一个根．分析 本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．解 原方程变形为x 2－6x ＋1＝0，设方程的另一根为x 1，∵已知一根为3－x 1＋（3－6，∴x 1＝3＋3＋．二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求例2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋a ＝0（a3，求a 的值．分析 本题可直接把方程的已知根代入原方程，求出a 的值，但由于已知根为无理数，3，设另一根为x 1，则应用韦达定理中两根和的关系，可得x 1＝－63）＝－3再应用两根之积的关系，得a ＝（－3（－32．解 略．例3 设关于x 的一元二次方程x 2－px ＋8＝0(p 为常数)的两根为x 1、x 2，问p 取何值时，x 1： x 2＝1：2．分析 本题可用求根公式先求出关于x 的一元二次方程的两根，再根据两根之比，求出p 的值，但解法较繁琐．可由已知两根的关系得x 2＝2x 1，再应用韦达定理，得121328x p x =⎧⎪⎨=⎪⎩容易解得p＝±6．解略，三、求两根和、积及其代数式的值．例4 已知方程x2－x－4＝0的两根为x1、x2，试求（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）的值．分析本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量比较大．可应用韦达定理，先把（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）适当变形，就可求出它的值．解由韦达定理，得四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根，例5 试检验4＋4－x2－8x＋4＝0的两根．分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．解略．五、已知两数和与积，求此两数，例6 已知两数和为5，积为1，求此两数．分析本题可用设元列方程求解．但应用韦达定理的逆定理，可直接写出方程求解，解依韦达定理的逆定理，可知此两数是一元二次方程x2－5x＋1＝0的两根，解得x1，x2六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件例7 求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为－3．分析本题可用列方程方法求出一元二次方程．但如果应用韦达定理求解，会更方便．解设所求一元二次方程为x2＋px＋q＝0（p、g为常数）．由一元二次方程的根与系数关系，可知－p＝1，g＝－3，从而得方程x2－x－3＝0．例8 已知x1、x2为一元二次方程3x2－7x＋3＝0的两根，求作一个新的一元二次方程，使它的两根为2x 1＋1，2x 2＋1．分析 本题可先解一元二次方程，求出它的解，再代入新方程两根的代数式，用列方程方法可求出新的一元二次方程，但方法很繁琐，如应用韦达定理，相对简单．解 设所求一元二次方程为x 2＋px ＋q ＝0（p 、q 为常数）．由韦达定理，可知七、在解方程《组）中的应用．例9 解方程：22121x x x x-+=- 分析 本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易．八、在证明等式或不等式中的应用例10 若实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．求证：a 、b 、c 有一个大于32． 分析 本题用常规方法证明比较难，利用韦达定理，会利索些．证明 ∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，∴a 、6、c 中必有一个正数，两个负数，不仿设a>0．九、简化有理系数多项式的求值例11 已知x ＝44322621823815x x x x x x --++-+的值． 分析 本题用代入法可求出所求代数式的值，但计算量大．可应用韦达定理先得到一个一元二次方程，然后把所求代数式适当变形，可容易求出．解 ∵x ＝4x 2－8x ＋13＝0．用x 2－8x ＋13去除所求式子的分子与分母，得 4322621823815x x x x x x --++-+ ()()()22281321108132x x x x x x -++++=-++＝5．十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号例12 m 为何值时，关于x 的一元二次方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两个根，(1)均为正数；(2)一正一负；(3)均为负数，分析 本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．解 设方程(m ＋3)x 2－mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2．(1)要x 1，x 2均为正，必须有()1212203103430mx x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得m ≥6；(2)要两根异号，必须有 ()12203430m x x m m m ⎧+=>⎪+⎨⎪∆=-+≥⎩ 解得m ＜－3；(3)要x 1，x 2均为负，必须有 ()1212203103430m x x m x x m m m ⎧+=>⎪+⎪⎪=>⎨+⎪⎪∆=-+≥⎪⎩解得－3＜m ≤－2．。

韦达定理与整数根问题一．韦达定理与代数式求值如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值． 二．韦达定理与根的分布在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a a a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． 三．整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是知识精讲对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： 1. 24b ac ∆=-为完全平方数；2.2b ak -+=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)．一．考点：1．韦达定理与代数式求值；2．韦达定理与根的分布；3．整数根问题． 二．重难点：韦达定理与根的分布；整数根问题． 三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．题模一：韦达定理与代数式求值例1.1.1 设12,x x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x -- （2）2212(1)(1)x x +++（3）211211x xx x +++（4）12x x - （5）122111()()33x x x x ++ （6）3312x x +【答案】 （1）2（2）494（3）3116（4（5）2518（6）958【解析】 由韦达定理可得，1252x x +=，1212x x =．然后对各式进行适当变形．（1）原式()121239x x x x =-++；（2）原式()()2121212222x x x x x x =+-+++；三点剖析（3）原式()()()2121212121221x x x x x x x x x x +-++=+++；（4）原式（5）原式=12121293x x x x ++； （6）原式()()21212123x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦．例1.1.2 设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】 由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-．注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-例1.1.3 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值 【答案】 21-【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-． 同理()322121βββββββ=⋅=-=-=．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-题模二：韦达定理与根的分布例1.2.1 已知一元二次方程210210x x a -++=．（1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？ （2）此方程会有两个负根吗？为什么？【答案】 （1）21a <-；（2）不可能，因为12100x x +=>．若10x <、20x <，则与1210x x +=矛盾【解析】 不妨设方程的两根为1x 、2x ，由韦达定理可知1210x x +=，1221x x a =+．例1.2.2 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=． （1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】 []2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-（1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； （3）由13<可知，72432k k ->⇒>． 题模三：整数根问题例1.3.1 已知：关于x 的一元二次方程()231230mx m x m --+-= (m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； (2)求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；(3)若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值及方程所有的根 【答案】 （1）m 的取值范围是3m ≠且0m ≠； （2）见解析（3）1m =-或3m =±【解析】 (1)()()()2224314233b ac m m m m =-=----=-⎡⎤⎣⎦ 方程有两个不相等的实数根，()230m ->且0m ≠3m ∴≠且 0m ≠，m ∴ 的取值范围是3m ≠且0m ≠；证明：由求根公式()()3132m m x m -±-=∴ 无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1； (3)m 为整数，且方程的两个根均为正整数，132x m ∴=-必为整数，1m ∴=±或3m =±当1m =时,11x =- (舍去);当1m =-时,15x = 当3m =时,11x =;当3m =- 时,13x = 1m ∴=- 或3m =±例1.3.2 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【解析】 设两个根为12x x ≥，由韦达定理得从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．例1.3.3 求使关于x 的方程223(1)(1)260a x a x a +-++-=的根均为整数的所有整数a ． 【答案】 0,1,2,3a =-- 【解析】 当1a =-时，方程变为280x --=，得4x =-，符合要求； 当1a ≠-时，设方程的两个整数根为12x x ，，则由韦达定理，得 因为12x x ，都是整数，所以1212x x x x +和均为整数． 即2411a a ++和也应为整数，由整除性可知0,1,2,3a =--． 随练1.1 已知一元二次方程x 2-2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1+3x 2=3，求m 的值．【答案】 （1）m≤1（2）34【解析】（1）∵方程x 2-2x+m=0有两个实数根， ∴△=（-2）2-4m≥0， 解得m≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ， 解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴m=x 1•x 2=34． 随练1.2 如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1．x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0，求a b +b a的值；（3）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．【答案】 （1）x 2+m n x+1n =0（2）-47（3）4【解析】（1）设方程x 2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x 1，x 2，随堂练习则：11x +21x =1212x x x x +=-m n， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x 2+m n x+1n=0； （2）∵a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0， ∴a ，b 是x 2-15x-5=0的解， 当a≠b 时，a+b=15，ab=-5，a b +b a=22a b ab +=2()2a b ab ab +-=2152(5)5-?-=-47．当a=b 时，原式=2； （3）∵a+b+c=0，abc=16， ∴a+b=-c ，ab=16c， ∴a 、b 是方程x 2+cx+16c=0的解， ∴c 2-4•16c≥0， c 2-34c≥0，∵c 是正数， ∴c 3-43≥0， c 3≥43， c≥4，∴正数c 的最小值是4．随练1.3 若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b = ，1a b+=_________ 【答案】95；20015- 【解析】 29200150b b ++=，2115200190b b++=，又25200190a a ++=， 所以a ，1b可以看作是方程25200190x x ++=的两个根． 由韦达定理，得：195a a b b ⋅==，120015a b +=-随练1.4 已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】 2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，,αβ=又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．随练1.5 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练1.6 已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵ m ≠0， ∴ 220mx x m--=是关于x 的一元二次方程． ∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 （2）解：由求根公式，得∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分随练1.7 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根． 【答案】 1，3，6，10【解析】 由原方程知2x ≠-，不妨将方程整理成关于a 的一元一次方程2(44)212x x a x ++=+，得22121(2)x a x +=≥+（因为a 为正整数），解得42x -≤≤，因此x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，分别代入a 的表达式得所求的正整数a 的值是1，3，6，10随练1.8 设关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【答案】 103k =，6，3 【解析】 原方程可化为22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+-+-+=－， 即()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得12241,142x x k k =--=----． 由于1x ≠-，则有12244,211k k x x -=--=-++． 两式相减，得1224211x x -=++，即12(3)2x x +=-． 由于1x ，2x 是整数，故可求得12x =，24x =-或12x =-，22x =-或11x =，25x =-． 分别代入，易得103k =，6，3．作业1 1x ，2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2212x x + （2）12x x - （3）2212233x x x +- 【答案】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；（2）1272x x -=； （3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=【解析】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；（2）1272x x -=； （3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=作业2 已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．【答案】 30【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．作业3 已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．其中，a 、b 、c 、d 为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值？【答案】2a =，1b =，2c =，1d =或1a =，2b =，2c =-，0d = 【解析】 ∵方程20x ax b +-=的根是a 和c ，∴a c a +=-，ac b =-． ∵20x cx d ++=的根是b 和d ，∴b d c +=-，bd d =， （1）若0d ≠，则由bd d =知1b =．由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知221a -=-，解得a =当a =时，c =1d c b =--=-；…………⑴当a =时，c1d c b =--=．………⑵经验证，a =，1b =，2c =，1d =-是符合条件的两组解． （2）若0d =，则b c =-，由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知ac c =若0c =，则0a =，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若0c ≠，则1a =，再由2c a =-知2c =-，从而2b c =-=． 经验证，1a =，2b =，2c =-，0d =也是符合条件的解作业4 已知12,x x （12x x <）是方程2(1)0x m x n --+=的两个实数根，12,y y 是方程2(1)60y n y m ++-=的两实数根，且112x y -=，222y x -=，求,m n 的值？ 【答案】 2m =，2n =-【解析】 根据题意，对方程2(1)0x m x n --+=有211212[(1)]401m n x x m x x n ⎧∆=---≥⎪+=-⎨⎪⋅=⎩对方程2(1)60y n y m ++-=有221212(1)240(1)6n m y y n y y m ⎧∆=++≥⎪+=-+⎨⎪⋅=-⎩ 又112y x =-，222y x =+ 由⑴得：m n =-，代入⑵得：122()54x x n -=+⑶又12x x <，540n ∴+<，对⑶两边平方得：22124()(54)x x n -=+，即：2212124[()4](54)x x x x n +-⋅=+224[(1)4](54)n n n ∴---=+，整理得：271640n n ++=解得：12n =-，227n =-当27n =-时，540n +>与540n +<矛盾，舍去．当2n =-时，5460n +=-<，此时2m =，170∆=>，2490∆=>．作业5 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】 104a <≤【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．作业6 已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β．（1）若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值； （2）若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<< 【答案】 见解析【解析】 ⑴ 由题意得3a αβ+=-，ba αβ=，由()2141αβαβαβ-=⇒+-=2941b a a⇒-=()49a a b ⇒+=．又a 、b 均为负整数，所以1a =-，49a b +=-．故1a =-，2b =-． ⑵ 因为12αβ<<<，所以30460a b a b ++>⎧⎨++<⎩．从而430a b a b ++>++>，即当1x =时，240ax x b ++>． 由48460a b a b -+<++<，即当2x =-时，240ax x b ++<． 因为0a <，所以1221x x -<<<作业7 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【答案】 22,0,1,2,3- 【解析】 当0k =时，原方程化为480x +=，解得2x =-．故当0k =时，原方程的解都是整数．当2k =时，原方程化为880x -+=，解得1x =，故当2k =时，原方程的解都是整数． 当0k ≠且2k ≠时，原方程化为(2)[(2)4]0kx k x ---=．解得12x k =，242x k =-． 由12x k =，得12k x =．把12k x =代入242x k =-中，得121220x x x x +-=．故12(1)(2)21(2)2(1)x x -+=-=⨯-=⨯-．第 11 页 因为1x 、2x 为整数，所以11x -、22x +也均为整数．于是，有121122x x -=⎧⎨+=-⎩或121221x x -=-⎧⎨+=⎩或121221x x -=⎧⎨+=-⎩或121122x x -=-⎧⎨+=⎩． 分别解得1224x x =⎧⎨=-⎩或1211x x =-⎧⎨=-⎩或1233x x =⎧⎨=-⎩或1200x x =⎧⎨=⎩(舍去)． 故21,2,3k =-． 综上，k 的值为22,0,1,2,3-． 作业8 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根【答案】 当39a =时，方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，方程的三个根为1，2-和28-【解析】 观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦．因为a 是正整数，所以关于x 的方程：()218560x a x +++= ……①的判别式()2182240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式()218224a ∆=+-应该是一个完全平方数．设()2218224a k +-=(其中k 为非负整数)，则()2218224a k +-=，即：()()1818224a k a k +++-=． 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以：18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩． 而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩． 当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．此时原方程的三个根为1，1-和56-．当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-．此时原方程的三个根为1，2-和28-．。

初中数学韦达定理习题及答案初中数学韦达定理习题及答案法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求.若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得∴x1x2-X1-x2=2，(x1-1)( x2-1)=3.因为x1-1、x2-1均为整数，所以X1=2，X2=4;X1=—2，X2=0.所以k=1,或k=-1/7韦达定理在方程论中有着广泛的应用，在考试中也不例外。

因式分解同步练习(解答题)关于因式分解同步练习知识学习，下面的题目需要同学们认真完成哦。

因式分解同步练习（解答题）解答题9．把下列各式分解因式：①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y210．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．答案：9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。

因式分解同步练习(填空题)同学们对因式分解的内容还熟悉吧，下面需要同学们很好的完成下面的题目练习。

因式分解同步练习（填空题）填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．答案：5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。